九年級數(shù)學(xué)上冊第三次月考試卷
九年級數(shù)學(xué)上冊第三次月考試卷
九年級的新學(xué)期開始不久，同學(xué)們即將迎來第三次月考的時刻了，同學(xué)們需要準備哪些數(shù)學(xué)月考試卷來練習(xí)呢?下面是學(xué)習(xí)啦小編為大家?guī)淼年P(guān)于九年級數(shù)學(xué)上冊第三次月考試卷，希望會給大家?guī)韼椭?/p>
九年級數(shù)學(xué)上冊第三次月考試卷及答案解析：
一、選擇題(本大題共11小題，每小題4分，共40分)
1.拋物線y=(x﹣1)2+2的頂點是( )
A.(1，﹣2) B.(1，2) C.(﹣1，2) D.(﹣1，﹣2)
【考點】二次函數(shù)的性質(zhì).
【分析】已知拋物線解析式為頂點式，根據(jù)頂點式的坐標特點，直接寫成頂點坐標.
【解答】解：因為拋物線y=2(x﹣1)2+2是頂點式，
根據(jù)頂點式的坐標特點，頂點坐標為(1，2).
故選B.
【點評】拋物線的頂點式的應(yīng)用.
2.⊙O是△ABC的外接圓，若∠ABC=40°，則∠AOC的度數(shù)為( )
A.20° B.40° C.60° D.80°
【考點】圓周角定理.
【分析】由⊙O是△ABC的外接圓，若∠ABC=40°，根據(jù)圓周角定理，即可求得答案.
【解答】解：∵⊙O是△ABC的外接圓，∠ABC=40°，
∴∠AOC=2∠ABC=80°.
故選：D.
【點評】此題考查了圓周角定理.此題比較簡單，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
3.某廠一月份的總產(chǎn)量為500噸，三月份的總產(chǎn)量達到為720噸.若平均每月增長率是x，則可以列方程( )
A.500(1+2x)=720 B.500(1+x)2=720 C.500(1+x2)=720 D.720(1+x)2=500
【考點】由實際問題抽象出一元二次方程.
【專題】增長率問題.
【分析】主要考查增長率問題，一般用增長后的量=增長前的量×(1+增長率)，如果設(shè)平均每月增率是x，那么根據(jù)三月份的產(chǎn)量可以列出方程.
【解答】解：設(shè)平均每月增率是x，
二月份的產(chǎn)量為：500×(1+x);
三月份的產(chǎn)量為：500(1+x)2=720;
故本題選B.
【點評】找到關(guān)鍵描述語，找到等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵;本題考查求平均變化率的方法.若設(shè)變化前的量為a，變化后的量為b，平均變化率為x，則經(jīng)過兩次變化后的數(shù)量關(guān)系為a(1±x)2=b(當增長時中間的“±”號選“+”，當降低時中間的“±”號選“﹣”).
4.如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+x﹣1=0有實數(shù)根，則a的取值范圍是( )
A.a>﹣ B.a≥﹣ C.a≥﹣ 且a≠0 D.a> 且a≠0
【考點】根的判別式;一元二次方程的定義.
【分析】在判斷一元二次方程根的情況的問題中，必須滿足下列條件：
(1)二次項系數(shù)不為零;
(2)在有實數(shù)根的情況下必須滿足△=b2﹣4ac≥0.
【解答】解：依題意列方程組
，
解得a≥﹣ 且a≠0.故選C.
【點評】本題考查了一元二次方程根的判別式的應(yīng)用.切記不要忽略一元二次方程二次項系數(shù)不為零這一隱含條件.
5.下列形中，是中心對稱形的是( )
A. B. C. D.
【考點】中心對稱形.
【分析】根據(jù)中心對稱形的概念，即可求解.
【解答】解：中心對稱形，即把一個形繞一個點旋轉(zhuǎn)180°后能和原來的形重合，只有A符合;
B，C，D不是中心對稱形.
故選;A.
【點評】本題考查了中心對稱形的概念：在同一平面內(nèi)，如果把一個形繞某一點旋轉(zhuǎn)180度，旋轉(zhuǎn)后的形能和原形完全重合，那么這個形就叫做中心對稱形.
