下學(xué)期九年級(jí)數(shù)學(xué)期中考試題
我們大家在看清楚數(shù)學(xué)的時(shí)候我們我們多做一下題哦，今天小編給大家分享的是九年級(jí)數(shù)學(xué)，就給大家學(xué)習(xí)一下哦
九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)期中考試題
一、選擇題(每小題3分，共30分)1.下列各點(diǎn)中，在函數(shù)y=-8x圖象上的是( )
A.(-2，4) B.(2，4) C.(-2，-4) D.(8，1)
2.已知△ABC∽△DEF，若△ABC與△DEF的相似比為3∶4，則△ABC與△DEF的面積比為( )
A.4∶3 B.3∶4 C.16∶9 D.9∶16
3.已知A(1，y1)、B(3，y2)是反比例函數(shù)y=9x圖象上的兩點(diǎn)，則y1、y2的大小關(guān)系是( )
A.y1>y2 B.y1=y2 C.y1
4.如圖，E是▱ABCD的邊BC的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接AE交CD于F，則圖中共有相似三角形( )
A.4對(duì) B.3對(duì) C.2對(duì) D.1對(duì)
第4題圖 第5題圖
5.如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)y=2x(x>0)圖象上 任意一點(diǎn)，AB⊥y軸于B，點(diǎn)C是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則△ABC的面積為( )
A.1 B.2 C.4 D.不能確定
6.如圖，雙曲線y=kx與直線y=-12x交于A、B兩點(diǎn)，且A(-2，m)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是( )
A.(2，-1) B.(1，-2) C.12，-1 D.-1，12
第6題圖 第7題圖
7.如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3.若點(diǎn)E是邊CD的中點(diǎn)，連接AE，過點(diǎn)B作BF⊥AE交AE于點(diǎn)F，則BF的長(zhǎng)為( )
A.3102 B.3105 C.105 D.355
8.如圖，在△ABC中，點(diǎn)E、F分別在邊AB、AC上，EF∥BC，AFFC=12，△CEF的面積為2，則△EBC的面積為( )
A.4 B.6 C.8 D.12
第8題圖 第9題圖
9.如圖，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，OB=2OA，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=1x的圖象上.若點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=kx的圖象上，則k的值為( )
A.-4 B.4 C.-2 D.2
10.如圖，在四邊形ABCD中，∠B=90°，AC=4，AB∥CD，DH垂直平分AC，點(diǎn)H為垂足.設(shè)AB=x，AD=y，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系用圖象大致可以表示為( )
二、填空題(每小題3分，共24分)
11.反比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過點(diǎn)M(-2，1)，則k=________.
12.如圖，在△ABC中，DE∥BC，分別交AB，AC于點(diǎn)D，E.若AD=3，DB=2，BC=6，則DE的長(zhǎng)為________.
第12題圖 第14題圖 第15題圖
13.已知反比例函數(shù)y=m+2x的圖象在第二、四象限，則m的取值范圍是________.
14.如圖，正比例函數(shù)y1=k1x與反比例函數(shù)y2=k2x的圖象交于A、B兩點(diǎn)，根據(jù)圖象可直接寫出當(dāng)y1>y2時(shí)，x的取值范圍是_ _______________.
15.如圖，甲、乙兩盞路燈底部間的距離是30米，一天晚上，當(dāng)小華走到距路燈乙底部5米處時(shí)，發(fā)現(xiàn)自己的身影頂部正好接觸路燈乙的底部.已知小華的身高為1.5米，那么路燈甲的高為________米.
16.如圖，等腰三角形OBA和等腰三角形ACD是位似圖形，則這兩個(gè)等腰三角形位似中心的坐標(biāo)是________.
第 16題 圖 第17題圖 第18題圖
17.如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)，連接EC交對(duì)角線BD于點(diǎn)F，若S△DEC=3，則S△BCF=________.
18.如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)在函數(shù)y=2x的圖象上，直線EF分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B，且BE∶BF=1∶3，則△EOF的面積是________.
三、解答題(共66分)
19.(8分)在平面直角坐標(biāo)系中，已知反比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(1，3).
