八年級數(shù)學單元期末沖刺卷
八年級數(shù)學單元期末沖刺卷
不耍小聰明，不作弊應當是我們學習的原則，也應當是我們做人的原則。下面由學習啦小編為你整理的八年級單元期末沖刺卷答案數(shù)學，希望對大家有幫助!
八年級單元期末沖刺卷數(shù)學
一、選擇題：(本大題共6題，每題3分，滿分18分)[每小題只有一個正確選項，在答題紙相應題號的選項上用2B鉛筆正確填涂]
1.如果最簡二次根式 與 是同類二次根式，那么x的值是( )
A.﹣1 B.0 C.1 D.2
2.下列代數(shù)式中， +1的一個有理化因式是( )
A. B. C. +1 D. ﹣1
3.如果關于x的方程ax2﹣3x+2=0是一元二次方程，那么a取值范圍是( )
A.a>0 B.a≥0 C.a=1 D.a≠0
4.下面說法正確的是( )
A.一個人的體重與他的年齡成正比例關系
B.正方形的面積和它的邊長成正比例關系
C.車輛所行駛的路程S一定時，車輪的半徑r和車輪旋轉(zhuǎn)的周數(shù)m成反比例關系
D.水管每分鐘流出的水量Q一定時，流出的總水量y和放水的時間x成反比例關系
5.下列條件中不能判定兩個直角三角形全等的是( )
A.兩個銳角分別對應相等
B.兩條直角邊分別對應相等
C.一條直角邊和斜邊分別對應相等
D.一個銳角和一條斜邊分別對應相等
6.如圖，已知△ABC中，∠ACB=90°，CH、CM分別是斜邊AB上的高和中線，則下列結(jié)論正確的是( )
A.CM=BC B.CB= AB C.∠ACM=30° D.CH•AB=AC•BC
二、填空題(本題共12小題，每小題2分，滿分24分)[在答題紙相應題號后的空格內(nèi)直接填寫答案]
7.計算： = .
8.計算： = .
9.如果關于x的一元二次方程x2+4x﹣m=0沒有實數(shù)根，那么m的取值范圍是 .
10.在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式x2﹣4x﹣1= .
11.函數(shù) 的定義域是 .
12.如果正比例函數(shù)y=(k﹣3)x的圖象經(jīng)過第一、三象限，那么k的取值范圍是 .
13.命題“全等三角形的周長相等”的逆命題是 .
14.經(jīng)過已知點A和點B的圓的圓心的軌跡是 .
15.已知直角坐標平面內(nèi)兩點A(﹣3，1)和B(1，2)，那么A、B兩點間的距離等于 .
16.如果在四邊形ABCD中，∠B=60°，AB=BC=13，AD=12，DC=5，那么∠ADC= .
17.邊長為5的等邊三角形的面積是 .
18.已知在△AOB中，∠B=90°，AB=OB，點O的坐標為(0，0)，點A的坐標為(0，4)，點B在第一象限內(nèi)，將這個三角形繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)75°后，那么旋轉(zhuǎn)后點B的坐標為 .
三、解答題(本大題共8題，滿分58分)[將下列各題的解答過程，做在答題紙的相應位置上]
19.計算： .
20.解方程：(x﹣ )2+4 x=0.
21.已知關于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+(m﹣2)2=0有一個根為0，求這個方程根的判別式的值.
22.如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，AB=10cm，點D在邊AC上，且點D到邊AB和邊BC的距離相等.
(1)作圖：在AC上求作點D;(保留作圖痕跡，不寫作法)
(2)求CD的長.
23.如圖，在直角坐標系xOy中，反比例函數(shù)圖象與直線y= x相交于橫坐標為2的點A.
(1)求反比例函數(shù)的解析式;
(2)如果點B在直線y= x上，點C在反比例函數(shù)圖象上，BC∥x軸，BC=3，且BC在點A上方，求點B的坐標.
24.如圖，已知在△ABC中，∠ABC=90°，點E是AC的中點，聯(lián)結(jié)BE，過點C作CD∥BE，且∠ADC=90°，在DC取點F，使DF=BE，分別聯(lián)結(jié)BD、EF.
(1)求證：DE=BE;
(2)求證：EF垂直平分BD.
