浙教版八年級下數(shù)學期末試卷
寒窗苦讀出成果，筆走龍蛇猶有神。預(yù)祝：八年級數(shù)學期末考試時能超水平發(fā)揮。下面是學習啦小編為大家整編的浙教版八年級下數(shù)學期末試卷，大家快來看看吧。
浙教版八年級下數(shù)學期末試題
一、精心選擇，一錘定音(每小題3分共18分)
1.下列二次根式中，最簡二次根式是( )
A. B. C. D.
2.矩形具有而菱形不具有的性質(zhì)是( )
A.兩組對邊分別平行 B.對角線相等
C.對角線互相平分 D.兩組對角分別相等
3.三角形的三邊長分別為a、b、c，且滿足等式：(a+b)2﹣c2=2ab，則此三角形是( )
A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.等腰三角形
4.下列函數(shù)的圖象中，不經(jīng)過第一象限的是( )
A.y=x+3 B.y=x﹣3 C.y=﹣x+1 D.y=﹣x﹣1
5.某公司10名職工5月份工資統(tǒng)計如下，該公司10名職工5月份工資的眾數(shù)和中位數(shù)分別是( )
工資(元) 2000 2200 2400 2600
人數(shù)(人) 1 3 4 2
A.2400元、2400元 B.2400元、2300元
C.2200元、2200元 D.2200元、2300元
6.均勻地向一個瓶子注水，最后把瓶子注滿.在注水過程中，水面高度h隨時間t的變化規(guī)律如圖所示，則這個瓶子的形狀是下列的( )
A. B. C. D.
二、細心填一填(每小題3分共18分)
7.函數(shù)y= 中自變量x的取值范圍是 .
8.若把一次函數(shù)y=2x﹣3，向上平移3個單位長度，得到圖象解析式是 .
9.若x<2，化簡 +|3﹣x|的正確結(jié)果是 .
10.如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點E，F(xiàn)分別是線段AO，BO的中點.若AC+BD=24cm，△OAB的周長是18cm，則EF的長為 .
11.已知一次函數(shù)y=ax+b的圖象如圖，根據(jù)圖中信息請寫出不等式ax+b≥0的解集為 .
12.如圖，在平面直角坐標系中，O為原點，四邊形OABC是矩形，A(10，0)，C(0，3)，點D是OA的中點，點P在BC邊上運動，當△ODP是腰長為5的等腰三角形時，點P的坐標是 .
三、用心做一做
13.計算： +2 ﹣( ﹣ )
14.已知正方形ABCD如圖所示，M、N在直線BC上，MB=NC，試分別在圖1、圖2中僅用無刻度的直尺畫出一個不同的等腰三角形OMN.
15.如圖，已知四邊形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四邊形ABCD的面積.
16.已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(1，1)和點(﹣1，﹣3).
(1)求這個一次函數(shù)的解析式;
(2)在給定的直角坐標系xOy中畫出這個一次函數(shù)的圖象，并指出當x增大時y如何變化?
17.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，對角線AC，BD交于點O，過點O畫直線EF分別交AD，BC于點E，F(xiàn)，求證：AE=CF.
四.本大題共四小題(每小題8分，共32分)
18.如圖，E、F分別是菱形ABCD的邊AB、AC的中點，且AB=5，AC=6.
(1)求對角線BD的長;
(2)求證：四邊形AEOF為菱形.
19.已知直線y=kx+b經(jīng)過點A(5，0)，B(1，4).
(1)求直線AB的解析式;
(2)若直線y=2x﹣4與直線AB相交于點C，求點C的坐標;
(3)根據(jù)圖象，寫出關(guān)于x的不等式2x﹣4>kx+b的解集.
20.“十年樹木，百年樹人”，教師的素養(yǎng)關(guān)系到國家的未來.我市某區(qū)招聘音樂教師采用筆試、專業(yè)技能測試、說課三種形式進行選拔，這三項的成績滿分均為100分，并按2：3：5的比例折合納入總分，最后，按照成績的排序從高到低依次錄取.該區(qū)要招聘2名音樂教師，通過筆試、專業(yè)技能測試篩選出前6名選手進入說課環(huán)節(jié)，這6名選手的各項成績見下表：
序號 1 2 3 4 5 6
筆試成績 66 90 86 64 65 84
專業(yè)技能測試成績 95 92 93 80 88 92
說課成績 85 78 86 88 94 85
(1)筆試成績的極差是多少?
