數(shù)學(xué)案例分析范文
數(shù)學(xué)案例分析范文
打破傳統(tǒng) 灌輸式 固定教學(xué)模式,數(shù)學(xué)案例教學(xué)法以培養(yǎng)學(xué)生實(shí)際能力為核心,提倡教師引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際的生活問題,是值得深入研究并應(yīng)用的新型教育教學(xué)方法。以下是學(xué)習(xí)啦小編分享給大家的關(guān)于數(shù)學(xué)案例分析范文，供大家閱讀!
數(shù)學(xué)案例分析范文篇1：初中數(shù)學(xué)教學(xué)案例分析
《14.1.1變量》片段
請(qǐng)同學(xué)們看下列問題
問題一;汽車以60千米/時(shí)的速度勻速行駛，行駛里程為 s 千米，行駛時(shí)間為 t 小時(shí)。填下面的表。再試用含t的式子表示s。
t(小時(shí)) 1 2 3 4 5
s(千米)
師：哪位同學(xué)來填表?
生1：填好表格中的數(shù)據(jù)。
師：你怎么算出來的?
生1：路程=速度×時(shí)間
師：用含t的式子表示s
生1：s=60t
師：觀察誰在變，誰沒變?
生1：路程s、時(shí)間t在變，速度沒變。
師：路程隨時(shí)間的變化而變化。
問題二：每張電影票的售，如果早場(chǎng)售出票150張，日?qǐng)鍪鄢?05張，晚場(chǎng)售出310張，三場(chǎng)電影票的票房收入各多少元?若設(shè)一場(chǎng)電影售出票 x 張，票房收入為 y 元，怎樣用含 x 的式子表示 y ?
師：某同學(xué)你來解答
生2：早場(chǎng)票房收入為10×150=1500
日?qǐng)銎狈渴杖霝?0×205=2050
晚場(chǎng)票房收入為10×310=3100
y= 10 x
師：觀察誰在變，誰沒變?
生2：x y在變，票價(jià)為10元沒變
師：票房收入隨售出票數(shù)的變化而變化。
問題三：在一根彈簧的下端掛重物，改變并記錄重物的質(zhì)量，觀察并記錄彈簧長(zhǎng)度的變化，探索它們的變化規(guī)律。如果彈簧長(zhǎng)原長(zhǎng)為10cm，每1千克重物使彈簧伸長(zhǎng)0.5cm，怎樣用含重物質(zhì)量x(kg)的式子表示受力后的彈簧長(zhǎng)度L(cm)?
師：某同學(xué)你來解答
生3：L=10+0.5x。
師：怎么考慮的?
生3：每1千克重物使彈簧伸長(zhǎng)0.5cm，掛重物質(zhì)量xkg，受力后的彈簧長(zhǎng)度0.5x，彈簧長(zhǎng)原長(zhǎng)為10cm，所以受力后的彈簧長(zhǎng)度L=10+0.5x。
師：非常好，那么誰在變化?
學(xué)生齊答：x、L在變。
問題四：要畫一個(gè)面積為10的圓,圓的半徑應(yīng)取多少?當(dāng)圓的面積為20時(shí)呢?怎樣用含圓面積s的式子表示圓的半徑r呢?
過程略
問題五：用10 m長(zhǎng)的繩子圍成長(zhǎng)方形，試改變長(zhǎng)方形的長(zhǎng)度，觀察長(zhǎng)方形的面積怎樣變化?記錄不同的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)度值，計(jì)算相應(yīng)的長(zhǎng)方形面積的值，探索它們的變化規(guī)律。設(shè)長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)為 x米，面積為S平方米，怎樣用含x的式子表示S?
