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      浙教版二次函數(shù)知識點

      時間: 芷瓊1026 分享

      浙教版二次函數(shù)知識點

        二次函數(shù)在初中數(shù)學中占有重要位置,特別是在中考的最后一道大題,算是數(shù)學大題中的壓軸題,接下來學習啦小編為你整理了浙教版二次函數(shù)知識點,一起來看看吧。

        浙教版二次函數(shù)知識點

        I.定義與定義表達式

        一般地,自變量x和因變量y之間存在如下關系:y=ax^2+bx+c

        (a,b,c為常數(shù),a≠0,且a決定函數(shù)的開口方向,a>0時,開口方向向上,a<0時,開口方向向下,IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大.)則稱y為x的二次函數(shù)。

        二次函數(shù)表達式的右邊通常為二次三項式。

        II.二次函數(shù)的三種表達式

        一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0)

        頂點式:y=a(x-h)^2+k [拋物線的頂點P(h,k)]

        交點式:y=a(x-x₁)(x-x ₂) [僅限于與x軸有交點A(x₁ ,0)和 B(x₂,0)的拋物線]

        注:在3種形式的互相轉化中,有如下關系:

        h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x₁,x₂=(-b±√b^2-4ac)/2a

        III.二次函數(shù)的圖像

        在平面直角坐標系中作出二次函數(shù)y=x^2的圖像,可以看出,二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。

        IV.拋物線的性質

        1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線 x = -b/2a。

        對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。特別地,當b=0時,拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)

        2.拋物線有一個頂點P,坐標為:P ( -b/2a ,(4ac-b^2)/4a )當-b/2a=0時,P在y軸上;當Δ= b^2-4ac=0時,P在x軸上。

        3.二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。

        當a>0時,拋物線向上開口;當a<0時,拋物線向下開口。|a|越大,則拋物線的開口越小。

        4.一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。

        當a與b同號時(即ab>0),對稱軸在y軸左;

        當a與b異號時(即ab<0),對稱軸在y軸右。

        5.常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點。

        拋物線與y軸交于(0,c)

        6.拋物線與x軸交點個數(shù)

        Δ= b^2-4ac>0時,拋物線與x軸有2個交點。

        Δ= b^2-4ac=0時,拋物線與x軸有1個交點。

        Δ= b^2-4ac<0時,拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數(shù)(x= -b±√b^2-4ac 的值的相反數(shù),乘上虛數(shù)i,整個式子除以2a)

        V.二次函數(shù)與一元二次方程

        特別地,二次函數(shù)(以下稱函數(shù))y=ax^2+bx+c,

        當y=0時,二次函數(shù)為關于x的一元二次方程(以下稱方程),即ax^2+bx+c=0

        此時,函數(shù)圖像與x軸有無交點即方程有無實數(shù)根。函數(shù)與x軸交點的橫坐標即為方程的根。

        1.二次函數(shù)y=ax^2,y=a(x-h)^2,y=a(x-h)^2 +k,y=ax^2+bx+c(各式中,a≠0)的圖象形狀相同,只是位置不同,它們的頂點坐標及對稱軸如下表:

        當h>0時,y=a(x-h)^2的圖象可由拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位得到,

        當h<0時,則向左平行移動|h|個單位得到.

        當h>0,k>0時,將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位,再向上移動k個單位,就可以得到y(tǒng)=a(x-h)^2 +k的圖象;

        當h>0,k<0時,將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位,再向下移動|k|個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象;

        當h<0,k>0時,將拋物線向左平行移動|h|個單位,再向上移動k個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象;

        當h<0,k<0時,將拋物線向左平行移動|h|個單位,再向下移動|k|個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象;

        因此,研究拋物線 y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象,通過配方,將一般式化為y=a(x-h)^2+k的形式,可確定其頂點坐標、對稱軸,拋物線的大體位置就很清楚了.這給畫圖象提供了方便.

        2.拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象:當a>0時,開口向上,當a<0時開口向下,對稱軸是直線x=-b/2a,頂點坐標是(-b/2a,[4ac-b^2]/4a).

        3.拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0),若a>0,當x ≤ -b/2a時,y隨x的增大而減小;當x ≥ -b/2a時,y隨x的增大而增大.若a<0,當x ≤ -b/2a時,y隨x的增大而增大;當x ≥ -b/2a時,y隨x的增大而減小.

