2017北海中考數(shù)學(xué)模擬試卷(2)
2017北海中考數(shù)學(xué)模擬試題參考答案
一、選擇題(本大題共12小題，每小題3分，共36分)
1.﹣5的倒數(shù)是( )
A.5 B.﹣5 C. D.﹣
【考點(diǎn)】17：倒數(shù).
【分析】根據(jù)倒數(shù)的定義可直接解答.
【解答】解：﹣5的倒數(shù)是﹣ .
故選：D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是倒數(shù)的定義，即乘積是1的兩數(shù)互為倒數(shù).
2.國(guó)務(wù)院總理李克強(qiáng)在《2017年國(guó)務(wù)院政府工作報(bào)告》中提到，2016年新增第四代移動(dòng)通信用戶3.4億，數(shù)據(jù)“3.4億”用科學(xué)記數(shù)法表示為( )
A.3.4×106 B.3.4×108 C.34×107 D.3.4×109
【考點(diǎn)】1I：科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù).
【分析】用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)時(shí)，一般形式為a×10﹣n，其中1≤|a|<10，n為整數(shù)，n的值取決于原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值大于1時(shí)，n是正數(shù);當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值小于1時(shí)，n是負(fù)數(shù).
【解答】解：3.4億=3.4×108.
故選：B.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)，一般形式為a×10﹣n，其中1≤|a|<10，確定a與n的值是解題的關(guān)鍵.
3.下列各圖中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】R5：中心對(duì)稱圖形;P3：軸對(duì)稱圖形.
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的概念求解.
【解答】解：A、是軸對(duì)稱圖形.不是中心對(duì)稱圖形，因?yàn)檎也坏饺魏芜@樣的一點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)180度后它的兩部分能夠重合;即不滿足中心對(duì)稱圖形的定義.故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;
B、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;
C、是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)正確;
D、不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：C.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念：軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合;中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合.
4.下列運(yùn)算正確的是( )
A.2a2•a3=2a6 B.(3ab)2=6a2b2
C.2abc+ab=2 D.3a2b+ba2=4a2b
【考點(diǎn)】49：?jiǎn)雾?xiàng)式乘單項(xiàng)式;35：合并同類項(xiàng);47：冪的乘方與積的乘方.
【分析】根據(jù)整式的運(yùn)算法則即可求出答案.
【解答】解：(A)原式=2a5，故A錯(cuò)誤;
(B)原式=9a2b2，故B錯(cuò)誤;
(C)2abc與ab不是同類項(xiàng)，故C錯(cuò)誤;
故選(D)
【點(diǎn)評(píng)】本題考查整式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用整式的運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型.
5.如圖，直線AB∥CD，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，連接AE，若∠DCB=35°，∠EAB=23°，則∠AEC的度數(shù)是( )
A.58° B.45° C.23° D.60°
【考點(diǎn)】JA：平行線的性質(zhì).
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和三角形的外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論.
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠B=∠C=35°，
∵∠A=23°，
∴∠AEC=∠A+∠B=58°，
故選A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
6.深圳市統(tǒng)計(jì)局發(fā)布的2016年《深圳市氣候數(shù)據(jù)每日觀測(cè)記錄》顯示，2016年12月26日=﹣﹣31日這六天的平均相對(duì)濕度(百分?jǐn)?shù))分別是58，50，45，54，64，82，對(duì)于這組數(shù)據(jù)，以下說法正確的是( )
A.平均數(shù)是59 B.中位數(shù)是56 C.眾數(shù)是82 D.方差是37
【考點(diǎn)】W7：方差;W1：算術(shù)平均數(shù);W4：中位數(shù);W5：眾數(shù).
【分析】分別計(jì)算該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)及方差后，選擇正確的答案即可.
【解答】解：A.平均數(shù)=(58+50+45+54+64+82)÷6=58.8;故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;
B.∵6個(gè)數(shù)據(jù)按大小排列后為：45，50，54，58，64，82;
∴中位數(shù)為：(54+58)÷2=56;故此選項(xiàng)正確;
C.無(wú)眾數(shù)，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;
D.方差不是整數(shù)，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;
故選：B.
