行列式的定義是什么

　　行列式在數(shù)學(xué)中，是由解線性方程組產(chǎn)生的一種算式。行列式的定義是什么?以下是學(xué)習(xí)啦小編為大家整理的關(guān)于行列式的定義，歡迎大家前來(lái)閱讀!

　　行列式的定義

　　一個(gè)矩陣A的行列式有一個(gè)乍看之下很奇怪的定義：

　　其中 s g n(σ)是排列σ的符號(hào)差。

　　對(duì)于比較小的矩陣，比如說(shuō)二階和三階的矩陣，行列式表達(dá)如下，有些像是主對(duì)角線(左上至右下)元素的乘積減去副對(duì)角線(右上至左下)元素的乘積(見(jiàn)圖中紅線和藍(lán)線)。

　　2階： 3階：。 但對(duì)于階數(shù)較大的矩陣，行列式有 n!項(xiàng)，并不是這樣的形式。

　　二維向量組的行列式

　　行列式是向量形成的平行四邊形的面積

　　設(shè) P是一個(gè)二維的有向歐幾里得空間，即一個(gè)所謂的歐幾里得平面。兩個(gè)向量 X和 X’的行列式是：

　　經(jīng)計(jì)算可知，行列式表示的是向量 X和 X ’形成的平行四邊形的 有向面積。并有如下性質(zhì)：

　　行列式為零當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)向量共線(線性相關(guān))，這時(shí)平行四邊形退化成一條直線。 如果以逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎虻脑?，有向面積的意義是：平行四邊形面積為正當(dāng)且僅當(dāng)向量 X和 X’逆時(shí)針排列(如圖)。 行列式是一個(gè)雙線性映射。

　　三維向量組的行列式

　　設(shè) E是一個(gè)三維的有向歐幾里得空間。三個(gè)三維向量的行列式是：

　　這時(shí)的行列式表示 X、 X’和 X’’三個(gè)向量形成的平行六面體的 有向體積，也叫做這三個(gè)向量的混合積。同樣的，可以觀察到如下性質(zhì)：

　　行列式為零當(dāng)且僅當(dāng)三個(gè)向量共線或者共面(三者線性相關(guān))，這時(shí)平行六面體退化為平面圖形，體積為零。 這時(shí)行列式是一個(gè) “三線性映射”，也就是說(shuō)，對(duì)第一個(gè)向量有 ，對(duì)第二、第三個(gè)向量也是如此。

　　基底選擇

　　在以上的行列式中，我們不加選擇地將向量在所謂的正交基下分解，實(shí)際上在不同的基底之下，行列式的值并不相同。這并不是說(shuō)平行六面體的體積不唯一。恰恰相反，基底變換可以看作線性映射對(duì)基的作用，而不同基底下的行列式代表了基底變換對(duì)“體積”的影響?？梢宰C明，對(duì)于所有同定向的標(biāo)準(zhǔn)正交基底，向量組的行列式的值是一樣的。也就是說(shuō)，如果我們選擇的基底都是“單位長(zhǎng)度”，并且兩兩正交，那么在這樣的基底之下，平行六面體的體積是唯一的。

　　線性變換

　　經(jīng)線性映射后的正方體

　　設(shè) E是一個(gè)一般的 n維的有向歐幾里得空間。一個(gè)線性變換把一個(gè)向量線性地變?yōu)榱硪粋€(gè)向量。比如說(shuō)，在三維空間中，向量 (x,y,z)被射到向量 (x’,y’,z’)：

　　其中 a、 b、 c等是系數(shù)。如右圖，正方體(可以看作原來(lái)的一組基形成的)經(jīng)線性變換后可以變成一個(gè)普通的平行六面體，或變成一個(gè)平行四邊形(沒(méi)有體積)。這兩種情況表示了兩種不同的線性變換，行列式可以將其很好地分辨出來(lái)(為零或不為零)。

　　更詳細(xì)地說(shuō)，行列式表示的是線性變換前后平行六面體的體積的變化系數(shù)。如果設(shè)左邊的正方體體積是一，那么中間的平行六面體的(有向)體積就是線性變換的行列式的值，右邊的平行四邊形體積為零，因?yàn)榫€性變換的行列式為零。這里我們混淆了線性變換的行列式和向量組的行列式，但兩者是一樣的，因?yàn)槲覀冊(cè)趯?duì)一組基作變換。