6.下列事件是隨機事件的為( )
A.度量三角形的內(nèi)角和，結(jié)果是180°
B.經(jīng)過城市中有交通信號燈的路口，遇到紅燈
C.爸爸的年齡比爺爺大
D.通常加熱到100℃時，水沸騰
【考點】隨機事件.
【分析】隨機事件就是可能發(fā)生，也可能不發(fā)生的事件，依據(jù)定義即可作出判斷.
【解答】A、是必然事件，選項錯誤;
B、正確;
C、是不可能事件，選項錯誤;
D、是必然事件，選項錯誤.
故選B.
【點評】解決本題需要正確理解必然事件、不可能事件、隨機事件的概念.必然事件指在一定條件下一定發(fā)生的事件.不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件.不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件.
7.將二次函數(shù)y=x2﹣2x+3化為y=(x﹣h)2+k的形式，結(jié)果為( )
A.y=(x+1)2+4 B.y=(x﹣1)2+4 C.y=(x+1)2+2 D.y=(x﹣1)2+2
【考點】二次函數(shù)的三種形式.
【分析】本題是將一般式化為頂點式，由于二次項系數(shù)是1，只需加上一次項系數(shù)的一半的平方來湊成完全平方式即可.
【解答】解：y=x2﹣2x+3=x2﹣2x+1﹣1+3=(x﹣1)2+2.
故選：D.
【點評】二次函數(shù)的解析式有三種形式：
(1)一般式：y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c為常數(shù));
(2)頂點式：y=a(x﹣h)2+k;
(3)交點式(與x軸)：y=a(x﹣x1)(x﹣x2).
8.已知一個圓錐的側(cè)面積是150π，母線為15，則這個圓錐的底面半徑是( )
A.5 B.10 C.15 D.20
【考點】圓錐的計算.
【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積=底面半徑×母線長×π，進而求出即可.
【解答】解：∵母線為15，設(shè)圓錐的底面半徑為x，
∴圓錐的側(cè)面積=π×15×x=150π.
解得：x=10.
故選：B.
【點評】本題考查了圓錐的計算，熟練利用圓錐公式求出是解題關(guān)鍵.
9.將拋物線y=x2向左平移2個單位，所得拋物線的解析式為( )
A.y=x2﹣2 B.y=x2+2 C.y=(x+2)2 D.y=(x﹣2)2
【考點】二次函數(shù)象與幾何變換.
【專題】存在型.
【分析】直接根據(jù)“左加右減”的原則進行解答即可.
【解答】解：由“左加右減”的原則可知，將拋物線y=x2向左平移2個單位，所得拋物線的解析式為：y=(x+2)2.
故選C.
【點評】本題考查的是二次函數(shù)的象與幾何變換，熟知函數(shù)象平移的法則是解答此題的關(guān)鍵.
10.CD是⊙O的直徑，AB是弦(不是直徑)，AB⊥CD于點E，則下列結(jié)論正確的是( )
A.AE>BE B. = C.∠AEC=2∠D D.∠B=∠C.
【考點】垂徑定理;圓周角定理.
【分析】根據(jù)垂徑定理和圓周角定理判斷即可.
【解答】解：∵AB⊥CD，CD過O，
∴AE=BE，弧AD=弧BD，
連接OA，
則∠AOC=2∠ADE，
∵∠AEC>∠AOC，
∴∠AEC=2∠D錯誤;
∵AB不是直徑，
∴根據(jù)已知不能推出弧AC=弧BD，
∴∠B和∠C不相等，
即只有選項B正確;選項A、C、D都錯誤;
故選A.
【點評】本題考查了垂徑定理和圓周角定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力和辨析能力.
11.P是邊長為1的正方形ABCD對角線AC上一動點(P與A、C不重合)，點E在射線BC上，且PE=PB.設(shè)AP=x，△PBE的面積為y.則下列象中，能表示y與x的函數(shù)關(guān)系的象大致是( )
A.. B.. C.. D..
【考點】動點問題的函數(shù)象.
【分析】過點P作PF⊥BC于F，若要求△PBE的面積，則需要求出BE，PF的值，利用已知條件和正方形的性質(zhì)以及勾股定理可求出BE，PF的值.再利用三角形的面積公式得到y(tǒng)與x的關(guān)系式，此時還要考慮到自變量x的取值范圍和y的取值范圍.
