大學(xué)數(shù)學(xué)方面論文范文

　　隨著科學(xué)技術(shù)特別是信息技術(shù)的高速發(fā)展，數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值越來(lái)越得到眾人的重視。下文是學(xué)習(xí)啦小編為大家整理的關(guān)于大學(xué)數(shù)學(xué)方面論文范文的內(nèi)容，歡迎大家閱讀參考!

　　大學(xué)數(shù)學(xué)方面論文范文篇1

　　趙爽的數(shù)學(xué)哲學(xué)思想與應(yīng)用價(jià)值

　　摘要：趙爽是東漢末年至三國(guó)時(shí)期的著名數(shù)學(xué)家，他在《周髀算經(jīng)》的注文中提出許多新的數(shù)學(xué)見(jiàn)解。同時(shí)，他的數(shù)學(xué)思想及方法對(duì)中國(guó)整個(gè)數(shù)學(xué)體系的形成及發(fā)展都有著重要的作用。

　　關(guān)鍵詞：唐代 絲綢之路 極盛而衰 歷史演變。

　　趙爽是東漢末年至三國(guó)時(shí)期的著名數(shù)學(xué)家，同時(shí)也是中國(guó)歷史上著名的天文學(xué)家，他大約生活在 3 世紀(jì)，生卒不詳。他在數(shù)學(xué)上的成就主要表現(xiàn)為對(duì)勾股定理簡(jiǎn)潔的證明，重差術(shù)的理論，一元二次方程的求解及根與系數(shù)的關(guān)系四個(gè)方面的貢獻(xiàn)。2 世紀(jì)，趙爽開(kāi)始深入研究《周髀算經(jīng)》，該書(shū)是中國(guó)歷史上最古老的天文學(xué)著作，其中就有對(duì)“勾股圓方圖”的注釋?zhuān)偨Y(jié)出中國(guó)古代的勾股定理，這是對(duì)中國(guó)數(shù)學(xué)史的巨大貢獻(xiàn)。另外，趙爽還在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了創(chuàng)新，提出了新的證明公式。趙爽在數(shù)學(xué)方面的成就主要體現(xiàn)其所撰寫(xiě)的《勾股圓方圖》，是中國(guó)歷史上第一次明確給出勾股定理明確證明的著作，而且這種證明簡(jiǎn)單實(shí)用，至今仍在沿用。趙爽還創(chuàng)造出世界上最早的求根公式，并對(duì)《九章算術(shù)》中的分?jǐn)?shù)計(jì)算方法上升到理論高度，創(chuàng)立了“齊同術(shù)”,足見(jiàn)稱(chēng)其為數(shù)學(xué)宗師是非常恰當(dāng)?shù)摹?/p>

　　一、趙爽數(shù)學(xué)思想產(chǎn)生的社會(huì)背景。

　　1.來(lái)源于人類(lèi)實(shí)踐活動(dòng)的數(shù)學(xué)思想。趙爽在《周髀算經(jīng)》的注文中提到“:大禹治水，望山川之形，定高下之勢(shì)，除滔天之災(zāi)，勾股之所由生也。”這就說(shuō)明，大禹治水時(shí)期便采用了疏通河流的辦法使大水流往大海，而無(wú)“浸溺逆”,這也是勾股定理產(chǎn)生的重要原因。趙爽的這一思想與古希臘數(shù)學(xué)家歐弟姆斯對(duì)幾何學(xué)的產(chǎn)生的思路不謀而合，歐弟姆斯曾說(shuō)“:幾何學(xué)是埃及人發(fā)現(xiàn)的，是在測(cè)量土地的過(guò)程中產(chǎn)生的，因?yàn)槟菚r(shí)候的尼羅河泛濫成災(zāi)，經(jīng)常沖毀良田，這種幾何學(xué)的測(cè)量技術(shù)是必要的。”[1]17所以，幾何學(xué)起源于土地測(cè)量，一般從事農(nóng)業(yè)生產(chǎn)的民族都有著豐富的幾何學(xué)知識(shí)。恩格斯曾說(shuō)，數(shù)學(xué)是根據(jù)人的需要產(chǎn)生的，是從丈量土地面積、計(jì)算器具容積中產(chǎn)生的，是一種有目的改造客觀世界的活動(dòng)中產(chǎn)生的。所以，趙爽的數(shù)學(xué)思想也來(lái)源于實(shí)際，以滿(mǎn)足于客觀世界的需要。

