初中數學解題方法歸納總結
初中數學解題方法歸納總結
想要在初中學好數學，學會解題是關鍵。那么初中數學解題方法有哪些呢?為了幫助同學們更好的學習數學，小編給大家整理了初中數學解題方法。
初中數學解題方法歸納
1. 觀察與實驗
( 1 )觀察法：有目的有計劃的通過視覺直觀的發(fā)現數學對象的規(guī)律、性質和解決問題的途徑。
( 2 )實驗法：實驗法是有目的的、模擬的創(chuàng)設一些有利于觀察的數學對象，通過觀察研究將復雜的問題直觀化、簡單化。它具有直觀性強，特征清晰，同時可以試探解法、檢驗結論的重要優(yōu)勢。
2. 比較與分類
( 1 )比較法
是確定事物共同點和不同點的思維方法。在數學上兩類數學對象必須有一定的關系才好比較。我們常比較兩類數學對象的相同點、相異點或者是同異綜合比較。
( 2 )分類的方法
分類是在比較的基礎上，依據數學對象的性質的異同，把相同性質的對象歸入一類，不同性質的對象歸為不同類的思維方法。如上圖中一次函數的 k 在不等于零的情況下的分類是大于零和小于零體現了不重不漏的原則。
3 .特殊與一般
( 1 )特殊化的方法
特殊化的方法是從給定的區(qū)域內縮小范圍，甚至縮小到一個特殊的值、特殊的點、特殊的圖形等情況，再去考慮問題的解答和合理性。
( 2 )一般化的方法
4. 聯想與猜想
( 1 )類比聯想
類比就是根據兩個對象或兩類事物間存在著的相同或不同屬性，聯想到另一事物也可能具有某種屬性的思維方法。
通過類比聯想可以發(fā)現新的知識;通過類比聯想可以尋求到數學解題的方法和途徑：
( 2 )歸納猜想
牛頓說過：沒有大膽的猜想就沒有偉大的發(fā)明。猜想可以發(fā)現真理，發(fā)現論斷;猜想可以預見證明的方法和思路。初中數學主要是對命題的條件觀察得出對結論的猜想，或對條件和結論的觀察提出解決問題的方案與方法的猜想。
歸納是對同類事物中的所蘊含的同類性或相似性而得出的一般性結論的思維過程。歸納有完全歸納和不完全歸納。完全歸納得出的猜想是正確的，不完全歸納得出的猜想有可能正確也有可能錯誤，因此作為結論是需要證明的。關鍵是猜之有理、猜之有據。
5. 換元與配方
( 1 )換元法
解數學題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法。換元的實質是轉化，關鍵是構造元和設元，理論依據是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標準型問題標準化、復雜問題簡單化，變得容易處理。
換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過引進新的變量，可以把分散的條件聯系起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結論聯系起來?；蛘咦?yōu)槭煜さ男问?，把復雜的計算和推證簡化。
我們使用換元法時，要遵循有利于運算、有利于標準化的原則，換元后要注重新變量范圍的選取，一定要使新變量范圍對應于原變量的取值范圍，不能縮小也不能擴大。 你可以先觀察算式，你可以發(fā)現這種要換元法的算式中總是有相同的式子，然后把他們用一個字母代替，算出答案，然后答案中如果有這個字母，就把式子帶進去，計算就出來啦。
( 2 )配方法
配方法是對數學式子進行一種定向變形(配成“完全平方”)的技巧，通過配方找到已知和未知的聯系，從而化繁為簡。何時配方，需要我們適當預測，并且合理運用“裂項”與“添項”、“配”與“湊”的技巧，從而完成配方。有時也將其稱為“湊配法”。最常見的配方是進行恒等變形，使數學式子出現完全平方。它主要適用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函數、二次代數式的討論與求解。配方法使用的最基本的配方依據是二項完全平方公式 (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 ，將這個公式靈活運用，可得到各種基本配方形式