【解答】解：過點P作PF⊥BC于F，
∵PE=PB，
∴BF=EF，
∵正方形ABCD的邊長是1，
∴AC= = ，
∵AP=x，∴PC= ﹣x，
∴PF=FC= ( ﹣x)=1﹣ x，
∴BF=FE=1﹣FC= x，
∴S△PBE= BE•PF= x(1﹣ x)=﹣ x2+ x，
即y=﹣ x2+ x(0
∴y是x的二次函數(shù)(0
故選D.
【點評】本題考查了動點問題的函數(shù)象，和正方形的性質(zhì);等于直角三角形的性質(zhì);三角形的面積公式.對于此類問題來說是典型的數(shù)形結(jié)合，象應(yīng)用信息廣泛，通過看獲取信息，不僅可以解決生活中的實際問題，還可以提高分析問題、解決問題的能力.用象解決問題時，要理清象的含義即會識.
二、填空題(本大題共7小題，每小題3分，共21分)
12.已知⊙O的半徑為4cm，如果圓心O到直線L的距離為3.5cm，那么直線L與⊙O的位置關(guān)系是相交.
【考點】直線與圓的位置關(guān)系.
【分析】運用直線與圓的三種位置關(guān)系，結(jié)合3.5<4，即可解決問題.
【解答】解：∵⊙O的半徑為4，
圓心O到直線L的距離為3.5，而3.5<4，
∴直線L與⊙O相交.
故答案為：相交.
【點評】該題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系及其應(yīng)用問題;若圓的半徑為λ，圓心到直線的距離為μ，當λ>μ時，直線與圓相交;當λ=μ時，直線與圓相切;當λ<μ時，直線與圓相離.
13.如果扇形的圓心角為120°，半徑為3cm，那么扇形的面積是3πcm2，弧長2πcm.
【考點】扇形面積的計算;弧長的計算.
【分析】先根據(jù)扇形的面積公式計算出扇形的面積，再根據(jù)弧長公式計算出其弧長即可.
【解答】解：∵扇形的圓心角為120°，半徑為3cm，
∴S扇形= =3π(cm2);l= =2π(cm).
故答案為：3π，2π.
【點評】本題考查的是扇形面積的計算，熟記扇形的面積公式是解答此題的關(guān)鍵.
14.一個口袋里放有三枚除顏色外都相同的棋子，其中有兩枚是白色的，一枚是紅色的.從中隨機摸出一枚記下顏色，放回口袋攪勻，再從中隨機摸出一枚記下顏色，兩次摸出棋子顏色不同的概率是 .
【考點】列表法與樹狀法.
【專題】計算題.
【分析】根據(jù)題意列出表格得出所有等可能的情況數(shù)，找出顏色不同的情況數(shù)，即可求出所求的概率.
【解答】解：列表如下：
白 白 紅
白 (白，白) (白，白) (紅，白)
白 (白，白) (白，白) (紅，白)
紅 (白，紅) (白，紅) (紅，紅)
所有等可能的情況有9種，其中兩次摸出棋子顏色不同的情況有5種，
則P(顏色不同)= .
故答案為： .
【點評】此題考查了列表法與樹狀法，用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.
15.所示，圓O的半徑為5，AB為弦，OC⊥AB，垂足為E，如果CE=2，那么AB的長是8.
【考點】垂徑定理;勾股定理.
【分析】連接OA;首先求出OE的長度;借助勾股定理求出AE的長度，即可解決問題.
【解答】 解：連接OA;
OE=OC﹣CE=5﹣2=3;
∵OC⊥AB，
∴AE=BE;
由勾股定理得：AE2=OA2﹣OE2，
∵OA=5，OE=3，
∴AE=4，AB=2AE=8.
故答案為8.
【點評】該題主要考查了勾股定理、垂徑定理等的應(yīng)用問題;作輔助線，構(gòu)造直角三角形，靈活運用勾股定理、垂徑定理來分析、判斷、解答是解題的關(guān)鍵.
16.在平面直角坐標系中，拋物線y= 經(jīng)過平移得到拋物線y= ，其對稱軸與兩段拋物線所圍成的陰影部分的面積為4.
【考點】二次函數(shù)象與幾何變換.
【分析】確定出拋物線y= x2﹣2x的頂點坐標，然后求出拋物線的對稱軸與原拋物線的交點坐標，從而判斷出陰影部分的面積等于三角形的面積，再根據(jù)三角形的面積公式列式計算即可得解.