過程略
教師根據(jù)得出的關(guān)系式歸納
變量：在一個(gè)變化過程中，數(shù)值發(fā)生變化的量為變量。
常量：在一個(gè)變化過程中，數(shù)值始終不變的量為常量。
分析：1、缺少學(xué)生自主探索、動(dòng)手實(shí)驗(yàn)的過程，比如問題三、四、五。
2、這種問答式的講課方式，表面上看教師提出的問題學(xué)生都對(duì)答如流，沒有任何障礙，但結(jié)果學(xué)生是否掌握了問題所在，學(xué)生的思維是否被激起?本應(yīng)是學(xué)生發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象、能夠提出的問題、可以總結(jié)的規(guī)律，只是讓個(gè)別的學(xué)生來說、甚至是教師包辦代替講出來。得變量、常量概念時(shí)，怕學(xué)生不理解又在反復(fù)重復(fù)已得到的規(guī)律。
3、由于一直是教師在領(lǐng)著學(xué)生走，所以學(xué)生數(shù)學(xué)思考的時(shí)間不充分，一些在思維方面的問題沒有暴露出來。比如說，問題四中半徑與面積的關(guān)系表述，實(shí)際中可能會(huì)有相當(dāng)一部分學(xué)生表示不出來或表示錯(cuò)誤;問題三中受力后的彈簧長(zhǎng)度是否可以任意伸長(zhǎng)等。因此，要給學(xué)生一定的思考時(shí)間和思維空間，要減少“講與聽”，增加“說與做”，嘗試“教與評(píng)”
4、教師課堂問題的設(shè)置價(jià)值不大，僅僅為本課服務(wù)，教師沒有真正理解編者的意圖。以上五個(gè)問題是教材提供的素材，五個(gè)問題中都含有變量之間的的單值對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過討論這些問題，不僅可以引出變量與常量的概念，而且也為后面引出變量間的單值對(duì)應(yīng)關(guān)系進(jìn)而學(xué)習(xí)函數(shù)的定義、用函數(shù)觀點(diǎn)看方程(組)與不等式作了鋪墊。變量之間的的單值對(duì)應(yīng)關(guān)系，包括變量的取值限制教師沒有講出來。
修改：1、對(duì)于問題一和問題二的解決學(xué)生們有知識(shí)基礎(chǔ)，可以自行解決，所以教學(xué)中，呈現(xiàn)問題一和問題二安排學(xué)生獨(dú)立完成。之后追問：“根據(jù)自己的解題過程，你有什么發(fā)現(xiàn)?能歸納一下嗎?”歸納①有兩個(gè)量在變化，有不變的量(數(shù)值)。②一個(gè)量變化另一個(gè)量隨著在變化。③當(dāng)一個(gè)量取一個(gè)確定的值時(shí)，另一個(gè)量的值隨之確定。④當(dāng)兩個(gè)變化的量中一個(gè)量的值確定了，它就是一個(gè)一元一次方程。
2、問題三對(duì)于部分學(xué)生在理解上稍有困難，教師可以借助于實(shí)物演示，有條件的可以以小組為單位實(shí)物操作，在教師的指導(dǎo)下改變并記錄重物的質(zhì)量，觀察并記錄彈簧長(zhǎng)度的變化。這樣學(xué)生在動(dòng)手實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)受力后的彈簧長(zhǎng)度L=10+0.5x。此時(shí)教師可以追問：“在問題一和問題二中的發(fā)現(xiàn)還有嗎?有新發(fā)現(xiàn)嗎?”意在得出重量m的質(zhì)量應(yīng)該有限制，原因是彈簧的受力是有限度的。
3、有了問題三的探索過程，問題五完全可以放手讓學(xué)生們以小組為單位、分工合作、獨(dú)立完成。驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)、得到新發(fā)現(xiàn)。
4、可以嘗試讓學(xué)生利用已有的經(jīng)驗(yàn)編一道題，加強(qiáng)對(duì)所總結(jié)的理解。
世界是運(yùn)動(dòng)變化的，函數(shù)是研究運(yùn)動(dòng)變化的重要數(shù)學(xué)模型。函數(shù)從數(shù)量的角度反映變化規(guī)律的，而變化規(guī)律表現(xiàn)在變量(自變量與函數(shù))之間的單值對(duì)應(yīng)關(guān)系上，即通過數(shù)與形定量地描述這種對(duì)應(yīng)關(guān)系。因此，函數(shù)是體現(xiàn)變化與對(duì)應(yīng)思想的基本數(shù)學(xué)概念。所以教學(xué)中要加強(qiáng)概念教學(xué)，抓住概念的核心內(nèi)涵，借助實(shí)際問題情境，由具體到抽象地去認(rèn)識(shí)它，站在數(shù)學(xué)的角度提出問題、解決問題。不能僅僅著眼于具體題目的解題過程，而應(yīng)不斷加深對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)會(huì)，從整體上認(rèn)識(shí)問題的本質(zhì)。