九年級(jí)數(shù)學(xué)上期末綜合試卷(2)
九年級(jí)數(shù)學(xué)上期末綜合試卷參考答案
一、選擇題
1.拋物線y=﹣ x2+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)是( )
A.(0，1) B.( ，1) C.(﹣ ，﹣1) D.(2，﹣1)
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì).
【分析】利用拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得答案.
【解答】解：
∵﹣ =﹣ =0， = =1，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0，1)，
故選A.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式是解題的關(guān)鍵.
2.在半徑為12的⊙O中，60°圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是( )
A.6π B.4π C.2π D.π
【考點(diǎn)】弧長(zhǎng)的計(jì)算.
【分析】根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可.
【解答】解：L= = =4π，
故選B.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了弧長(zhǎng)公式.
3.如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠B=70°，則∠D的度數(shù)是( )
A.110° B.90° C.70° D.50°
【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì).
【分析】先根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)得出∠D+∠B=180°，即可解答.
【解答】解：∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠D+∠B=180°，
∴∠D=180°﹣70°=110°，
故選：A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟知圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.
4.數(shù)學(xué)課上，老師讓學(xué)生尺規(guī)作圖畫Rt△ABC，使其斜邊AB=c，一條直角邊BC=a.小明的作法如圖所示，你認(rèn)為這種作法中判斷∠ACB是直角的依據(jù)是( )
A.勾股定理
B.直徑所對(duì)的圓周角是直角
C.勾股定理的逆定理
D.90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑
【考點(diǎn)】作圖—復(fù)雜作圖;勾股定理的逆定理;圓周角定理.
【分析】由作圖痕跡可以看出AB是直徑，∠ACB是直徑所對(duì)的圓周角，即可作出判斷.
【解答】解：由作圖痕跡可以看出O為AB的中點(diǎn)，以O(shè)為圓心，AB為直徑作圓，然后以B為圓心BC=a為半徑花弧與圓O交于一點(diǎn)C，故∠ACB是直徑所對(duì)的圓周角，所以這種作法中判斷∠ACB是直角的依據(jù)是：直徑所對(duì)的圓周角是直角.
故選：B.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了尺規(guī)作圖以及圓周角定理的推論，能夠看懂作圖過(guò)程是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.
5.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則下列關(guān)系式錯(cuò)誤的是( )
A.a<0 B.b>0 C.b2﹣4ac>0 D.a+b+c<0
【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.
【專題】計(jì)算題.
【分析】根據(jù)拋物線的開口方向?qū)進(jìn)行判斷;根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸位置對(duì)B進(jìn)行判斷;根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)對(duì)C進(jìn)行判斷;根據(jù)自變量為1所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為正數(shù)對(duì)D進(jìn)行判斷.
【解答】解：A、拋物線開口向下，則a<0，所以A選項(xiàng)的關(guān)系式正確;
B、拋物線的對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)，a、b異號(hào)，則b>0，所以B選項(xiàng)的關(guān)系式正確;
C、拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，則△=b2﹣4ac>0，所以D選項(xiàng)的關(guān)系式正確;
D、當(dāng)x=1時(shí)，y>0，則a+b+c>0，所以D選項(xiàng)的關(guān)系式錯(cuò)誤.
故選D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：對(duì)于二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)，二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小，當(dāng)a>0時(shí)，拋物線向上開口;當(dāng)a<0時(shí)，拋物線向下開口;一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置：當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)(即ab>0)，對(duì)稱軸在y軸左; 當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)(即ab<0)，對(duì)稱軸在y軸右.(簡(jiǎn)稱：左同右異);常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)：拋物線與y軸交于(0，c).拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)由△決定：△=b2﹣4ac>0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn);△=b2﹣4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn);△=b2﹣4ac<0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn).
6.如圖所示.在等分的圓形紙片上作隨機(jī)扎針實(shí)臉，針頭扎在陰影區(qū)城內(nèi)的概率為( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】幾何概率.