【解答】解：∵y= x2﹣2x= (x﹣2)2﹣2，
∴平移后拋物線的頂點坐標為(2，﹣2)，對稱軸為直線x=2，
當x=2時，y= ×22=2，
∴平移后陰影部分的面積等于三角形的面積，
×(2+2)×2=4.
故答案為：4.
【點評】本題考查了二次函數(shù)象與幾何變換，確定出與陰影部分面積相等的三角形是解題的關(guān)鍵.
17.若a、b(a
【考點】解一元二次方程-因式分解法;關(guān)于x軸、y軸對稱的點的坐標.
【專題】計算題.
【分析】利用因式分解法求出已知方程的解確定出a與b的值，即可得出(a，b)關(guān)于x軸的對稱點坐標.
【解答】解：方程2x2﹣7x+3=0，
分解因式得：(2x﹣1)(x﹣3)=0，
解得：x1= ，x2=3，
∴a= ，b=3，
則( ，3)關(guān)于x軸的對稱點坐標為( ，﹣3)，
故答案為：( ，﹣3)
【點評】此題考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵.
18.所示，點A是半圓上的一個三等分點，B是劣弧 的中點，點P是直徑MN上的一個動點，⊙O的半徑為1，則AP+PB的最小值 .
【考點】垂徑定理;軸對稱-最短路線問題.
【專題】動點型.
【分析】本題是要在MN上找一點P，使PA+PB的值最小，設(shè)A′是A關(guān)于MN的對稱點，連接A′B，與MN的交點即為點P.此時PA+PB=A′B是最小值，可證△OA′B是等腰直角三角形，從而得出結(jié)果.
【解答】解：作點A關(guān)于MN的對稱點A′，連接A′B，交MN于點P，連接OA′，OA，OB，PA，AA′.
∵點A與A′關(guān)于MN對稱，點A是半圓上的一個三等分點，
∴∠A′ON=∠AON=60°，PA=PA′，
∵點B是弧AN的中點，
∴∠BON=30°，
∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°，
又∵OA=OA′=1，
∴A′B= .
∴PA+PB=PA′+PB=A′B= .
故答案為： .
【點評】本題結(jié)合形的性質(zhì)，考查軸對稱﹣﹣最短路線問題.其中求出∠BOA′的度數(shù)是解題的關(guān)鍵.
三、解答題(本大題共8題，共89分)
19.已知二次函數(shù)y=x2+2x﹣1.
(1)寫出它的頂點坐標;
(2)當x取何值時，y隨x的增大而增大;
(3)求出象與x軸的交點坐標.
【考點】二次函數(shù)的性質(zhì);拋物線與x軸的交點.
【分析】(1)配方后直接寫出頂點坐標即可;
(2)確定對稱軸后根據(jù)其開口方向確定其增減性即可;
(3)令y=0后求得x的值后即可確定與x軸的交點坐標;
【解答】解：(1)y=x2+2x﹣1=(x+1)2﹣2，
∴頂點坐標為：(﹣1，﹣2);
(2)∵y=x2+2x﹣1=(x+1)2﹣2的對稱軸為：x=﹣1，開口向上，
∴當x>﹣1時，y隨x的增大而增大;
(3)令y=x2+2x﹣1=0，解得：x=﹣1﹣ 或x=﹣1+ ，
∴象與x軸的交點坐標為(﹣1﹣ ，0)，(﹣1+ ，0).
【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是了解拋物線的有關(guān)性質(zhì).
20.設(shè)點A的坐標為(x，y)，其中橫坐標x可取﹣1、2，縱坐標y可取﹣1、1、2.
(1)求出點A的坐標的所有等可能結(jié)果(用樹狀或列表法求解);
(2)試求點A與點B(1，﹣1)關(guān)于原點對稱的概率.
【考點】列表法與樹狀法;關(guān)于原點對稱的點的坐標.
【分析】列舉出所有情況，讓所求的情況數(shù)除以總情況數(shù)即為所求的概率.