　　2.吳國(guó)推行發(fā)展教育的文教政策。根據(jù)史料考證，趙爽為三國(guó)時(shí)期吳國(guó)人，由于當(dāng)時(shí)吳國(guó)為戰(zhàn)事需要采取了一系列發(fā)展生產(chǎn)的措施，使得社會(huì)經(jīng)濟(jì)有了較大的進(jìn)步。同時(shí)，在思想及文學(xué)領(lǐng)域也出現(xiàn)了秦漢以來(lái)前所未有的局面，其中數(shù)學(xué)思想的進(jìn)展尤為明顯。當(dāng)時(shí)的吳國(guó)推行了發(fā)展數(shù)學(xué)教育的文教政策，孫權(quán)于黃武三年推行“改四分，用乾象歷，詔令教學(xué)諸子”.永安二年，孫休推行教學(xué)為先的政策“,道世冶性，為時(shí)養(yǎng)器”.當(dāng)時(shí)吳國(guó)推行的這些教育建國(guó)，培養(yǎng)人才的措施，極大推進(jìn)了社會(huì)的發(fā)展及經(jīng)濟(jì)的繁榮。當(dāng)時(shí)，吳國(guó)還在地方設(shè)立官學(xué)“,濟(jì)陽(yáng)人篤學(xué)好古，瑜厚之，使百人受業(yè)，遂立學(xué)官”.雖然吳國(guó)“學(xué)官”措施推行并沒(méi)多久，但當(dāng)時(shí)確實(shí)出現(xiàn)許多的數(shù)學(xué)及天文人才，如陳馳善九章術(shù)，與漢代許商、王柔并稱(chēng)。除官學(xué)之外，吳國(guó)也非常流行私學(xué)，如“虞凡講學(xué)不倦，門(mén)徒數(shù)百人，又為《老子》、《荀子》、《國(guó)語(yǔ)》訓(xùn)注”.吳國(guó)的私學(xué)者多潛心學(xué)術(shù)，熱愛(ài)教學(xué)工作，對(duì)教育事業(yè)全心投入，《周髀算經(jīng)注》中就有“后學(xué)之徒知數(shù)皆然”[2]73.

　　二、趙爽的數(shù)學(xué)哲學(xué)思想與應(yīng)用價(jià)值。

　　1.“數(shù)形”與“歸納、演繹”統(tǒng)一的思想。趙爽在《周髀算經(jīng)注》中提到“:數(shù)之法理出于方圓，方圓者天地之形狀，陰陽(yáng)之?dāng)?shù)，陳方圓之形，以見(jiàn)其象，因奇偶之?dāng)?shù)，以制其法。物有方圓，數(shù)有奇偶，天動(dòng)為圓其數(shù)奇，地靜為方其數(shù)偶。”所以，趙爽的天地之形含有幾何方面的內(nèi)容，同時(shí)，數(shù)之法出于圓方也含有代數(shù)思想。就是說(shuō)，通過(guò)數(shù)的計(jì)算，著重考察圖形中數(shù)的關(guān)系，通過(guò)得出的數(shù)值來(lái)解決實(shí)際生活問(wèn)題。同時(shí)，也可以通過(guò)“形”的直觀解決數(shù)的算法，這就將數(shù)形完美結(jié)合在一起。其實(shí)，數(shù)與形的結(jié)合并不是偶然產(chǎn)生的，中國(guó)作為一個(gè)農(nóng)業(yè)大國(guó)，在丈量土地、儲(chǔ)存糧食、開(kāi)挖水渠時(shí)都會(huì)遇到大量關(guān)于面積、體積的問(wèn)題，如用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題將起到事半功倍的效果。實(shí)際上，數(shù)與形并不是完全分開(kāi)的，在計(jì)算長(zhǎng)度、面積的時(shí)候就很容易將兩者聯(lián)系起來(lái)。趙爽的《周髀算經(jīng)注》便體現(xiàn)這種數(shù)形統(tǒng)一的思想。