【分析】由題意知本題是一個(gè)幾何概型，試驗(yàn)包含的所有事件對(duì)應(yīng)的圖形是整個(gè)圓.而滿足條件的事件對(duì)應(yīng)的是陰影部分，根據(jù)幾何概型概率公式得到結(jié)果.
【解答】解：由題意知本題是一個(gè)幾何概型，
試驗(yàn)包含的所有事件是對(duì)應(yīng)的圖形是整個(gè)圓，
而滿足條件的事件是事件對(duì)應(yīng)的是陰影部分，
由幾何概型概率公式得到P= = .
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查幾何概型，幾何概型的概率的值是通過(guò)長(zhǎng)度、面積、和體積、的比值得到.幾何概型和古典概型是高中必修中學(xué)習(xí)的高考時(shí)常以選擇和填空出現(xiàn)，有時(shí)文科會(huì)考這種類型的解答題.
7.若二次函數(shù)y=ax2+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1，3)，則該圖象必經(jīng)過(guò)點(diǎn)( )
A.(1，﹣3) B.(﹣1，3) C.(3，﹣1) D.(﹣3，1)
【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.
【分析】先求出二次函數(shù)的對(duì)稱軸，根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性即可得出結(jié)論.
【解答】解：∵二次函數(shù)y=ax2+c的對(duì)稱軸為y軸，圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1，3)，
∴則該圖象必經(jīng)過(guò)點(diǎn)(﹣1，3).
故選B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟知二次函數(shù)的對(duì)稱性是解答此題的關(guān)鍵.
8.已知 a= b，那么a：b=( )
A.10：3 B.3：10 C.2：15 D.15：2
【考點(diǎn)】比例的性質(zhì).
【分析】設(shè)a=5k，則b= k，根據(jù)比例的性質(zhì)即可求得.
【解答】解：設(shè)a=5k，
∵ a= b，
∴b= k，
∴ = = ，
故選A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是關(guān)鍵.
9.如圖，AB為⊙O的直徑，P點(diǎn)在AB延長(zhǎng)線上，PM切⊙O于M點(diǎn)，若OA=a，PM= a，那么△PMB的周長(zhǎng)為( )
A.2a B.2 a C.a D.(2+ )a
【考點(diǎn)】切線的性質(zhì).
【分析】首先連接OM，由PM切⊙O于M點(diǎn)，若OA=a，PM= a，可求得OP的長(zhǎng)，繼而求得BP的長(zhǎng)，即可得OB=BP，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可求得BM的長(zhǎng)，則可求得△PMB的周長(zhǎng).
【解答】解：連接OM，
∵PM切⊙O于M點(diǎn)，
∴OM⊥PM，
∴∠OMP=90°，
∵OM=OA=a，PM= a，
∴OP= =2a，
∵OB=OA=a，
∴BP=OP﹣OB=2a﹣a=a，
∴OB= OP=OM，
∴MB= OP=a，
∴△PMB的周長(zhǎng)為：BM+BP+PM=a+a+ a=(2+ )a.
故選D.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了切線的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì).注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵.
10.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，那么cosA為( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】銳角三角函數(shù)的定義.
【分析】根據(jù)勾股定理求出AC，根據(jù)余弦的定義計(jì)算即可.
【解答】解：∵∠C=90°，AB=5，BC=4，
∴AC= =3，
∴cosA= = ，
故選：B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是銳角三角函數(shù)的定義，掌握銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的余弦是解題的關(guān)鍵.
11.如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，EA是⊙O的切線.若∠EAC=120°，則∠ABC的度數(shù)是( )
A.80° B.70° C.60° D.50°
【考點(diǎn)】切線的性質(zhì).
【分析】根據(jù)EA是⊙O的切線，AD是⊙O的直徑，得到∠EAD=90°，由∠EAC=120°，所以∠DAC=∠EAC﹣∠EAD=30°，根據(jù)AD是⊙O的直徑，所以∠ACD=90°，進(jìn)而得到∠ADC=180°﹣∠ACD﹣∠DAC=60°，根據(jù)圓周角定理得∠ABC=∠ADC=60°.