25.為改善奉賢交通狀況，使奉賢區(qū)融入上海1小時交通圈內(nèi)，上海軌交5號線南延伸工程于2014年啟動，并將于2017年年底通車.
(1)某施工隊負責地鐵沿線的修路工程，原計劃每周修2000米，但由于設備故障第一周少修了20%，從第二周起工程隊增加了工人和設備，加快了速度，第三周修了2704米，求該工程隊第二周、第三周平均每周的增長率.
(2)軌交五號線從西渡站到南橋新城站，行駛過程中的路程y(千米)與時間x(分鐘)之間的函數(shù)圖象如圖所示.請根據(jù)圖象解決下列問題：
?、偾髖關于x的函數(shù)關系式并寫出定義域;
?、谲壗晃逄柧€從西渡站到南橋新城站沿途經(jīng)過奉浦站，如果它從西渡站到奉浦站的路程是4千米，那么軌交五號
線從西渡站到奉浦站需要多少時間?
26.如圖，已知△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=2，點P是邊AB上的一個動點，以點P為圓心，PB的長為半徑畫弧，交射線BC于點D，射線PD交射線AC于點E.
(1)當點D與點C重合時，求PB的長;
(2)當點E在AC的延長線上時，設PB=x，CE=y，求y關于x的函數(shù)關系式，并寫出定義域;
(3)當△PAD是直角三角形時，求PB的長.
2015-2016學年上海市奉賢區(qū)八年級(上)期末數(shù)學試卷
八年級單元期末沖刺卷數(shù)學答案
一、選擇題：(本大題共6題，每題3分，滿分18分)[每小題只有一個正確選項，在答題紙相應題號的選項上用2B鉛筆正確填涂]
1.如果最簡二次根式 與 是同類二次根式，那么x的值是( )
A.﹣1 B.0 C.1 D.2
【考點】同類二次根式.
【分析】根據(jù)題意，它們的被開方數(shù)相同，列出方程求解即可.
【解答】解：由最簡二次根式 與 是同類二次根式，
得x+2=3x，
解得x=1.
故選：C.
2.下列代數(shù)式中， +1的一個有理化因式是( )
A. B. C. +1 D. ﹣1
【考點】分母有理化.
【分析】根據(jù)有理化因式的定義進行求解即可.兩個含有根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有根式，那么這兩個代數(shù)式相互叫做有理化因式.
【解答】解：∵由平方差公式，( )( )=x﹣1，
∴ 的有理化因式是 ，
故選D.
3.如果關于x的方程ax2﹣3x+2=0是一元二次方程，那么a取值范圍是( )
A.a>0 B.a≥0 C.a=1 D.a≠0
【考點】一元二次方程的定義.
【分析】本題根據(jù)一元二次方程的定義解答.
一元二次方程必須滿足兩個條件：(1)未知數(shù)的最高次數(shù)是2;(2)二次項系數(shù)不為0.
【解答】解：依題意得：a≠0.
故選：D.
4.下面說法正確的是( )
A.一個人的體重與他的年齡成正比例關系
B.正方形的面積和它的邊長成正比例關系
C.車輛所行駛的路程S一定時，車輪的半徑r和車輪旋轉(zhuǎn)的周數(shù)m成反比例關系
D.水管每分鐘流出的水量Q一定時，流出的總水量y和放水的時間x成反比例關系
【考點】反比例函數(shù)的定義;正比例函數(shù)的定義.
【分析】分別利用反比例函數(shù)、正比例函數(shù)以及二次函數(shù)關系分別分析得出答案.
【解答】解：A、一個人的體重與他的年齡成正比例關系，錯誤;
B、正方形的面積和它的邊長是二次函數(shù)關系，故此選項錯誤;
C、車輛所行駛的路程S一定時，車輪的半徑r和車輪旋轉(zhuǎn)的周數(shù)m成反比例關系，正確;
D、水管每分鐘流出的水量Q一定時，流出的總水量y和放水的時間x成正比例關系，故此選項錯誤;
故選：C.
5.下列條件中不能判定兩個直角三角形全等的是( )
A.兩個銳角分別對應相等
B.兩條直角邊分別對應相等
C.一條直角邊和斜邊分別對應相等
D.一個銳角和一條斜邊分別對應相等
【考點】直角三角形全等的判定.