(2)寫出說課成績的中位數(shù)、眾數(shù);
(3)已知序號為1，2，3，4號選手的成績分別為84.2分，84.6分，88.1分，80.8分，請你判斷這六位選手中序號是多少的選手將被錄用?為什么?
21.已知A，B兩地公路長300km，甲、乙兩車同時從A地出發(fā)沿同一公路駛往B地，2小時后，甲車接到電話需返回這條公路上的C處取回貨物，于是甲車立即原路返回C地，取了貨物又立即趕往B地(取貨物的時間忽略不計)，結(jié)果兩車同時到達B地.兩車的速度始終保持不變，設(shè)兩車出發(fā)xh后，甲、乙距離A地的距離分別為y1(km)和y2(km)，它們的函數(shù)圖象分別是折線OPQR和線段OR.
(1)求A、C兩地之間的距離;
(2)甲、乙兩車在途中相遇時，距離A地多少千米?
五.本大題共二小題(22題10分，23題12分)
22.現(xiàn)場學習題
問題背景：
在△ABC中，AB、BC、AC三邊的長分別為 、 、 ，求這個三角形的面積.
小輝同學在解答這道題時，先建立一個正方形網(wǎng)格(每個小正方形的邊長為1)，再在網(wǎng)格中畫出格點△ABC(即△ABC三個頂點都在小正方形的頂點處)，如圖1所示，這樣不需求△ABC的高，而借用網(wǎng)格就能計算出它的面積.
(1)請你將△ABC的面積直接填寫在橫線上. .
思維拓展：
(2)我們把上述求△ABC面積的方法叫做構(gòu)圖法，若△ABC三邊的長分別為 a，2 a、 a(a>0)，請利用圖2的正方形網(wǎng)格(每個小正方形的邊長為a)畫出相應(yīng)的△ABC，并求出它的面積是： .
探索創(chuàng)新：
(3)若△ABC三邊的長分別為 、 、2 (m>0，n>0，m≠n)，請運用構(gòu)圖法在圖3指定區(qū)域內(nèi)畫出示意圖，并求出△ABC的面積為： .
23.如圖，已知四邊形ABCD為正方形，AB=2 ，點E為對角線AC上一動點，連接DE，過點E作EF⊥DE，交射線BC于點F，以DE，EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG.
(1)求證：矩形DEFG是正方形;
(2)探究：CE+CG的值是否為定值?若是，請求出這個定值;若不是，請說明理由;
(3)設(shè)AE=x，四邊形DEFG的面積為S，求出S與x的函數(shù)關(guān)系式.
浙教版八年級下數(shù)學期末試卷參考答案
一、精心選擇，一錘定音(每小題3分共18分)
1.下列二次根式中，最簡二次根式是( )
A. B. C. D.
【考點】最簡二次根式.
【分析】判定一個二次根式是不是最簡二次根式的方法，就是逐個檢查最簡二次根式的兩個條件是否同時滿足，同時滿足的就是最簡二次根式，否則就不是.
【解答】解：A、 = ，被開方數(shù)含分母，不是最簡二次根式;故A選項錯誤;
B、 = ，被開方數(shù)為小數(shù)，不是最簡二次根式;故B選項錯誤;
C、 ，是最簡二次根式;故C選項正確;
D. =5 ，被開方數(shù)，含能開得盡方的因數(shù)或因式，故D選項錯誤;
故選C.
2.矩形具有而菱形不具有的性質(zhì)是( )
A.兩組對邊分別平行 B.對角線相等
C.對角線互相平分 D.兩組對角分別相等
【考點】矩形的性質(zhì);菱形的性質(zhì).
【分析】根據(jù)矩形與菱形的性質(zhì)對各選項分析判斷后利用排除法求解.