【解答】解：∵EA是⊙O的切線，AD是⊙O的直徑，
∴∠EAD=90°，
∵∠EAC=120°，
∴∠DAC=∠EAC﹣∠EAD=30°，
∵AD是⊙O的直徑，
∴∠ACD=90°，
∴∠ADC=180°﹣∠ACD﹣∠DAC=60°，
∴∠ABC=∠ADC=60°(圓周角定理)，
故選：C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查切線的性質(zhì)和圓周角定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A周角定理的內(nèi)容.
12.若拋物線y=x2+bx+c與x軸有唯一公共點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)A(m，n)，B(m﹣8，n)，則n=( )
A.12 B.14 C.16 D.18
【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn).
【分析】由題意b2﹣4c=0，得b2=4c，又拋物線過(guò)點(diǎn)A(m，n)，B(m﹣8，n)，可知A、B關(guān)于直線x=﹣ 對(duì)稱，所以A(﹣ +4，n)，B(﹣ ﹣4，n)，把點(diǎn)A坐標(biāo)代入y=x2+bx+c，化簡(jiǎn)整理即可解決問(wèn)題.
【解答】解：由題意b2﹣4c=0，
∴b2=4c，
又∵拋物線過(guò)點(diǎn)A(m，n)，B(m﹣8，n)，
∴A、B關(guān)于直線x=﹣ 對(duì)稱，
∴A(﹣ +4，n)，B(﹣ ﹣4，n)，
把點(diǎn)A坐標(biāo)代入y=x2+bx+c，
n=(﹣ +4)2+b(﹣ +4)+c=﹣ b2+16+c，
∵b2=4c，
∴n=16.
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)，待定系數(shù)法等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是記住△=b2﹣4ac>0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，△=b2﹣4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)，△=b2﹣4ac<0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，屬于中考?？碱}型.
二、填空題
13.已知 ≠0，則 的值為 .
【考點(diǎn)】比例的性質(zhì).
【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)，可用a表示b、c，根據(jù)分式的性質(zhì)，可得答案.
【解答】解：由比例的性質(zhì)，得
c= a，b= a.
= = = .
故答案為： .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的性質(zhì)，利用比例的性質(zhì)得出a表示b、c是解題關(guān)鍵，又利用了分式的性質(zhì).
14.二次函數(shù)y=x2﹣2x+3的最小值是 2 .
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的最值.
【分析】把函數(shù)的解析式化為頂點(diǎn)式的形式即可解答.
【解答】解：∵二次函數(shù)y=x2﹣2x+3可化為y=(x﹣1)2+2的形式，
∴二次函數(shù)y=x2﹣2x+3的最小值是2.
【點(diǎn)評(píng)】本題由于函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)較小，所以可把函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式即y=a(x+h)2+k的形式解答.
15.下列4個(gè)事件：①異號(hào)兩數(shù)相加，和為負(fù)數(shù);②異號(hào)兩數(shù)相減，差為正數(shù);③異號(hào)兩數(shù)相乘，積為正數(shù);④異號(hào)兩數(shù)相除，商為負(fù)數(shù).必然事件是?、堋?，不可能事件是?、邸?(將事件的序號(hào)填上即可)
【考點(diǎn)】隨機(jī)事件.
【分析】必然事件就是一定發(fā)生的事件，不可能事件就是一定不會(huì)發(fā)生的事件，依據(jù)定義即可判斷.
【解答】解：①異號(hào)兩數(shù)相加，和為負(fù)數(shù)，是隨機(jī)事件;
?、诋愄?hào)兩數(shù)相減，差為正數(shù)，是隨機(jī)事件;
?、郛愄?hào)兩數(shù)相乘，積為正數(shù)，是不可能事件;
?、墚愄?hào)兩數(shù)相除，商為負(fù)數(shù)，是必然事件.