(1)試確定此反比例函數(shù)的解析式;
(2)點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，將線段OA繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到線段OB，判斷點(diǎn)B是否在此反比例函數(shù)的圖象上，并說明理由.
20.(8分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(6，0)，B(6，3)，畫出△ABO的所有以原點(diǎn)O為位似中心的△CDO，且△CDO與△ABO的相似比為13，并寫出C、D的坐標(biāo).
21.(8分)如圖，小明同學(xué)用自制的直角三角形紙板DEF測(cè)量樹AB的高度，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點(diǎn)B在同一直線上.已知紙板的兩條直角邊DE=40cm，EF=20cm，測(cè)得邊DF離地面的高度AC=1.5m，CD=8m，求樹AB的高度.
22.(8分)如圖，AB是⊙O的直徑，PB與⊙O相切于點(diǎn)B，連接PA交⊙O于點(diǎn)C，連接BC.
(1)求證：∠BAC=∠CBP;
(2)求證：PB2=PC·PA.
23.(10分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，反比例函數(shù)y=mx的圖象與一次函數(shù)y=k(x-2)的圖象交點(diǎn)為A(3，2)，B(x，y).
(1)求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解 析式及B點(diǎn)坐標(biāo);
(2)若C是y軸上的點(diǎn)，且滿足△ABC的面積為10，求C點(diǎn)坐標(biāo).
24.(12分)如圖，分別位于反比例函數(shù)y=1x，y=kx在第一象限圖象上的兩點(diǎn)A，B，與原點(diǎn)O在同一直線上，且OAOB=13.
(1)求反比例 函數(shù)y=kx的表達(dá)式;
(2)過點(diǎn)A作x軸的平行線交y=kx的圖象于點(diǎn)C，連接BC，求△ABC的面積.
25.(12分)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6cm，點(diǎn)E，M分別是線段BD，AD上的動(dòng)點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)，交邊BC于F，過M作MN⊥AF，垂足為H，交邊AB于點(diǎn)N.
(1)如圖①，若點(diǎn)M與點(diǎn)D重合，求證：AF=MN;
(2)如圖②，若點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā)，以1cm/s的速度沿DA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)，以2cm/s的速度沿BD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts.
?、僭O(shè)BF=ycm，求y關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式;
?、诋?dāng)BN=2AN時(shí)，連接FN，求FN的長(zhǎng).
參考答案與解析
1.A 2.D 3.A 4.B 5.A 6.A 7.B 8.B
9.A 解析：如圖，過點(diǎn)A，B作AC⊥x軸，BD⊥x軸，分別于C，D.設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)是(m，n)，則AC=n，OC=m.∵∠AOB=90°，∴∠AOC+∠BOD=90°.∵∠DBO+∠BOD=90°，∴∠DBO=∠AOC.∵∠BDO=∠ACO=90°，∴△BDO∽△OCA.∴DBOC=ODAC=OBOA.∵OB=2OA，∴BD=2m，OD=2n.∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=1x的圖象上，∴mn=1.∵點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=kx的圖象上，B點(diǎn)的坐標(biāo)是(-2n，2m)，∴k=-2n·2m=-4mn=-4.故選A.
10.D 解析：∵DH垂直平分AC，AC=4，∴DA=DC，AH=HC=2，∴∠DAC=∠DCH.∵CD∥ AB，∴∠DCA=∠BAC，∴∠DAH=∠BAC.又∵∠DHA=∠B=90°，∴△DAH∽△CAB，∴ADAC=AHAB，∴y4=2x，∴y=8x.∵AB
11.-2 12.185 13.m<-2
14.-1
17.4 解析：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD=BC，∴△DEF∽△BCF，∴EFCF=DEBC，S△DEFS△BCF=DEBC2.∵E是邊AD的中點(diǎn)，∴DE=12AD=12BC，∴EFCF=DEBC=12，∴S△DEF=13S△DEC=1，S△DEFS△BCF=14，∴S△BCF=4.