數(shù)學(xué)思想方法是通過知識(shí)的載體來體現(xiàn)的，對(duì)于它們的認(rèn)識(shí)需要有一個(gè)較長(zhǎng)的過程，既需要教材的滲透，也需要教師的點(diǎn)撥，更需要學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的自身的感受與理解。數(shù)學(xué)思想方法是具體數(shù)學(xué)知識(shí)的靈魂，在學(xué)習(xí)的過程中對(duì)于學(xué)生的影響往往大于具體的數(shù)學(xué)知識(shí)。同時(shí)在真實(shí)、常態(tài)的課堂教學(xué)中，教師要高效地完成課堂教學(xué)任務(wù)，就必須注重對(duì)課堂提問的研究，所提的問題必須是有價(jià)值的、有啟發(fā)性的、有一定難度的，整個(gè)課堂的問題設(shè)計(jì)必須遵循循序漸進(jìn)的原則。
新課程標(biāo)準(zhǔn)將“學(xué)習(xí)過程”本身作為教學(xué)目標(biāo)，不是讓它服務(wù)于學(xué)習(xí)結(jié)果，而是希望學(xué)生通過數(shù)學(xué)活動(dòng)的過程體驗(yàn)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂，了解數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意義，鍛煉學(xué)生的意志，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思考，達(dá)到問題解決，提升學(xué)生的情感與態(tài)度。
數(shù)學(xué)案例分析范文篇2：初中數(shù)學(xué)案例分析
學(xué)生的學(xué)習(xí)過程不是對(duì)知識(shí)的被動(dòng)接受，而是主動(dòng)的建構(gòu)過程，因此數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)必須成為自主探究的“建構(gòu)者”。在實(shí)際數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，有許多成功的教學(xué)案例，但也有把學(xué)生的自主探究活動(dòng)泛化、形式化。下面通過實(shí)例，談?wù)剬?duì)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中學(xué)生的自主探究學(xué)習(xí)。
教學(xué)設(shè)計(jì)：
1 學(xué)習(xí)方式：
對(duì)于用字母表示數(shù)的研究，是初中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要的一個(gè)環(huán)節(jié)。初中數(shù)學(xué)中的負(fù)數(shù)、用字母表示數(shù)這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)的掌握是極其重要的。它不僅是學(xué)習(xí)后面知識(shí)的基礎(chǔ)，并且也是對(duì)整個(gè)小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種總結(jié)和提高。因此初學(xué)者必須熟練地掌握用字母表示數(shù)，并且靈活的應(yīng)用。為了使學(xué)生更好地掌握這一部分內(nèi)容，遵循啟發(fā)式教學(xué)原則，用設(shè)問形式創(chuàng)設(shè)問題情景，設(shè)計(jì)一系列實(shí)踐活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生觀察、探索、交流、發(fā)現(xiàn)、思維，使學(xué)生經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)世界抽象出模型和運(yùn)用所學(xué)內(nèi)容，解決實(shí)際問題的過程，真正把學(xué)生放到主體位置。
2 學(xué)習(xí)任務(wù)分析：
充分利用教科書提供的素材和活動(dòng)，鼓勵(lì)學(xué)生經(jīng)歷觀察、操作、推理、想象等活動(dòng)，發(fā)展學(xué)生有條理的思考，表達(dá)和交流的能力，體會(huì)分析問題、解決問題的方法，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。注意學(xué)生推理意識(shí)的建立和對(duì)推理過程的理解，能運(yùn)用自己的方式有條理的表達(dá)推理過程。
案例一：這個(gè)數(shù)是π嗎?
