2017屆九年級數(shù)學(xué)上期末試題
2017屆九年級數(shù)學(xué)上期末試題
惜光陰百日猶短，看眾志成城拼搏第一。把握好時光，練習(xí)九年級期末試卷題。以下是學(xué)習(xí)啦小編為你整理的2017屆九年級數(shù)學(xué)上期末試卷，希望對大家有幫助!
2017屆九年級數(shù)學(xué)上期末試卷
一、選擇題(每小題3分，共12分)
1.我國經(jīng)濟快速發(fā)展，轎車進入百姓家庭，小明同學(xué)在街頭觀察出下列四種汽車標志，其中是中心對稱圖形的是( )
A. B. C. D.
2.一枚質(zhì)地均勻的骰子，其六個面上分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，投擲一次，朝上一面的數(shù)字是偶數(shù)的概率為( )
A. B. C. D.
3.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，那么cosA的值等于( )
A. B. C. D.
4.如圖，CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD于E，連接BC、BD，下列結(jié)論中不一定正確的是( )
A.AE=BE B. = C.OE=DE D.∠DBC=90°
5.將拋物線y=3x2向上平移3個單位，再向左平移2個單位，那么得到的拋物線的解析式為( )
A.y=3(x+2)2+3 B.y=3(x﹣2)2+3 C.y=3(x+2)2﹣3 D.y=3(x﹣2)2﹣3
6.若ab>0，則一次函數(shù)y=ax+b與反比例函數(shù)y= 在同一坐標系數(shù)中的大致圖象是( )
A. B. C. D.
二、填空題(每小題3分，共24分)
7.方程x2=2x的根為 .
8.已知 =3，則 = .
9.拋物線y=(x﹣1)2﹣3的頂點坐標是 .
10.如圖，鐵道路口的欄桿短臂長1m，長臂長16m，當(dāng)短臂端點下降0.5m時，長臂端點升高為 .(桿的寬度忽略不計)
11.如圖，在⊙O中，AB為直徑，BC為弦，CD為切線，連接OC.若∠BCD=50°，則∠AOC的度數(shù)為 .
12.某校去年投資2萬元購買實驗器材，預(yù)計今明2年的投資總額為8萬元.若該校這兩年購買的實驗器材的投資年平均增長率為x，則可列方程為 .
13.如圖，在平面直角坐標系中，點A是函數(shù)y= (k<0，x<0)圖象上的點，過點A與y軸垂直的直線交y軸于點B，點C、D在x軸上，且BC∥AD.若四邊形ABCD的面積為3，則k值為 .
14.如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的一部分，圖象過點A(﹣3，0)，對稱軸為直線x=﹣1，給出四個結(jié)論：①b2>4ac;②2a+b=0;③a+b+c=0;④若點B(﹣ ，y1)、C(﹣ ，y2)為函數(shù)圖象上的兩點，則y1
三、解答題(一)(每小題5分，共20分)
15.計算：(π﹣3.14)0﹣| sin60°﹣4|+( )﹣1.
16.解方程：x2﹣1=2(x+1).
17.先化簡： •(x )，然后x在﹣1，0，1，2四個數(shù)中選一個你認為合適的數(shù)代入求值.
18.某學(xué)校為了了解九年級學(xué)生“一份中內(nèi)跳繩次數(shù)”的情況，隨機選取了3名女生和2名男生，從這5名學(xué)生中，選取2名同時跳繩，請你用列表或畫樹狀圖求恰好選中一男一女的概率是多少?
四、解答題(二)(每小題7分，共28分)
19.△ABC的頂點坐標為A(﹣2，3)、B(﹣3，1)、C(﹣1，2)，以坐標原點O為旋轉(zhuǎn)中心，順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A′B′C′，點B′、C′分別是點B、C的對應(yīng)點.
(1)求過點B′的反比例函數(shù)解析式;
(2)求線段CC′的長.
20.如圖，在▱ABCD中，點E在邊BC上，點F在邊AD的延長線上，且DF=BE=4，連接EF交CD于G.若 = ，求AD的長.