【分析】根據(jù)三角形全等的判定對各選項分析判斷后利用排除法求解.
【解答】解：A、兩個銳角對應相等，不能說明兩三角形能夠完全重合，符合題意;
B、可以利用邊角邊判定兩三角形全等，不符合題意;
C、可以利用邊角邊或HL判定兩三角形全等，不符合題意;
D、可以利用角角邊判定兩三角形全等，不符合題意.
故選：A.
6.如圖，已知△ABC中，∠ACB=90°，CH、CM分別是斜邊AB上的高和中線，則下列結(jié)論正確的是( )
A.CM=BC B.CB= AB C.∠ACM=30° D.CH•AB=AC•BC
【考點】三角形的角平分線、中線和高.
【分析】由△ABC中，∠ACB=90°，利用勾股定理即可求得AB2=AC2+BC2;由△ABC中，∠ACB=90°，CH是高，易證得△ACH∽△CHB，然后由相似三角形的對應邊成比例，證得CH2=AH•HB;由△ABC中，∠ACB=90°，CM是斜邊AB上中線，根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，即可得CM= AB.
【解答】解：△ABC中，∠ACB=90°，CM分別是斜邊AB上的中線，可得：CM=AM=MB，但不能得出CM=BC，故A錯誤;
根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，即可得CM= AB，但不能得出CB= AB，故B錯誤;
△ABC中，∠ACB=90°，CH、CM分別是斜邊AB上的高和中線，無法得出∠ACM=30°，故C錯誤;
由△ABC中，∠ACB=90°，利用勾股定理即可求得AB2=AC2+BC2;由△ABC中，∠ACB=90°，CH是高，易證得△ACH∽△CHB，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例得出CH•AB=AC•BC，故D正確;
故選D
二、填空題(本題共12小題，每小題2分，滿分24分)[在答題紙相應題號后的空格內(nèi)直接填寫答案]
7.計算： = 2 .
【考點】算術(shù)平方根.
【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的性質(zhì)進行化簡，即 =|a|.
【解答】解： = =2 .
故答案為2 .
8.計算： = 2a .
【考點】二次根式的加減法.
【分析】先化簡二次根式，再作加法計算.
【解答】解：原式=a+a=2a，故答案為：2a.
9.如果關于x的一元二次方程x2+4x﹣m=0沒有實數(shù)根，那么m的取值范圍是 m<﹣4 .
【考點】根的判別式.
【分析】根據(jù)關于x的一元二次方程x2+4x﹣m=0沒有實數(shù)根，得出△=16﹣4(﹣m)<0，從而求出m的取值范圍.
【解答】解：∵一元二次方程x2+4x﹣m=0沒有實數(shù)根，
∴△=16﹣4(﹣m)<0，
∴m<﹣4，
故答案為m<﹣4.
10.在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式x2﹣4x﹣1= (x﹣2+ )(x﹣2﹣ ) .
【考點】實數(shù)范圍內(nèi)分解因式.
【分析】根據(jù)完全平方公式配方，然后再把5寫成( )2利用平方差公式繼續(xù)分解因式.
【解答】解：原式=x2﹣4x+4﹣5
=(x﹣2)2﹣5
=(x﹣2+ )(x﹣2﹣ ).
故答案為：(x﹣2+ )(x﹣2﹣ ).
11.函數(shù) 的定義域是 x>﹣2 .
【考點】函數(shù)自變量的取值范圍.
【分析】根據(jù)當表達式的分母中含有自變量時，自變量取值要使分母不為零，求解即可.
【解答】解：由題意得： >0，
即：x+2>0，
解得：x>﹣2.
故答案為：x>﹣2.
12.如果正比例函數(shù)y=(k﹣3)x的圖象經(jīng)過第一、三象限，那么k的取值范圍是 k>3 .
【考點】正比例函數(shù)的性質(zhì).
【分析】根據(jù)正比例函數(shù)y=(k﹣3)x的圖象經(jīng)過第一、三象限得出k的取值范圍即可.
【解答】解：因為正比例函數(shù)y=(k﹣3)x的圖象經(jīng)過第一、三象限，
所以k﹣3>0，
解得：k>3，
故答案為：k>3.