數(shù)學(xué)教材(七上)第三章復(fù)習(xí)題中有這樣一道題：請(qǐng)你任意想一個(gè)數(shù)，把這個(gè)數(shù)乘2后加8，然后除以4，再減去你所想的那個(gè)數(shù)的，我就可以知道你計(jì)算
的得數(shù)是2，你相信嗎?請(qǐng)與你的同學(xué)交流。
在課堂上，我分兩步呈現(xiàn)這道題：
老師：第一步，請(qǐng)你任意想一個(gè)數(shù)，把這個(gè)數(shù)乘2后加8，然后除以4，再減去你所想的那個(gè)數(shù)的結(jié)果是多少?
學(xué)生1：2
學(xué)生2：2
學(xué)生很快說出了答案(幾位同學(xué)答案不是2的，經(jīng)再次檢查后，也得出正確的結(jié)論)。
老師：請(qǐng)同學(xué)再換一個(gè)數(shù)，結(jié)果是多少?這一次所有同學(xué)的結(jié)果為2.這時(shí)有許多同學(xué)情不自禁地說“不論想的是什么數(shù)，結(jié)果均是2.”
老師：教師適時(shí)地進(jìn)行第二步，你能說明為什么嗎?
學(xué)生3：這個(gè)數(shù)用一個(gè)字母表示 ，那么把它乘2后加8就是 ，然后除以4就是，再減去你所想的那個(gè)數(shù)的就是，所以不管什么數(shù)代入最后結(jié)果都是2.
老師：很好，我們的學(xué)生都完成的很好。
正在我和同學(xué)們沉浸在經(jīng)過探索獲得成功的喜悅之中時(shí)，冷不丁，一個(gè)同學(xué)大聲地喊“不對(duì)，你們說得不對(duì)，這個(gè)數(shù)是π就不行了??” 瞬間的寂靜后，教室里炸開了鍋：
學(xué)生3：“任何數(shù)都可以，π當(dāng)然行了。”
學(xué)生4：π是一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù)，無限不循環(huán)的部分怎么沒了呢?
同學(xué)們展開了熱烈的討論，有為數(shù)不少原來很堅(jiān)定認(rèn)為結(jié)果是2的同學(xué)也開始懷疑。爭(zhēng)論從課上延續(xù)到課后，這引起了我的反思。通過對(duì)當(dāng)時(shí)的演算過程的查看，發(fā)現(xiàn)絕大部分學(xué)生起初起的數(shù)均為自然數(shù)，設(shè)這個(gè)數(shù)的字母也為 ，在學(xué)生對(duì)數(shù)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，自然數(shù)是他們最熟悉的，對(duì)分?jǐn)?shù)和負(fù)數(shù)就不那么“親切”了，何況是尚未真正認(rèn)識(shí)清楚的π呢?那么學(xué)生對(duì)π到底是怎樣理解的呢?幾天后，我又在練習(xí)中呈現(xiàn)了這樣兩道題(中間有意隔了幾題)第一題：?jiǎn)雾?xiàng)式 的系數(shù)是 ，第二題： 的系數(shù)是 ;第一道題的正確率超過90%，第二題的正確率則僅過了一半。調(diào)查發(fā)現(xiàn)：學(xué)生看到第一道題，馬上想到圓的面積公式，π是圓周率，是一個(gè)數(shù);而第二道題很難有實(shí)際背景給學(xué)生聯(lián)想，他們又把π看成 是一個(gè)字母。
我不禁想起自己小時(shí)候?qū)W習(xí)這一字母表示數(shù)時(shí)的情景，老師講合并同類項(xiàng)時(shí)，對(duì) 這樣一道現(xiàn)在大家都認(rèn)為簡(jiǎn)單的題，我卻苦苦思考了好幾天，實(shí)在想不
通，在老師詫異的目光中我講的我的觀點(diǎn)：“ 不是 ，因?yàn)榍耙粋€(gè) 代表任意數(shù)，后一個(gè) 也表示一個(gè)任意數(shù)，兩個(gè)都可以是任意數(shù)的東西怎么能相加呢?”這個(gè)問題一直到學(xué)習(xí)方程時(shí)，自己才初步領(lǐng)悟了未知與已知的關(guān)系。