        4.拋物線y=ax^2+bx+c的圖象與坐標軸的交點:

        (1)圖象與y軸一定相交,交點坐標為(0,c);

        (2)當△=b^2-4ac>0,圖象與x軸交于兩點A(x₁,0)和B(x₂,0),其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0

        (a≠0)的兩根.這兩點間的距離AB=|x₂-x₁|

        當△=0.圖象與x軸只有一個交點;

        當△<0.圖象與x軸沒有交點.當a>0時,圖象落在x軸的上方,x為任何實數(shù)時,都有y>0;當a<0時,圖象落在x軸的下方,x為任何實數(shù)時,都有y<0.

        5.拋物線y=ax^2+bx+c的最值:如果a>0(a<0),則當x= -b/2a時,y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.

        頂點的橫坐標,是取得最值時的自變量值,頂點的縱坐標,是最值的取值.

        6.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

        (1)當題給條件為已知圖象經(jīng)過三個已知點或已知x、y的三對對應值時,可設解析式為一般形式:

        y=ax^2+bx+c(a≠0).

        (2)當題給條件為已知圖象的頂點坐標或對稱軸時,可設解析式為頂點式:y=a(x-h)^2+k(a≠0).

        (3)當題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點坐標時,可設解析式為兩根式:y=a(x-x₁)(x-x₂)(a≠0).

        浙教版二次函數(shù)解題方法

        1.求證“兩線段相等”的問題:

        借助于函數(shù)解析式,先把動點坐標用一個字母表示出來;然后看兩線段的長度是什么距離(即是“點點”距離,還是“點軸距離”,還是“點線距離”,再運用兩點之間的距離公式或點到x軸(y軸)的距離公式或點到直線的距離公式,分別把兩條線段的長度表示出來,把它們進行化簡,即可證得兩線段相等。

        2.“平行于y軸的動線段長度的最大值”的問題:

        由于平行于y軸的線段上各個點的橫坐標相等(常設為t),借助于兩個端點所在的函數(shù)圖象解析式,把兩個端點的縱坐標分別用含有字母t的代數(shù)式表示出來,再由兩個端點的高低情況,運用平行于y軸的線段長度計算公式y(tǒng)上-y下,把動線段的長度就表示成為一個自變量為t,且開口向下的二次函數(shù)解析式,利用二次函數(shù)的性質,即可求得動線段長度的最大值及端點坐標。

        3.“拋物線上是否存在一點,使之到定直線的距離最大”的問題:

        (方法1)先求出定直線的斜率,由此可設出與定直線平行且與拋物線相切的直線的解析式(注意該直線與定直線的斜率相等,因為平行直線斜率(k)相等),再由該直線與拋物線的解析式組成方程組,用代入法把字母y消掉,得到一個關于x的的一元二次方程,由題有△=0(因為該直線與拋物線相切,只有一個交點,所以△=0)從而就可求出該切線的解析式,再把該切線解析式與拋物線的解析式組成方程組,求出x、y的值,即為切點坐標,然后再利用點到直線的距離公式,計算該切點到定直線的距離,即為最大距離。

        (方法2)該問題等價于相應動三角形的面積最大問題,從而可先求出該三角形取得最大面積時,動點的坐標,再用點到直線的距離公式,求出其最大距離。

        4.常數(shù)問題:

        (1)點到直線的距離中的常數(shù)問題:

        “拋物線上是否存在一點,使之到定直線的距離等于一個固定常數(shù)”的問題:先借助于拋物線的解析式,把動點坐標用一個字母表示出來,再利用點到直線的距離公式建立一個方程,解此方程,即可求出動點的橫坐標,進而利用拋物線解析式,求出動點的縱坐標,從而拋物線上的動點坐標就求出來了。

        (2)三角形面積中的常數(shù)問題:

        “拋物線上是否存在一點,使之與定線段構成的動三角形的面積等于一個定常數(shù)”的問題:先求出定線段的長度,再表示出動點(其坐標需用一個字母表示)到定直線的距離,再運用三角形的面積公式建立方程,解此方程,即可求出動點的橫坐標,再利用拋物線的解析式,可求出動點縱坐標,從而拋物線上的動點坐標就求出來了。

        (3)幾條線段的齊次冪的商為常數(shù)的問題:

        用K點法設出直線方程,求出與拋物線(或其它直線)的交點坐標,再運用兩點間的距離公式和根與系數(shù)的關系,把問題中的所有線段表示出來,并化解即可。

        5.“在定直線(常為拋物線的對稱軸,或x軸或y軸或其它的定直線)上是否存在一點,使之到兩定點的距離之和最小”的問題:

        先求出兩個定點中的任一個定點關于定直線的對稱點的坐標,再把該對稱點和另一個定點連結得到一條線段,該線段的長度〈應用兩點間的距離公式計算〉即為符合題中要求的最小距離,而該線段與定直線的交點就是符合距離之和最小的點,其坐標很易求出(利用求交點坐標的方法)。


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