13.命題“全等三角形的周長相等”的逆命題是 周長相等的三角形是全等三角形 .
【考點】命題與定理.
【分析】交換原命題的題設和結(jié)論即可得到原命題的逆命題.
【解答】解：命題“全等三角形的周長相等”的逆命題是周長相等的三角形是全等三角形，
故答案為：周長相等的三角形是全等三角形、
14.經(jīng)過已知點A和點B的圓的圓心的軌跡是 線段AB的垂直平分線 .
【考點】軌跡.
【分析】要求作經(jīng)過已知點A和點B的圓的圓心，則圓心應滿足到點A和點B的距離相等，從而根據(jù)線段的垂直平分線性質(zhì)即可求解.
【解答】解：根據(jù)同圓的半徑相等，則圓心應滿足到點A和點B的距離相等，即經(jīng)過已知點A和點B的圓的圓心的軌跡是線段AB的垂直平分線.
故答案為線段AB的垂直平分線.
15.已知直角坐標平面內(nèi)兩點A(﹣3，1)和B(1，2)，那么A、B兩點間的距離等于 .
【考點】兩點間的距離公式.
【分析】根據(jù)兩點間的距離公式，可以得到問題的答案.
【解答】解：∵直角坐標平面內(nèi)兩點A(﹣3，1)和B(1，2)，
∴A、B兩點間的距離為： = .
故答案為 .
16.如果在四邊形ABCD中，∠B=60°，AB=BC=13，AD=12，DC=5，那么∠ADC= 90° .
【考點】勾股定理的逆定理;等邊三角形的判定與性質(zhì).
【分析】根據(jù)等邊三角形的判定得出△ABC是等邊三角形，求出AC=13，根據(jù)勾股定理的逆定理推出即可.
【解答】解：連接AC，
∵∠B=60°，AB=BC=13，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AC=13，
∵AD=12，CD=5，
∴AD2+CD2=AC2，
∴∠AC=90°，
故答案為：90°.
17.邊長為5的等邊三角形的面積是 .
【考點】等邊三角形的性質(zhì).
【分析】根據(jù)等邊三角形三線合一的性質(zhì)可以求得高線AD的長度，根據(jù)三角形的面積公式即可得出結(jié)果.
【解答】解：如圖所示：作AD⊥BC于D，
∵△ABC是等邊三角形，
∴D為BC的中點，BD=DC= ，
在Rt△ABD中，AB=5，BD= ，
∴AD= = = ，
∴等邊△ABC的面積= BC•AD= ×5× = .
故答案為： .
18.已知在△AOB中，∠B=90°，AB=OB，點O的坐標為(0，0)，點A的坐標為(0，4)，點B在第一象限內(nèi)，將這個三角形繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)75°后，那么旋轉(zhuǎn)后點B的坐標為 ( ， ) .
【考點】坐標與圖形變化-旋轉(zhuǎn);解直角三角形.
【分析】易得△AOB的等腰直角三角形，那么OB的長為2 ，繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)75°后，那么點B與y軸正半軸組成30°的角，利用相應的三角函數(shù)可求得旋轉(zhuǎn)后點B的坐標.
【解答】解：∵∠B=90°，AB=OB，點O的坐標為(0，0)，點A的坐標為(0，4)，
∴OA=4.
∴OB=2 ，
∵將這個三角形繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)75°，
∴點B與y軸正半軸組成30°的角，
點B的橫坐標為﹣ ，縱坐標為 .
∴旋轉(zhuǎn)后點B的坐標為( ， ).
三、解答題(本大題共8題，滿分58分)[將下列各題的解答過程，做在答題紙的相應位置上]
19.計算： .
【考點】二次根式的加減法.
【分析】根據(jù)二次根式的加減法，即可解答.
【解答】解：由題意，得 m>0
原式=
=
20.解方程：(x﹣ )2+4 x=0.
【考點】二次根式的混合運算.
【分析】利用完全平方公式把原方程變形，根據(jù)二次根式的加減法法則整理，解方程即可.
【解答】解： ，
，
，
，
所以原方程的解是： .
21.已知關于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+(m﹣2)2=0有一個根為0，求這個方程根的判別式的值.