　　歸納是將特殊或個(gè)別的事物中概括出一般性的結(jié)論，而演繹則是由一般原理推出個(gè)別或特殊事物的結(jié)論。歸納與演繹是人們認(rèn)識(shí)事物過(guò)程中相輔相成的兩個(gè)方面。趙爽的數(shù)學(xué)思想中包含歸納、演繹統(tǒng)一的思想，在其《周髀算經(jīng)》注文中提到“:善哉，言明曉之意，所謂問(wèn)一事而萬(wàn)事達(dá)。”這里的“問(wèn)一事而萬(wàn)事達(dá)”就是從個(gè)別到一般的歸納思維過(guò)程。他還曾提到“:引而伸之，觸類(lèi)而長(zhǎng)之，天下事畢矣。”[3]77這又從一般原理引申出個(gè)別的演繹思維過(guò)程。所以，趙爽在數(shù)學(xué)研究中將歸納與演繹兩者統(tǒng)一起來(lái)“,勾股各自乘，并之為弦實(shí)，開(kāi)方除之即為弦”.這就是從個(gè)別到一般的推理過(guò)程。所以，驗(yàn)證數(shù)學(xué)命題的真?zhèn)尉托枰ㄟ^(guò)演繹推理來(lái)實(shí)現(xiàn)。趙爽在其《勾股圓方圖注》中有十多個(gè)命題，并全部采用演繹推理的方式給出了證明。

　　2.“變與不變”的思維方法及“實(shí)用”的數(shù)學(xué)思想?？陀^事物是不斷發(fā)生變化的，且事物的大多數(shù)性質(zhì)也會(huì)發(fā)生改變，而有些性質(zhì)卻相對(duì)穩(wěn)定，這就是變與不變的性質(zhì)，即事物的相對(duì)穩(wěn)定性。趙爽在證明勾股定理的過(guò)程中，就是將圓形進(jìn)行“割補(bǔ)”,其面積卻保持不變，這即為“變與不變”數(shù)學(xué)思維，趙爽通過(guò)“割補(bǔ)”的方式證明勾股定理是非常巧妙的，他說(shuō)“形詭而量均，體殊而數(shù)齊”,即體形雖然有差異，但數(shù)量是不變的。將一個(gè)形體首先分割為有限的分體，然后再拼湊起來(lái)，便成為一個(gè)與它等面積的新個(gè)體。趙爽的這一“變與不變”思想對(duì)中國(guó)古代幾何的發(fā)展有著重要影響。劉徽在其《九章算術(shù)注》中將這種出入相補(bǔ)的思想視作以后“演段法”的基礎(chǔ)。中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的平面幾何問(wèn)題一般都采用這種“出入相補(bǔ)”的拼湊方法進(jìn)行處理。直到 12 世紀(jì)，國(guó)外才有關(guān)于趙爽這種“割補(bǔ)”方法的證明，由當(dāng)時(shí)印度數(shù)學(xué)家巴斯卡蘭給出，晚于趙爽的近九百多年。

　　數(shù)學(xué)來(lái)源于實(shí)際并應(yīng)用于實(shí)際，作為一門(mén)研究空間形式與數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，數(shù)學(xué)有廣泛的用途。中國(guó)古代傳統(tǒng)數(shù)學(xué)是以實(shí)用為目的的，其內(nèi)容大多與生產(chǎn)及生活實(shí)際相關(guān)，并廣泛用于生產(chǎn)生活各方面，這也使得中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)長(zhǎng)期處于世界數(shù)學(xué)的領(lǐng)先地位。趙爽也有著深厚的數(shù)學(xué)實(shí)用思想，他在《周髀算經(jīng)》的注文中提到“:萬(wàn)事萬(wàn)物圓方用矣，大匠造制而有規(guī)矩。”所以，他明確指出圓方的設(shè)計(jì)可用于萬(wàn)事萬(wàn)物“,大匠造制”則充分說(shuō)明數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性及其價(jià)值意義。