【點(diǎn)評(píng)】本題屬于基礎(chǔ)題，考查了確定一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)的能力.一些學(xué)生往往對(duì)這個(gè)概念掌握不清楚，計(jì)算方法不明確而誤選其它選項(xiàng).注意找中位數(shù)的時(shí)候一定要先排好順序，然后再根據(jù)奇數(shù)和偶數(shù)個(gè)來確定中位數(shù)，如果數(shù)據(jù)有奇數(shù)個(gè)，則正中間的數(shù)字即為所求.如果是偶數(shù)個(gè)則找中間兩位數(shù)的平均數(shù).
7.中國(guó)CBA籃球常規(guī)賽比賽中，每場(chǎng)比賽都要分出勝負(fù)，每隊(duì)勝1場(chǎng)得2分，負(fù)1場(chǎng)得1分，今年某隊(duì)在全部38場(chǎng)比賽中最少得到70分，那么這個(gè)隊(duì)今年勝的場(chǎng)次是( )
A.6場(chǎng) B.31場(chǎng) C.32場(chǎng) D.35場(chǎng)
【考點(diǎn)】8A：一元一次方程的應(yīng)用.
【分析】設(shè)勝了x場(chǎng)，那么負(fù)了(38﹣x)場(chǎng)，根據(jù)“在全部38場(chǎng)比賽中最少得到70分”可列方程并求解.
【解答】解：設(shè)勝了x場(chǎng)，由題意得：
2x+(38﹣x)=70，
解得x=32.
答：這個(gè)隊(duì)今年勝的場(chǎng)次是32場(chǎng).
故選C
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用.解決問題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到關(guān)鍵描述語(yǔ)，找到所求的量的等量關(guān)系.
8.定義一種新運(yùn)算：a♣b=a(a﹣b)，例如，4♣3=4×(4﹣3)=4，若x♣2=3，則x的值是( )
A.x=3 B.x=﹣1 C.x1=3，x2=1 D.x1=3，x2=﹣1
【考點(diǎn)】A8：解一元二次方程﹣因式分解法.
【分析】先根據(jù)新定義得到x(x﹣2)=3，再把方程化為一般式，然后利用因式分解法解方程.
【解答】解：∵x♣2=3，
∴x(x﹣2)=3，
整理得x2﹣2x﹣3=0，
(x﹣3)(x+1)=0，
x﹣3=0或x+1=0，
所以x1=3，x2=﹣1.
故選D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡(jiǎn)便易用，是解一元二次方程最常用的方法.
9.若方程mx+ny=6的兩個(gè)解是 ， ，則m，n的值為( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】92：二元一次方程的解.
【分析】把x與y的兩對(duì)值代入方程求出m與n的值即可.
【解答】解：根據(jù)題意得： ，
?、?②得：3m=12，
解得：m=4，
把m=4代入①得：n=2，
則方程組的解為 ，
故選A
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二元一次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值.
10.如何求tan75°的值?按下列方法作圖可解決問題，如圖，在Rt△ABC中，AC=k，∠ACB=90°，∠ABC=30°，延長(zhǎng)CB至點(diǎn)M，在射線BN上截取線段BD，使BD=AB，連接AD，依據(jù)此圖可求得tan75°的值為( )
A.2 B.2+ C.1+ D.
【考點(diǎn)】T7：解直角三角形.
【分析】在直角三角形ABC中，利用30度所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半表示出AB的長(zhǎng)，再利用勾股定理求出BC的長(zhǎng)，由CB+BD求出CD的長(zhǎng)，在直角三角形ACD中，利用銳角三角函數(shù)定義求出所求即可.
【解答】解：在Rt△ABC中，AC=k，∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴AB=BD=2k，∠BAD=∠BDA=15°，BC= k，
∴∠CAD=∠CAB+∠BAD=75°，
在Rt△ACD中，CD=CB+BD= k+2k，
則tan75°=tan∠CAD= = =2+ ，
故選B
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解直角三角形，涉及的知識(shí)有：勾股定理，含30度直角三角形的性質(zhì)，以及銳角三角函數(shù)定義，熟練掌握定理及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.
11.如圖，點(diǎn)O是△ABC外接圓的圓心，連接OB，若∠1=37°，則∠2的度數(shù)是( )
A.52° B.51° C.53° D.50°
【考點(diǎn)】MA：三角形的外接圓與外心.
【分析】連接OC，根據(jù)圓周角定理可得出∠BOC的度數(shù)，再由等腰三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論.
【解答】解：連接OC，
∵∠1=37°，
∴∠BOC=2∠1=74°.
∵OB=OC，
∴∠2= =53°.