21.如圖，在平面直徑坐標系中，反比例函數(shù)y= (x>0)的圖象上有一點A(m，4)，過點A作AB⊥x軸于點B，將點B向右平移2個單位長度得到點C，過點C作y軸的平行線交反比例函數(shù)的圖象于點D，CD=
(1)點D的橫坐標為 (用含m的式子表示);
(2)求反比例函數(shù)的解析式.
22.如圖，某社會實踐活動小組實地測量兩岸互相平行的一段河的寬度，在河的南安邊點A處，測得河的北岸邊點B在其北偏東45°方向，然后向西走60m到達C點，測得點B在點C的北偏東60°方向.回答下列問題：
(1)∠CBA的度數(shù)為 .
(2)求出這段河的寬(結(jié)果精確到1m，備用數(shù)據(jù) ≈1.41， ≈1.73.
五、解答題(三)(每小題10分，共20分)
23.如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，連接AC，∠MAC=∠CAB，作CD⊥AM，垂足為D.
(1)求證：CD是⊙O的切線;
(2)若∠ACD=30°，AD=4，求圖中陰影部分的面積.
24.課本中有一個例題：
有一個窗戶形狀如圖1，上部是一個半圓，下部是一個矩形，如果制作窗框的材料總長為6m，如何設(shè)計這個窗戶，使透光面積最大?
這個例題的答案是：當(dāng)窗戶半圓的半徑約為0.35m時，透光面積最大值約為1.05m2.
我們?nèi)绻淖冞@個窗戶的形狀，上部改為由兩個正方形組成的矩形，如圖2，材料總長仍為6m，利用圖3，解答下列問題：
(1)若AB為1m，求此時窗戶的透光面積?
(2)與課本中的例題比較，改變窗戶形狀后，窗戶透光面積的最大值有沒有變大?請通過計算說明.
六、解答題(四)(每小題10分，共20分)
25.正方形OABC的邊長為4，對角線相交于點P，拋物線L經(jīng)過O、P、A三點，點E是正方形內(nèi)的拋物線上的動點.
(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担?/p>
①直接寫出O、P、A三點坐標;
②求拋物線L的解析式;
(2)求△OAE與△OCE面積之和的最大值.
26.已知：點P是平行四邊形ABCD對角線AC所在直線上的一個動點(點P不與點A、C重合)，分別過點A、C向直線BP作垂線，垂足分別為E、F，點O為AC的中點.
(1)當(dāng)點P與點O重合時如圖1，求證：OE=OF
(2)直線BP繞點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點P在對角線AC上時，且∠OFE=30°時，如圖2，猜想線段CF、AE、OE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?并給予證明.
(3)當(dāng)點P在對角線CA的延長線上時，且∠OFE=30°時，如圖3，猜想線段CF、AE、OE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?直接寫出結(jié)論即可.
2017屆九年級數(shù)學(xué)上期末試卷答案
一、選擇題(每小題3分，共12分)
1.我國經(jīng)濟快速發(fā)展，轎車進入百姓家庭，小明同學(xué)在街頭觀察出下列四種汽車標志，其中是中心對稱圖形的是( )
A. B. C. D.
【考點】中心對稱圖形.
【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解.
【解答】解：A、是中心對稱圖形，故本選項正確;
B、不是中心對稱圖形，故本選項錯誤;
C、不是中心對稱圖形，故本選項錯誤;
D、不是中心對稱圖形，故本選項錯誤.
故選A.
2.一枚質(zhì)地均勻的骰子，其六個面上分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，投擲一次，朝上一面的數(shù)字是偶數(shù)的概率為( )
A. B. C. D.
【考點】概率公式.
【分析】直接得出偶數(shù)的個數(shù)，再利用概率公式求出答案.
【解答】解：∵一枚質(zhì)地均勻的骰子，其六個面上分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，投擲一次，
∴朝上一面的數(shù)字是偶數(shù)的概率為： = .
故選：C.
3.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，那么cosA的值等于( )
A. B. C. D.
【考點】銳角三角函數(shù)的定義;勾股定理.
【分析】首先運用勾股定理求出斜邊的長度，再利用銳角三角函數(shù)的定義求解.
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴AB= .
∴cosA= ，
故選：D.
4.如圖，CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD于E，連接BC、BD，下列結(jié)論中不一定正確的是( )
A.AE=BE B. = C.OE=DE D.∠DBC=90°
【考點】垂徑定理;圓周角定理.
