2017年吉林省中考數(shù)學(xué)練習試卷及答案(2)
【解答】解：原式=2(x2﹣6x﹣16)
=2(x﹣8)(x+2).
故答案為：2(x﹣8)(x+2).
【點評】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵.
17.如果方程kx2+2x+1=0有實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是 k≤1 .
【考點】AA：根的判別式.
【分析】分二次項系數(shù)k=0和k≠0兩種情況考慮：當k=0時，解一元一次方程可求出x的值，由此得出k=0符合題意;當k≠0時，利用根的判別式△≥0即可求出k的取值范圍.綜上所述即可得出結(jié)論.
【解答】解：當k=0時，原方程為2x+1=0，
解得：x=﹣ ，
∴k=0符合題意;
當k≠0時，∵方程kx2+2x+1=0有實數(shù)根，
∴△=4﹣4k≥0，
解得：k≤1且k≠0.
∴實數(shù)k的取值范圍是k≤1.
故答案為：k≤1.
【點評】本題考查了根的判別式、解一元一次方程以及解一元一次不等式，分二次項系數(shù)k=0和k≠0兩種情況考慮是解題的關(guān)鍵.
18.一個包裝盒的設(shè)計方法如圖所示，ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得ABCD四個點重合于圖中的點P，正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設(shè)AE=FB=xcm.若廣告商要求包裝盒側(cè)面積S(cm2)最大，試問x應(yīng)取的值為 15 cm.
【考點】H7：二次函數(shù)的最值;KW：等腰直角三角形;LE：正方形的性質(zhì).
【分析】可設(shè)包裝盒的高為h(cm)，底面邊長為a(cm)，寫出a，h與x的關(guān)系式，并注明x的取值范圍.再利用側(cè)面積公式表示出包裝盒側(cè)面積S關(guān)于x的函數(shù)解析式，最后求出何時它取得最大值即可;
【解答】解：設(shè)包裝盒的高為h(cm)，底面邊長為a(cm)，則a= x，h= (30﹣x)，0
S=4ah=8x(30﹣x)=﹣8(x﹣15)2+1800，
∴當x=15cm時，S取最大值.
故答案為：15.
【點評】考查函二次函數(shù)的最值、等腰直角三角形及正方形的性質(zhì)，同時還考查了考查運算求解能力、空間想象能力、數(shù)學(xué)建模能力.屬于基礎(chǔ)題.
19.如圖在平面直角坐標系xOy中，直線l經(jīng)過點 A(﹣1，0)，點 A1，A2，A3，A4，A5，…按所示的規(guī)律排列在直線l上.若直線l上任意相鄰兩個點的橫坐標都相差1、縱坐標也都相差1，若點An(n為正整數(shù))的橫坐標為2015，則n= 4031 .
【考點】F8：一次函數(shù)圖象上點的坐標特征.
【分析】觀察①n為奇數(shù)時，橫坐標縱坐標變化得出規(guī)律;②n為偶數(shù)時，橫坐標縱坐標變化得出規(guī)律，再求解.
【解答】解：觀察①n為奇數(shù)時，橫坐標變化：﹣1+1，﹣1+2，﹣1+3，…﹣1+ ，
縱坐標變化為：0﹣1，0﹣2，0﹣3，…﹣ ，
?、趎為偶數(shù)時，橫坐標變化：﹣1﹣1，﹣1﹣2，﹣1﹣3，…﹣1﹣ ，
縱坐標變化為：1，2，3，… ，
∵點An(n為正整數(shù))的橫坐標為2015，
∴n為奇數(shù)，
∴﹣1+ =2015，解得n=4031.
故答案為：4031.
【點評】本題主要考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解題的關(guān)鍵是找出坐標的規(guī)律.
20.如圖，已知△ABC，外心為O，BC=6，∠BAC=60°，分別以AB、AC為腰向形外作等腰直角三角形△ABD與△ACE，連接BE、CD交于點P，則OP的最小值是 3﹣ .
【考點】MA：三角形的外接圓與外心;KD：全等三角形的判定與性質(zhì).