6. 構造法與待定系數法
( 1 )構造法所謂構造性的方法就是數學中的概念和方法按固定的方式經有限個步驟能夠定義的概念和能夠實現的方法。常見的有構造函數，構造圖形，構造恒等式。平面幾何里面的添輔助線法就是常見的構造法。構造法解題有：直接構造、變更條件構造和變更結論構造等途徑。
( 2 )待定系數法：將一個多項式表示成另一種含有待定系數的新的形式，這樣就得到一個恒等式。然后根據恒等式的性質得出系數應滿足的方程或方程組，其后通過解方程或方程組便可求出待定的系數，或找出某些系數所滿足的關系式，這種解決問題的方法叫做待定系數法。
7. 公式法與反證法
( 1 )公式法
利用公式解決問題的方法。初中最常用的有一元二次方程求根時使用求根公式的方法;完全平方公式的方法等。如下面一組題就是完全平方公式的應用：
( 2 )反證法是“間接證明法”一類，即：肯定題設而否定結論，從而得出矛盾，就可以肯定命題的結論的正確性，從而使命題獲得了證明。
初中學數學解題技巧
1. 數學探索題
所謂探索題就是從問題給定的題設條件中探究其相應的結論并加以證明，或從給定的題目要求中探究相應的必需具備的條件、解決問題的途徑。
條件探索題：解答策略之一是將題設和結論視為已知，同時推理，在演繹的過程中尋找出相應所需的條件。
結論探索題：通常指結論不確定不唯一，或結論需通過類比、引申、推廣，或給出特例需通過歸納得出一般結論?？梢韵炔聹y再去證明;也可以尋求具體情況下的結論再證明;或直接演繹推證。
規(guī)律探索題：實際就是探索多種解決問題的途徑，制定多種解題的策略。
活動型探索題：讓學生參與一定的社會實踐，在課內和課外的活動中，通過探究完成問題解決。
推廣型探索題：將一個簡單的問題，加以推廣，可產生新的結論，在初中教學中常見。如平行四邊形的判定，就可以產生許多新的推廣，一方面是自身的推廣，一方面可以延伸到菱形和正方形中。
探索是數學的生命線，解探索題是一種富有創(chuàng)造性的思維活動，一種數學形式的探索絕不是單一的思維方式的結果，而是多種思維方式的聯系和滲透，這樣可使學生在學習數學的過程中敢于質疑、提問、反思、推廣。通過探索去經歷數學發(fā)現、數學探究、數學創(chuàng)造的過程，體會創(chuàng)造帶來的快樂。
2. 數學情境題
情境題是以一段生活實際、故事、歷史、游戲與數學問題、數學思想和方法于情境中。這類問題往往生動有趣，激發(fā)學生強烈的研究動機，但同時數學情景題又有信息量大，開放性強的特點，因此需要學生能從場景中提煉出數學問題，同時經歷了借助數學知識研究實際問題的數學化過程。
如老師在講有理數的混合運算時，
3. 數學開放題
數學開放題是相對于傳統(tǒng)的封閉題而言的一種新題型，其特征是題目的條件不充分，或沒有確定的結論，也正因為這樣，所以開放題的解題策略往往也是多種多樣的。
( 1 )數學開放題一般具有下列特征
?、俨淮_定性：所提的問題常常是不確定的和一般性的，其背景情況也是用一般詞語來描述的，因此需收集其他必要的信息，才能著手解的題目。
?、谔骄啃裕簺]有現成的解題模式，有些答案可能易于直覺地被發(fā)現，但是求解過程中往往需要從多個角度進行思考和探索。
?、鄯峭陚湫裕河行﹩栴}的答案是不確定的，存在著多樣的解答，但重要的還不是答案本身的多樣性，而在于尋求解答的過程中學生的認知結構的重建。
?、馨l(fā)散性：在求解過程中往往可以引出新的問題，或將問題加以推廣，找出更一般、更概括性的結論。常常通過實際問題提出，學生必須用數學語言將其數學化，也就是建立數學模型。
?、莅l(fā)展性：能激起多數學生的好奇性，全體學生都可以參與解答過程。
?、迍?chuàng)新性：教師難以用注入式進行教學，學生能自然地主動參與，教師在解題過程中的地位是示范者、啟發(fā)者、鼓勵者、合作者。
( 2 )對數學開放題的分類