【分析】根據(jù)垂徑定理及圓周角定理對各選項進行逐一分析即可.
【解答】解：∵CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD于E，
∴AE=BE， = ，故A、B正確;
∵CD是⊙O的直徑，
∴∠DBC=90°，故D正確.
故選C.
5.將拋物線y=3x2向上平移3個單位，再向左平移2個單位，那么得到的拋物線的解析式為( )
A.y=3(x+2)2+3 B.y=3(x﹣2)2+3 C.y=3(x+2)2﹣3 D.y=3(x﹣2)2﹣3
【考點】二次函數(shù)圖象與幾何變換.
【分析】直接根據(jù)“上加下減，左加右減”的原則進行解答即可.
【解答】解：由“上加下減”的原則可知，將拋物線y=3x2向上平移3個單位所得拋物線的解析式為：y=3x2+3;
由“左加右減”的原則可知，將拋物線y=3x2+3向左平移2個單位所得拋物線的解析式為：y=3(x+2)2+3.
故選A.
6.若ab>0，則一次函數(shù)y=ax+b與反比例函數(shù)y= 在同一坐標系數(shù)中的大致圖象是( )
A. B. C. D.
【考點】反比例函數(shù)的圖象;一次函數(shù)的圖象.
【分析】根據(jù)ab>0，可得a、b同號，結(jié)合一次函數(shù)及反比例函數(shù)的特點進行判斷即可.
【解答】解：A、根據(jù)一次函數(shù)可判斷a>0，b>0，根據(jù)反比例函數(shù)可判斷ab>0，故符合題意，本選項正確;
B、根據(jù)一次函數(shù)可判斷a<0，b<0，根據(jù)反比例函數(shù)可判斷ab<0，故不符合題意，本選項錯誤;
C、根據(jù)一次函數(shù)可判斷a<0，b>0，根據(jù)反比例函數(shù)可判斷ab>0，故不符合題意，本選項錯誤;
D、根據(jù)一次函數(shù)可判斷a>0，b>0，根據(jù)反比例函數(shù)可判斷ab<0，故不符合題意，本選項錯誤;
故選A.
二、填空題(每小題3分，共24分)
7.方程x2=2x的根為 x1=0，x2=2 .
【考點】解一元二次方程﹣因式分解法.
【分析】移項后分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可.
【解答】解：x2=2x，
x2﹣2x=0，
x(x﹣2)=0，
x=0，或x﹣2=0，
x1=0，x2=2，
故答案為：x1=0，x2=2.
8.已知 =3，則 = 2 .
【考點】比例的性質(zhì).
【分析】根據(jù)比例的合比性質(zhì)即可求解.
【解答】解：∵ =3，
∴ =3﹣1=2.
故答案為：2.
9.拋物線y=(x﹣1)2﹣3的頂點坐標是 (1，﹣3) .
【考點】二次函數(shù)的性質(zhì).
【分析】根據(jù)拋物線y=a(x﹣h)2+k的頂點坐標是(h，k)直接寫出即可.
【解答】解：拋物線y=(x﹣1)2﹣3的頂點坐標是(1，﹣3).
故答案為(1，﹣3).
10.如圖，鐵道路口的欄桿短臂長1m，長臂長16m，當(dāng)短臂端點下降0.5m時，長臂端點升高為 8m .(桿的寬度忽略不計)
【考點】相似三角形的應(yīng)用.
【分析】由題意證△ABO∽△CDO，可得 ，即 = ，解之可得.
【解答】解：如圖，
由題意知∠BAO=∠C=90°，
∵∠AOB=∠COD，
∴△ABO∽△CDO，
∴ ，即 = ，
解得：CD=8，
故答案為：8m.
11.如圖，在⊙O中，AB為直徑，BC為弦，CD為切線，連接OC.若∠BCD=50°，則∠AOC的度數(shù)為 80° .
【考點】切線的性質(zhì).
【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得出∠OCD=90°，進而得出∠OCB=40°，再利用圓心角等于圓周角的2倍解答即可.
【解答】解：∵在⊙O中，AB為直徑，BC為弦，CD為切線，
∴∠OCD=90°，
∵∠BCD=50°，
∴∠OCB=40°，
∴∠AOC=80°.
故答案為：80°.