【考點】整式的加減—化簡求值.
【分析】首先根據(jù)x的一元二次方程x2+(2m+1)x+(m﹣2)2=0有一個根為0，可得(m﹣2)2=0，據(jù)此求出m的值是多少;然后根據(jù)△=b2﹣4ac，求出這個方程根的判別式的值是多少即可.
【解答】解：∵關于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+(m﹣2)2=0有一個根為0，
∴(m﹣2)2=0，
解得m=2，
∴原方程是x2+5x=0，
∴△=b2﹣4ac
=52﹣4×1×0
=25
∴這個方程根的判別式的值是25.
22.如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，AB=10cm，點D在邊AC上，且點D到邊AB和邊BC的距離相等.
(1)作圖：在AC上求作點D;(保留作圖痕跡，不寫作法)
(2)求CD的長.
【考點】作圖—基本作圖;全等三角形的判定與性質(zhì);角平分線的性質(zhì).
【分析】(1)直接利用角平分線的做法得出符合題意的圖形;
(2)直接利用角平分線的性質(zhì)結(jié)合全等三角形的判定與性質(zhì)得出BC=BE，進而得出DC的長.
【解答】解：(1)如圖所示：
(2)過點D作DE⊥AB，垂足為點E，
∵點D到邊AB和邊BC的距離相等，
∴BD平分∠ABC.(到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上)
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴DC=DE.(角平分線上的點到角的兩邊的距離相等)
在Rt△CBD和Rt△EBD中，
∴Rt△CBD≌Rt△EBD(HL)，
∴BC=BE.
∵在△ABC中，∠C=90°，
∴AB2=BC2+AC2.(勾股定理)
∵AC=6cm，AB=10cm，
∴BC=8cm.
∴AE=10﹣8=2cm.
設DC=DE=x，
∵AC=6cm，
∴AD=6﹣x.
∵在△ADE中，∠AED=90°，
∴AD2=AE2+DE2.(勾股定理)
∴(6﹣x)2=22+x2.
解得： .
即CD的長是 .
23.如圖，在直角坐標系xOy中，反比例函數(shù)圖象與直線y= x相交于橫坐標為2的點A.
(1)求反比例函數(shù)的解析式;
(2)如果點B在直線y= x上，點C在反比例函數(shù)圖象上，BC∥x軸，BC=3，且BC在點A上方，求點B的坐標.
【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題.
【分析】(1)把x=2代入y= x得出點A坐標，從而求得反比例函數(shù)的解析式;
(2)設點C( ，m)，根據(jù)BC∥x軸，得點B(2m，m)，再由BC=3，列出方程求得m，檢驗得出答案.
【解答】解：(1)設反比例函數(shù)的解析式為y= (k≠0)，
∵橫坐標為2的點A在直線y= x上，∴點A的坐標為(2，1)，
∴1= ，
∴k=2，
∴反比例函數(shù)的解析式為 ;
(2)設點C( ，m)，則點B(2m，m)，
∴BC=2m﹣ =3，
∴2m2﹣3m﹣2=0，
∴m1=2，m2=﹣ ，
m1=2，m2=﹣ 都是方程的解，但m=﹣ 不符合題意，
∴點B的坐標為(4，2).
24.如圖，已知在△ABC中，∠ABC=90°，點E是AC的中點，聯(lián)結(jié)BE，過點C作CD∥BE，且∠ADC=90°，在DC取點F，使DF=BE，分別聯(lián)結(jié)BD、EF.
(1)求證：DE=BE;
(2)求證：EF垂直平分BD.
【考點】直角三角形斜邊上的中線;線段垂直平分線的性質(zhì).
【分析】(1)根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)求出BE=DE，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出即可;
(2)證出DE=DF，得出∠DEF=∠DFE，證出∠BEF=∠DEF，即可得出結(jié)論.
【解答】(1)證明：∵∠ABC=90°，∠ADC=90°，點E是AC的中點，
∴ ， .(直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半)
∴BE=DE.
(2)證明：∵CD∥BE，
∴∠BEF=∠DFE.
∵DF=BE，BE=DE，
∴DE=DF.
∴∠DEF=∠DFE.
∴∠BEF=∠DEF.