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的外接圓與外心，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出圓心角是解答此題的關(guān)鍵.
12.如圖，直線l分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、B，交雙曲線y= (x>0)于點(diǎn)C，若AB：AC=1：3，且S△AOB= ，則k的值為( )
A. B.2 C. D.
【考點(diǎn)】G8：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題.
【分析】根據(jù)題意作出合適的輔助線，由三角形的相似知識(shí)可以求得△ADC的面積，進(jìn)而求得△ODC的面積，從而可以解答本題.
【解答】解：作CD⊥x軸于點(diǎn)D，
則△AOB∽△ADC，
∴ ，
∵AB：AC=1：3，且S△AOB= ，OD
∴ ，
解得， ，
連接OC，
∵S△AOC+S△COD=S△ADC，AO：OD=AB：BC=1：2，
∴S△OCD= ，
∴k=2× = ，
故選A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用三角形相似的知識(shí)解答.
二、填空題(本大題共4小題，每小題3分，共12分)
13.分解因式：m3﹣2m2+m= m(m﹣1)2 .
【考點(diǎn)】55：提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用.
【分析】先提取公因式m，再根據(jù)完全平方公式進(jìn)行二次分解.完全平方公式：a2﹣2ab+b2=(a﹣b)2.
【解答】解：m3﹣2m2+m=m(m2﹣2m+1)=m(m﹣1)2.
故答案為m(m﹣1)2.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式進(jìn)行二次分解，注意分解要徹底.
14.在一個(gè)口袋中有4個(gè)完全相同的小球，把它們分別標(biāo)號(hào)為1，2，3，4，隨機(jī)摸出一個(gè)小球然后放回，再隨機(jī)摸出一個(gè)小球，則兩次取出的小球標(biāo)號(hào)相同的概率為 .
【考點(diǎn)】X6：列表法與樹狀圖法.
【分析】根據(jù)題意畫出數(shù)形圖，兩次取的小球的標(biāo)號(hào)相同的情況有4種，再計(jì)算概率即可.
【解答】解：如圖：
兩次取的小球的標(biāo)號(hào)相同的情況有4種，
概率為P= = .
故答案為： .
【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率.列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件;樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件;解題時(shí)要注意此題是放回實(shí)驗(yàn)還是不放回實(shí)驗(yàn).用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.
15.如圖所示，每一個(gè)圖形都是由形狀相同的五角星按一定規(guī)律組成的，其中第①個(gè)圖形中一共有9個(gè)五角星，第②個(gè)圖形中一共有17個(gè)五角星，第③個(gè)圖形中一共有25個(gè)五角星，…，按此規(guī)律排列，則第n個(gè)圖形中五角星的顆數(shù)為 8n+1 .
【考點(diǎn)】38：規(guī)律型：圖形的變化類.
【分析】觀察圖形發(fā)現(xiàn)第一個(gè)圖形有8個(gè)五角星，第二個(gè)圖形有8+7=15個(gè)五角星，第三個(gè)圖形有8+7×2=22個(gè)五角星，以此類推，得到通項(xiàng)公式代入求解即可.
【解答】解：觀察圖形發(fā)現(xiàn)第一個(gè)圖形有9個(gè)五角星，
第二個(gè)圖形有9+8=17個(gè)五角星，
第三個(gè)圖形有9+8×2=25個(gè)五角星，
…
第n個(gè)圖形有9+8(n﹣1)=8n+1個(gè)五角星，
故答案為：8n+1.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圖形的變化類問題，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖形并發(fā)現(xiàn)圖形變化的通項(xiàng)公式，利用通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.
16.如圖，在邊長(zhǎng)為2 的正方形ABCD中，點(diǎn)E是CD邊的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)F，使得CF=CE，連接BE，DF，將△BEC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E恰好落在DF上的點(diǎn)H處時(shí)，連接AG，DG，BG，則AG的長(zhǎng)是 2 .
【考點(diǎn)】R2：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì);LE：正方形的性質(zhì).
【分析】作輔助線，構(gòu)建三角形高線，先利用勾股定理求DF的長(zhǎng)，由三角函數(shù)得：FK=1，則CK= =2，
由等腰三角形三線合一得：HF=2，由面積法求得：HM= ，從而得：CM的長(zhǎng)，設(shè)HM=4x，CM=3x，則CH=5x，由同角的三角函數(shù)列式：cos∠CGN=cos∠HCF= = ，求出GN的長(zhǎng)，依次求PG、AP的長(zhǎng)，最后利用勾股定理得結(jié)論.