【解答】解：A、矩形與菱形的兩組對邊都分別平行，故本選項錯誤;
B、矩形的對角線相等，菱形的對角線不相等，故本選項正確;
C、矩形與菱形的對角線都互相平分，故本選項錯誤;
D、矩形與菱形的兩組對角都分別相等，故本選項錯誤.
故選B.
3.三角形的三邊長分別為a、b、c，且滿足等式：(a+b)2﹣c2=2ab，則此三角形是( )
A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.等腰三角形
【考點】勾股定理的逆定理.
【分析】因為a、b、c，為三角形的三邊長，可化簡：(a+b)2﹣c2=2ab，得到結(jié)論.
【解答】解：∵(a+b)2﹣c2=2ab，
∴a2+b2=c2.
所以為直角三角形.
故選B.
4.下列函數(shù)的圖象中，不經(jīng)過第一象限的是( )
A.y=x+3 B.y=x﹣3 C.y=﹣x+1 D.y=﹣x﹣1
【考點】一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.
【分析】根據(jù)k，b的取值范圍確定圖象在坐標平面內(nèi)的位置，從而求解.
【解答】解：A、y=x+3經(jīng)過第一、二、三象限，A不正確;
B、y=x﹣3經(jīng)過第一、三、三象限，B不正確;
C、y=﹣x+1經(jīng)過第一、二、四象限，C不正確;
D、y=﹣x﹣1經(jīng)過第二、三、四象限，D正確;
故選：D.
5.某公司10名職工5月份工資統(tǒng)計如下，該公司10名職工5月份工資的眾數(shù)和中位數(shù)分別是( )
工資(元) 2000 2200 2400 2600
人數(shù)(人) 1 3 4 2
A.2400元、2400元 B.2400元、2300元
C.2200元、2200元 D.2200元、2300元
【考點】眾數(shù);中位數(shù).
【分析】根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義求解即可;中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從小到大重新排列，找出最中間的兩個數(shù)的平均數(shù)，眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù).
【解答】解：∵2400出現(xiàn)了4次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，
∴眾數(shù)是2400;
∵共有10個數(shù)，
∴中位數(shù)是第5、6個數(shù)的平均數(shù)，
∴中位數(shù)是÷2=2400;
故選A.
6.均勻地向一個瓶子注水，最后把瓶子注滿.在注水過程中，水面高度h隨時間t的變化規(guī)律如圖所示，則這個瓶子的形狀是下列的( )
A. B. C. D.
【考點】函數(shù)的圖象.
【分析】根據(jù)圖象可得水面高度開始增加的慢，后來增加的快，從而可判斷容器下面粗，上面細，結(jié)合選項即可得出答案.
【解答】解：因為水面高度開始增加的慢，后來增加的快，
所以容器下面粗，上面細.
故選B.
二、細心填一填(每小題3分共18分)
7.函數(shù)y= 中自變量x的取值范圍是 x≤1.5且x≠﹣1 .
【考點】函數(shù)自變量的取值范圍.
【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)和分式的意義，被開方數(shù)大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范圍.
【解答】解：根據(jù)題意得：3﹣2x≥0且x+1≠0，
解得：x≤1.5且x≠﹣1.
故答案為x≤1.5且x≠﹣1.
8.若把一次函數(shù)y=2x﹣3，向上平移3個單位長度，得到圖象解析式是 y=2x .
【考點】一次函數(shù)圖象與幾何變換.
【分析】根據(jù)平移法則上加下減可得出解析式.
【解答】解：由題意得：平移后的解析式為：y=2x﹣3+3=2x.
故答案為：y=2x.
9.若x<2，化簡 +|3﹣x|的正確結(jié)果是 5﹣2x .
【考點】二次根式的性質(zhì)與化簡;絕對值.
【分析】先根據(jù)x的取值范圍，判斷出x﹣2和3﹣x的符號，然后再將原式進行化簡.
【解答】解：∵x<2，
∴x﹣2<0，3﹣x>0;
∴ +|3﹣x|=﹣(x﹣2)+(3﹣x)
=﹣x+2+3﹣x=5﹣2x.