故必然事件是④，不可能事件是③.
故答案是：④;③.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了必然事件和不可能事件的定義，解決本題需要正確理解必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念.必然事件指在一定條件下一定發(fā)生的事件.不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件.不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件.
16.如圖是一個(gè)古代車輪的碎片，小明為求其外圓半徑，連接外圓上的兩點(diǎn)A、B，并使AB與車輪內(nèi)圓相切于點(diǎn)D，半徑為OC⊥AB交外圓于點(diǎn)C.測(cè)得CD=10cm，AB=60cm，則這個(gè)車輪的外圓半徑是 50cm .
【考點(diǎn)】垂徑定理的應(yīng)用;勾股定理;切線的性質(zhì).
【分析】根據(jù)垂徑定理求得AD=30cm，然后根據(jù)勾股定理即可求得半徑.
【解答】解：如圖，連接OA，
∵CD=10cm，AB=60cm，
∵CD⊥AB，
∴OC⊥AB，
∴AD= AB=30cm，
∴設(shè)半徑為r，則OD=r﹣10，
根據(jù)題意得：r2=(r﹣10)2+302，
解得：r=50.
∴這個(gè)車輪的外圓半徑長(zhǎng)為50cm.
故答案為：50cm.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用以及勾股定理的應(yīng)用，作出輔助線構(gòu)建直角三角形是本題的關(guān)鍵.
17.如圖，網(wǎng)格中的四個(gè)格點(diǎn)組成菱形ABCD，則tan∠DBC的值為 3 .
【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì);解直角三角形.
【專題】網(wǎng)格型.
【分析】連接AC與BD相交于點(diǎn)O，根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直平分可得AC⊥BD，BO= BD，CO= AC，再利用勾股定理列式求出AC、BD，然后根據(jù)銳角的正切等于對(duì)邊比鄰邊列式計(jì)算即可得解.
【解答】解：如圖，連接AC與BD相交于點(diǎn)O，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BO= BD，CO= AC，
由勾股定理得，AC= =3 ，
BD= = ，
所以，BO= × = ，
CO= ×3 = ，
所以，tan∠DBC= = =3.
故答案為：3.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)，解直角三角形，主要利用了菱形的對(duì)角線互相垂直平分，作輔助線構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵.
18.如圖，已知點(diǎn)D在銳角三角形ABC的BC邊上，AB>AC，點(diǎn)E、F分別是△ABD、△ACD的外心，且EF=BC，那么∠ADC= 30 度.
【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心.
【分析】先構(gòu)造直角三角形，求出∠BEA=60°，進(jìn)而用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可得出.
【解答】解：如圖，
作EH⊥BC，F(xiàn)G⊥BC，
∴HG= BC，
∴HG= EF，
作FM⊥EH，
∴FM=HG= EF，
∴∠MEF=30°，
∴∠BEA=60°，
作內(nèi)接四邊形ADBN，
∴∠ADC=∠N，
∵∠N= ∠BEA=30°，
∴∠ADC=30°.
故答案為30
【點(diǎn)評(píng)】此題是三角形內(nèi)接圓與內(nèi)心，主要考查了直角三角形性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是作出輔助線.
三、解答題
19.計(jì)算： .
【考點(diǎn)】特殊角的三角函數(shù)值;二次根式的加減法.
【分析】將sin60°= ，tan30°= 代入運(yùn)算，然后將二次根式化簡(jiǎn)、合并即可.
【解答】解：原式=
=
= .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的加減及特殊角的三角函數(shù)值，特殊角的三角函數(shù)值是需要同學(xué)們熟練記憶的內(nèi)容.
20.如圖，在△ABC中，已知DE∥BC，AD=4，DB=8，DE=3.
(1)求 的值;
(2)求BC的長(zhǎng).
【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì).
【專題】計(jì)算題.
【分析】(1)先證明△ADE∽△ABC，然后利用相似比可求出 的值;
(2)先證明△ADE∽△ABC，然后利用相似比可求出BC的長(zhǎng).