從構成數學題系統(tǒng)的四要素(條件、依據、方法、結論)出發(fā)，定性地可分成四類;如果尋求的答案是數學題的條件，則稱為條件開放題;如果尋求的答案是依據或方法，則稱為策略開放題;如果尋求的答案是結論，則稱為結論開放題;如果數學題的條件、解題策略或結論都要求解題者在給定的情境中自行設定與尋找，則稱為綜合開放題。
從學生的學習生活和熟悉的事物中收集材料，設計成各種形式的數學開放性問題，意在開放學生的思路，開放學生潛在的學習能力，開放性數學問題給不同層次的學生學好數學創(chuàng)設了機會，多種解題策略的應用，有力地發(fā)展了學生的創(chuàng)新思維，培養(yǎng)了學生的創(chuàng)新技能，提高了學生的創(chuàng)新能力。
( 3 )以數學開放題為載體的教學特征
?、賻熒P系開放：教師與學生成為問題解決的共同合作者和研究者
②教學內容開放：開放題往往條件不完全、或結論不完全，需要收集信息加以分析和研究，給數學留下了創(chuàng)新的空間。
?、劢虒W過程的開放性：由于研究的內容的開放性可以激起學生的好奇心、同時由于問題的開放性，就沒有現成的解題模式，因此就會留下想象的空間，使所有的學生都可參與想象和解答。
( 4 )開放題的教育價值
有利于培養(yǎng)學生良好的思維品質;
有助于學生主體意識的形成;
有利于全體學生的參與，實現教學的民主性和合作性;
有利于學生體驗成功、樹立信心，增強學習的興趣;
有助于提高學生解決問題的能力。
4. 數學建模題(初中數學建模題也可以看作是數學應用題)
數學新課程標準指出 : 要學生會應用所學知識解決實際問題 , 能適應社會日常生活和生產勞動的基本需要。初中數學的學習目的之一 , 就是培養(yǎng)學生解決實際問題的能力 , 要求學生會分析和解決生產、生活中的數學問題 , 形成善于應用數學的意識和能力。從各省市的中考數學命題來看 , 也更關注學生靈活運用數學知識解決實際問題能力的考查 , 可以說培養(yǎng)學生解答應用題的能力是使學生能夠運用所學數學知識解決實際問題的基本途徑之一
初中數學應用問題類型
( 1 )探求結論型數學應用問題
根據命題中所給出的條件，要求找出一個或一個以上的正確結論
( 2 )跨學科的數學應用問題
?、贁祵W與物理
?、跀祵W與生化
以上兩題是與生物和化學有關的問題，體現了數學在生化學科的應用。
總之，數學應用問題較好地考察了學生閱讀理解能力與日常生活體驗，同時又考察了學生獲取信息后的抽象概括與建模能力，判斷決策能力。中考數學應用問題熱點題型主要包括生活、統(tǒng)計、測量、設計、決策、銷售、開放探索、跨學科等等，中考在強化學生應用意識和應用能力方面發(fā)揮及其良好的導向功能。這就要求我們在平時教學中善于挖掘課本例題、習題的潛在的應用功能。巧妙地將課本中具有典型意義的數學問題回歸生活、生產的原型，創(chuàng)設一個實際背景，改造成有深刻數學內涵的實際問題，以增強應用意識，發(fā)展數學建模能力。
四、掌握初中數學解題策略提來提高數學學習效率
(1)認真分析問題，找解題準切入點
由于數學問題紛繁復雜，學生容易受定勢思維的影響，這樣就會響解題思路造成很大的影響。為此，這時教師要給予學生正確指導，幫助學生進行思路的調整，對題目進行重新認真的分析，將切入點找準后，問題就能游刃而解了。例如：已知：AB=DC，AC=DB。求證:∠A=∠D。
此題是一道比較經典的證明全等的題型，主要是對學生對已知條件整合能力和觀察識圖能力的鍛煉。然而，從圖形的直觀角度來證明∠AOC=∠DOB，這樣的思路只會落入題目所設下的陷阱。為此，在對此題的審題時，教師要引導學生注意將題目已知的兩個條件充分結合起來考慮，提醒學生可以適當添加一定的輔助線。
(2)發(fā)揮想象力，借助面積出奇制勝
面積問題是數學中常出現的問題，在面積定義及相關規(guī)律中，蘊含著深刻的數學思想，如果學生能充分了解其中的韻味，能夠熟練的掌握其中的數學論證思維，就有可能在其他數學問題中借助面積，出奇制勝順利實現解題。由于幾何圖形的面積與線段、角、弧等有密切的聯系，所以用面積法不但可證各種幾何圖形面積的等量關系，還可證某些線段相等、線段不等、角的相等以及比例式等多種類型的幾何題。例1、 若E、F分別是矩形ABCD邊AB、CD的中點，且矩形EFDA與矩形ABCD相似，則矩形ABCD的寬與長之比為( ) (A) 1∶2(B) 2∶1(C) 1∶2(D) 2∶1