10.如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點E，F(xiàn)分別是線段AO，BO的中點.若AC+BD=24cm，△OAB的周長是18cm，則EF的長為 3cm .
【考點】三角形中位線定理;平行四邊形的性質(zhì).
【分析】根據(jù)AC+BD=24厘米，可得出出OA+OB=12cm，繼而求出AB，判斷EF是△OAB的中位線即可得出EF的長度.
【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA=OC，OB=OD，
又∵AC+BD=24厘米，
∴OA+OB=12cm，
∵△OAB的周長是18厘米，
∴AB=6cm，
∵點E，F(xiàn)分別是線段AO，BO的中點，
∴EF是△OAB的中位線，
∴EF= AB=3cm.
故答案為：3cm.
11.已知一次函數(shù)y=ax+b的圖象如圖，根據(jù)圖中信息請寫出不等式ax+b≥0的解集為 x≥﹣1 .
【考點】一次函數(shù)與一元一次不等式.
【分析】觀察函數(shù)圖形得到當x≥﹣1時，一次函數(shù)y=ax+b的函數(shù)值不小于0，即ax+b≥0.
【解答】解：根據(jù)題意得當x≥﹣1時，ax+b≥0，
即不等式ax+b≥0的解集為x≥﹣1.
故答案為：x≥﹣1.
12.如圖，在平面直角坐標系中，O為原點，四邊形OABC是矩形，A(10，0)，C(0，3)，點D是OA的中點，點P在BC邊上運動，當△ODP是腰長為5的等腰三角形時，點P的坐標是 (4，3)(1，3)(9，3) .
【考點】等腰三角形的判定;坐標與圖形性質(zhì);矩形的性質(zhì).
【分析】因為點D是OA的中點，所以O(shè)D=5，又因為△ODP是腰長為5的等腰三角形，過P作OD垂線，與OD交于Q點，則分兩種情況討論：OP=5或PD=5，再計算求得結(jié)果.
【解答】解：由題意得：OD=5
∵△ODP是腰長為5的等腰三角形
∴OP=5或PD=5
過P作OD垂線，與OD交于Q點
∴PQ=OC=3
∴如果OP=5，那么直角△OPQ的直角邊OQ=4，則點P的坐標是(4，3);
如果PD=5，那么QD=4，OQ=1，則點P的坐標是(1，3);
如果PD=5，那么QD=4，OD=5，OQ=9，則點P的坐標是(9，3).
三、用心做一做
13.計算： +2 ﹣( ﹣ )
【考點】二次根式的加減法.
【分析】分別化簡二次根式，進而合并求出即可.
【解答】解： +2 ﹣( ﹣ )
=2 +2 ﹣3 +
=3 ﹣ .
14.已知正方形ABCD如圖所示，M、N在直線BC上，MB=NC，試分別在圖1、圖2中僅用無刻度的直尺畫出一個不同的等腰三角形OMN.
【考點】作圖—復(fù)雜作圖.
【分析】連結(jié)AC和BD，它們相交于點O，連結(jié)OM、ON，則△OMN為等腰三角形，如圖1;連結(jié)AN和BM，它們相交于點O，則△OMN為等腰三角形，如圖2.
【解答】解：如圖1、2，△OMN為所作.
15.如圖，已知四邊形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四邊形ABCD的面積.
【考點】勾股定理;勾股定理的逆定理.
【分析】連接AC，在直角三角形ABC中，由AB及BC的長，利用勾股定理求出AC的長，再由AD及CD的長，利用勾股定理的逆定理得到三角形ACD為直角三角形，根據(jù)四邊形ABCD的面積=直角三角形ABC的面積+直角三角形ACD的面積，即可求出四邊形的面積.
【解答】解：連接AC，如圖所示：
∵∠B=90°，
∴△ABC為直角三角形，
又∵AB=3，BC=4，
∴根據(jù)勾股定理得：AC= =5，
又∵CD=12，AD=13，
∴AD2=132=169，CD2+AC2=122+52=144+25=169，
∴CD2+AC2=AD2，
∴△ACD為直角三角形，∠ACD=90°，
則S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD= AB•BC+ AC•CD= ×3×4+ ×5×12=36.