12.某校去年投資2萬元購買實驗器材，預(yù)計今明2年的投資總額為8萬元.若該校這兩年購買的實驗器材的投資年平均增長率為x，則可列方程為 2(1+x)+2(1+x)2=8 .
【考點】由實際問題抽象出一元二次方程.
【分析】本題為增長率問題，一般用增長后的量=增長前的量×(1+增長率)，如果該校這兩年購買的實驗器材的投資年平均增長率為x，根據(jù)題意可得出的方程.
【解答】解：設(shè)該校這兩年購買的實驗器材的投資年平均增長率為x，
今年的投資金額為：2(1+x);
明年的投資金額為：2(1+x)2;
所以根據(jù)題意可得出的方程：2(1+x)+2(1+x)2=8.
故答案為：2(1+x)+2(1+x)2=8.
13.如圖，在平面直角坐標系中，點A是函數(shù)y= (k<0，x<0)圖象上的點，過點A與y軸垂直的直線交y軸于點B，點C、D在x軸上，且BC∥AD.若四邊形ABCD的面積為3，則k值為 ﹣3 .
【考點】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義.
【分析】根據(jù)已知條件得到四邊形ABCD是平行四邊形，于是得到四邊形AEOB的面積=AB•OE，由于S平行四邊形ABCD=AB•CD=3，得到四邊形AEOB的面積=3，即可得到結(jié)論.
【解答】解：∵AB⊥y軸，
∴AB∥CD，
∵BC∥AD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∴四邊形AEOB的面積=AB•OE，
∵S平行四邊形ABCD=AB•CD=3，
∴四邊形AEOB的面積=3，
∴|k|=3，
∵<0，
∴k=﹣3，
故答案為：﹣3.
14.如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的一部分，圖象過點A(﹣3，0)，對稱軸為直線x=﹣1，給出四個結(jié)論：①b2>4ac;②2a+b=0;③a+b+c=0;④若點B(﹣ ，y1)、C(﹣ ，y2)為函數(shù)圖象上的兩點，則y1
【考點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.
【分析】①根據(jù)拋物線與x軸交點個數(shù)可判斷;②根據(jù)拋物線對稱軸可判斷;③根據(jù)拋物線與x軸的另一個交點坐標可判斷;④根據(jù)B、C兩點到對稱軸的距離，可判斷.
【解答】解：由函數(shù)圖象可知拋物線與x軸有2個交點，
∴b2﹣4ac>0即b2>4ac，故①正確;
∵對稱軸為直線x=﹣1，
∴﹣ =﹣1，即2a﹣b=0，故②錯誤;
∵拋物線與x軸的交點A坐標為(﹣3，0)且對稱軸為x=﹣1，
∴拋物線與x軸的另一交點為(1，0)，
∴將(1，0)代入解析式可得，a+b+c=0，故③正確;
∵a<0，
∴開口向下，
∵|﹣ +1|= ，|﹣ +1= ，
∴y1
綜上，正確的結(jié)論是：①③④，
故答案為①③④.
三、解答題(一)(每小題5分，共20分)
15.計算：(π﹣3.14)0﹣| sin60°﹣4|+( )﹣1.
【考點】實數(shù)的運算;零指數(shù)冪;負整數(shù)指數(shù)冪;特殊角的三角函數(shù)值.
【分析】本題涉及零指數(shù)冪、二次根式化簡、絕對值、特殊角的三角函數(shù)值四個考點.針對每個考點分別進行計算，然后根據(jù)實數(shù)的運算法則求得計算結(jié)果.
【解答】解：：(π﹣3.14)0﹣| sin60°﹣4|+( )﹣1
=1﹣|2 × ﹣4|+2
=1﹣|﹣1|+2
=2.
16.解方程：x2﹣1=2(x+1).
【考點】解一元二次方程﹣因式分解法.
【分析】首先把x2﹣1化為(x+1)(x﹣1)，然后提取公因式(x+1)，進而求出方程的解.
【解答】解：∵x2﹣1=2(x+1)，
∴(x+1)(x﹣1)=2(x+1)，
∴(x+1)(x﹣3)=0，
∴x1=﹣1，x2=3.
17.先化簡： •(x )，然后x在﹣1，0，1，2四個數(shù)中選一個你認為合適的數(shù)代入求值.