　　嚴(yán)格的定義

　　由二維及三維的例子，我們可以看到一般的行列式應(yīng)該具有怎樣的性質(zhì)。為了描述一個(gè) n 維空間中的“平行多面體”的“體積”，行列式首先需要是 線性的，這可以由面積的性質(zhì)得到。這里的線性是對(duì)于每一個(gè)向量來(lái)說(shuō)的，因?yàn)楫?dāng)一個(gè)向量變?yōu)樵瓉?lái)的 a倍時(shí)，“平行多面體”的“體積”也變?yōu)樵瓉?lái)的 a倍。其次，當(dāng)一個(gè)向量在其它向量組成的“超平面”上時(shí)，“平行多面體”的“體積”是零(可以想象三維空間的例子)。也就是說(shuō)，當(dāng)向量 線性相關(guān)時(shí)，行列式為零。于是可以得出行列式的定義：

　　向量組的行列式

　　行列式是 E到 K上的交替多線性形式。

　　具體來(lái)說(shuō)，設(shè) E是一個(gè)內(nèi)積空間，一個(gè)從 E到 K上的交替多線性形式是指函數(shù)：

　　(多線性) 或者說(shuō)，當(dāng) a i= a j的時(shí)候 (交替性) 所有 E到 K上的交替多線性形式的集合記作 An(E)。

　　定理： An(E)的維度是1，也就是說(shuō)，設(shè)是 E的一組基，那么，所有的交替多線性形式都可以寫成

　　其中是在基 B下的展開。 定理的證明是對(duì)任一個(gè)多線性形式，考慮將 D依照多線性性質(zhì)展開，

　　這時(shí)，由交替性，當(dāng)且僅當(dāng) 是的一個(gè)排列，所以有

　　這里， 。

　　向量組的行列式設(shè)是 E的一組基， 基B的行列式就是唯一的(由定理可知)交替多線性形式使得：

　　det B( e1,..., e n) = 1 于是向量組 的行列式就是

　　其中是在基 B下的展開。 這個(gè)公式有時(shí)被稱作萊布尼茲公式。

　　基變更公式設(shè) B與 B’是向量空間中的兩組基，則將上式中的 detB改為 detB’就得到向量組在兩組基下的行列式之間的關(guān)系：

　　矩陣的行列式

　　設(shè) M n( K)為所有定義在 K上的矩陣的集合。將矩陣 A的元素為 A=(aij)。將矩陣 M的 n 行寫成， aj可以看作是上的向量。于是可以定義 矩陣A的行列式為向量組的行列式，這里的向量都在的正交基上展開，因此矩陣的行列式不依賴于基的選擇。

　　這樣定義的矩陣 A的行列式與向量組的行列式有同樣的性質(zhì)。單位矩陣的行列式為1，若矩陣的兩行線性相關(guān)，則行列式為零。

　　由萊布尼茲公式，可以證明矩陣行列式的一個(gè)重要性質(zhì)：一個(gè)矩陣的行列式等于它的轉(zhuǎn)置矩陣的行列式。

　　也就是說(shuō)矩陣的行列式既可以看作 n 個(gè)行向量的行列式，也可以看作 n 個(gè)列向量的行列式。

　　證明：矩陣 A的轉(zhuǎn)置矩陣的行列式是：

　　令 j= σ( i)，由于每個(gè)排列都是雙射，所以上式變成：

　　令τ = σ ，當(dāng) σ 取遍所有排列時(shí)，τ 也取遍所有排列，而且 σ 的符號(hào)差等于 τ 的符號(hào)差。所以

　　線性映射的行列式設(shè) f是 n維線性空間 E到自身的線性變換(線性自同態(tài))， f在 E的任意一組基下的變換矩陣的行列式都是相等的。設(shè) B是 E的一組基。那么 f的行列式就是 f在 B下的變換矩陣的行列式：

　　之前對(duì)正方體做變換時(shí)， x1, ..., xn是原來(lái)的基，，因此可以混淆向量組的行列式和線性變換的行列式。

　　考慮映射 d f, B使得 x1, ..., xn被映射到

　　d f, B是一個(gè)交替n線性形式，因此由前面證的定理， d f, B和 d e t B只相差一個(gè)系數(shù)。

　　令 x1, ..., xn等于 B，則得到

　　λ = d f, B( B) 所以有

　　也就是說(shuō)

