2016高考數(shù)學(xué)備考

　　隨著高考的接近，你做好復(fù)習(xí)的準(zhǔn)備了嗎?下面是學(xué)習(xí)啦小編為大家收集整理的2016高考數(shù)學(xué)備考知識(shí)點(diǎn)，相信這些文字對(duì)你會(huì)有所幫助的。

　　2016高考數(shù)學(xué)備考：空間立體幾何

　　1. 若球O1、O2的表面積之比=4，則它們的半徑之比=________.

　　2.用半徑為2的半圓形鐵皮卷成一個(gè)圓錐筒，則該圓錐筒的體積為________.

　　3.一個(gè)正三棱柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為6 cm的正方形，則此三棱柱的體積為________cm3.

　　4.有一根長(zhǎng)為5 cm，底面半徑為1 cm的圓柱形鐵管，用一段鐵絲纏繞3圈，并使鐵絲的兩個(gè)端點(diǎn)落在圓柱的同一條母線的兩端，則鐵絲的最短長(zhǎng)度是________.

　　【例1】　根據(jù)下列對(duì)幾何體結(jié)構(gòu)特征的描述，在橫線上填寫出相應(yīng)的幾何體的名稱.

　　(1) 由八個(gè)面圍成，其中兩個(gè)面是互相平行且全等的正六邊形，其他各面都是矩形.________________;

　　(2) 一個(gè)直角三角形繞著其一條直角邊旋轉(zhuǎn)360°形成的封閉曲面所圍成的圖形.________________;

　　(3) 一個(gè)等腰梯形繞著兩底邊中點(diǎn)的連線所在直線旋轉(zhuǎn)180°形成的封閉曲面所圍成的圖形.________________;

　　(4) 一個(gè)直角梯形繞較長(zhǎng)的底邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面所圍成的幾何體.________________.

　　【例2】　如圖所示，半徑為R的半圓內(nèi)的陰影部分以直徑AB所在直線為軸，旋轉(zhuǎn)一周得到一幾何體，求該幾何體的表面積(其中∠BAC=30°)及其體積.

　　【例3】　如圖所示，已知正四棱錐SABCD中，底面邊長(zhǎng)為a，側(cè)棱長(zhǎng)為a.

　　(1) 求它的外接球的體積;

　　(2) 求它的內(nèi)切球的表面積.

　　【例4】　(2011·遼寧文)如圖，四邊形ABCD為正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD.

　　(1) 證明：PQ⊥平面DCQ;

　　(2) 求棱錐QABCD的體積與棱錐PDCQ的體積的比值.

　　1. (2011·福建)三棱錐PABC中，PA⊥底面ABC，PA=3，底面ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，則三棱錐PABC的體積等________.

　　2.(2011·全國)設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為2a、a、a，其頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為________.

　　3.(2011·上海)若圓錐的側(cè)面積為2π，底面面積為π，則該圓錐的體積為________.

　　4. (2011·四川)如圖，半徑為R的球O中有一內(nèi)接圓柱.當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時(shí)，球的表面積與該圓柱的側(cè)面積之差是________.

　　5.(2011·全國)如圖，已知四棱錐PABCD的底面為等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足為H，PH是四棱錐的高.

　　(1) 證明：平面PAC⊥平面PBD;

　　(2) 若AB=，∠APB=∠ADB=60°，求四棱錐PABCD的體積.

　　6. (2011·安徽理)如圖，ABEDFC為多面體，平面ABED⊥平面ACFD，點(diǎn)O在線段AD上，OA=1，OD=2，△OAB、△OAC、△ODE、△ODF都是正三角形.

　　(1) 證明：BC∥EF;

　　(2) 求棱錐FOBED的體積.

　　(2010·安徽)(本小題滿分14分)如圖所示，四棱錐PABCD的底面ABCD是半徑為R的圓的內(nèi)接四邊形，其中BD是圓的直徑，∠ABD=60°，∠BDC=45°，△ADP∽△BAD.

　　(1) 求線段PD的長(zhǎng);

　　(2) 若PC=R，求三棱錐PABC的體積.