【解答】解：(1)∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ = = = ;
(2)∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ = ，即 = ，
∴BC=9.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形相似的判定與性質(zhì)：在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過(guò)作平行線構(gòu)造相似三角形.在運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)時(shí)主要利用相似比計(jì)算線段的長(zhǎng).
21.有一個(gè)拋物線形的拱形橋洞，橋面離水面的距離為5.6米，橋洞離水面的最大高度為4m，跨度為10m，如圖所示，把它的圖形放在直角坐標(biāo)系中.
(1)求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式.
(2)如圖，在對(duì)稱軸右邊1m處，橋洞離橋面的高是多少?
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用.
【專題】應(yīng)用題.
【分析】(1)由題意可知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)函數(shù)關(guān)系式為y=a(x﹣5)2+4，將已知坐標(biāo)代入關(guān)系式求出a的值.
(2)對(duì)稱軸右邊1米處即x=6，代入解析式求出y=值.
【解答】解：(1)由題意可知，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(5，4)，
所以設(shè)此橋洞所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)關(guān)系式為y=a(x﹣5)2+4，
由圖象知該函數(shù)過(guò)原點(diǎn)，將O(0，0)代入上式，得：0=a(0﹣5)2+4，
解得a=﹣ ，
故該二次函數(shù)解析式為y=﹣ (x﹣5)2+4，
(2)對(duì)稱軸右邊1米處即x=6，此時(shí)y=﹣ (6﹣5)2+4=3.84，
因此橋洞離橋面的高5.6﹣3.84=1.76米.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用.考查了現(xiàn)實(shí)中的二次函數(shù)問(wèn)題，賦予傳統(tǒng)試題新的活力.
22.甲同學(xué)做拋正四面體骰子(如圖：均勻的正四面體形狀，各面分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4)實(shí)驗(yàn)，共拋了60次，向下面數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)如表：
向下面數(shù)字 1 2 3 4
出現(xiàn)次數(shù) 11 16 18 15
(1)計(jì)算此次實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)向下面數(shù)字為4的頻率;
(2)如果甲、乙兩同學(xué)各拋一枚這樣的骰子，請(qǐng)用表格或樹狀圖表示：兩枚骰子向下面數(shù)字之和的所有等可能性結(jié)果，并求出和為3的倍數(shù)的概率.
【考點(diǎn)】模擬實(shí)驗(yàn);列表法與樹狀圖法.
【分析】(1)根據(jù)頻率= ，計(jì)算即可.
(2)用表格寫出所有可能，再根據(jù)概率的定義計(jì)算即可.
【解答】解：(1)出現(xiàn)向下面數(shù)字為4的頻率為= = .
(2)兩枚骰子向下面數(shù)字之和的所有等可能性結(jié)果見表格，
共16種可能，和為3的倍數(shù)的有5種可能，
∴P(數(shù)字之和為3的倍數(shù))= .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查頻率、頻數(shù)、總數(shù)的關(guān)系，概率、樹狀圖、列表法等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握這些知識(shí)，屬于中考?？碱}型.
23.如圖，A為某旅游景區(qū)的最佳觀景點(diǎn)，游客可從B處乘坐纜車先到達(dá)小觀景平臺(tái)DE觀景，然后再由E處繼續(xù)乘坐纜車到達(dá)A處，返程時(shí)從A處乘坐升降電梯直接到達(dá)C處，已知：AC⊥BC于C，DE∥BC，BC=110米，DE=9米，BD=60米，α=32°，β=68°，求AC的高度.(參考數(shù)據(jù)：sin32°≈0.53;cos32°≈0.85;tan32°≈0.62;sin68°≈0.93;cos68°≈0.37;tan68°≈2.48)
【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問(wèn)題.
【分析】根據(jù)已知和余弦的概念求出DF的長(zhǎng)，得到CG的長(zhǎng)，根據(jù)正切的概念求出AG的長(zhǎng)，求和得到答案.