【解答】解：如圖，過C作CK⊥DF于K，過H作HM⊥CF于M，過G作PN⊥BC，交AD于P，交BC于N，
∵CD=2 ，CE=CF= ，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，
∴∠BCF=90°，
由勾股定理得：DF= =5，
∵CK⊥DF，DC⊥CF，
∴∠FCK=∠CDF，
sin∠FCK=sin∠CDF= ，
∴ ，
FK=1，
∴CK= =2，
由旋轉(zhuǎn)得：CH=CE=CF，
∵CK⊥FH，
∴HF=KF=1，
∴HF=2，
∴S△CHF= CF•HM= HF•CK，
HM=2×2，
HM= ，
∴CM= = ，
∴tan∠HCF= = = ，
設(shè)HM=4x，CM=3x，則CH=5x，
∵∠HCF=∠GCD=∠CGN，
∴cos∠CGN=cos∠HCF= = ，
∴GN= CG，
∵CG=BC=2 ，
∴GN= × = ，
∴NC= = = ，
∴GP=2 ﹣ = ，
∴AP=BN=BC﹣NC=2 ﹣ = ，
由勾股定理得：AG= = =2;
故答案為：2.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)、等腰三角形的性質(zhì)，本題主要運(yùn)用勾股定理和同角的三角函數(shù)求線段的長(zhǎng)，同時(shí)還運(yùn)用了面積法求線段的長(zhǎng)，本題比較復(fù)雜，有難度.
三、解答題(本大題共7小題，共52分)
17.計(jì)算： cos45°+( )﹣1+ ﹣4sin60°.
【考點(diǎn)】2C：實(shí)數(shù)的運(yùn)算;6F：負(fù)整數(shù)指數(shù)冪;T5：特殊角的三角函數(shù)值.
【分析】在進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算時(shí)，要從高級(jí)到低級(jí)，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號(hào)的要先算括號(hào)里面的，同級(jí)運(yùn)算要按照從左到有的順序進(jìn)行.
【解答】解： cos45°+( )﹣1+ ﹣4sin60°
= × +4+2 ﹣4×
=1+4+2 ﹣2
=5.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解題時(shí)注意：實(shí)數(shù)既可以進(jìn)行加、減、乘、除、乘方運(yùn)算，又可以進(jìn)行開方運(yùn)算，其中正實(shí)數(shù)可以開平方.
18.先化簡(jiǎn)分式：( )÷ ，再?gòu)牟坏仁浇M 的解集中選出合適的整數(shù)作為a的值，代入求值.
【考點(diǎn)】6D：分式的化簡(jiǎn)求值;CC：一元一次不等式組的整數(shù)解.
【分析】首先化簡(jiǎn)分式進(jìn)而解不等式組，再把a(bǔ)的值代入求出答案.
【解答】解：原式=[ ﹣ ]÷
=( ﹣ )•
= ，
∵ 的解集是：﹣1
其整數(shù)解為：0，1，2，由于a≠0，±2，
∴a只能取1，故當(dāng)a=1時(shí)，
原式= = = .
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了分式的化簡(jiǎn)求值以及不等式組的解法，正確化簡(jiǎn)分式是解題關(guān)鍵.
19.深圳市教育局在全市中小學(xué)開展“四點(diǎn)半活動(dòng)”試點(diǎn)工作，某校為了了解學(xué)生參與“四點(diǎn)半活動(dòng)”項(xiàng)目的情況，對(duì)初中的部分學(xué)生進(jìn)行了隨機(jī)調(diào)查，調(diào)查項(xiàng)目分為“科技創(chuàng)新”類，“體育活動(dòng)”類，“藝術(shù)表演”類，“植物種植”類及“其它”類共五大類別，并根據(jù)調(diào)查的數(shù)據(jù)繪制了下面兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)你根據(jù)圖中提供的信息解答下面的問題.
(1)請(qǐng)求出此次被調(diào)查學(xué)生的總?cè)藬?shù) 200 人;
(2)根據(jù)以上信息，補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖;
(3)求出扇形統(tǒng)計(jì)圖中，“體育活動(dòng)”α的圓心角等于 108 度;
(4)如果本校初中部有1800名學(xué)生，請(qǐng)估計(jì)參與“藝術(shù)表演”類項(xiàng)目的學(xué)生大約多少人?