由上題已知信息可知，矩形ABCD的寬AD與AB的比，就是矩形EFDA與矩形ABCD的相似比。解：設矩形EFDA與矩形ABCD的相似比為k。因為E、F分別是矩形ABCD的中點，所以S矩形ABCD=2S矩形EFDA。所以S矩形EFDA∶S矩形ABCD=k2。所以k=1∶2。即矩形ABCD的寬與長之比為1∶2;故選(C)。
此題利用了“相似多邊形面積的比等于相似比平方”這一性質，巧妙解決相似矩形中的長與寬比的問題。事實上，借助面積，形成解題思路的過程，就是學生思維轉換的過程。
(3)巧取特殊值，以簡代繁
初中數學雖然是基礎數學，但是這并不意味著就沒有難度，特別是在素質教育下，從培養(yǎng)學生綜合素質能力的角度出發(fā)，初中數學越來越重視數學思維的培養(yǎng)，因此在很多數學問題的設置上，都進行了相當難度的調整，使得數學問題顯得較為繁雜，單一的思維或者解題方式，在有些題目面前會顯得較為艱難。如有些數學問題是在一定的范圍內研究它的性質，如果從所有的值去逐一考慮，那么問題將不勝其繁甚至陷入困境。在這種情況下，避開常規(guī)解法，跳出既定數學思維，就成了解題的關鍵。
例2、分解因式：x2+2xy-8y2+2x+14y-3。
思路分析：本題是二元多項式，從常規(guī)思路進行解題也未嘗不可，但是從鍛煉學生思維能力的角度出發(fā)，教師可以在立足常規(guī)解法的基礎上，引導學生進行其他方面解題思路的探索。如從巧取特值的角度出發(fā)，把其中的一個未知數設為0，則可以暫時隱去這個未知數，而就另一個未知數的式子來分解因式，達到化二元為一元的目的。
解：令y=0，得x2+2x-3=(x+3)(x-1);令x=0,得:-8y2+14y-3=(-2y+3)(4y-1)。當把兩次分解的一次項的系數1、1;-2、4?？芍?，1×4+(-2)×1正好等于原式中xy項的系數。因此，綜合起來有：x2+2xy-8y2+2x+14y-3=(x-2y+3)(x+4y-1)。
其實，用特殊值法，也叫取零法。這種方法在因式分解中可以發(fā)揮很大的作用，幫助學生找到其他的解題思路。一般來說其步驟是：A、把多項式中的一個字母設為0所得的結果分解因式，B、把多項中的另一個字母設為0所得的結果分解因式，C、把上兩步分解的結果綜合起來，得出原多項式的分解結果。但要注意：兩次分解的一次因式的常數項必須相等，如本題中，x+3的3和-2y+3的3相等，x-1的-1和4y-1的-1相等。否則，在綜合這兩步的結果時就無所適從了。
(4)巧妙轉換，過渡求解法
在解數學題時，即要對已知的條件進行全面分析，還要善于將題目中的隱性條件挖掘出來，將數學中各知識之間的聯系巧妙的運用起來，用全面、全新的視角來解決問題。
例如：已知：AB為半圓的直徑，其長度為30 cm，點C、D是該半圓的三等分點，求弦AC、AD與弧CD所圍成的圖形的面積。
本題需要解出的是一個不規(guī)則圖形的面積，可能大多數同學的思維就是將CD連結起來，將其轉變?yōu)橐粋€角形和弓形，兩者面積之和就為該題需要解決的問題。這時，教師就要引導學生學會對半徑這一已知條件加以利用，幫助其將另外兩條OC、OD輔助線連結起來，將題目要求解的不規(guī)則圖形的面積，轉化成求扇形OCD的面積，這樣該題的解題思維就能一目了然了。
綜上所述，初中數學解題存在很強的靈活性。有的數學題不只一種解法，而有多種解法，有的數學題用常規(guī)方法解決不了，要用特殊方法。因此，解數學題要注意它的靈活性和技巧性。解題技巧在升學考試中至關重要，不能忽視。初中數學教師要注意對解題技巧的鉆研，并鼓勵學生發(fā)散思維，尋找解題技巧，提高解題效率，增強學習數學的能力。
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