【分析】由△ABD與△ACE是等腰直角三角形，得到∠BAD=∠CAE=90°，∠DAC=∠BAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ADC=∠ABE，求得在以BC為直徑的圓上，由△ABC的外心為O，∠BAC=60°，得到∠BOC=120°，如圖，當PO⊥BC時，OP的值最小，解直角三角形即可得到結(jié)論.
【解答】解：∵△ABD與△ACE是等腰直角三角形，
∴∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC與△BAE中，
，
∴△DAC≌△BAE，
∴∠ADC=∠ABE，
∴∠PDB+∠PBD=90°，
∴∠DPB=90°，
∴P在以BC為直徑的圓上，
∵△ABC的外心為O，∠BAC=60°，
∴∠BOC=120°，
如圖，當PO⊥BC時，OP的值最小，
∵BC=6，
∴BH=CH=3，
∴OH= ，PH=3，
∴OP=3﹣ .
故答案為：3﹣ .
【點評】本題考查了三角形的外接圓與外心，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.
21.如圖，點A在雙曲線y= 的第一象限的那一支上，AB⊥y軸于點B，點C在x軸正半軸上，且OC=2AB，點E在線段AC上，且AE=3EC，點D為OB的中點，若△ADE的面積為 ，則k的值為 .
【考點】GB：反比例函數(shù)綜合題.
【分析】連接CD，由AE=3EC，△ADE的面積為 ，得到△CDE的面積為 ，則△ADC的面積為2，設(shè)A點坐標為(a，b)，則k=ab，AB=a，OC=2AB=2a，BD=OD= b，利用S梯形OBAC=S△ABD+S△ADC+S△ODC即可得出ab的值進而得出結(jié)論.
【解答】解：連CD，如圖，
∵AE=3EC，△ADE的面積為 ，
∴△CDE的面積為 ，
∴△ADC的面積為2，
設(shè)A點坐標為(a，b)，則AB=a，OC=2AB=2a，
∵點D為OB的中點，
∴BD=OD= b，
∵S梯形OBAC=S△ABD+S△ADC+S△ODC，
∴ (a+2a)×b= a× b+2+ ×2a× b，
∴ab= ，
把A(a，b)代入雙曲線y= 得，
∴k=ab= .
故答案為： .
【點評】本題考查了反比例函數(shù)綜合題，熟知若點在反比例函數(shù)圖象上，則點的橫縱坐標滿足其解析式;利用三角形的面積公式和梯形的面積公式建立等量關(guān)系等知識是解答此題的關(guān)鍵.
三、解答題(本大題共7個小題，共57分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)
22.先化簡再計算： ，其中x是一元二次方程x2﹣2x﹣2=0的正數(shù)根.
【考點】6D：分式的化簡求值;A3：一元二次方程的解.
【分析】先把原式化為最簡形式，再利用公式法求出一元二次方程x2﹣2x﹣2=0的根，把正根代入原式計算即可.
【解答】解：原式= ÷
= •
= .
解方程x2﹣2x﹣2=0得：
x1=1+ >0，x2=1﹣ <0，
所以原式= = .
【點評】本題考查的是分式的化簡求值及解一元二次方程，解答此題的關(guān)鍵是把原分式化為最簡形式，再進行計算.
23.如圖，四邊形ABCD為菱形，點E為對角線AC上的一個動點，連結(jié)DE并延長交AB于點F，連結(jié)BE.
(1)如圖①：求證∠AFD=∠EBC;
(2)如圖②，若DE=EC且BE⊥AF，求∠DAB的度數(shù);
(3)若∠DAB=90°且當△BEF為等腰三角形時，求∠EFB的度數(shù)(只寫出條件與對應(yīng)的結(jié)果)
【考點】LO：四邊形綜合題.
【分析】(1)直接利用全等三角形的判定方法得出△DCE≌△BCE(SAS)，即可得出答案;
(2)利用等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合垂直的定義得出∠DAB的度數(shù);
(3)利用正方形的性質(zhì)結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)得出①當F在AB延長線上時，以及②當F在線段AB上時，分別求出即可.