∴EF垂直平分BD.(等腰三角形三線合一)
25.為改善奉賢交通狀況，使奉賢區(qū)融入上海1小時交通圈內(nèi)，上海軌交5號線南延伸工程于2014年啟動，并將于2017年年底通車.
(1)某施工隊負責地鐵沿線的修路工程，原計劃每周修2000米，但由于設備故障第一周少修了20%，從第二周起工程隊增加了工人和設備，加快了速度，第三周修了2704米，求該工程隊第二周、第三周平均每周的增長率.
(2)軌交五號線從西渡站到南橋新城站，行駛過程中的路程y(千米)與時間x(分鐘)之間的函數(shù)圖象如圖所示.請根據(jù)圖象解決下列問題：
?、偾髖關于x的函數(shù)關系式并寫出定義域;
?、谲壗晃逄柧€從西渡站到南橋新城站沿途經(jīng)過奉浦站，如果它從西渡站到奉浦站的路程是4千米，那么軌交五號
線從西渡站到奉浦站需要多少時間?
【考點】一元二次方程的應用;一次函數(shù)的應用.
【分析】(1)首先表示出第一周修的長度，進而利用結(jié)合求第二周、第三周平均每周的增長率，得出等式求出答案;
(2)①直接利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，再利用圖形得出x的取值范圍;
?、诋攜=4代入函數(shù)解析式進而求出答案.
【解答】解：(1)設該工程隊第二周、第三周平均每周的增長率為x，
由題意，得 2000(1﹣20%)(1+x)2=2704.
整理，得 (1+x)2=1.69.
解得 x1=0.3，x2=﹣2.3.(不合題意，舍去)
答：該工程隊第二周、第三周平均每周的增長率是30%.
(2)①由題意可知y關于x的函數(shù)關系式是y=kx(k≠0)，
由圖象經(jīng)過點(10，12)得：12=10k，
解得：k= .
∴y關于x的函數(shù)關系是：y= x(0≤x≤10);
?、谟深}意可知y=4，
∴ ，
解得：x= ，
答：五號線從西渡站到奉浦站需要 分鐘.
26.如圖，已知△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=2，點P是邊AB上的一個動點，以點P為圓心，PB的長為半徑畫弧，交射線BC于點D，射線PD交射線AC于點E.
(1)當點D與點C重合時，求PB的長;
(2)當點E在AC的延長線上時，設PB=x，CE=y，求y關于x的函數(shù)關系式，并寫出定義域;
(3)當△PAD是直角三角形時，求PB的長.
【考點】三角形綜合題.
【分析】(1)根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AC= AB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠PCB=∠B=30°，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論;
(2)由等腰三角形的性質(zhì)得到∠PDB=∠B=30°，求得AE=AP，即可得到結(jié)論;
(3)①如圖2，當點E在AC的延長線上時，求得∠PDA=90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到PD= AP，解方程得到x= ;②如圖3，當點E在AC邊上時，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AP= PD.解方程得到x= .
【解答】解：(1)如圖1，∵在△ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴AC= AB，
∵AC=2，
∴AB=4，
∵以點P為圓心，PB的長為半徑畫弧，交射線BC于點D，點D與點C重合，
∴PD=PB，
∴∠PCB=∠B=30°，
∴∠APC=∠ACD=60°，
∴AP=AC=2，
∴BP=2;
(2)∵PD=PB，∠ABC=30°，
∴∠PDB=∠B=30°，
∴∠APE=60°，∠CDE=30°，
∵∠ACD=90°，
∴∠AEP=60°，
∴AE=AP，
∵PB=x，CE=y，
∴2+y=4﹣x，y=2﹣x.(0
(3)①如圖2，當點E在AC的延長線上時，連接AD，
∵△PAD是直角三角形，∠APD=60°，∠PAD<60°，
∴∠PDA=90°，
∴∠PAD=30°.
∴PD= AP，
即x= (4﹣x)，
∴x= ;
②如圖3，當點E在AC邊上時，連接AD
∵△PAD是直角三角形，∠APD=60°，∠ADP<60°，
∴∠PAD=90°，
∴∠PDA=30°.
∴AP= PD.即4﹣x= x，
∴x= .
綜上所述：當PB的長是 或 時，△PAD是直角三角形.