故四邊形ABCD的面積是36.
16.已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(1，1)和點(﹣1，﹣3).
(1)求這個一次函數(shù)的解析式;
(2)在給定的直角坐標系xOy中畫出這個一次函數(shù)的圖象，并指出當x增大時y如何變化?
【考點】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式;一次函數(shù)的圖象.
【分析】(1)設(shè)一次函數(shù)解析式為y=kx+b，將已知兩點坐標代入求出k與b的值，即可確定出解析式;
(2)做出函數(shù)圖象，如圖所示，根據(jù)增減性即可得到結(jié)果.
【解答】解：(1)設(shè)一次函數(shù)解析式為y=kx+b，
將(1，1)與(﹣1，﹣3)代入得 ，
解得：k=2，b=﹣1，
則一次函數(shù)解析式為y=2x﹣1;
(2)如圖所示，y隨著x的增大而增大.
17.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，對角線AC，BD交于點O，過點O畫直線EF分別交AD，BC于點E，F(xiàn)，求證：AE=CF.
【考點】平行四邊形的性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì).
【分析】由四邊形ABCD是平行四邊形，可得AD∥BC，OA=OC，繼而可利用ASA，判定△AOE≌△COF，繼而證得OE=OF.
【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，OA=OC，
∴∠OAE=∠OCF，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴OE=OF.
四.本大題共四小題(每小題8分，共32分)
18.如圖，E、F分別是菱形ABCD的邊AB、AC的中點，且AB=5，AC=6.
(1)求對角線BD的長;
(2)求證：四邊形AEOF為菱形.
【考點】菱形的判定與性質(zhì);勾股定理.
【分析】(1)利用菱形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理得出OB的長即可得出DB的長;
(2)利用三角形中位線定理進而得出四邊形AEOF是平行四邊形，再利用菱形的判定方法得出即可.
【解答】(1)解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥DB，AO= AC，BO= DB，
∵AC=6，
∴AO=3，
∵AB=5，
∴OB= =4，
∴DB=8;
(2)證明：∵E，O分別是BA，BD中點，
∴OE AD，
同理可得：AF AD，
∴四邊形AEOF是平行四邊形，
又∵AB=AD，∴AE=AF，
∴平行四邊形AEOF是菱形.
19.已知直線y=kx+b經(jīng)過點A(5，0)，B(1，4).
(1)求直線AB的解析式;
(2)若直線y=2x﹣4與直線AB相交于點C，求點C的坐標;
(3)根據(jù)圖象，寫出關(guān)于x的不等式2x﹣4>kx+b的解集.
【考點】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式;一次函數(shù)與一元一次不等式;兩條直線相交或平行問題.
【分析】(1)利用待定系數(shù)法把點A(5，0)，B(1，4)代入y=kx+b可得關(guān)于k、b得方程組，再解方程組即可;
(2)聯(lián)立兩個函數(shù)解析式，再解方程組即可;
(3)根據(jù)C點坐標可直接得到答案.
【解答】解：(1)∵直線y=kx+b經(jīng)過點A(5，0)，B(1，4)，
∴ ，
解得 ，
∴直線AB的解析式為：y=﹣x+5;
(2)∵若直線y=2x﹣4與直線AB相交于點C，
∴ .
解得 ，
∴點C(3，2);
(3)根據(jù)圖象可得x>3.
20.“十年樹木，百年樹人”，教師的素養(yǎng)關(guān)系到國家的未來.我市某區(qū)招聘音樂教師采用筆試、專業(yè)技能測試、說課三種形式進行選拔，這三項的成績滿分均為100分，并按2：3：5的比例折合納入總分，最后，按照成績的排序從高到低依次錄取.該區(qū)要招聘2名音樂教師，通過筆試、專業(yè)技能測試篩選出前6名選手進入說課環(huán)節(jié)，這6名選手的各項成績見下表：
序號 1 2 3 4 5 6
筆試成績 66 90 86 64 65 84
專業(yè)技能測試成績 95 92 93 80 88 92
說課成績 85 78 86 88 94 85
(1)筆試成績的極差是多少?