【解答】解：∵cos∠DBF= ，
∴BF=60×0.85=51，
FH=DE=9，
∴EG=HC=110﹣51﹣9=50，
∵tan∠AEG= ，
∴AG=50×2.48=124，
∵sin∠DBF= ，
∴DF=60×0.53=31.8，
∴CG=31.8，
∴AC=AG+CG=124+31.8=155.8.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，掌握銳角三角函數(shù)的概念和坡角的概念是解題的關(guān)鍵，解答時(shí)注意：正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形準(zhǔn)確運(yùn)用銳角三角函數(shù)的概念列出算式.
24.教材的《課題學(xué)習(xí)》要求同學(xué)們用一張正三角形紙片折疊成正六邊形，小明同學(xué)按照如下步驟折疊：
請(qǐng)你根據(jù)小明同學(xué)的折疊方法，回答以下問(wèn)題：
(1)如果設(shè)正三角形ABC的邊長(zhǎng)為a，那么CO= a (用含a的式子表示);
(2)根據(jù)折疊性質(zhì)可以知道△CDE的形狀為 等邊 三角形;
(3)請(qǐng)同學(xué)們利用(1)、(2)的結(jié)論，證明六邊形KHGFED是一個(gè)六邊形.
【考點(diǎn)】正多邊形和圓;翻折變換(折疊問(wèn)題).
【分析】(1)根據(jù)折疊的性質(zhì)即可得到結(jié)論;
(2)根據(jù)折疊的性質(zhì)即可得到結(jié)論;
(3)由(2)知△CDE為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到CD=CE=DE= CO÷cos30°= a，
求得∠ADE=∠BED=120°，同理可得，AH=AK=KH= a，BG=BF=GF= a，∠CKH=∠BHK=120°，由于AB=BC=AC=a，于是得到結(jié)論.
【解答】解：(1)∵正三角形ABC的邊長(zhǎng)為a，
由折疊的性質(zhì)可知，點(diǎn)O是三角形的重心，
∴CO= a;
故答案為： a;
(2)△CDE為等邊三角形;
故答案為：等邊;
(3)由(2)知△CDE為等邊三角形，
∴CD=CE=DE= CO÷cos30°= a，
∠ADE=∠BED=120°，
同理可得，AH=AK=KH= a，BG=BF=GF= a，∠CKH=∠BHK=120°，
∵AB=BC=AC=a，
∴DE=DK=KH=HG=GF=FE= a，∠ADE=∠BED=∠CKH=∠BHK=∠CFG=∠AGF=120°，
∴六邊形KHGFED是一個(gè)正六邊形.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正多形與圓，折疊的性質(zhì)，三角形的重心的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握各定理是解題的關(guān)鍵.
25.如圖，等邊三角形ACD內(nèi)接于⊙O，直徑AB與弦CD交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)B作⊙O的切線BM，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.
(1)求證：弦CD∥BM;
(2)已知DE=2，連結(jié)OE，求OE的長(zhǎng).
【考點(diǎn)】切線的性質(zhì);等邊三角形的性質(zhì).
【分析】(1)根據(jù)切線的性質(zhì)得到AB⊥BE，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AD=AC，由垂徑定理得到CD⊥AB，于是得到結(jié)論;
(2)連接OE，過(guò)O作ON⊥AD于N，由(1)知，△ACD是等邊三角形，得到∠DAC=60°又直角三角形的性質(zhì)得到BE= AE，ON= AO，設(shè)⊙O的半徑為：r則ON= r，AN=DN= r，由于得到EN=2+ ，BE= AE= ，在Rt△DEF與Rt△BEO中，由勾股定理列方程即可得到結(jié)論.