【考點】分式的化簡求值.
【分析】利用分解因式、完全平方公式以及通分法化簡原分式，再分析給定的數(shù)據(jù)中使原分式有意義的x的值，將其代入化簡后的算式中即可得出結(jié)論.
【解答】解：原式= • • ，
= • ，
=x+1.
∵在﹣1，0，1，2四個數(shù)中，使原式有意義的值只有2，
∴當(dāng)x=2時，原式=2+1=3.
18.某學(xué)校為了了解九年級學(xué)生“一份中內(nèi)跳繩次數(shù)”的情況，隨機選取了3名女生和2名男生，從這5名學(xué)生中，選取2名同時跳繩，請你用列表或畫樹狀圖求恰好選中一男一女的概率是多少?
【考點】列表法與樹狀圖法.
【分析】畫樹狀圖展示所有12種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出選中一男一女的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解.
【解答】解：畫樹狀圖為：
共12種等可能的結(jié)果數(shù)，其中選中一男一女的結(jié)果數(shù)為12，
所以恰好選中一男一女的概率= = .
四、解答題(二)(每小題7分，共28分)
19.△ABC的頂點坐標為A(﹣2，3)、B(﹣3，1)、C(﹣1，2)，以坐標原點O為旋轉(zhuǎn)中心，順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A′B′C′，點B′、C′分別是點B、C的對應(yīng)點.
(1)求過點B′的反比例函數(shù)解析式;
(2)求線段CC′的長.
【考點】待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式;坐標與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn).
【分析】(1)據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)方向以及旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角度得出對應(yīng)點，根據(jù)待定系數(shù)法，即可求出解.
(2)根據(jù)勾股定理求得OC，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)求得OC′，最后根據(jù)勾股定理即可求得.
【解答】解：(1)如圖所示：由圖知B點的坐標為(﹣3，1)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)中心O，旋轉(zhuǎn)方向順時針，旋轉(zhuǎn)角度90°，
點B的對應(yīng)點B′的坐標為(1，3)，
設(shè)過點B′的反比例函數(shù)解析式為y= ，
∴k=3×1=3，
∴過點B′的反比例函數(shù)解析式為y= .
(2)∵C(﹣1，2)，
∴OC= = ，
∵△ABC以坐標原點O為旋轉(zhuǎn)中心，順時針旋轉(zhuǎn)90°，
∴OC′=OC= ，
∴CC′= = .
20.如圖，在▱ABCD中，點E在邊BC上，點F在邊AD的延長線上，且DF=BE=4，連接EF交CD于G.若 = ，求AD的長.
【考點】相似三角形的判定與性質(zhì);平行四邊形的性質(zhì).
【分析】根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得答案.
【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵DF∥EC，
∴△DFG∽CEG，
∴ = = ，
∴CE=6，
∴AD=BC=BE+CE=10.
21.如圖，在平面直徑坐標系中，反比例函數(shù)y= (x>0)的圖象上有一點A(m，4)，過點A作AB⊥x軸于點B，將點B向右平移2個單位長度得到點C，過點C作y軸的平行線交反比例函數(shù)的圖象于點D，CD=
(1)點D的橫坐標為 m+2 (用含m的式子表示);
(2)求反比例函數(shù)的解析式.
【考點】待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式;反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征;坐標與圖形變化﹣平移.
【分析】(1)由點A(m，4)，過點A作AB⊥x軸于點B，將點B向右平移2個單位長度得到點C，可求得點C的坐標，又由過點C作y軸的平行線交反比例函數(shù)的圖象于點D，CD= ，即可表示出點D的橫坐標;
(2)由點D的坐標為：(m+2， )，點A(m，4)，即可得方程4m= (m+2)，繼而求得答案.
【解答】解：(1)∵A(m，4)，AB⊥x軸于點B，
∴B的坐標為(m，0)，
∵將點B向右平移2個單位長度得到點C，
∴點C的坐標為：(m+2，0)，
∵CD∥y軸，
∴點D的橫坐標為：m+2;
故答案為：m+2;
(2)∵CD∥y軸，CD= ，
∴點D的坐標為：(m+2， )，
∵A，D在反比例函數(shù)y= (x>0)的圖象上，
∴4m= (m+2)，
解得：m=1，
∴點A的坐標為(1，4)，
∴k=4m=4，
∴反比例函數(shù)的解析式為：y= .