皮亞杰的知識(shí)建構(gòu)理論指出，學(xué)生是在自己的生活經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上，在主動(dòng)的活動(dòng)中建構(gòu)自己的知識(shí)。也就是說，學(xué)生在走進(jìn)課堂時(shí)并不是一無所知的，而是在日常生活、學(xué)習(xí)和交往中，已經(jīng)慢慢形成了自己對(duì)各種現(xiàn)象的理解和看法，學(xué)習(xí)不單單是知識(shí)的由外到內(nèi)的轉(zhuǎn)移和傳遞，而是學(xué)習(xí)者主動(dòng)的建構(gòu)自己的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的過程。
教學(xué)反思：
(1)本節(jié)課的設(shè)計(jì)體現(xiàn)了以教師為主導(dǎo)、學(xué)生為主體，以知識(shí)為載體、以培養(yǎng)學(xué)生的思維能力為重點(diǎn)的教學(xué)思想。教師以探究任務(wù)引導(dǎo)學(xué)生自學(xué)自悟的方式，提供了學(xué)生自主合作探究的舞臺(tái)，營(yíng)造了思維馳騁的空間，在經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)現(xiàn)過程中，培養(yǎng)了學(xué)生探究、合作、歸納的能力。
(2)在課堂教學(xué)設(shè)計(jì)中，盡量為學(xué)生提供“做中學(xué)”的時(shí)空，不放過任何一個(gè)發(fā)展學(xué)生智力的契機(jī)，讓學(xué)生在“做”的過程中，借助已有的知識(shí)和方法主動(dòng)探索新知識(shí)，擴(kuò)大認(rèn)知結(jié)構(gòu)，發(fā)展能力，完善人格，從而使課堂教學(xué)真正落實(shí)到學(xué)生的發(fā)展上。
(3)“樂思方有思泉涌”，在課堂教學(xué)中，時(shí)時(shí)注意營(yíng)造積極的思維狀態(tài)，關(guān)注學(xué)生的思維發(fā)展過程，創(chuàng)設(shè)民主、寬松、和諧的課堂氣氛，讓學(xué)生暢所欲言，這樣學(xué)生的創(chuàng)造火花才會(huì)不斷閃現(xiàn)，個(gè)性才的以發(fā)展。
數(shù)學(xué)案例分析范文篇3：
《函數(shù)單調(diào)性》的教學(xué)案例 教學(xué)環(huán)境：多媒體教室，教師機(jī)可以運(yùn)用多媒體計(jì)算機(jī)并借助于預(yù)先制作的多媒體教學(xué)軟件來開展的教學(xué)活動(dòng)等等。
教材分析：函數(shù)的單調(diào)性是學(xué)生在了解函數(shù)概念后學(xué)習(xí)的函數(shù)的第一個(gè)性質(zhì)，是函數(shù)學(xué)習(xí)中第一個(gè)用數(shù)學(xué)符號(hào)語言刻畫的概念，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)其它性質(zhì)提供了方法依據(jù).對(duì)于函數(shù)單調(diào)性，學(xué)生的認(rèn)知困難主要在兩個(gè)方面：(1)要求用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)符號(hào)語言去刻畫圖像的上升與下降，這種由形到數(shù)的翻譯，從直觀到抽象的轉(zhuǎn)變對(duì)高一的學(xué)生是比較困難的;(2)單調(diào)性的證明是學(xué)生在函數(shù)內(nèi)容中首次接觸到的代數(shù)論證內(nèi)容，而學(xué)生在代數(shù)方面的推理論證能力是比較薄弱的。
教學(xué)目的：1.使學(xué)生從形與數(shù)兩方面理解函數(shù)單調(diào)性的概念，初步掌握利用函
數(shù)圖像和單調(diào)性定義判斷、證明函數(shù)單調(diào)性的方法.
