數(shù)學(xué)思維方法：化零為整巧解題
生活中的數(shù)學(xué)無所不在，如何才能更好的訓(xùn)練孩子的數(shù)學(xué)思維呢?接下來，學(xué)習(xí)啦小編跟你分享的6個(gè)數(shù)學(xué)思維方法。
數(shù)學(xué)思維方法(1)——集零為整巧解題
我們?cè)谄綍r(shí)學(xué)習(xí)的知識(shí)一般都是分層次、分內(nèi)容的較零散的知識(shí)形式，在解答應(yīng)用題時(shí)，就會(huì)將我們學(xué)習(xí)掌握的知識(shí)逐個(gè)知識(shí)點(diǎn)從儲(chǔ)存的大腦中調(diào)出來分內(nèi)使用。但是，有些題若按常規(guī)方法來解答不太容易，也比較麻煩，這時(shí)我們可以將思維方法轉(zhuǎn)換一下，把問題看作一個(gè)整體，這樣解題效果特別好。這種解決問題的的思維方法叫做集零為整法，或稱為整體思維。
例1、有五個(gè)數(shù)的平均數(shù)是7;如把其中一個(gè)數(shù)改為9后，這五個(gè)數(shù)的平均數(shù)則為8。改動(dòng)的那個(gè)數(shù)原來是多少?
[解題思路]：
你可能讀了題目之后，想知道五個(gè)數(shù)各是多少，這顯然是沒有必要的。這道題的解答應(yīng)該從整體去考慮，改動(dòng)后的五個(gè)數(shù)的總和比原來增加：
8×5-7×5=5
那么，什么數(shù)“增加5”后變?yōu)?呢?這就太簡單了，一年級(jí)的小朋友都會(huì)做。
解：根據(jù)分析，列綜合算式為：
9-(8×5-7×5)=4
答：改動(dòng)后的那個(gè)數(shù)是4。
例2、設(shè)有四個(gè)數(shù)，其中每三個(gè)數(shù)之和分別為22、20、17、25，求這四個(gè)數(shù)。
[解題思路]：
此題按常規(guī)的解題習(xí)慣，須分別設(shè)四個(gè)未知數(shù)，然后列出四個(gè)方程，這樣就出現(xiàn)了很大的難度，我們小學(xué)沒學(xué)過方程組。如把四個(gè)數(shù)之和作為整體x,則可列出簡易方程求解。
解：設(shè)四個(gè)數(shù)之和為x,則四個(gè)數(shù)為x-22、x-20、x-17、x-25，由題意可得
(x-22)+(x-20)+(x-17)+(x-25)=x
解得x=28
所以，四個(gè)數(shù)依次為8、3、6、11。
請(qǐng)你試用集零為整的思維方法解答下面的題：
任意調(diào)換五位數(shù)12345的各位數(shù)上數(shù)字的位置，所得五位數(shù)中質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)有多少個(gè)?
數(shù)學(xué)思維方法(2)——巧在變更 豁然開朗
某山區(qū)農(nóng)民收獲了很多花椒，拿到集貿(mào)市場(chǎng)去賣，但銷路不好，其原因是包裝不吸引人。后來他們重新設(shè)計(jì)了一種漂亮、新穎的包裝，很快就打開了銷路。
這個(gè)例子說明了由于變更了花椒的包裝，使得山區(qū)農(nóng)民獲得了可觀的經(jīng)濟(jì)效益。
解數(shù)學(xué)題也要這樣考慮，把問題進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兏鼇磉_(dá)到化難為易，化繁為簡的目的，從而達(dá)到順利解決問題的目的，這種解決問題的方法叫做變更思維法。
例：計(jì)算：1990×198.9-1989×198.9
[思路分析]
根據(jù)積的變化規(guī)律：一個(gè)因數(shù)擴(kuò)大若干倍，另一個(gè)因數(shù)縮小相同的倍數(shù)，積不變的道理，可把被減數(shù)變更成為：199×1989，變更后的被減數(shù)199×1989和減數(shù)1989×198.8中都有相同的因數(shù)1989，可運(yùn)用乘法分配律把它提取出來，由此得如下解法。
解：1990×198.9-1989×198.9
=199×1989-1989×198.9
=1989×(199-198.9)
=1989×0.1
=198.1
數(shù)學(xué)思維方法(3)——反面思考 快速巧妙
如果要證明一臺(tái)電視機(jī)壞了，可以有兩種基本辦法：一種是拆開電視機(jī)，檢查零部件和線路，只要能找到一個(gè)故障，就可以斷定說它壞了;另一種辦法是接上電源，調(diào)節(jié)視頻，如果接收不到相關(guān)頻率的圖象或聲音，就斷定它壞了。后一種思路實(shí)際上就：假定電視機(jī)沒壞，那么接上電源，調(diào)整視頻就能接收到清晰的圖象和聲音;現(xiàn)在收不到聲音和圖象，就與假定沒壞產(chǎn)生矛盾，矛盾產(chǎn)生的根源在于假定電視機(jī)沒壞，所以這個(gè)假定不成立，應(yīng)該給予否定，既電視機(jī)壞了。這種反過來想問題的思考方法叫做逆向思維，可以在數(shù)學(xué)解題中借鑒。
例：永星小學(xué)的一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽，共有10道題，每做對(duì)一道題得8分，每做錯(cuò)一道題扣5分，小華得了41分，他做對(duì)幾道題?