　　解：(1) ∵ BD是圓的直徑　∴ ∠BAD=90°.(2分)

　　又△ADP∽△BAD，∴ =，(4分)

　　DP====3R.(7分)

　　(2 ) 在Rt△BCD中，CD=BDcos45°=R.

　　∵ PD2+CD2=9R2+2R2=11R2=PC2，∴ PD⊥CD.(9分)

　　又∠PDA=90°，∴ PD⊥底面ABCD，

　　S△ABC=AB·BCsin(60°+45°)=R2，(12分)

　　VPABC=S△ABC·PD=R3.(14分)

　　2016高考數(shù)學(xué)備考：空間幾何體的表面積與體積

　　1. 下列結(jié)論正確的是____________(寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)).

　　① 各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐;

　?、?以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐;

　?、?棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面多邊形的邊長(zhǎng)相等，則該棱錐可能是六棱錐;

　?、?圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上的任意一點(diǎn)的連線都是母線.

　　【答案】④

　　2. 正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為，則四面體AB1CD1的外接球的體積為__________.

　　【答案】　π　解析：四面體的外接球就是該正方體的外接球.

　　3. 有一棱長(zhǎng)為a的正方體骨架，其內(nèi)放置一氣球，使其充氣且盡可能地大(仍保持為球的形狀)，則氣球表面積的最大值為____________.

　　【答案】　2πa2　解析：當(dāng)氣球表面積最大時(shí)，球與正方體的棱相切.

　　4. 已知△ABC的三邊長(zhǎng)為a，b，c，內(nèi)切圓半徑為r(用S△ABC表示△ABC的面積)，則S△ABC=r(a+b+c);類比這一結(jié)論有：若三棱錐A—BCD的內(nèi)切球半徑為R，則三棱錐體積VA—BCD=____________.

　　【答案】　R(S△ABC+S△ABD+S△ACD+S△BCD)

　　5. 如圖所示，長(zhǎng)方體ABCD—A′B′C′D′中，用截面截下一個(gè)棱錐C—A′DD′，求棱錐C—A′DD′的體積與剩余部分的體積之比.

　　點(diǎn)撥：求棱錐C—A′DD′的體積直接用公式，剩余的體積用大減小.

　　解：已知長(zhǎng)方體可以看成直四棱柱ADD′A′—BCC′B′.

　　設(shè)它的底面ADD′A′面積為S，高為h，則它的體積為V=Sh.

　　而棱錐C—A′DD′的底面面積為S，高為h，

　　因此，棱錐C—A′DD′的體積VC—A′DD′=×Sh=Sh.

　　余下的體積是Sh-Sh=Sh.

　　所以棱錐C—A′DD′的體積與剩余部分的體積之比為1∶5.

　　6. 如圖，以長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1的頂點(diǎn)A、C及另兩個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)造四面體.

　　(1) 若該四面體的四個(gè)面都是直角三角形，試寫出一個(gè)這樣的四面體(不要求證明);

　　(2) 我們將四面體中兩條無公共端點(diǎn)的棱叫做對(duì)棱，若該四面體的任一對(duì)對(duì)棱垂直，試寫出一個(gè)這樣的四面體(不要求證明);

　　(3) 若該四面體的任一對(duì)對(duì)棱相等，試寫出一個(gè)這樣的四面體(不要求證明)，并計(jì)算它的體積與長(zhǎng)方體的體積的比.

　　解：(1) 如四面體A1—ABC或四面體C1—ABC或四面體A1—ACD或四面體C1—ACD;

　　(2) 如四面體B1—ABC或四面體D1—ACD;

　　(3) 如四面體A—B1CD1;

　　設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為a，b，c，則=.

　　例題選講

　　例1　【答案】　(1) 正六棱柱　(2) 圓錐　(3) 圓臺(tái)　(4) 由一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱組成的組合體

　　變式訓(xùn)練　下列命題正確的是________.

　?、?由五個(gè)面圍成的多面體只能是四棱錐;

　　② 棱錐的高線可能在幾何體之外;

　?、?有一個(gè)面是多邊形，其余各個(gè)面是三角形的幾何體是棱錐;

　?、?圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓面，那么此圓錐的軸截面是正三角形.

