概念教學(xué)中例題設(shè)計的常見誤區(qū)和策略解決

　　自新課程改革以來,概念教學(xué)受到越來越多的關(guān)注和重視.以強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過程為代表的概念教學(xué)模式不斷地出現(xiàn)在各種各類教學(xué)研討活動中.在一些觀摩課、研討課中發(fā)現(xiàn),概念形成環(huán)節(jié)往往是教師設(shè)計教學(xué)的主陣地,也常有獨到的見解.但是,筆者也發(fā)現(xiàn)不少教師對概念教學(xué)中的例題設(shè)計經(jīng)常未能引起足夠多的重視、投入應(yīng)有的精力,而是認(rèn)為概念教學(xué)中的例題比較簡單,有些只是照本宣科,忽視了例題的典型示范作用,有些布置學(xué)生自學(xué),完全沒能挖掘例題中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想、方法,有些則不切實際,盲目拔高,脫離了概念的核心,其結(jié)果自然是事倍功半.下面筆者結(jié)合自己的實踐、學(xué)習(xí)和反思,就當(dāng)前的概念教學(xué)中例題設(shè)計的幾種常見誤區(qū)以及對策做幾點思考,望能與同行們共同交流、學(xué)習(xí).

　　一、當(dāng)前概念教學(xué)中例題設(shè)計的幾種常見誤區(qū)

　　1.重出新拔高,輕教材例題

　　教材中提供的例題,都是專家們經(jīng)過深思熟慮后精心設(shè)計的,不僅具有典型性、示范性、科學(xué)性、指導(dǎo)性等特點,而且符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律、循序漸進(jìn),是教師實施教學(xué)的“參考藍(lán)本”與“精品資料”.但教學(xué)實踐中,我們不難發(fā)現(xiàn),不少教師并不愿意采用教材中的例題,卻找一些自認(rèn)為的“好題”,不切實際,盲目拔高,結(jié)果適得其反.如:

　　案例1 在2011年4月的一次溫州市名師工作室活動中,A教師在“組合”第一課時教學(xué)中,拋開了教材中的例題,設(shè)計如下例題:

　　例1 從全班50名同學(xué)的數(shù)學(xué)作業(yè)本中,抽選出4本檢查,共有多少種不同的選法?

　　變式 全班50名同學(xué)的數(shù)學(xué)作業(yè)本混和在一起,然后每個人從中隨意拿一本,正好有48人拿到自己的作業(yè)本,有多少種可能?

　　追問 正好有47人拿到自己的作業(yè)本呢?

　　例2 在圖1所示的圖形中,你能找出多少個長方形?

　　變式 在圖2所示的圖形中,你能找出多少個長方形?

　　這兩個例題中,例1的變式與追問對剛剛接觸計數(shù)原理及排列、組合知識的學(xué)生來說,顯然思維跨度太大,無形中也沖淡了這節(jié)課概念的核心;而例2的設(shè)計是組合知識的靈活應(yīng)用,對學(xué)生知識遷移能力要求過高,也不能很好的起到精致概念的作用.

　　2.重變式訓(xùn)練,輕概念核心

　　“變式”是目前例習(xí)題呈現(xiàn)的主要方式,它通過變更概念中的非本質(zhì)特征,變換問題中的條件或結(jié)論,轉(zhuǎn)化問題的形式或內(nèi)容,可以幫助學(xué)生理解概念的本質(zhì)屬性,便于概念的應(yīng)用.從心理學(xué)上講,它是克服思維定勢中消極因素的重要措施,對培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)也有積極意義.但在教學(xué)實踐中,不少教師往往只注重呈現(xiàn)形式的變式,忽視了“變式”應(yīng)圍繞概念的核心展開,“變式”是應(yīng)力爭提示出概念的本質(zhì).如:

　　案例2 在2011年4月的一次溫州市名師工作室活動中,B教師在“組合”第一課時教學(xué)中,設(shè)計了以下變式例題:

　　例題 平面內(nèi)有10個點,以其中每2個點為端點的有向線段共有多少條?

　　變式1 圓上有10點,過每2點畫一條弦,一共可以畫多少條弦?

　　變式2 圓上有10點,每3點畫一個圓內(nèi)接三角形,一共可以畫多少個圓內(nèi)接三角形?

　　變式3 凸十邊形有多少條對角線?

　　變式4 凸n(n>3)邊形有多少條對角線?

　　變式5 平面內(nèi)有10個點,其中4個點在一條直線上,此外無3點共線.

　?、龠@10個點可連成多少條直線?

　　②由這10個點中的三個點為頂點,可確定多少個三角形?