【考點(diǎn)】V8：頻數(shù)(率)分布直方圖;V5：用樣本估計(jì)總體;VB：扇形統(tǒng)計(jì)圖.
【分析】(1)根據(jù)題意列式即可得到結(jié)果;
(2)根據(jù)題意作出圖形即可;
(3)用360°乘以體育活動(dòng)”所占的百分比即可得到結(jié)論;
(4)根據(jù)題意列式即可即可.
【解答】解：(1)此次被調(diào)查學(xué)生的總?cè)藬?shù)為22÷11%=200(人);
(2)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖如圖所示，
(3)體育活動(dòng)”α的圓心角=360°× =108度;
(4)1800× ×100%=360(人)，
答：參與“藝術(shù)表演”類項(xiàng)目的學(xué)生大約360人.
故答案為：200，108.
【點(diǎn)評(píng)】題考查了條形統(tǒng)計(jì)圖：條形統(tǒng)計(jì)圖是用線段長(zhǎng)度表示數(shù)據(jù)，根據(jù)數(shù)量的多少畫成長(zhǎng)短不同的矩形直條，然后按順序把這些直條排列起來;從條形圖可以很容易看出數(shù)據(jù)的大小，便于比較.也考查了用樣本估計(jì)總體和扇形統(tǒng)計(jì)圖.
20.如圖，在樓房MN前有兩棵樹與樓房在同一直線上，且垂直于地面，為了測(cè)量樹AB、CD的高度，小明爬到樓房頂部M處，光線恰好可以經(jīng)過樹CD的頂站C點(diǎn)到達(dá)樹AB的底部B點(diǎn)，俯角為45°，此時(shí)小亮測(cè)得太陽(yáng)光線恰好經(jīng)過樹CD的頂部C點(diǎn)到達(dá)樓房的底部N點(diǎn)，與地面的夾角為30°，樹CD的影長(zhǎng)DN為15米，請(qǐng)求出樹AB、CD的高度.(結(jié)果保留根號(hào))
【考點(diǎn)】TA：解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題;U5：平行投影.
【分析】在Rt△CDN中，由于tan30°= ，得到CD=tan30°•DN=5 于是得到BD=CD=5 ，在Rt△ABN中，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論.
【解答】解：在Rt△CDN中，
∵tan30°= ，
∴CD=tan30°•DN=5 ，
∵∠CBD=∠EMB=45°，
∴BD=CD=5 ，
∴BN=DN+BD=15+5 ，
在Rt△ABN中，tan30°= ，
∴AB=tan30°•BN=5+5 ，
∴樹高AB是(5+5 )米，樹高CD是5 米.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是借助俯角構(gòu)造直角三角形，并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形.
21.某科技公司研發(fā)出一款多型號(hào)的智能手表，一家代理商出售該公司的A型智能手表，去年銷售總額為80000元，今年A型智能手表的售價(jià)每只比去年降了600元，若售出的數(shù)量與去年相同，銷售總額將比去年減少25%.
A型智能手表 B型智能手表
進(jìn)價(jià) 1300元/只 1500元/只
售價(jià) 今年的售價(jià) 2300元/只
(1)請(qǐng)問今年A型智能手表每只售價(jià)多少元?
(2)今年這家代理商準(zhǔn)備新進(jìn)一批A型智能手表和B型智能手表共100只，它們的進(jìn)貨價(jià)與銷售價(jià)格如右表，若B型智能手表進(jìn)貨量不超過A型智能手表數(shù)量的3倍，所進(jìn)智能手表可全部售完，請(qǐng)你設(shè)計(jì)出進(jìn)貨方案，使這批智能手表獲利最多，并求出最大利潤(rùn)是多少元?
【考點(diǎn)】FH：一次函數(shù)的應(yīng)用;B7：分式方程的應(yīng)用;CE：一元一次不等式組的應(yīng)用.
【分析】(1)設(shè)今年A型智能手表每只售價(jià)x元，則去年售價(jià)每只為(x+600)元，由賣出的數(shù)量相同建立方程求出其解即可;
(2)設(shè)今年新進(jìn)A型a只，則B型(100﹣a)只，獲利y元，由條件表示出W與a之間的關(guān)系式，由a的取值范圍就可以求出W的最大值.