【解答】(1)證明：∵四邊形ABCD為菱形，
∴DC=CB，
在△DCE和△BCE中，
，
∴△DCE≌△BCE(SAS)，
∴∠EDC=∠EBC，
∵DC∥AB，
∴∠EDC=∠AFD，
∴∠AFD=∠EBC;
(2)解：∵DE=EC，
∴∠EDC=∠ECD，
設(shè)∠EDC=∠ECD=∠CBE=x°，則∠CBF=2x°，
由BE⊥AF得：2x+x=90°，
解得：x=30°，
∴∠DAB=∠CBF=60°;
(3)分兩種情況：
?、偃鐖D1，當F在AB延長線上時，
∵∠EBF為鈍角，
∴只能是BE=BF，設(shè)∠BEF=∠BFE=x°，
可通過三角形內(nèi)角形為180°得：
90+x+x+x=180，
解得：x=30，
∴∠EFB=30°;
?、谌鐖D2，當F在線段AB上時，
∵∠EFB為鈍角，
∴只能是FE=FB，設(shè)∠BEF=∠EBF=x°，則有∠AFD=2x°，
可證得：∠AFD=∠FDC=∠CBE，
得x+2x=90，
解得：x=30，
∴∠EFB=120°，
綜上：∠EFB=30°或120°.
【點評】此題主要考查了四邊形綜合題，解題時，涉及到了菱形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，利用分類討論得出是解題關(guān)鍵.
24.某校開展了“互助、平等、感恩、和諧、進取”主題班會活動，活動后，就活動的5個主題進行了抽樣調(diào)查(2017•章丘市二模)為了給學(xué)生提供更好的學(xué)習生活環(huán)境，重慶一中寄宿學(xué)校2015年對校園進行擴建.某天一臺塔吊正對新建教學(xué)樓進行封頂施工，工人在樓頂A處測得吊鉤D處的俯角α=22°，測得塔吊B，C兩點的仰角分別為β=27°，γ=50°，此時B與C距3米，塔吊需向A處吊運材料.(tan27°≈0.5，tan50°≈1.2，tan22°≈0.4)
(1)吊鉤需向右、向上分別移動多少米才能將材料送達A處?
(2)封頂工程完畢后需盡快完成新建教學(xué)樓的裝修工程.如果由甲、乙兩個工程隊合做，12天可完成;如果由甲、乙兩隊單獨做，甲隊比乙隊少用10天完成.求甲、乙兩工程隊單獨完成此項工程所需的天數(shù).
【考點】TA：解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題;B7：分式方程的應(yīng)用.
【分析】(1)過點A作AH⊥BC于點H，則△AHC，△AHB均為Rt△，設(shè)CH=x，在△ACH與△ABH中分別用x表示出AH的長，故可得出x的值，進而可得出AM與DM的長，由此得出結(jié)論;
(2)設(shè)甲單獨做y天完成此工程，則乙單獨做(y+10)天完成此工程，由甲、乙兩個工程隊合做，12天可完成求出y的值，進而可得出結(jié)論.
【解答】解：(1)過點A作AH⊥BC于點H，則△AHC，△AHB均為Rt△，設(shè)CH=x，
∵HC∥AE，
∴∠HCA=γ=50°，
∴AH=x•tan50°=1.2x.
∵HB∥AE，
∴∠HBA=β=27°，
∴在Rt△ABH中，AH=BH•tan27°，即1.2x=(x+3)•tan27°，即1.2x=(x+3)• ，解得x= .
∵四邊形AHCM是矩形，
∴AM= .
在Rt△AMD中，DM=AM•tan22°= ×0.4= .
答：吊鉤需向右、向上分別移動 米、 米才能將材料送達A處;
(2)設(shè)甲單獨做y天完成此工程，則乙單獨做(y+10)天完成此工程，
由題意得， + = ，解得y1=20，y2=﹣6(舍去).
經(jīng)檢驗，y=20是原分式方程的解且符合題意，
故乙單獨完成此項工程的天數(shù)為10+20=30(天).
答：甲單獨做20天完成此工程，則乙單獨做3.天完成此工程.