2.通過對(duì)函數(shù)單調(diào)性定義的探究，滲透數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法，培
養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、抽象的能力和語言表達(dá)能力;通過對(duì)函數(shù)單
調(diào)性的證明，提高學(xué)生的推理論證能力.
3.通過知識(shí)的探究過程培養(yǎng)學(xué)生細(xì)心觀察、認(rèn)真分析、嚴(yán)謹(jǐn)論證的
良好思維習(xí)慣，讓學(xué)生經(jīng)歷從具體到抽象，從特殊到一般，從感性
到理性的認(rèn)知過程.
教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的概念、判斷及證明.
教學(xué)難點(diǎn)：歸納抽象函數(shù)單調(diào)性的定義以及根據(jù)定義證明函數(shù)的單調(diào)性. 教學(xué)方法：?jiǎn)l(fā)式講授，探究性學(xué)習(xí).
教 具：計(jì)算機(jī)、投影儀.
教學(xué)過程：
創(chuàng)設(shè)情境 引入新課
師：上節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了函數(shù)的三種表示法，分別為：
(師語音拉長(zhǎng)，師生一塊兒回答)
生：列表法、公式法、圖像法。
師：它們的區(qū)別是什么?
生：列表法就是用表格來表示函數(shù)的方法;公式法是用函數(shù)解析式來表示函數(shù)的方法;圖像法是使用平面直角坐標(biāo)系里的圖形來表示函數(shù)的方法。
師：這三者之間又有密切的聯(lián)系，它們之間可以相互轉(zhuǎn)化。我們要研究一個(gè)函數(shù)，可以由解析式來研究，還可以由圖像來研究，這就是我們前面接觸過的數(shù)形結(jié)合思想。 在生活中，很多現(xiàn)象都繪制成一個(gè)圖像，我們可以根據(jù)圖像來研究它們的規(guī)律，如：籃球入籃的路線，籃球運(yùn)動(dòng)員可以據(jù)此更好的將籃球投入框中等等，可見研究圖像是非常必要的。
合作交流 探索新知
這節(jié)課我們就來研究一下函數(shù)圖像的性質(zhì)。
我們先來研究一下y?x2,x?R的圖像有什么特點(diǎn)?
為了研究這個(gè)問題，請(qǐng)同學(xué)們?cè)诓莞灞旧习凑眨毫斜?rarr;描點(diǎn)→連線，三個(gè)步驟畫出其函數(shù)圖像。
師：觀察學(xué)生所畫圖形，借助幾個(gè)好點(diǎn)的學(xué)生作圖在展臺(tái)下展示給學(xué)生。其圖像為拋物線開口大小和方向由常數(shù)a決定，水平位置由常數(shù)b決定，豎直位置由常數(shù)c決定。
師：請(qǐng)同學(xué)們?cè)谧约核鲌D像上左右各取5點(diǎn)，觀察其在拋物線上的變化?，x,y的值又是怎樣變化的?
生甲：當(dāng)取點(diǎn)由原點(diǎn)開始，越往左，點(diǎn)越高;越往右，點(diǎn)也越高，所以從整體看點(diǎn)是越來越高。
師：同學(xué)們覺得他說的對(duì)不對(duì)呢?