【解答】解：(1)今年A型智能手表每只售價(jià)x元，去年售價(jià)每只為(x+600)元，
根據(jù)題意得， = ，
解得：x=1800，
經(jīng)檢驗(yàn)，x=1800是原方程的根，
答：今年A型智能手表每只售價(jià)1800元;
(2)設(shè)新進(jìn)A型手表a只，全部售完利潤(rùn)是W元，則新進(jìn)B型手表(100﹣a)只，
根據(jù)題意得，W=(1800﹣1300)a+92300﹣1500)(100﹣a)=﹣300a+80000，
∵100﹣a≤3a，
∴a≥5，
∵﹣300<0，W隨a的增大而減小，
∴當(dāng)a=25時(shí)，W增大=﹣300×25+80000=72500元，
此時(shí)，進(jìn)貨方案為新進(jìn)A型手表25只，新進(jìn)B型手表75只，
答：進(jìn)貨方案為新進(jìn)A型手表25只，新進(jìn)B型手表75只，這批智能手表獲利最多，并求出最大利潤(rùn)是72500元.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了列分式方程解實(shí)際問題的運(yùn)用，分式方程的解法的運(yùn)用、一次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，解答時(shí)由銷售問題的數(shù)量關(guān)系求出一次函數(shù)的解析式是關(guān)鍵.
22.如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(﹣ ，0)，B(3 ，0)，以AB為直徑的⊙G交y軸于C、D兩點(diǎn).
(1)填空：請(qǐng)直接寫出⊙G的半徑r、圓心G的坐標(biāo)：r= 2 ;G( ， 0 );
(2)如圖2，直線y=﹣ x+5與x，y軸分別交于F，E兩點(diǎn)，且經(jīng)過圓上一點(diǎn)T(2 ，m)，求證：直線EF是⊙G的切線.
(3)在(2)的條件下，如圖3，點(diǎn)M是⊙G優(yōu)弧 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不包括A、T兩點(diǎn))，連接AT、CM、TM，CM交AT于點(diǎn)N.試問，是否存在一個(gè)常數(shù)k，始終滿足CN•CM=k?如果存在，求出k的值，如果不存在，請(qǐng)說明理由.
【考點(diǎn)】MR：圓的綜合題.
【分析】(1)求出直徑AB，即可解決問題;
(2)如圖2中，連接GT，過點(diǎn)T作TH⊥x軸于H，根據(jù)特殊角三角函數(shù)求出∠GTH，∠HTF即可解決問題;
(3)如圖3中，連接CG、TG、TC.首先證明△GCT是等邊三角形，由△CNT∽△CTM，推出 = ，推出CN•CM=CT2，即可解決問題;
【解答】解：(1)∵A(﹣ ，0)，B(3 ，0)，AB是直徑，
∵AB=4 ，
∴⊙G的半徑為2 ，G( ，0)，
故答案為r=2 ， ，0.
(2)如圖2中，連接GT，過點(diǎn)T作TH⊥x軸于H，
∵直線y=﹣ x+5與x、y軸交于E、F兩點(diǎn)，則E(0，5)，F(xiàn)(5 ，0)，
∵直線y=﹣ x+5經(jīng)過T(2 ，m)，則m=﹣ ×2 +5=3，
∴T(2 ，3)，
故TH=3.GH= ，HF=3 ，
在Rt△HGT中，GT=r=2 ，
∴GH= GT，
∴∠GTH=30°，
在Rt△THF中，tan∠FTH= = = ，
∴∠FTH=60°，
∴∠GTF=∠GTH+∠HTF=30°+60°=90°，
∴GT⊥EF，
∴直線EF是⊙G的切線.
(3)如圖3中，連接CG、TG、TC.
在Rt△COG中，OG= ，CG=r=2 ，
∴OC=3，∠CGO=60°.
∵C(0，3)，T(2 ，3)，
∴CT∥x軸，
∴CT=2 ，即CT=CG=GT=2 ，
∴△CGT是等邊三角形，
∴∠CGT=∠TCG=∠CGA=60°，
∴∠CTA= ∠CGA=30°，∠M= ∠CGT=30°，
∴∠CTA=∠M，
在△CNT和△CTM中，
∵∠TCN=∠MTC，∠CTN=∠M，
∴△CNT∽△CTM，
∴ = ，
∴CN•CM=CT2=(2 )2=12.
∴k=CN•CM=12.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓綜合題、切線的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線解決問題，屬于中考?jí)狠S題.