【點評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解答此題的關(guān)鍵.
26.母親節(jié)前夕，某淘寶店主從廠家購進A、B兩種禮盒，已知A、B兩種禮盒的單價比為2：3，單價和為200元.
(1)求A、B兩種禮盒的單價分別是多少元?
(2)該店主購進這兩種禮盒恰好用去9600元，且購進A種禮盒最多36個，B種禮盒的數(shù)量不超過A種禮盒數(shù)量的2倍，共有幾種進貨方案?
(3)根據(jù)市場行情，銷售一個A種禮盒可獲利10元，銷售一個B種禮盒可獲利18元.為奉獻愛心，該店主決定每售出一個B種禮盒，為愛心公益基金捐款m元，每個A種禮盒的利潤不變，在(2)的條件下，要使禮盒全部售出后所有方案獲利相同，m值是多少?此時店主獲利多少元?
【考點】FH：一次函數(shù)的應(yīng)用;8A：一元一次方程的應(yīng)用;CE：一元一次不等式組的應(yīng)用.
【分析】(1)利用A、B兩種禮盒的單價比為2：3，單價和為200元，得出等式求出即可;
(2)利用兩種禮盒恰好用去9600元，結(jié)合(1)中所求，得出等式，利用兩種禮盒的數(shù)量關(guān)系求出即可;
(3)首先表示出店主獲利，進而利用a，b關(guān)系得出符合題意的答案.
【解答】解：(1)設(shè)A種禮盒單價為2x元，B種禮盒單價為3x元，依據(jù)題意得：
2x+3x=200，
解得：x=40，
則2x=80，3x=120，
答：A種禮盒單價為80元，B種禮盒單價為120元;
(2)設(shè)購進A種禮盒a個，B種禮盒b個，依據(jù)題意可得：
，
解得：30≤a≤36，
∵a，b的值均為整數(shù)，
∴a的值為：30、33、36，
∴共有三種方案;
(3)設(shè)店主獲利為w元，則
w=10a+(18﹣m)b，
由80a+120b=9600，
得：a=120﹣ b，
則w=(3﹣m)b+1200，
∵要使(2)中方案獲利都相同，
∴3﹣m=0，
∴m=3，
此時店主獲利1200元.
【點評】此題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用和一元一次不等式的應(yīng)用，根據(jù)題意結(jié)合得出正確等量關(guān)系是解題關(guān)鍵.
27.⊙O是△ABC的外接圓，AB是直徑，過 的中點P作⊙O的直徑PG，與弦BC相交于點D，連接AG、CP、PB.
(1)如圖1，求證：AG=CP;
(2)如圖2，過點P作AB的垂線，垂足為點H，連接DH，求證：DH∥AG;
(3)如圖3，連接PA，延長HD分別與PA、PC相交于點K、F，已知FK=2，△ODH的面積為2 ，求AC的長.
【考點】MR：圓的綜合題.
【分析】(1)利用等弧所對的圓周角相等即可求解;
(2)利用等弧所對的圓周角相等，得到角相等∠APG=∠CAP，判斷出△BOD≌△POH，再得到角相等，從而判斷出線平行;
(3)由三角形相似，得出比例式，△HON∽△CAM， ，再判斷出四邊形CDHM是平行四邊形，最后經(jīng)過計算即可求解.
【解答】(1)證明：∵過 的中點P作⊙O的直徑PG，
∴CP=PB，
∵AB，PG是相交的直徑，
∴AG=PB，
∴AG=CP;
(2)證明：如圖 2，連接BG
∵AB、PG都是⊙O的直徑，
∴四邊形AGBP是矩形，
∴AG∥PB，AG=PB，
∵P是弧BC的中點，
∴PC=BC=AG，
∴弧AG=弧CP，
∴∠APG=∠CAP，
∴AC∥PG，
∴PG⊥BC，
∵PH⊥AB，
∴∠BOD=90°=∠POH，
在△BOD和△POH中，
，
∴△BOD≌△POH，
∴OD=OH，
∴∠ODH= (180°﹣∠BOP)=∠OPB，
∴DH∥PB∥AG.