【解答】解：(解法一)
(1)列舉所有等可能結(jié)果，畫出樹狀如下
由上可知，點A的坐標的所有等可能結(jié)果為：(﹣1，﹣1)、(﹣1，1)、(﹣1，2)、
(2，﹣1)、(2，1)、(2，2)，共有6種，
(2)由(1)知，能與點B(1，﹣1)關(guān)于原點對稱的結(jié)果有1種.
∴P(點A與點B關(guān)于原點對稱)=
(解法二)(1)列表如下
﹣1 1 2
﹣1 (﹣1，﹣1) (﹣1，1) (﹣1，2)
2 (2，﹣1) (2，1) (21，2)
由一表可知，點A的坐標的所有等可能結(jié)果為：(﹣1，﹣1)、(﹣1，1)、(﹣1，2)、
(2，﹣1)、(2，1)、(2，2)，共有6種，
(2)由(1)知，能與點B(1，﹣1)關(guān)于原點對稱的結(jié)果有1種.
∴P(點A與點B關(guān)于原點對稱)= .
【點評】用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.兩點關(guān)于原點對稱，橫縱坐標均互為相反數(shù).
21.為了落實國務(wù)院的指示精神，某地方政府出臺了一系列“三農(nóng)”優(yōu)惠政策，使農(nóng)民收入大幅度增加.某農(nóng)戶生產(chǎn)經(jīng)銷一種農(nóng)產(chǎn)品，已知這種產(chǎn)品的成本價為每千克20元，市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該產(chǎn)品每天的銷售量y(千克)與銷售價x(元/千克)有如下關(guān)系：y=﹣2x+80.設(shè)這種產(chǎn)品每天的銷售利潤為w元.
(1)求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式.
(2)該產(chǎn)品銷售價定為每千克多少元時，每天的銷售利潤最大?最大利潤是多少元?
(3)如果物價部門規(guī)定這種產(chǎn)品的銷售價不高于每千克28元，該農(nóng)戶想要每天獲得150元的銷售利潤，銷售價應(yīng)定為每千克多少元?
【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用.
【專題】壓軸題.
【分析】(1)根據(jù)銷售額=銷售量×銷售單價，列出函數(shù)關(guān)系式;
(2)用配方法將(1)的函數(shù)關(guān)系式變形，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最大值;
(3)把y=150代入(2)的函數(shù)關(guān)系式中，解一元二次方程求x，根據(jù)x的取值范圍求x的值.
【解答】解：(1)由題意得出：
w=(x﹣20)∙y
=(x﹣20)(﹣2x+80)
=﹣2x2+120x﹣1600，
故w與x的函數(shù)關(guān)系式為：w=﹣2x2+120x﹣1600;
(2)w=﹣2x2+120x﹣1600=﹣2(x﹣30)2+200，
∵﹣2<0，
∴當x=30時，w有最大值.w最大值為200.
答：該產(chǎn)品銷售價定為每千克30元時，每天銷售利潤最大，最大銷售利潤200元.
(3)當w=150時，可得方程﹣2(x﹣30)2+200=150.
解得 x1=25，x2=35.
∵35>28，
∴x2=35不符合題意，應(yīng)舍去.
答：該農(nóng)戶想要每天獲得150元的銷售利潤，銷售價應(yīng)定為每千克25元.
【點評】本題考查了二次函數(shù)的運用.關(guān)鍵是根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式，運用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題.
22.已知二次函數(shù)y=x2﹣4x+3的象交x軸于A，B兩點(點A在點B的左側(cè))，交y軸于點C.
(1)求直線BC的解析式;
(2)點D是在直線BC下方的拋物線上的一個動點，當△BCD的面積最大時，求D點坐標.
【考點】拋物線與x軸的交點;待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式;二次函數(shù)象上點的坐標特征.
【專題】計算題.
【分析】(1)利用y=x2﹣4x+3的象交x軸于A、B兩點(點A在點B的左側(cè))，拋物線y=x2﹣4x+3交y軸于點C，即可得出A，B，C點的坐標，將B，C點的坐標分別代入y=kx+b(k≠0)，即可得出解析式;
(2)設(shè)過D點的直線與直線BC平行，且拋物線只有一個交點時，△BCD的面積最大.
【解答】解：(1)設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b(k≠0).