　　三、趙爽的數(shù)學(xué)成就及重要?dú)v史貢獻(xiàn)。

　　1.《周髀算經(jīng)注》透析了數(shù)學(xué)之理。南宋數(shù)學(xué)家稱(chēng)趙爽為“乘勾股竹黃之實(shí)，以近開(kāi)方之妙，百世之下莫人能及，算學(xué)宗師也”.趙爽在他的《周髀算經(jīng)注》中詳細(xì)注解了勾股術(shù)法之妙，透析了數(shù)學(xué)教育之理。根據(jù)史料考證，趙爽曾經(jīng)深入研究了劉洪撰寫(xiě)的《乾象歷》及天文學(xué)家張衡的《靈憲》等著作，并多次談及算學(xué)之術(shù)。在出入相補(bǔ)方面，圖形的總面積總保持不變，這就是趙爽創(chuàng)立的“割補(bǔ)之術(shù)”.同時(shí)，他還為《九章算術(shù)》進(jìn)行了注釋?zhuān)⑵錃w納為出入相補(bǔ)原理，這也成為后世“演段術(shù)”形成的重要基礎(chǔ)。另外，趙爽還在其注文中提到與韋達(dá)定理類(lèi)似的結(jié)果，并進(jìn)一步研究一元二次方程的解法，證明了與其相關(guān)的二十多個(gè)命題。其實(shí)，趙爽還是一個(gè)未脫離體力勞動(dòng)的數(shù)學(xué)家，他曾說(shuō)自己一直在從事體力勞動(dòng)的時(shí)候進(jìn)行《周髀》的研究工作，最終完成了《周髀算經(jīng)注》。該作品大約成書(shū)于前 100 年前后，是一部關(guān)于構(gòu)圖定律、分?jǐn)?shù)運(yùn)算的數(shù)學(xué)著作。在《周髀算經(jīng)注》中，趙爽對(duì)原作的經(jīng)文進(jìn)行逐段逐句的解讀，其中尤以勾股圓方圖最為精彩，簡(jiǎn)練的五百多字高度概括了《周髀算經(jīng)》的主要內(nèi)容。

　　2.推動(dòng)中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思想的發(fā)展。在相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)，中國(guó)的數(shù)學(xué)長(zhǎng)期處于世界領(lǐng)先地位。數(shù)學(xué)作為一門(mén)研究空間與數(shù)量關(guān)系的學(xué)科，有著現(xiàn)實(shí)的應(yīng)用需要，中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)體系就是在此基礎(chǔ)上建立的，并廣泛應(yīng)用于社會(huì)實(shí)際。趙爽的數(shù)學(xué)思想極大地推動(dòng)了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的發(fā)展，同時(shí)在傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思想的影響下，趙爽在其《周髀算經(jīng)》的注文中多次證明了數(shù)學(xué)的實(shí)際操作意義及應(yīng)用的廣泛性。趙爽曾指出，為了有效解決實(shí)際問(wèn)題，通過(guò)考察圖形中的數(shù)量關(guān)系及運(yùn)算關(guān)系，就可以得到人們所需要的數(shù)值。趙爽認(rèn)為“:夫高者莫大于天，厚廣者莫廣于地，皆可導(dǎo)儀驗(yàn)其長(zhǎng)短。”他將自然界看作是一個(gè)相互聯(lián)系的物質(zhì)集合，并可以通過(guò)儀器間接測(cè)量出來(lái)。趙爽認(rèn)為數(shù)學(xué)能應(yīng)用于天地之道，神明之德，這是其承襲中國(guó)歷代數(shù)學(xué)家思想的反映。他對(duì)商高的測(cè)量方法中提到“:以水繩之，慎毫厘之差，防千里之失，既可追求情理，又可造制畫(huà)方。”[4]57這段內(nèi)容記述了趙爽通過(guò)勾股定理進(jìn)行測(cè)量的方法，充分體現(xiàn)其經(jīng)世致用的實(shí)用思想。