[思路分析]
這道題固然可以按“常規(guī)”解法，設(shè)小華做對(duì)了x道題，做錯(cuò)了(10-x)道題，根據(jù)題意列出方程
8x=41+(10-x)×5
8x=41+50-5x
8x+5x=91
13x=91
x=7
答：小華做對(duì)了7道題。
如果用逆向思維，則可以得到如下新穎的解法：
解：假若小華10道題都做對(duì)，那么他應(yīng)得10×8=80(分)
但他實(shí)際只得了41分，一共失了80-41=39(分)
條件告訴我們，每答錯(cuò)一道題“不僅不給分，還要倒扣5分”，即每答錯(cuò)一道題就失掉5+8=13(分)，由此就能求出他答錯(cuò)了39÷13=3(道)題。
10-3=7(道)
答：小華答對(duì)了7道題。
在數(shù)學(xué)上解答題時(shí)，用反面去思考問題，思路會(huì)如“柳暗花明”，往往可以收到意想不到的效果。請(qǐng)你在學(xué)習(xí)中多運(yùn)用逆向思維法解決問題。
請(qǐng)你用逆向思維法解決問題：
有這樣一個(gè)抓牌游戲：兩人輪流抓54張撲克牌，每人每次可以抓1張到4張但不可以不抓。規(guī)定抓到最后一張牌者為輸。想想，如果你先抓，怎樣才能立于不敗之地?
列舉著眼 開辟坦途(4)
通過對(duì)問題所有可能情形的一一列舉來獲得解答的方法，應(yīng)用于數(shù)學(xué)題的解答就是根據(jù)題目的某一方面的要求全部舉出(不可遺漏)基本符合要求的數(shù)據(jù);然后從中挑選出完全符合題目要求的答案。這種方法叫做列舉思維法。
例、從0、1、2、3、4、5、6、7、8、9這十個(gè)數(shù)字中，選出五個(gè)不同的數(shù)字組成一個(gè)五位數(shù)，使它能被3、5、7和13整除，這個(gè)數(shù)最大是多少?
[思路分析]
這道題的數(shù)量關(guān)系十分復(fù)雜，而且題目所給的條件不夠“充分”，如果用一般的方法來分析解答，看來比較困難。我們不妨用列舉思維法來試試。
解：要使這五個(gè)數(shù)能被3、5、7和13整除，可知這個(gè)五位數(shù)是3、5、7和13的公倍數(shù)。因?yàn)?、5、7和13的最小公倍數(shù)是(3×5×7×13)=1365，這個(gè)五位數(shù)中1365的最大倍數(shù)是1365×73=99645，但99645中有兩個(gè)9重復(fù)，不符合題意，因而可以從99645中逐步減少1365，直到尋找出符合題意的五位數(shù)。
99645-1365=98280(不符合題意)98280-1365=96915(不符合題意)96915-1365=95550(不符合題意)95550-1365=94185(符合題意)
可見這個(gè)最大的五位數(shù)是94185
請(qǐng)你用列舉思維法解答下題。
*有兩個(gè)二位數(shù)，它們的差是56，它們的平方數(shù)的末二位數(shù)字相同，求此兩數(shù)。
[思路分析]
把所求的兩數(shù)所應(yīng)滿足的條件分解如下
數(shù)學(xué)思維方法(5)——一一對(duì)應(yīng)巧解題
打上課鈴了，同學(xué)們紛紛回到自己的座位上，每個(gè)同學(xué)和他們的座位之間就是一種對(duì)應(yīng)關(guān)系;又如放學(xué)了，同學(xué)都回到自己的家了，這些同學(xué)與他們各自的家也是一種對(duì)應(yīng)關(guān)系。對(duì)應(yīng)關(guān)系是一種常見的普遍現(xiàn)象，每個(gè)對(duì)應(yīng)都是按照一定的規(guī)律進(jìn)行的。日常生活是這樣，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)也不例外。有些數(shù)學(xué)題，如果按照常規(guī)方法去解答比較困難，這時(shí)我們就可以考慮把問題進(jìn)行適當(dāng)對(duì)應(yīng)來達(dá)到化難為易的目的。從而使原問題得到順利解決，這種思維方法叫做一一對(duì)應(yīng)思維。
例、高級(jí)奶糖每千克10元，普通奶糖每千克6元，水果糖每千克2元。現(xiàn)將2千克高級(jí)奶糖、3千克普通奶糖、5千克水果糖混合在一起。問這種雜拌糖每千克多少元?