令x2﹣4x+3=0，
解得：x1=1，x2=3，
則A(1，0)，B(3，0)，C(0，3)，
將B(3，0)，C(0，3)，代入y=kx+b(k≠0)，得
，
解得：k=﹣1，b=3，
BC所在直線為：y=﹣x+3;
(2)設(shè)過D點的直線與直線BC平行，且拋物線只有一個交點時，△BCD的面積最大.
∵直線BC為y=﹣x+3，∴設(shè)過D點的直線為y=﹣x+b，
∴ ，∴x2﹣3x+3﹣b=0，
∴△=9﹣4(3﹣b)=0，
解得b= ，
∴ ，
解得， ，
則點D的坐標為：( ，﹣ ).
【點評】本題考查了二次函數(shù)綜合題型，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，利用平行線確定點到直線的最大距離問題.
23.所示，已知△ABC的三個頂點的坐標分別為A(﹣2，3)，B(﹣6，0)，C(﹣1，0).
(1)請直接寫出點A關(guān)于原點O對稱的點的坐標;
(2)將△ABC繞坐標原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，求A點經(jīng)過的路徑長;
(3)請直接寫出：以A、B、C為頂點的平行四邊形的第四個頂點D的坐標.
【考點】作-旋轉(zhuǎn)變換;平行四邊形的性質(zhì).
【分析】(1)直接寫出點A關(guān)于原點O對稱的點的坐標即可.
(2)根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點A、B、C繞坐標原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°對應(yīng)點A′、B′、C′的位置，然后順次連接即可，再根據(jù)平面直角坐標系寫出點B′的坐標，根據(jù)弧長公式列式計算即可得解;
(3)根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等，分AB、BC、AC是對角線三種情況分別寫出即可.
【解答】解：(1)點A關(guān)于原點O對稱的點的坐標為(2，﹣3);
(2)△ABC旋轉(zhuǎn)后的△A′B′C′所示，
點A′的對應(yīng)點的坐標為(﹣3，﹣2);
OA′= = ，
即點A所經(jīng)過的路徑長為 = ;
(3)若AB是對角線，則點D(﹣7，3)，
若BC是對角線，則點D(﹣5，﹣3)，
若AC是對角線，則點D(3，3).
【點評】本題考查了利用旋轉(zhuǎn)變換作，平行四邊形的對邊平行且相等的性質(zhì)，弧長公式，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)準確找出對應(yīng)點的位置是解題的關(guān)鍵，難點在于(3)分情況討論.
24.OC平分∠MON，點A在射線OC上，以點A為圓心，半徑為2的⊙A與OM相切于點B，連接BA并延長交⊙A于點D，交ON于點E.
(1)求證：ON是⊙A的切線;
(2)若∠MON=60°，求中陰影部分的面積.(結(jié)果保留π)
【考點】切線的判定;扇形面積的計算.
【分析】(1)首先過點A作AF⊥ON于點F，易證得AF=AB，即可得ON是⊙A的切線;
(2)由∠MON=60°，AB⊥OM，可求得AF的長，又由S陰影=S△AEF﹣S扇形ADF，即可求得答案.
【解答】(1)證明：過點A作AF⊥ON于點F，
∵⊙A與OM相切于點B，
∴AB⊥OM，
∵OC平分∠MON，
∴AF=AB=2，
∴ON是⊙A的切線;
(2)解：∵∠MON=60°，AB⊥OM，
∴∠OEB=30°，
∴AF⊥ON，
∴∠FAE=60°，
在Rt△AEF中，tan∠FAE= ，
∴EF=AF•tan60°=2 ，
∴S陰影=S△AEF﹣S扇形ADF= AF•EF﹣ ×π×AF2=2 ﹣ π.
【點評】此題考查了切線的判定與性質(zhì)、扇形的面積以及三角函數(shù)的性質(zhì).此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
25.(13分)已知關(guān)于x的一元二次方程kx2+(3k+1)x+3=0(k≠0).
(1)求證：無論k取何值，方程總有兩個實數(shù)根;
(2)若二次函數(shù)y=kx2+(3k+1)x+3的象與x軸兩個交點的橫坐標均為整數(shù)，且k為整數(shù)，求k的值.
解：
【考點】根的判別式;拋物線與x軸的交點.
【專題】證明題.