(部分同學(xué)說對(duì)，部分同學(xué)不說話，感到有些疑惑，也有同學(xué)說不對(duì)) 請(qǐng)回答不對(duì)的乙同學(xué)回答。
生乙：它是從中間觀察的，應(yīng)先向左看，再向右看。
師： 對(duì)，我們研究任何事物都要遵循一定的規(guī)律，觀察圖像要方向一致，我們可以采取從左向右看。
生丙：當(dāng)取點(diǎn)由左向右時(shí)，圖像上的點(diǎn)整體先下降，后上升，圖像的左邊那部分整體是下降的，隨著x的增大，函數(shù)值y在減小;圖像的右邊那部分整體是上升的，隨著x的增大，函數(shù)值y在增大。
師： 我們研究的函數(shù)y?x2，其定義域?yàn)镽，同學(xué)們所說的兩個(gè)部分可以認(rèn)為是定義域內(nèi)的兩個(gè)區(qū)間，區(qū)間???,0?和?0,???。在區(qū)間???,0?內(nèi)，函數(shù)從左到右是一段下降的曲線，隨著x的增大，函數(shù)值y在減小，則稱函數(shù)y?x2在區(qū)間???,0?上是嚴(yán)格遞減的。在區(qū)間?0,???內(nèi)，函數(shù)從左到右是一段上升的曲
線，隨著x的增大，函數(shù)值y在增大，則稱函數(shù)在區(qū)間?0,???上是嚴(yán)格遞增的。
提出問題：如何將它轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言呢?
(學(xué)生討論)
提示：打個(gè)比方，如果你組織班里的同學(xué)從左到右按由低到高排成一隊(duì)，你如何來證明你是按照這樣的順序排的呢?
學(xué)生甲：我們可以從此隊(duì)中取兩位同學(xué)來測(cè)量高度，只要取的那兩位同學(xué)，左邊同學(xué)身高<右邊同學(xué)身高，就可以說明我是按照從左到右由低到高排的隊(duì)。
學(xué)生乙：那兩位同學(xué)符合但其他同學(xué)呢?所以那兩位同學(xué)不具有代表性。 學(xué)生甲：那你可以隨便取。
師：“隨便取”用我們數(shù)學(xué)的語言來說就是——“任意取”。(提示甲)你試著用數(shù)學(xué)的語言來重新敘述你的觀點(diǎn)
學(xué)生甲：我們可以從此隊(duì)中任意取兩位同學(xué)來測(cè)量高度，只要任意取的那兩位，左邊同學(xué)身高<右邊同學(xué)身高，就可以說明我是按照從左到右由低到高排的隊(duì)。
師：“在區(qū)間???,0?，隨著x的增大，函數(shù)值在減小” 如何用數(shù)學(xué)語言描述呢?
學(xué)生丙：受剛才那個(gè)例子的啟發(fā)，要說明在區(qū)間???,0?內(nèi)所有點(diǎn)的x增大，y都減小，我們可以在這個(gè)區(qū)間內(nèi)任意取x1,x2，當(dāng)x1?x2時(shí)，都有f(x1)?f(x2)，那么這個(gè)問題就解決了。
總結(jié)深化 得出概念
我們得到以下概念
教師打出一張PowerPoint幻燈片
1. 設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)锳，區(qū)間I?A,如果對(duì)于任意的x1,x2?I，當(dāng)x1?x2時(shí)，都有 f(x1)?f(x2)， (1)
則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是嚴(yán)格遞增的。(或者說函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是增函數(shù))
稱區(qū)間I是單調(diào)上升區(qū)間。
2. 設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)锳，區(qū)間I?A,如果對(duì)于任意的x1,x2?I，當(dāng)x1?x2時(shí)，都有 f(x1)?f(x2)， (2)
則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是嚴(yán)格遞減的。(或者說函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是減函數(shù))
稱區(qū)間I是單調(diào)下降區(qū)間。
說明：如果在(1)中把“<”換成“?” 則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是遞增的。
如果在(2)中把“>”換成“?” 則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是遞減的。
3. 如果函數(shù)f(x)在定義域上是遞增的(或遞減的)則稱f(x)是單調(diào)函數(shù)。 如果函數(shù)f(x)在定義域上是嚴(yán)格遞增的(或嚴(yán)格遞減的)則稱f(x)是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)。
4. 函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上是遞增或遞減的性質(zhì)統(tǒng)稱為函數(shù)的單調(diào)性。
練習(xí)：判斷下列結(jié)論是否正確 1①已知f(x)?,因?yàn)閒(?1)?f(2),所以函數(shù)f(x)是增函數(shù)。 x
②若函數(shù)f(x)滿足f(2)?f(3),則函數(shù)f(x)在區(qū)間[2，3]上為增函數(shù)。
③若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2]和(2,3)上均為增函數(shù)，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,3)上為增函數(shù)。 ④因?yàn)楹瘮?shù)f(x)?11在區(qū)間(??,0)和(0,??)上都是減函數(shù)，所以f(x)?在xx(??,0)?(0,??)上是減函數(shù)。
通過判斷題，強(qiáng)調(diào)三點(diǎn)：
?、賳握{(diào)性是對(duì)定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而言的，離開了定義域和相應(yīng)區(qū)間就談不上單調(diào)性.