22.如圖，某社會實踐活動小組實地測量兩岸互相平行的一段河的寬度，在河的南安邊點A處，測得河的北岸邊點B在其北偏東45°方向，然后向西走60m到達C點，測得點B在點C的北偏東60°方向.回答下列問題：
(1)∠CBA的度數(shù)為 15° .
(2)求出這段河的寬(結(jié)果精確到1m，備用數(shù)據(jù) ≈1.41， ≈1.73.
【考點】解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題.
【分析】(1)根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)、結(jié)合題意計算即可;
(2)作BD⊥CA交CA的延長線于D，設(shè)BD=xm，根據(jù)正切的定義用x表示出CD、AD，根據(jù)題意列出方程，解方程即可.
【解答】解：(1)由題意得，∠BAD=45°，∠BCA=30°，
∴∠CBA=∠BAD﹣∠BCA=15°.
故答案為15°;
(2)作BD⊥CA交CA的延長線于D，
設(shè)BD=xm，
∵∠BCA=30°，
∴CD= = x，
∵∠BAD=45°，
∴AD=BD=x，
∵CD﹣AD=AC=60，
∴ x﹣x=60，
解得x=30( +1)≈82，
答：這段河的寬約為82m.
五、解答題(三)(每小題10分，共20分)
23.如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，連接AC，∠MAC=∠CAB，作CD⊥AM，垂足為D.
(1)求證：CD是⊙O的切線;
(2)若∠ACD=30°，AD=4，求圖中陰影部分的面積.
【考點】切線的判定;扇形面積的計算.
【分析】(1)先證明OC∥AM，由CD⊥AM，推出OC⊥CD即可解決問題.
(2)根據(jù)S陰=S△ACD﹣(S扇形OAC﹣S△AOC)計算即可.
【解答】解：(1)連接OC.
∵OA=OC.
∴∠OAC=∠OCA，
∵∠MAC=∠OAC，
∴∠MAC=∠OCA，
∴OC∥AM，
∵CD⊥AM，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切線.
(2)在RT△ACD中，∵∠ACD=30°，AD=4，∠ADC=90°，
∴AC=2AD=8，CD= AD=4 ，
∵∠MAC=∠OAC=60°，OA=OC，
∴△AOC是等邊三角形，
∴S陰=S△ACD﹣(S扇形OAC﹣S△AOC)
= ×4×4 ﹣( ﹣ ×82)
=24 ﹣ π.
24.課本中有一個例題：
有一個窗戶形狀如圖1，上部是一個半圓，下部是一個矩形，如果制作窗框的材料總長為6m，如何設(shè)計這個窗戶，使透光面積最大?
這個例題的答案是：當(dāng)窗戶半圓的半徑約為0.35m時，透光面積最大值約為1.05m2.
我們?nèi)绻淖冞@個窗戶的形狀，上部改為由兩個正方形組成的矩形，如圖2，材料總長仍為6m，利用圖3，解答下列問題：
(1)若AB為1m，求此時窗戶的透光面積?
(2)與課本中的例題比較，改變窗戶形狀后，窗戶透光面積的最大值有沒有變大?請通過計算說明.
【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用.
【分析】(1)根據(jù)矩形和正方形的周長進行解答即可;
(2)設(shè)AB為xcm，利用二次函數(shù)的最值解答即可.
【解答】解：(1)由已知可得：AD= ，
則S=1× m2，
(2)設(shè)AB=xm，則AD=3﹣ m，
∵ ，
∴ ，
設(shè)窗戶面積為S，由已知得：
，
當(dāng)x= m時，且x= m在 的范圍內(nèi)， ，
∴與課本中的例題比較，現(xiàn)在窗戶透光面積的最大值變大.
六、解答題(四)(每小題10分，共20分)
25.正方形OABC的邊長為4，對角線相交于點P，拋物線L經(jīng)過O、P、A三點，點E是正方形內(nèi)的拋物線上的動點.
(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担?/p>
?、僦苯訉懗鯫、P、A三點坐標;
②求拋物線L的解析式;
(2)求△OAE與△OCE面積之和的最大值.