　　3.數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育方面的創(chuàng)新?！吨荀滤憬?jīng)》采用問(wèn)答的形式，由此可知其屬于數(shù)學(xué)教材，而趙爽的《周髀算經(jīng)注》則屬于數(shù)學(xué)教材的指導(dǎo)用書(shū)，他在《周髀算經(jīng)注》中的“統(tǒng)敘群倫，裁制萬(wàn)物”思想，展示其先進(jìn)的數(shù)學(xué)教育思想?！吨荀滤憬?jīng)》中有對(duì)勾股定理經(jīng)典的描述，即“勾廣三，股修四，徑隅五”.然而，在趙爽的注文中則給出了勾股定理的一般形式，即“勾股各自乘，并之為弦實(shí)”,這就將數(shù)學(xué)知識(shí)推廣開(kāi)來(lái)。趙爽繼承了孔子的啟發(fā)式教學(xué)模式“,凡教之道， 舉一隅，反之以三也”.他還根據(jù)自己多年的數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)出數(shù)學(xué)教育的一般規(guī)律，最后達(dá)到“啟發(fā)”的效果。其實(shí)，學(xué)習(xí)是一項(xiàng)艱苦的智力勞動(dòng)，只有學(xué)思結(jié)合才能最終完成“,不精思，不學(xué)習(xí)，則言吾無(wú)隱”.所以，趙爽一直反對(duì)反而不思的學(xué)習(xí)方式，并提倡“精思、善思、深思”,這樣才能開(kāi)闊思維。“言吾無(wú)隱”便是引用孔子的教學(xué)思想，即“盡其知”,毫無(wú)隱瞞。所以，趙爽還是一位“不隱其學(xué)”的數(shù)學(xué)教育家。趙爽的“熟思”理念，就是強(qiáng)調(diào)要發(fā)展學(xué)生的思維，調(diào)動(dòng)其學(xué)習(xí)的積極性，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考。由此可知，趙爽不但在數(shù)學(xué)上有著極高的造詣，而且還是在數(shù)學(xué)教育上有著較高水平的數(shù)學(xué)大師。在數(shù)學(xué)教育上，趙爽的“貫幽人微，鉤深致遠(yuǎn)”思想，便是對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程及學(xué)生心理狀態(tài)的把握。他總結(jié)的“審問(wèn)、累思、所學(xué)、通類(lèi)、精習(xí)”五個(gè)學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)是一種由感性到理性的認(rèn)識(shí)過(guò)程，這也是儒家學(xué)習(xí)論的核心。

　　參考文獻(xiàn)：

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　　[4]郭樹(shù)春。中國(guó)科學(xué)技術(shù)典籍通匯[M].河南教育出版社，2005(5)。

　　大學(xué)數(shù)學(xué)方面論文范文篇2

　　淺談數(shù)學(xué)概念在數(shù)學(xué)中的備課

　　摘要：淺談數(shù)學(xué)概念課在教學(xué)的備課中應(yīng)做好兩點(diǎn)工作：1、吃透教材;2、把握住“概念教學(xué)”的三個(gè)環(huán)節(jié)。

　　關(guān)鍵詞：通讀教材;閱讀資料;三個(gè)環(huán)節(jié)

　　中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)可分成三大部分：數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)命題和數(shù)學(xué)論證。對(duì)“數(shù)學(xué)概念”的理解程度直接影響著另外兩大部分?jǐn)?shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)。關(guān)于這個(gè)認(rèn)識(shí)，我們數(shù)學(xué)教師應(yīng)有同感，也應(yīng)付諸于數(shù)學(xué)實(shí)踐，更應(yīng)該圍繞“數(shù)學(xué)概念”教學(xué)的程序做大量的準(zhǔn)備工作。本文僅以“學(xué)術(shù)概念”的教學(xué)備課這方面，談一下個(gè)人所見(jiàn)，僅供參考。