(2)寫出說課成績的中位數(shù)、眾數(shù);
(3)已知序號為1，2，3，4號選手的成績分別為84.2分，84.6分，88.1分，80.8分，請你判斷這六位選手中序號是多少的選手將被錄用?為什么?
【考點】加權(quán)平均數(shù);中位數(shù);眾數(shù);極差.
【分析】(1)根據(jù)極差的公式：極差=最大值﹣最小值求解即可.
(2)根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的概念求解即可;
(3)根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的計算方法求出5號和6號選手的成績，進行比較即可.
【解答】解：(1)筆試成績的最高分是90，最低分是64，
∴極差=90﹣64=26.
(2)將說課成績按從小到大的順序排列：78、85、85、86、88、94，
∴中位數(shù)是(85+86)÷2=85.5，
85出現(xiàn)的次數(shù)最多，∴眾數(shù)是85.
(3)5號選手的成績?yōu)椋?5×0.2+88×0.3+94×0.5=86.4分;
6號選手的成績?yōu)椋?4×0.2+92×0.3+85×0.5=86.9分.
∵序號為1，2，3，4號選手的成績分別為84.2分，84.6分，88.1分，80.8分，
∴3號選手和6號選手，應(yīng)被錄取.
21.已知A，B兩地公路長300km，甲、乙兩車同時從A地出發(fā)沿同一公路駛往B地，2小時后，甲車接到電話需返回這條公路上的C處取回貨物，于是甲車立即原路返回C地，取了貨物又立即趕往B地(取貨物的時間忽略不計)，結(jié)果兩車同時到達B地.兩車的速度始終保持不變，設(shè)兩車出發(fā)xh后，甲、乙距離A地的距離分別為y1(km)和y2(km)，它們的函數(shù)圖象分別是折線OPQR和線段OR.
(1)求A、C兩地之間的距離;
(2)甲、乙兩車在途中相遇時，距離A地多少千米?
【考點】一次函數(shù)的應(yīng)用.
【分析】(1)由圖象和題意可得，甲行駛的總的路程，從而可以求得甲接到電話返回C處的距離，從而可以得到A、C兩地之間的距離;
(2)根據(jù)題意和圖象，可以得到PQ的解析式和OR的解析式，從而可以求得兩車相遇時的時間和距離A地的距離.
【解答】解：(1)由圖象可知，
甲車2h行駛的路程是180km，可以得到甲行駛的速度是180÷2=90km/h，
甲行駛的總路程是：90×5=450km，
故甲從接到電話到返回C處的路程是：÷2=75km，
故A、C兩地之間的距離是：180﹣75=105km，
即A、C兩地之間的距離是105km;
(2)由圖象和題意可得，
甲從接到電話返回C處用的時間為：(5﹣ )÷2= 小時，
故點Q的坐標為( ，105)，
設(shè)過點P(2，180)，Q( ，105)的直線解析式為y=kx+b，
則
解得，
即直線PQ的解析式為y=﹣90x+360，
設(shè)過點O(0，0)，R(5，300)的直線的解析式為y=mx，
則300=5m，得m=60，
即直線OR的解析式為y=60x，
則 ，
解得 .
即甲、乙兩車在途中相遇時，距離A地144千米.
五.本大題共二小題(22題10分，23題12分)
22.現(xiàn)場學習題
問題背景：
在△ABC中，AB、BC、AC三邊的長分別為 、 、 ，求這個三角形的面積.
小輝同學在解答這道題時，先建立一個正方形網(wǎng)格(每個小正方形的邊長為1)，再在網(wǎng)格中畫出格點△ABC(即△ABC三個頂點都在小正方形的頂點處)，如圖1所示，這樣不需求△ABC的高，而借用網(wǎng)格就能計算出它的面積.
(1)請你將△ABC的面積直接填寫在橫線上. 2.5 .