【考點】二次函數(shù)綜合題.
【分析】(1)以O(shè)點為原點，線段OA所在的直線為x軸，線段OC所在的直線為y軸建立直角坐標系.①根據(jù)正方形的邊長結(jié)合正方形的性質(zhì)即可得出點O、P、A三點的坐標;②設(shè)拋物線L的解析式為y=ax2+bx+c，結(jié)合點O、P、A的坐標利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式;
(2)由點E為正方形內(nèi)的拋物線上的動點，設(shè)出點E的坐標，結(jié)合三角形的面積公式找出S△OAE+SOCE關(guān)于m的函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)論.
【解答】解：(1)以O(shè)點為原點，線段OA所在的直線為x軸，線段OC所在的直線為y軸建立直角坐標系，如圖所示.
?、佟哒叫蜲ABC的邊長為4，對角線相交于點P，
∴點O的坐標為(0，0)，點A的坐標為(4，0)，點P的坐標為(2，2).
?、谠O(shè)拋物線L的解析式為y=ax2+bx+c，
∵拋物線L經(jīng)過O、P、A三點，
∴有 ，
解得： ，
∴拋物線L的解析式為y=﹣ +2x.
(2)∵點E是正方形內(nèi)的拋物線上的動點，
∴設(shè)點E的坐標為(m，﹣ +2m)(0
∴S△OAE+SOCE= OA•yE+ OC•xE=﹣m2+4m+2m=﹣(m﹣3)2+9，
∴當(dāng)m=3時，△OAE與△OCE面積之和最大，最大值為9.
26.已知：點P是平行四邊形ABCD對角線AC所在直線上的一個動點(點P不與點A、C重合)，分別過點A、C向直線BP作垂線，垂足分別為E、F，點O為AC的中點.
(1)當(dāng)點P與點O重合時如圖1，求證：OE=OF
(2)直線BP繞點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點P在對角線AC上時，且∠OFE=30°時，如圖2，猜想線段CF、AE、OE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?并給予證明.
(3)當(dāng)點P在對角線CA的延長線上時，且∠OFE=30°時，如圖3，猜想線段CF、AE、OE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?直接寫出結(jié)論即可.
【考點】四邊形綜合題.
【分析】(1)由△AOE≌△COF即可得出結(jié)論.
(2)圖2中的結(jié)論為：CF=OE+AE，延長EO交CF于點G，只要證明△EOA≌△GOC，△OFG是等邊三角形，即可解決問題.
(3)圖3中的結(jié)論為：CF=OE﹣AE，延長EO交FC的延長線于點G，證明方法類似.
【解答】解：(1)∵AE⊥PB，CF⊥BP，
∴∠AEO=∠CFO=90°，
在△AEO和△CFO中，
，
∴△AOE≌△COF(AAS)，
∴OE=OF.
(2)圖2中的結(jié)論為：CF=OE+AE.
圖3中的結(jié)論為：CF=OE﹣AE.
選圖2中的結(jié)論證明如下：
延長EO交CF于點G，
∵AE⊥BP，CF⊥BP，
∴AE∥CF，
∴∠EAO=∠GCO，
在△EOA和△GOC中，
，
∴△EOA≌△GOC(ASA)，
∴EO=GO，AE=CG，
在Rt△EFG中，∵EO=OG，
∴OE=OF=GO，
∵∠OFE=30°，
∴∠OFG=90°﹣30°=60°，
∴△OFG是等邊三角形，
∴OF=GF，
∵OE=OF，
∴OE=FG，
∵CF=FG+CG，
∴CF=OE+AE.
選圖3的結(jié)論證明如下：
延長EO交FC的延長線于點G，
∵AE⊥BP，CF⊥BP，
∴AE∥CF，
∴∠AEO=∠G，
在△AOE和△COG中，
，
∴△AOE≌△COG(AAS)，
∴OE=OG，AE=CG，
在Rt△EFG中，∵OE=OG，
∴OE=OF=OG，
∵∠OFE=30°，
∴∠OFG=90°﹣30°=60°，
∴△OFG是等邊三角形，
∴OF=FG，
∵OE=OF，
∴OE=FG，
∵CF=FG﹣CG，
∴CF=OE﹣AE.