[思路分析]
這類問題實(shí)際上就是求平均數(shù)問題。由問題“這種雜拌糖每千克多少元?”知道，它的總數(shù)量應(yīng)該總錢數(shù)，總分?jǐn)?shù)應(yīng)該是總千克數(shù)。由條件知道：10元與2千克、6元與3千克、2元與5千克分別相對(duì)應(yīng)，由此可分別求出高級(jí)奶糖、普通奶糖、水果糖各自的錢數(shù)是：10×2=20(元)，6×3=18(元)，2×5=10(元)。三種糖果的總錢數(shù)是： 20+18+10=48(元)。三種糖果的總重量是2+3+5=(千克)。總錢數(shù)48元與總重量10千克相對(duì)應(yīng)，由此可求出這種雜拌糖每千克的價(jià)格是：48÷10=4.8(元)
解：根據(jù)以上分析得：
(10×2+6×3+2×5)÷(2+3+5)=4.8(元)
答：這種雜拌糖每千克4.8
請(qǐng)你用一一對(duì)應(yīng)思維方法來解答下面的題：
學(xué)校籃球隊(duì)有12人合影留念，普通彩照洗2張的價(jià)格是16元，加洗一張0.8元。如果一人得一張照片，平均每人出多少錢?
數(shù)學(xué)思維方法(6)——凝聚發(fā)散 溝通縱橫
在日常生活中存在著一種普遍現(xiàn)象——凝聚發(fā)散 。
例如，你往一鍋采湯里滴一些香油，一會(huì)兒就會(huì)發(fā)現(xiàn)鍋里有一大片油花;你往一條河里投下一塊石頭，也會(huì)出現(xiàn)一片浪花等等。這種現(xiàn)象在數(shù)學(xué)解題中有著廣泛的運(yùn)用。凝聚，就是思考，找出解決問題的規(guī)律;發(fā)散，就是運(yùn)用規(guī)律，指導(dǎo)行動(dòng)，使這個(gè)規(guī)律用于解決問題，從而可發(fā)展規(guī)律的廣泛性。向“縱、橫、深、廣”拓展，向“少、精、活”探索。這樣，學(xué)會(huì)一例，就可以駕馭一類，既能提高運(yùn)算速度，又能有目的地把各類知識(shí)像糖葫蘆一樣串聯(lián)起來，達(dá)到溫故而知新的目的。這種思維方法叫做凝聚發(fā)散思維。
例、計(jì)算：32+64+128+256
[思路分析1]
按照從左到右的運(yùn)算順序計(jì)算
解法1、
32+64+128+256
=96+128+256
=224+256
=480
[思路分析2]
運(yùn)用加法交換律和結(jié)合律：32和128結(jié)合，64和256結(jié)合，可以使計(jì)算簡便。
解法2、
32+64+128+256
=(32+128)+(64+256)
=160+320
=480
[思路分析3]
這四個(gè)數(shù)分別是32的1倍、2倍、4倍、8倍，所以這四個(gè)數(shù)的是32的(1+2+4+8)倍，一個(gè)數(shù)乘15可以用“乘10加半”巧算。
解法3、
32+64+128+256
=32×(1+2+4+8)
=32×15...........用乘10加半巧算 32×10+(320/2)
=480
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