　　該組變式例題有豐富的情境與背景,也緊扣“組合”的特征——與元素順序無關(guān),但作為概念“精致”過程中的例題,只在應(yīng)用環(huán)境上進(jìn)行變式,沒有能夠通過例題揭示出“從n個不同的元素中取出k個元素的組合”的本質(zhì)就是“n個不同元素組成的集合的一個k元子集”,可謂是精彩中留有遺憾.

　　3.重解題技巧,輕數(shù)學(xué)思想

　　例題是把知識(概念)、技能、方法和思想聯(lián)系起來的紐帶.在概念教學(xué)中它不僅有有助于進(jìn)一步理解概念的內(nèi)涵與處延的作用,還擔(dān)負(fù)著把知識轉(zhuǎn)化為能力的重要使命.但在例題選擇上常見的誤區(qū)是:與當(dāng)前內(nèi)容脫節(jié),題目太難,太技巧化.不重視數(shù)學(xué)思想.如:

　　案例3 在我校的一次教學(xué)研討課中,某教師在“直線的傾斜角和斜率”一課中,設(shè)計了這樣的例題變式:

　　變式 直線的斜率為k,傾斜角為α,若-1

　　練習(xí)1 已知直線的傾斜角為α,若sin α=,求此直線的斜率.

　　練習(xí)2 已知直線y=xsinθ-1,求該直線傾斜角的范圍.

　　不難發(fā)現(xiàn)這個例題和練習(xí)設(shè)計偏難,太過技巧化,考查的是三角函數(shù)正切的圖象和性質(zhì),與本節(jié)課內(nèi)容脫節(jié),沒有把握住本節(jié)課的概念的核心思想與本質(zhì)(坐標(biāo)化),使得本節(jié)課的核心概念被邊緣化,容易給學(xué)生一種錯覺:數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)就是解題技巧的學(xué)習(xí).

　　二、概念教學(xué)中例題設(shè)計的對策與原則

　　1.例題設(shè)計要重視教材開發(fā)

　　教材是眾多數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家集體智慧的結(jié)晶,具有很強(qiáng)的權(quán)威性和指導(dǎo)性,但教材中的概念、公式、定理等多數(shù)都是以具有較強(qiáng)的抽象性、概括性的“學(xué)術(shù)形態(tài)”知識呈現(xiàn)出來,在教學(xué)中我們須鉆研透教材,吃透教材中的概念、公式、定理等,并將其轉(zhuǎn)化為易于學(xué)生理解的“教育形態(tài)”知識,挖掘、開發(fā)出其潛在教學(xué)功能.如:

　　案例4 江欣懌老師在教授“拋物線”一課時,對課本例題進(jìn)行了二次開發(fā),設(shè)計了以下例題,并收到了良好的教學(xué)效果:

　　題1 在一個平面內(nèi),點P與點F(2,0)的距離比它到直線x+4=0的距離小2,求點P的軌跡方程.

　　學(xué)生根據(jù)拋物線的定義,利用直線移動的方法,可以快速得到軌跡方程為:

　　=8x(x≥0).

　　題2 在一個平面內(nèi),點P與點F(2,0)的距離比它到直線x+1=0的距離大1,求點P的軌跡方程.

　　同上,可以得到軌跡方程為:

　　=8x(x≥0).

　　題3 在一個平面內(nèi),點P與點F(2,0)的距離比它到y(tǒng)軸的距離大2,求點P的軌跡方程。

　　部分學(xué)生由于思維定勢,馬上想到利用拋物線定義得出結(jié)論:

　　=8x(x≥0).

　　顯然從圖象上可以看出,x軸負(fù)半軸上的所有點也是滿足條件的.所以方程有兩個:

　　=8x(x≥0)和y=0(x<0).

　　其實由求軌跡的一般方法,列式

　　追問 題1與題2為何只一個方程?是否漏解呢?

　　題4 在一個平面內(nèi),點P與點F(2,0)的距離比它到直線x-1=0的距離大3,求點P的軌跡方程.

　　此題利用列式計算求出軌跡方程:=8x(x≥1)和=-4(x-3)(x<1)已經(jīng)沒有困難;在利用幾何方法的過程中,移動直線的關(guān)鍵是為了讓動點到直線的距離與到定點的距離相等,除了考慮將直線x-1=0左移三個單位,將直線右移三個單位也有軌跡是滿足條件的,軌跡圖象如圖3,為兩部分拋物線疊加的軌跡.

　　從課堂效果上來看,此例題的設(shè)計激發(fā)了學(xué)生極大的學(xué)習(xí)熱情.通過自主探究,學(xué)生不僅對拋物線的定義有了更深刻的理解,并且對“數(shù)缺形時少直觀、形缺數(shù)時難入微”的數(shù)形結(jié)合思想有了深刻認(rèn)識,加強(qiáng)了學(xué)生以形助數(shù),以數(shù)想形的意識.