　　對(duì)于另外一組基 B'，運(yùn)用基變更公式，可以得到 du, B(B)等于 du, B ' (B ' )。于是 d f, B( B) 是一個(gè)不依賴于基，只依賴于 f的數(shù)。這正是 det f的定義。

　　特別地，行列式為 1 的線性變換保持向量組的行列式，它們構(gòu)成一般線性群 GL(E)的一個(gè)子群 SL(E)，稱作特殊線性群?？梢宰C明， SL(E)是由所有的錯(cuò)切生成的，即所有具有如下形式的矩陣代表的線性變換：

　　也就是說(shuō)，錯(cuò)切變換保持向量組形成的“平行多面體”的體積。同樣，可以證明兩個(gè)相似矩陣有相等的行列式。

　　行列式基本介紹

　　行列式簡(jiǎn)介

　　行列式在數(shù)學(xué)中，是由解線性方程組產(chǎn)生的一種算式。 [1]其定義域?yàn)閚xn的矩陣 A，取值為一個(gè)標(biāo)量，寫作det(A)或 | A | 。行列式可以看做是有向面積或體積的概念在一般的歐幾里得空間中的推廣。或者說(shuō)，在 n 維歐幾里得空間中，行列式描述的是一個(gè)線性變換對(duì)“體積”所造成的影響。無(wú)論是在線性代數(shù)、多項(xiàng)式理論，還是在微積分學(xué)中(比如說(shuō)換元積分法中)，行列式作為基本的數(shù)學(xué)工具，都有著重要的應(yīng)用。 行列式概念最早出現(xiàn)在解線性方程組的過(guò)程中。十七世紀(jì)晚期，關(guān)孝和與萊布尼茨的著作中已經(jīng)使用行列式來(lái)確定線性方程組解的個(gè)數(shù)以及形式。十八世紀(jì)開始，行列式開始作為獨(dú)立的數(shù)學(xué)概念被研究。十九世紀(jì)以后，行列式理論進(jìn)一步得到發(fā)展和完善。矩陣概念的引入使得更多有關(guān)行列式的性質(zhì)被發(fā)現(xiàn)，行列式在許多領(lǐng)域都逐漸顯現(xiàn)出重要的意義和作用，出現(xiàn)了線性自同態(tài)和向量組的行列式的定義。

　　特性

　　行列式的特性可以被概括為一個(gè)多次交替線性形式，這個(gè)本質(zhì)使得行列式在歐幾里德空間中可以成為描述“體積”的函數(shù)。

　　若干數(shù)字組成的一個(gè)類似于矩陣的方陣，與矩陣不同的是，矩陣的表示是用中括號(hào)，而行列式則用線段。行列式的值是按下述方式可能求得的所有不同的積的代數(shù)和，既是一個(gè)實(shí)數(shù)：求每一個(gè)積時(shí)依次從每一行取一個(gè)元因子，而這每一個(gè)元因子又需取自不同的列，作為乘數(shù)，積的符號(hào)是正是負(fù)決定于要使各個(gè)乘數(shù)的列的指標(biāo)順序恢復(fù)到自然順序所需的換位次數(shù)是偶數(shù)還是奇數(shù)。也可以這樣解釋：行列式是矩陣的所有不同行且不同列的元素之積的代數(shù)和，和式中每一項(xiàng)的符號(hào)由積的各元素的行指標(biāo)與列指標(biāo)的逆序數(shù)之和決定：若逆序數(shù)之和為偶數(shù)，則該項(xiàng)為正;若逆序數(shù)之和為奇數(shù)，則該項(xiàng)為負(fù)。

　　逆序數(shù)

　　在一個(gè)排列中，如果一對(duì)數(shù)的前后位置與大小順序相反，即前面的數(shù)大于后面的數(shù)，那么它們就稱為一個(gè)逆序。一個(gè)排列中逆序的總數(shù)就稱為這個(gè)排列的逆序數(shù)。逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列;逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列。如2431中，21，43，41，31是逆序，逆序數(shù)是4，為偶排列。

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