23.如圖1，拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A(﹣1，0)、B(4，0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且OC=3OA.點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，交直線BC于點(diǎn)D，連接PC.
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖2，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P只在第一象限的拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求過點(diǎn)P作PF⊥BC于點(diǎn)F，試問△PDF的周長(zhǎng)是否有最大值?如果有，請(qǐng)求出其最大值，如果沒有，請(qǐng)說明理由.
(3)當(dāng)點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，將△CPD沿直線CP翻折，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)Q，試問，四邊形CDPQ是否成為菱形?如果能，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)，如果不能，請(qǐng)說明理由.
【考點(diǎn)】HF：二次函數(shù)綜合題.
【分析】(1)利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式;
(2)設(shè)P(m，﹣ m2+ m+3)，△PFD的周長(zhǎng)為L(zhǎng)，再利用待定系數(shù)法求直線BC的解析式為：y=﹣ x+3，表示PD=﹣ ，證明△PFD∽△BOC，根據(jù)周長(zhǎng)比等于對(duì)應(yīng)邊的比得： ，代入得：L=﹣ (m﹣2)2+ ，求L的最大值即可;
(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)Q落在y軸上時(shí)，四邊形CDPQ是菱形，根據(jù)翻折的性質(zhì)知：CD=CQ，PQ=PD，∠PCQ=∠PCD，又知Q落在y軸上時(shí)，則CQ∥PD，由四邊相等：CD=DP=PQ=QC，得四邊形CDPQ是菱形，表示P(n，﹣ + n+3)，則D(n，﹣ n+3)，G(0，﹣ )，利用勾股定理表示PD和CD的長(zhǎng)并列式可得結(jié)論.
【解答】解：(1)由OC=3OA，有C(0，3)，
將A(﹣1，0)，B(4，0)，C(0，3)代入y=ax2+bx+c中，得：
，
解得： ，
故拋物線的解析式為：y=﹣ + x+3;
(2)如圖2，設(shè)P(m，﹣ m2+ m+3)，△PFD的周長(zhǎng)為L(zhǎng)，
∵直線BC經(jīng)過B(4，0)，C(0，3)，
設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b，
則
解得：
∴直線BC的解析式為：y=﹣ x+3，
則D(m，﹣ )，PD=﹣ ，
∵PE⊥x軸，PE∥OC，
∴∠BDE=∠BCO，
∵∠BDE=∠PDF，
∴∠PDF=∠BCO，
∵∠PFD=∠BOC=90°，
∴△PFD∽△BOC，
∴ ，
由(1)得：OC=3，OB=4，BC=5，
故△BOC的周長(zhǎng)=12，
∴ ，
即L=﹣ (m﹣2)2+ ，
∴當(dāng)m=2時(shí)，L最大= ;
(3)存在這樣的Q點(diǎn)，使得四邊形CDPQ是菱形，如圖3，
當(dāng)點(diǎn)Q落在y軸上時(shí)，四邊形CDPQ是菱形，
理由是：由軸對(duì)稱的性質(zhì)知：CD=CQ，PQ=PD，∠PCQ=∠PCD，
當(dāng)點(diǎn)Q落在y軸上時(shí)，CQ∥PD，
∴∠PCQ=∠CPD，
∴∠PCD=∠CPD，
∴CD=PD，
∴CD=DP=PQ=QC，
∴四邊形CDPQ是菱形，
過D作DG⊥y軸于點(diǎn)G，
設(shè)P(n，﹣ + n+3)，則D(n，﹣ n+3)，G(0，﹣ )，
在Rt△CGD中，CD2=CG2+GD2=[(﹣ n+3)﹣3]2+n2= ，
而|PD|=|(﹣ )﹣(﹣ n+3)|=|﹣ +3n|，
∵PD=CD，
∴﹣ ①，
﹣ ，
解方程①得：n= 或0(不符合條件，舍去)，
解方程②得：n= 或0(不符合條件，舍去)，
當(dāng)n= 時(shí)，P( ， )，如圖3，
當(dāng)n= 時(shí)，P( ，﹣ )，如圖4，
綜上所述，存在這樣的Q點(diǎn)，使得四邊形CDPQ是菱形，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為( ， )或( ，﹣ ).
【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、菱形的性質(zhì)和判定、三角形相似的性質(zhì)和判定，將周長(zhǎng)的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，此類問題要熟練掌握利用解析式表示線段的長(zhǎng)，并利用相似比或勾股定理列方程解決問題.
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