　　2.例題設(shè)計要注重循序漸進(jìn)

　　一道例題能否激發(fā)學(xué)生的興趣,讓學(xué)生積極的參與,首先取決于提出的問題能否引起學(xué)生的認(rèn)識沖突、能否引起學(xué)生思想上的共鳴.每一個問題都應(yīng)建立在學(xué)生已有的認(rèn)識基礎(chǔ)上,并為他們留出思考的余地.俗話說:溫故而知新.學(xué)過的知識需要不斷地加以應(yīng)用和鞏固,學(xué)習(xí)新知識時更要注意與舊知識進(jìn)行呼應(yīng)和比較.如:

　　案例5 在學(xué)習(xí)了“幾何概型”概念及計算公式之后,為了突出古典概型與幾何概型的比較與選擇,可以設(shè)計如下例題:

　　題1 已知x,y∈[0,6]且x,y∈N.求事件“x-y≥3”的概率.

　　題2 已知x,y∈[0,6]且x,y∈R,求事件“x-y≥3”的概率.

　　此例題的設(shè)計重在突出新舊知識之間的聯(lián)系與差別,前后呼應(yīng)、循序漸進(jìn),突出了從古典概型到幾何概型,是從有限到無限的延伸,原來枯燥的講解說教被題目中這一字改動,盡在不言中了.

　　3.例題設(shè)計要聚焦概念核心

　　例題的設(shè)計要有助于概念理解,有助于概念應(yīng)用,應(yīng)把設(shè)計的著力點聚集在概念的核心上.通過例題的解決,達(dá)到幫助學(xué)生理解概念的本質(zhì)目的.如:

　　案例6 講完函數(shù)概念后可以選擇這樣的例題來幫助學(xué)生深化概念:

　　題1 表1中的數(shù)據(jù)是同學(xué)們在做水龍頭驗時收集的.量杯的最大容量是100毫升.

　　(1)如果繼續(xù)試驗,多少秒后量杯里的水會滿而溢出?

　　(2)這是一次函數(shù)嗎?請解釋.

　　題2 小張和小李一起做水龍頭漏水實驗.他們每人將收集的數(shù)據(jù)描在了直角坐標(biāo)系中,如圖4所示,是什么原因?qū)е铝怂麄兯嫷膱D象不同?如圖5,關(guān)于水龍頭漏水實驗數(shù)據(jù)的圖象,該圖象說明了什么?

　　這樣的例題,函數(shù)味道很濃,“變量”“一個量隨著一個量的變化而變化”“對應(yīng)關(guān)系”“變化規(guī)律”等,都得到了充分體現(xiàn).問題聚焦于概念的理解和應(yīng)用,只要理解了概念就能回答,而不是給學(xué)生設(shè)置“陷阱”,在與函數(shù)概念沒有太大關(guān)系的問題上制造麻煩.這類例題更有助于學(xué)生理解概念的本質(zhì),能讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的作用,對能力的培養(yǎng)也更全面.

　　4.例題設(shè)計要滲透思想方法

　　例題設(shè)計要使得學(xué)生能從看似平淡的文字描述、符號推演中挖掘其內(nèi)涵.領(lǐng)悟出其深刻的數(shù)學(xué)思想,如果只是把例題看成解題技能的示范,那么教學(xué)必然缺乏“數(shù)學(xué)味”.如:

　　案例7 在學(xué)習(xí)了“等差數(shù)列及其前n和公式”后,教材(人教版必修5第44頁)設(shè)計了:

　　教材通過進(jìn)行求解,并沒有對例題中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法用文字直接加以闡述.但我們能從這樣的例題設(shè)計中發(fā)現(xiàn),教材的設(shè)計意圖在于引導(dǎo)學(xué)生用函數(shù)的思想來研究數(shù)列,即從數(shù)形結(jié)合的觀點出發(fā),利用數(shù)學(xué)分類討論的思想對進(jìn)行分類得到的表達(dá)式,可以是常數(shù)(由0組成的數(shù)列),可以是n的正比例函數(shù)(如由非零常數(shù)組成的數(shù)列),可以是關(guān)于n的二次函數(shù)(圖象經(jīng)過原點),從而使學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識間的內(nèi)在聯(lián)系,學(xué)會用聯(lián)系的觀點來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué).這種以思想方法為主線來串聯(lián)、設(shè)計例題,即能真正發(fā)揮例題的功能與價值.我們應(yīng)該充分認(rèn)識例題在概念學(xué)習(xí)中的功能與價值,把握概念教學(xué)中例題設(shè)計的關(guān)鍵與原則,在深刻理解數(shù)學(xué)概念的基礎(chǔ)上做到深入淺出