　　中學(xué)“數(shù)學(xué)概念”的備課工作，應(yīng)重點(diǎn)解決一下兩個(gè)問(wèn)題：

　　1通讀教材，廣泛閱讀相關(guān)資料，為“吃透”教材理解、掌握概念，打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

　　備課中，首先通讀教材，是數(shù)學(xué)概念教學(xué)的必要條件，教師須自覺(jué)地依據(jù)教材、大綱進(jìn)行教學(xué)。對(duì)教材中出現(xiàn)的知識(shí)點(diǎn)，表述方法等相關(guān)內(nèi)容，如有異議，就必須以誠(chéng)懇的態(tài)度，堅(jiān)強(qiáng)的毅力去研究、探索，充分理解教材中的意圖。例如：關(guān)于“絕對(duì)值”的概念。數(shù)學(xué)教師都有一種直觀通俗的理解。所謂絕對(duì)值，就是去掉性質(zhì)符號(hào)的數(shù)。如+4(或-4)的絕對(duì)值，就是去掉“+4(或-4)”前的“+”或“-”號(hào)的數(shù)4。同時(shí)教材又用黑體字定義“一個(gè)數(shù)a的絕對(duì)值就是數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離”。這是絕對(duì)值的幾何意義，而后又從代數(shù)的角度做進(jìn)一步的說(shuō)明：(1)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身(2)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)(3)零的絕對(duì)是是零;并利用字母表示數(shù)，用式子給出了絕對(duì)值的代數(shù)形式的定義。而以前的教材是通過(guò)聯(lián)系生活的實(shí)例直接引出絕對(duì)值的代數(shù)意義，這種“代數(shù)定義”的說(shuō)法教材中并沒(méi)有，這是教參中“指出”的。“指出”的言外之意是指絕對(duì)值還有個(gè)幾何定義?，F(xiàn)行教材便采取的是這個(gè)幾何定義。前后教材對(duì)絕對(duì)值概念的解釋是不同的，但對(duì)現(xiàn)行教材的意圖稍加思索，自然是便于學(xué)生接受和理解絕對(duì)值的概念。因此，教師在備課時(shí)應(yīng)重點(diǎn)向?qū)W生闡明幾何意義。以便學(xué)生在今后的學(xué)習(xí)中應(yīng)用。

　　另外，對(duì)于每一個(gè)重點(diǎn)，難點(diǎn)概念，教師應(yīng)盡量做到“博覽群書(shū)”，也只有這樣，才能真正具備駕馭教材的能力，也沒(méi)有一個(gè)不是受益于廣泛閱讀的教師。因此，教師應(yīng)廣泛閱讀相關(guān)資料，拓寬知識(shí)視野，注重知識(shí)積累，發(fā)揮自己的特長(zhǎng)，以不斷適應(yīng)新的教育現(xiàn)實(shí)。

　　2把握住“概念教學(xué)”的三個(gè)環(huán)節(jié)

　　數(shù)學(xué)概念的教學(xué)在經(jīng)過(guò)“博覽”步驟之后，應(yīng)及時(shí)轉(zhuǎn)入“精取”階段，把握好“概念教學(xué)”的三個(gè)環(huán)節(jié)。

　　第一：準(zhǔn)確地掌握概念的內(nèi)涵與外延。所謂內(nèi)涵，就是概念的基本屬性。它的本質(zhì)屬性無(wú)疑是核心，是區(qū)別于其他事物的根本。沒(méi)有對(duì)概念本質(zhì)屬性的深刻理解和牢固記憶，就談不上掌握和理解概念。例如：關(guān)于“等式”這一概念，教材上講“表示相等關(guān)系的式子叫等式”，教材上對(duì)之并沒(méi)有進(jìn)一步的說(shuō)明，但我們備課時(shí)一定要搞清等式的本質(zhì)。它也是“判斷一件事情的語(yǔ)句”，就其本質(zhì)而言，一個(gè)等式就是一個(gè)命題，它有真假之分，等式也有成立的等式，也有不成立的等式。這一點(diǎn)對(duì)學(xué)生來(lái)講更難理解，教師應(yīng)下功夫向?qū)W生闡述清楚。否則會(huì)影響學(xué)生學(xué)習(xí)其他知識(shí)。