思維拓展：
(2)我們把上述求△ABC面積的方法叫做構(gòu)圖法，若△ABC三邊的長分別為 a，2 a、 a(a>0)，請利用圖2的正方形網(wǎng)格(每個小正方形的邊長為a)畫出相應(yīng)的△ABC，并求出它的面積是： 3a2 .
探索創(chuàng)新：
(3)若△ABC三邊的長分別為 、 、2 (m>0，n>0，m≠n)，請運用構(gòu)圖法在圖3指定區(qū)域內(nèi)畫出示意圖，并求出△ABC的面積為： 3mn .
【考點】作圖—應(yīng)用與設(shè)計作圖;勾股定理.
【分析】(1)把△ABC所在長方形畫出來，再用矩形的面積減去周圍多余三角形的面積即可;
(2) a是直角邊長為a、a的直角三角形的斜邊;2 a是直角邊長為4a，2a的直角三角形的斜邊; a是直角邊長為a，5a的直角三角形的斜邊，把它整理為一個矩形的面積減去三個直角三角形的面積;
(3)結(jié)合(1)，(2)易得此三角形的三邊分別是直角邊長為n，4m的直角三角形的斜邊;直角邊長為2m，2n的直角三角形的斜邊;直角邊長為2m，n的直角三角形的斜邊.同樣把它整理為一個矩形的面積減去三個直角三角形的面積.
【解答】解：(1)S△ABC=4×2﹣ ×4×1﹣ ×1×1﹣ ×2×3=2.5，
故答案為：2.5;
(2)如圖所示：
S△ABC=5a×2a﹣ ×a×a﹣ ×2a×4a﹣ ×a×5a=3a2，
故答案為：3a2;
(3)如圖所示：
S△ABC=4m×2n﹣ ×2m×2n﹣ ×2m×n﹣ ×4m×n=3mn，
故答案為：3mn.
23.如圖，已知四邊形ABCD為正方形，AB=2 ，點E為對角線AC上一動點，連接DE，過點E作EF⊥DE，交射線BC于點F，以DE，EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG.
(1)求證：矩形DEFG是正方形;
(2)探究：CE+CG的值是否為定值?若是，請求出這個定值;若不是，請說明理由;
(3)設(shè)AE=x，四邊形DEFG的面積為S，求出S與x的函數(shù)關(guān)系式.
【考點】四邊形綜合題.
【分析】(1)作出輔助線，得到EN=EM，然后判斷∠DEN=∠FEM，得到△DEM≌△FEM，則有DE=EF即可;
(2)同(1)的方法判斷出△ADE≌△CDG得到CG=AE，即：CE+CG=CE+AE=AC=4;
(3)由正方形的性質(zhì)得到∠DAE=45°，表示出AM=EM，再表示出DM，再用勾股定理求出DE2.
【解答】解：(1)如圖，作EM⊥BC，EN⊥CD
∴∠MEN=90°，
∵點E是正方形ABCD對角線上的點，
∴EM=EN，
∵∠DEF=90°，
∴∠DEN=∠MEF，
在△DEM和△FEM中，
，
∴△DEM≌△FEM，
∴EF=DE，
∵四邊形DEFG是矩形，
∴矩形DEFG是正方形;
(2)CE+CG的值是定值，定值為4，
∵正方形DEFG和正方形ABCD，
∴DE=DG，AD=DC，
∵∠CDG+∠CDE=∠ADE+∠CDE=90°，
∴∠CDG=∠ADE，
∴△ADE≌△CDG，
∴AE=CE.
∴CE+CG=VE+AE=AC= AB= ×2 =4，
(3)如圖，
∵正方形ABCD中，AB=2 ，
∴AC=4，
過點E作EM⊥AD，
∴∠DAE=45°，
∵AE=x，
∴AM=EM= x，
在Rt△DME中，DM=AD﹣AM=4﹣ x，EM= x，
根據(jù)勾股定理得，DE2=DM2+EM2=(4﹣ x)2+( x)2=x2﹣4 x+16，
∵四邊形DEFG為正方形，
∴S=S正方形DEFG=DE2=x2﹣4 x+16.
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