在初中教材中，對二次函數(shù)作了較詳細的研究，由于初中學生基礎薄弱，又受其接受能力的限制，這部份內(nèi)容的學習多是機械的，很難從本質(zhì)上加以理解。進入高中以后，尤其是高三復習階段，要對他們的基本概念和基本性質(zhì)(圖像以及單調(diào)性、奇偶性、有界性)靈活應用，對二次函數(shù)還需再深入學習。

　　一、進一步深入理解函數(shù)概念

　　初中階段已經(jīng)講述了函數(shù)的定義，進入高中后在學習集合的基礎上又學習了映射，接著重新學習函數(shù)概念，主要是用映射觀點來闡明函數(shù)，這時就可以用學生已經(jīng)有一定了解的函數(shù)，特別是二次函數(shù)為例來加以更深認識函數(shù)的概念。二次函數(shù)是從一個集合A(定義域)到集合B(值域)上的映射ƒ:A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)與集合A的元素X對應，記為ƒ(x)= ax2+ bx+c(a≠0)這里ax2+bx+c表示對應法則，又表示定義域中的元素X在值域中的象，從而使學生對函數(shù)的概念有一個較明確的認識，在學生掌握函數(shù)值的記號后，可以讓學生進一步處理如下問題：

　　類型I：已知ƒ(x)= 2x2+x+2，求ƒ(x+1)

　　這里不能把ƒ(x+1)理解為x=x+1時的函數(shù)值，只能理解為自變量為x+1的函數(shù)值。

　　類型Ⅱ：設ƒ(x+1)=x2-4x+1,求ƒ(x)

　　這個問題理解為，已知對應法則ƒ下，定義域中的元素x+1的象是x2-4x+1，求定義域中元素X的象，其本質(zhì)是求對應法則。

　　一般有兩種方法：

　　(1)把所給表達式表示成x+1的多項式。

　　ƒ(x+1)=x2-4x+1=(x+1)2-6(x+1)+6，再用x代x+1得ƒ(x)=x2-6x+6

　　(2) 變量代換：它的適應性強，對一般函數(shù)都可適用。

　　令t=x+1，則x=t-1 ∴(t)=(t-1)2-4(t-1)+1=t2-6t+6從而ƒ(x)= x2-6x+6

　　二、二次函數(shù)的知識，可以準確反映學生的數(shù)學思維：

　　類型Ⅴ：設二次函數(shù)ƒ(x)=ax2+bx+c(a>0)方程ƒ(x)-x=0的兩個根x1，x2滿足0<x1<x2<1a。

　　(Ⅰ)當X∈(0,x1)時，證明X<ƒ(x)<x1。

　　(Ⅱ)設函數(shù)ƒ(x)的圖像關于直線x=x0對稱，證明x0< x2。

　　解題思路：

　　本題要證明的是x<ƒ(x)，ƒ(x)<x1和x0< x2 ，由題中所提供的信息可以聯(lián)想到：①ƒ(x)=x，說明拋物線與直線y=x在第一象限內(nèi)有兩個不同的交點;②方程ƒ(x)-x=0可變?yōu)閍x2+(b-1)x+1=0，它的兩根為x1,x2，可得到x1,x2與a.b.c之間的關系式，因此解題思路明顯有三條①圖像法②利用一元二次方程根與系數(shù)關系③利用一元二次方程的求根公式，輔之以不等式的推導?，F(xiàn)以思路②為例解決這道題：

　　(Ⅰ)先證明x<ƒ(x)，令ƒ(x)=ƒ(x)-x，因為x1,x2是方程ƒ(x)-x=0的根，ƒ(x)=ax2+bx+c，所以能ƒ(x)=a(x-x1)(x-x2)

　　因為0<x1<x2,所以,當x∈(0,x1)時, x-x1<0, x-x2<0得(x-x1)(x-x2)>0,又a>0,因此ƒ(x) >0,即ƒ(x)-x>0.至此,證得x<ƒ(x)

　　根據(jù)韋達定理,有 x1x2=ca ∵ 0

　　即x<ƒ(x)<x1

　　(Ⅱ) ∵ƒ(x)=ax2+bx+c=a(x+-b/2a)2+(c-),(a>0)

　　函數(shù)ƒ(x)的圖像的對稱軸為直線x=- b/2a,且是唯一的一條對稱軸，因此，依題意，得x0=-b/2a，因為x1,x2是二次方程ax2+(b-1)x+c=0的根，根據(jù)違達定理得，x1+x2=-b-1a，∵x2-1a<0，

　　∴x0=-b2a=12(x1+x2-1a)<x2,即x0=x2。

　　三、二次函數(shù)的單調(diào)性，最值與圖像。

　　在高中階階段學習單調(diào)性時，必須讓學生對二次函數(shù)y=ax2+bx+c在區(qū)間(-∞，-b2a]及[-b2a，+∞) 上的單調(diào)性的結(jié)論用定義進行嚴格的論證，使它建立在嚴密理論的基礎上，與此同時，進一步充分利用函數(shù)圖像的直觀性，給學生配以適當?shù)木毩?，使學生逐步自覺地利用圖像學習二次函數(shù)有關的一些函數(shù)單調(diào)性。

　　類型Ⅲ：畫出下列函數(shù)的圖像，并通過圖像研究其單調(diào)性。

　　(1)y=x2+2|x-1|-1

　　(2)y=|x2-1|

　　(3)= x2+2|x|-1

　　這里要使學生注意這些函數(shù)與二次函數(shù)的差異和聯(lián)系。掌握把含有絕對值記號的函數(shù)用分段函數(shù)去表示，然后畫出其圖像。

　　類型Ⅳ設ƒ(x)=x2-2x-1在區(qū)間[t,t+1]上的最小值是g(t)。

　　求：g(t)并畫出 y=g(t)的圖像

　　解：ƒ(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2，在x=1時取最小值-2

　　當1∈[t,t+1]即0≤t≤1，g(t)=-2

　　當t>1時，g(t)=ƒ(t)=t2-2t-1

　　當t<0時，g(t)=ƒ(t+1)=t2-2

　　t2-2, (t<0)

　　g(t)= -2，(0≤t≤1)

　　t2-2t-1, (t>1)

　　首先要使學生弄清楚題意，一般地，一個二次函數(shù)在實數(shù)集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但當定義域發(fā)生變化時，取最大或最小值的情況也隨之變化，為了鞏固和熟悉這方面知識，可以再給學生補充一些練習。

　　如：y=3x2-5x+6(-3≤x≤-1)，求該函數(shù)的值域。

　　二次函數(shù)，它有豐富的內(nèi)涵和外延。作為最基本的冪函數(shù)，可以以它為代表來研究函數(shù)的性質(zhì)，可以建立起函數(shù)、方程、不等式之間的聯(lián)系，可以偏擬出層出不窮、靈活多變的數(shù)學問題，考查學生的數(shù)學基礎知識和綜合數(shù)學素質(zhì)，特別是能從解答的深入程度中，區(qū)分出學生運用數(shù)學知識和思想方法解決數(shù)學問題的能力。

　　二次函數(shù)的內(nèi)容涉及很廣，本文只討論至此，希望各位同仁在高中數(shù)學教學中也多關注這方面知識，使我們對它的研究更深入。