【解答】(1)證明∵AB是⊙O的直徑，BM是⊙O的切線，
∴AB⊥BE，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AD=AC，
∴ = ，
∴CD⊥AB，
∴CD∥BM;
(2)解：連接OE，過(guò)O作ON⊥AD于N，由(1)知，△ACD是等邊三角形，
∴∠DAC=60°
∵AD=AC，CD⊥AB，
∴∠DAB=30°，
∴BE= AE，ON= AO，
設(shè)⊙O的半徑為：r，
∴ON= r，AN=DN= r，
∴EN=2+ ，BE= AE= ，
在Rt△NEO與Rt△BEO中，
OE2=ON2+NE2=OB2+BE2，
即( )2+(2+ )2=r2+ ，
∴r=2 ，
∴OE2=( )2+25=28，
∴OE=2 .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)，垂徑定理，等邊三角形的判定，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，過(guò)O作ON⊥AD于N，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.
26.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=a(x﹣1)2+4與x軸交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3，0)，點(diǎn)P在這條拋物線的第一象限圖象上運(yùn)動(dòng).過(guò)點(diǎn)P作y軸的垂線與直線BC交于點(diǎn)Q，以PQ為邊作Rt△PQF，使∠PQF=90°，點(diǎn)F在點(diǎn)Q的下方，且QF=1，設(shè)線段PQ的長(zhǎng)度為d，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.
(1)求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式;
(2)求d與m之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)當(dāng)Rt△PQF的邊PF被y軸平分時(shí)，求d的值;
(4)以O(shè)B為直角邊作等腰直角三角形OBD，其中點(diǎn)D在第一象限，直接寫出點(diǎn)F落在△OBD的邊上時(shí)m的值.
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題.
【分析】(1)把點(diǎn)B(3，0)代入拋物線y=a(x﹣1)2+4求出a即可.
(2)求出直線BC的解析式，根據(jù)P、Q兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相同，求出點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)即可解決問(wèn)題.
(3)當(dāng)Rt△PQF的邊PF被y軸平分時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q關(guān)于y軸對(duì)稱，如圖1中，根據(jù)P、Q兩點(diǎn)橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，列出方程即可解決問(wèn)題.
(4)如圖2中，分兩種情形當(dāng)點(diǎn)F在直線OD上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)F在直線OB上時(shí)，分別列出方程即可解決問(wèn)題.
【解答】解;(1)把點(diǎn)B(3，0)代入拋物線y=a(x﹣1)2+4，得4a+4=0，
∴a=﹣1，
∴拋物線的解析式為y=﹣(x﹣1)2+4，=﹣x2+2x+3.
(2)對(duì)于拋物線y=﹣x2+2x+3，當(dāng)x=0時(shí)，y=3，
∴C(0，3)，∵B(3，0)，設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，則有 ，解得 ，
∴直線BC的解析式為y=﹣x+3，
∵點(diǎn)P坐標(biāo)(m，﹣m2+2m+3)，
∴點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為﹣m2+2m+3，則﹣x+3=﹣m2+2m+3，
∴x=m2﹣2m，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(m2﹣2m，﹣m2+2m+3)，
∵0
∴d=m﹣(m2﹣2m)=﹣m2+3m.
(3)當(dāng)Rt△PQF的邊PF被y軸平分時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q關(guān)于y軸對(duì)稱，如圖1中，
∴P、Q兩點(diǎn)橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，
∴m2﹣2m+m=0，解得m=1或0(舍棄)，
∴m=1，d=3﹣1﹣2.
(4)如圖2中，
∵F(m2﹣2m，﹣m2+2m+2)，
當(dāng)點(diǎn)F在直線OD上時(shí)，m2﹣2m=﹣m2+2m+2，解得m=1+ 或1﹣ (舍棄)，
當(dāng)點(diǎn)F在直線OB上時(shí)，﹣m2+2m+2=0，解得m=1+ 或1﹣ (舍棄)，
綜上所述，當(dāng)m=1+ 或1+ 時(shí)，點(diǎn)F落在△OBD的邊上.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)綜合題、待定系數(shù)法、一次函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用待定系數(shù)法解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)分類討論，不能漏解，屬于中考?jí)狠S題.
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