②對(duì)于某個(gè)具體函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可以是整個(gè)定義域(如一次函數(shù))，可以是定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間(如二次函數(shù))，也可以根本不單調(diào)(如常函數(shù))。
?、酆瘮?shù)在定義域內(nèi)的兩個(gè)區(qū)間A,B上都是增(或減)函數(shù)，一般不能認(rèn)為函數(shù)在AUBU上是增(或減)函數(shù)。
思考：如何說明一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)?
掌握證法
例 證明函數(shù)P?K在(0,??)上是增函數(shù)。 V
1.分析解決問題，針對(duì)學(xué)生可能出現(xiàn)的問題，組織學(xué)生討論、交流。 證明：任取V1,V2?(0,??),且V1?V2, 設(shè)元
f(V1)?f(V2)?
22? 求差 V1V2
?KV2?V1 變形 V1V2
?0?v1?v2, 斷號(hào)
∴v1?v2?0,v1v2?0,
∴f(v1)?f(v2)?0,即f(v1)?f(v2), 2∴函數(shù)f(v)?在(0,??)上是增函數(shù). 定論 v
2.歸納解題步驟
引導(dǎo)學(xué)生歸納證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：設(shè)元、作差、變形、斷號(hào)、定論. 練習(xí)：證明函數(shù)f(x)?x在[0,??)上是增函數(shù).
問題：要證明函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù)，除了用定義來證，如果可以證得對(duì)任意的x1,x2?(a,b)，且x1?x2有f(x2)?f(x1)?0可以嗎? x2?x1
引導(dǎo)學(xué)生分析這種敘述與定義的等價(jià)性.讓學(xué)生嘗試用這種等價(jià)形式證明函數(shù)f(x)?x在[0,??)上是增函數(shù).
〖設(shè)計(jì)意圖〗初步掌握根據(jù)定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟.等價(jià)形式進(jìn)一步發(fā)展可以得到導(dǎo)數(shù)法，為用導(dǎo)數(shù)方法研究函數(shù)單調(diào)性埋下伏筆.
(帶著思考結(jié)束函數(shù)單調(diào)性的概念教學(xué)，相信這個(gè)問題學(xué)生可以自己解決。)
教學(xué)反思 在以后的教學(xué)中多注意從學(xué)生的已有知識(shí)和生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)圍繞知識(shí)目標(biāo)展開新的知識(shí)出現(xiàn)的情境，豐富學(xué)生的情感體驗(yàn)，在知識(shí)得到有效落實(shí)的同時(shí)，達(dá)成能力目標(biāo)，突出基礎(chǔ)知識(shí)的應(yīng)用和基本技能的運(yùn)用。在知識(shí)運(yùn)用方面應(yīng)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)走向生活，解決具有現(xiàn)實(shí)意義的生活問題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。
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