【分析】(1)先計算判別式得值得到△=(3k+1)2﹣4k×3=(3k﹣1)2，然后根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)得到△≥0，則根據(jù)判別式的意義即可得到結(jié)論;
(2)先理由求根公式得到kx2+(3k+1)x+3=0(k≠0)的解為x1=﹣ ，x2=﹣3，則二次函數(shù)y=kx2+(3k+1)x+3的象與x軸兩個交點的橫坐標分別為﹣ 和﹣3，然后根據(jù)整數(shù)的整除性可確定整數(shù)k的值.
【解答】(1)證明：△=(3k+1)2﹣4k×3
=(3k﹣1)2，
∵(3k﹣1)2，≥0，
∴△≥0，
∴無論k取何值，方程總有兩個實數(shù)根;
(2)解：kx2+(3k+1)x+3=0(k≠0)
x= ，
x1=﹣ ，x2=﹣3，
所以二次函數(shù)y=kx2+(3k+1)x+3的象與x軸兩個交點的橫坐標分別為﹣ 和﹣3，
根據(jù)題意得﹣ 為整數(shù)，
所以整數(shù)k為±1.
【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式△=b2﹣4ac：當△>0，方程有兩個不相等的實數(shù)根;當△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根;當△<0，方程沒有實數(shù)根.也考查了拋物線與x軸的交點.
26.(14分)所示，在平面直角坐標系xOy中，AB在x軸上，以AB為直徑的半⊙Oˊ與y軸正半軸交于點C，連接BC，AC.CD是半⊙Oˊ的切線，AD⊥CD于點D.
(1)求證：∠CAD=∠CAB;
(2)已知拋物線y=ax2+bx+c過A、B、C三點，AB=10，AC=2BC.
?、偾髵佄锞€的解析式;
②判斷拋物線的頂點E是否在直線CD上，并說明理由.
【考點】二次函數(shù)綜合題.
【分析】(1)連接O′C，由CD是⊙O的切線，可得O′C⊥CD，則可證得O′C∥AD，又由O′A=O′C，則可證得∠CAD=∠CAB;
(2)①首先證得△CAO∽△BCO，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，可得OC2=OA•OB，又由AC=2BC則可求得CO，AO，BO的長，然后利用待定系數(shù)法即可求得二次函數(shù)的解析式;
?、谑紫茸C得△FO′C∽△FAD，由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可得到F的坐標，求得直線DC的解析式，然后將拋物線的頂點坐標代入檢驗即可求得答案.
【解答】(1)證明：連接O′C，
∵CD是⊙O′的切線，
∴O′C⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴O′C∥AD，
∴∠O′CA=∠CAD，
∵O′A=O′C，
∴∠CAB=∠O′CA，
∴∠CAD=∠CAB;
(2)解：①∵AB是⊙O′的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵OC⊥AB，
∴∠CAB=∠OCB，
∴△CAO∽△BCO，
∴ = ，
即OC2=OA•OB，
∵AC=2BC，
∴tan∠CAO=tan∠CAB= ，
∴AO=2CO，
又∵AB=10，
∴OC2=2CO(10﹣2CO)，
解得CO1=4，CO2=0(舍去)，
∴CO=4，AO=8，BO=2
∵CO>0，
∴CO=4，AO=8，BO=2，
∴A(﹣8，0)，B(2，0)，C(0，4)，
∵拋物線y=ax2+bx+c過點A，B，C三點，
∴c=4，
由題意得： ，
解得： ，
∴拋物線的解析式為：y=﹣ x2﹣ x+4;
?、谠O(shè)直線DC交x軸于點F，
∴△AOC≌△ADC，
∴AD=AO=8，
∵O′C∥AD，
∴△FO′C∽△FAD，
∴ = ，
∴O′F•AD=O′C•AF，
∴8(BF+5)=5(BF+10)，
∴BF= ，F(xiàn)( ，0);
設(shè)直線DC的解析式為y=kx+m，
則 ，
解得： ，
∴直線DC的解析式為y=﹣ x+4，
由y=﹣ x2﹣ x+4=﹣ (x+3)2+ 得頂點E的坐標為(﹣3， )，
將E(﹣3， )代入直線DC的解析式y(tǒng)=﹣ x+4中，
右邊=﹣ ×(﹣3)+4= =左邊，
∴拋物線頂點E在直線CD上.
【點評】此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，點與函數(shù)的關(guān)系，直角梯形等知識.此題綜合性很強，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合與方程思想的應(yīng)用.
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