　　內(nèi)涵的探究重要，外延的研究也不可缺少。所謂外延，是指概念所涉及對(duì)象的范圍界限，兩者結(jié)合起來(lái)，有主次分明之別。相互補(bǔ)充，才能全面實(shí)現(xiàn)明確概念的目的。因此在講解概念內(nèi)涵的同時(shí)，也應(yīng)及時(shí)研究其外延，并對(duì)其外延不同程度的給出定義。例如：“代數(shù)式”這個(gè)概念，教材上先后從其內(nèi)涵上定義了代數(shù)式、單項(xiàng)式、多項(xiàng)式，這事實(shí)上就其外延而講它們都是整式。但作為教師應(yīng)考慮到代數(shù)式分別有有理式和無(wú)理式兩大類(lèi)，有理式可分為整式和分式兩類(lèi)，這個(gè)外延分類(lèi)的知識(shí)結(jié)構(gòu)要牢固掌握，作為教師應(yīng)站在較高的角度把握知識(shí)結(jié)構(gòu)，以便為以后學(xué)生學(xué)習(xí)其他知識(shí)埋下伏筆，同時(shí)講玩某一概念的本質(zhì)屬性后，應(yīng)及時(shí)總結(jié)，引導(dǎo)學(xué)生從外延的角度進(jìn)一步搞清概念之間的聯(lián)系。

　　第二：搞清概念在其所處知識(shí)體系中的地位及作用，也就是它所屬的類(lèi)型，它與其他概念之間的聯(lián)系等。中學(xué)數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系一般是從其外延開(kāi)始，發(fā)生了縱向上的主從關(guān)系和橫向上的同一交叉，并列對(duì)立等邏輯關(guān)系。這些邏輯關(guān)系的存在是不可忽視的。例如：點(diǎn)和圓、直線和圓、圓和圓、多邊形和圓之間的關(guān)系，就是一種很系統(tǒng)的圖形之間的位置關(guān)系。這種系統(tǒng)的位置關(guān)系教師在備課時(shí)若不能以系統(tǒng)的觀點(diǎn)去認(rèn)真?zhèn)湔n，那么無(wú)論從哪方面來(lái)講，都是沒(méi)有吃透教材，也不會(huì)產(chǎn)生最佳教學(xué)效果。

　　第三，準(zhǔn)確地掌握“數(shù)學(xué)概念”在定義、名稱(chēng)及符號(hào)在不同層次的識(shí)記信息。

　　每個(gè)數(shù)學(xué)概念都有定義和名稱(chēng)，多數(shù)情況下還有它自己的符號(hào)。概念的定義是揭示其內(nèi)涵的語(yǔ)言表達(dá)方式，名稱(chēng)是人們?cè)谑褂酶拍顣r(shí)對(duì)它的簡(jiǎn)稱(chēng)。符號(hào)則是人們書(shū)寫(xiě)或記錄概念時(shí)所采用的一種簡(jiǎn)記標(biāo)志。一個(gè)概念有了自己的意義，可使人們對(duì)概念有一個(gè)賴(lài)以進(jìn)行判斷推理和交流思想的基準(zhǔn)和形象。有了名稱(chēng)不但表述起來(lái)語(yǔ)言精練，而且簡(jiǎn)明易懂，有了符號(hào)，不但書(shū)寫(xiě)方便，而且直觀醒目?？傊?，三者都是直接或間接反映或表述同一內(nèi)容——概念的本質(zhì)屬性的，是密不可分的。在概念教學(xué)及備課過(guò)程中，教師必須掌握好這三種識(shí)記信息。以促使某些數(shù)學(xué)能力的形成和發(fā)展。