　　【答案】?、冖堋〗馕觯何鍌€(gè)面的多面體可能是三棱柱，故①錯(cuò);過三棱錐頂點(diǎn)引底面垂線，垂足有可能落在底面三角形外，故②對(duì);正八面體的各個(gè)面都是三角形，故③錯(cuò);設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，底面半徑為r，則πl2=πrl，所以l=2r，于是軸截面是正三角形，則④對(duì).

　　例2　解：如圖所示，過C作C1O⊥AB于O1，

　　在半圓中可得∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=2R，

　　∴ AC=R，BC=R，CO1=R，

　　∴ S球=4πR2，

　　S圓錐AO1側(cè)=π×R×R=πR2，

　　S圓錐BO1側(cè)=π×R×R=πR2，

　　∴ S幾何體=S球+S圓錐AO1側(cè)+S圓錐BO1側(cè)=4πR2+πR2+πR2=πR2，

　　∴ 旋轉(zhuǎn)所得到的幾何體的表面積為πR2.

　　又V球=πR3，V圓錐AO1=AO1·π·CO=πR2·AO1，

　　V圓錐BO1=BO1·π·CO=BO1·πR2，

　　∴ V幾何體=V球-(V圓錐AO1+V圓錐BO1)

　　=πR3-πR3=πR3，

　　∴ 旋轉(zhuǎn)所得到的幾何體的體積為πR3.

　　變式訓(xùn)練　如圖所示，扇形的中心角為90°，其所在圓的半徑為R，弦AB將扇形分成兩個(gè)部分，這兩部分各以AO為軸旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)體的體積V1和V2之比為____________.

　　【答案】　1∶1　解析：因?yàn)閂1=πR2·R=πR3，V1+V2=×πR3=πR3，所以V2=πR3，即V1∶V2=1∶1

　　例3　點(diǎn)撥：首先確定球心的位置，然后利用截面解三角形求解.

　　解：(1) 設(shè)外接球的半徑為R，球心為O，則OA=OC=OS，所以O(shè)為△SAC的外心，即△SAC的外接圓半徑就是球的半徑.

　　∵ AB=BC=a，∴ AC=a.

　　∵ SA=SC=AC=a，∴ △SAC為正三角形.

　　由正弦定理得2R===a，

　　因此，R=a，V球=πR3=πa3.

　　(2) 設(shè)內(nèi)切球半徑為r，作SE⊥底面ABCD于E，作SF⊥BC于F，連結(jié)EF，

　　則有SF=

　　==a，

　　S△SBC=BC·SF=a×a=a2.

　　S棱錐全=4S△SBC+S底=(+1)a2.

　　又SE===a，

　　∴ V棱錐=S底h=a2×a=a3.

　　∴ r===a，S球=4πr2=πa2.

　　變式訓(xùn)練　如圖正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，沿DE，EF，F(xiàn)D將△DAE，△EBF，△FCD折起來，使A，B，C三點(diǎn)重合于點(diǎn)S, 則三棱錐S—DEF的外接球體積為__________.

　　【答案】　πa3　解析：由題意可知SD、SE、SF兩兩垂直，則外接球的半徑R=a

　　∴ V=πR3=πa3.

　　例4　(1) 證明：由條件知四邊形PDAQ為直角梯形，

　　因?yàn)镼A⊥平面ABCD，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交線為AD.又四邊形ABCD為正方形，DC⊥AD，所以DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC.

　　在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=PD，則PQ⊥QD，

　　所以PQ⊥平面DCQ.

　　(2) 解：設(shè)AB=a.由題設(shè)知AQ為棱錐Q—ABCD的高，

　　所以棱錐Q—ABCD的體積V1=a3.

　　由(1)知PQ為棱錐P—DCQ的高，而PQ=a，△DCQ的面積為a2，

　　所以棱錐P—DCQ的體積為V2=a3.

　　故棱錐Q—ABCD的體積與棱錐P—DCQ的體積的比值為1.