(3)解：如圖3，作CM⊥AP于M，ON⊥DH于N，
∴∠HON= ∠BOP= ∠COP=∠CAP，
∴△HON∽△CAM，
∴ ，
作PQ⊥AC于Q，
∴四邊形CDPQ是矩形，
△APH與△APQ關(guān)于AP對稱，
∴HQ⊥AP，
由(1)有：HK⊥AP，
∴點K在HQ上，
∴CF=PF，
∴FK是△CMP的中位線，
∴CM=2FK=4，MF=PF，
∵CM⊥AP，HK⊥AP，
∴CM∥HK，
∴∠BCM+∠CDH=180°，
∵∠BCM=∠CAP=∠BAP=∠PHK=∠MHK，
∴∠MHK+∠CDH=180°，
∴四邊形CDHM是平行四邊形，
∴DH=CM=4，DN=HN=2，
∵S△ODH= DH×ON= ×4×ON=2 ，
∴ON= ，
∴OH= =5，
∴AC= =10.
【點評】此題是圓的綜合題，主要考查了相似，圓中的一些角的關(guān)系，解本題的關(guān)鍵是判斷出平行線，難點是作輔助線.
28.(10分)(2011•河南)如圖，在平面直角坐標系中，直線 與拋物線 交于A、B兩點，點A在x軸上，點B的橫坐標為﹣8.
(1)求該拋物線的解析式;
(2)點P是直線AB上方的拋物線上一動點(不與點A、B重合)，過點P作x軸的垂線，垂足為C，交直線AB于點D，作PE⊥AB于點E.
?、僭O(shè)△PDE的周長為l，點P的橫坐標為x，求l關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出l的最大值;
?、谶B接PA，以PA為邊作圖示一側(cè)的正方形APFG.隨著點P的運動，正方形的大小、位置也隨之改變.當頂點F或G恰好落在y軸上時，直接寫出對應(yīng)的點P的坐標.
【考點】HF：二次函數(shù)綜合題.
【分析】(1)利用待定系數(shù)法求出b，c即可;
(2)①根據(jù)△AOM∽△PED，得出DE：PE：PD=3：4：5，再求出PD=yP﹣yD求出二函數(shù)最值即可;
?、诋旤cG落在y軸上時，由△ACP≌△GOA得PC=AO=2，即 ，解得 ，
所以得出P點坐標，當點F落在y軸上時，x=﹣ ﹣ x+ ，解得x= ，可得P點坐標.
【解答】解：(1)對于 ，當y=0，x=2.當x=﹣8時，y=﹣ .
∴A點坐標為(2，0)，B點坐標為 .
由拋物線 經(jīng)過A、B兩點，
得
解得 .
∴ .
(2)①設(shè)直線 與y軸交于點M，
當x=0時，y= .∴OM= .
∵點A的坐標為(2，0)，∴OA=2.∴AM= .
∵OM：OA：AM=3：4：5.
由題意得，∠PDE=∠OMA，∠AOM=∠PED=90°，∴△AOM∽△PED.
∴DE：PE：PD=3：4：5.
∵點P是直線AB上方的拋物線上一動點，
∵PD⊥x軸，
∴PD兩點橫坐標相同，
∴PD=yP﹣yD=﹣ ﹣ x+ ﹣( x﹣ )
=﹣ x2﹣ x+4，
∴
= .
∴ .
∴x=﹣3時，l最大=15.
?、诋旤cG落在y軸上時，如圖2，由△ACP≌△GOA得PC=AO=2，
即 ，解得 ，
所以 ，
如圖3，過點P作PN⊥y軸于點N，過點P作PS⊥x軸于點S，
由△PNF≌△PSA，
PN=PS，可得P點橫縱坐標相等，
故得當點F落在y軸上時，
x=﹣ ﹣ x+ ，解得x= ，
可得 ， (舍去).
綜上所述：滿足題意的點P有三個，分別是
【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及相似三角形的判定以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合進行分析以及靈活應(yīng)用相似三角形的判定是解決問題的關(guān)鍵.
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