18.83 解析：作EP⊥y軸于P，EC⊥x軸于C，F(xiàn)D⊥x軸于D，F(xiàn)H⊥y軸于H，如圖所示.∵EP⊥y軸，F(xiàn)H⊥y軸，∴EP∥FH，∴△BPE∽△BHF，∴PEHF=BEBF=13，即HF=3PE.設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為t，2t，則F點(diǎn)的坐標(biāo)為3t，23t.∵S△OEF+S△OFD=S△OEC+S梯形ECDF，而S△OFD=S△OEC=12×2=1，∴S△OEF=S梯形ECDF=1223t+2t(3t-t)=83.故答案為83.
19.解：(1)y=3x.(4分)
(2)點(diǎn)B在此反比例函數(shù)的圖象上.(5分)理由：由 題意可得OB=OA=12+(3)2=2.過點(diǎn)B作BC⊥x軸，垂足為點(diǎn)C，則∠AOC=60°，∠AOB=30°，∴∠BOC=30°，∴BC=1，OC=3，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3，1).∵1=33，∴點(diǎn)B在此反比例函數(shù)的圖象上.(8分)
20.解：如圖所示，(4分)C點(diǎn)的坐標(biāo)為(2，0)或(-2，0)，D點(diǎn)的坐標(biāo)為(2，1)或(-2，-1).(8分)
21.解：易證△DEF∽△DCB，(3分)則DECD=EFBC，即0.48=0.2BC，(6分)∴BC=4m，∴AB=BC+AC=4+1.5=5.5(m).(7分)
答：樹AB的高度為5.5m.(8分)
22.證明：(1)∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠BAC +∠ABC=90°.(2分)∵PB與⊙O相切于點(diǎn)B，∴ ∠CBP+∠ABC=90°，∴∠BAC=∠CBP.(4分)
(2)∵∠BAC=∠CBP，∠P =∠P，∴△PBC∽△PAB.(6分)∴PBAP=PCBP，∴PB2=PC·PA.(8分)
23.解：(1)∵點(diǎn)A(3，2)在反比例函數(shù)y=mx和一次函數(shù)y=k(x-2)的圖象上，∴2=m3，2=k(3-2)，解得m=6，k=2，∴反比例函數(shù)的解析式為y=6x，一次函數(shù)的解析式為y=2x-4.(3分)∵點(diǎn)B是一次函數(shù)與反比例函數(shù)的另一個(gè)交點(diǎn)，∴6x=2x-4，解得x1=3，x2=-1，∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1 ，-6).(5分)
(2)設(shè)點(diǎn)M是一次函數(shù)y=2x-4的圖象與y軸的交點(diǎn)，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0，-4).設(shè)C點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，yc)，由題意知12×3×|yc-(-4)|+12×1×|yc-(-4)|=10，∴|yc+4|=5.(8分)當(dāng)yc+4≥0時(shí)，yc+4=5，解得yc=1;當(dāng)yc+4<0時(shí)，yc+4=-5，解得yc=-9，∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，1)或(0，-9).(10分)
24.解：(1)作AE，BF分別垂直于x軸，垂足為E，F(xiàn)，∴AE∥BF，∴△AOE∽△BOF，∴OEOF=EAFB=OAOB=13.(2分)由點(diǎn)A在函數(shù)y=1x的圖象上，設(shè)A的坐標(biāo)是m，1m，∴OEOF=mOF=13，EAFB=1mFB=13，∴OF=3m，BF=3m，即B的坐標(biāo)是3m，3m.(5分)又點(diǎn)B在y=kx的圖象上，∴3m=k3m，解得k=9，則反比例函數(shù)y=kx的表達(dá)式是y=9x.(7分)
(2)由(1)可知Am，1m，B3m，3m，又已知過A作x軸的平行線交y=9x的圖象于點(diǎn)C，∴C的縱坐標(biāo)是1m.(9分)把y= 1m代入y=9x得x=9m，∴C的坐標(biāo)是9m，1m，∴AC=9m-m=8m.∴S△ABC=12×8m×3m-1m=8.(12分)
25.(1)證明：∵四邊形ABCD為正方形，∴AD=AB，∠DAN=∠FBA=90°.∵M(jìn)N⊥AF，∴∠NAH+∠ANH=90°.∵∠NDA+∠ANH=90°，∴∠NAH=∠NDA，∴△ABF≌△MAN，∴AF=MN.(4分)
(2)解：①∵四邊形ABCD為正方形，∴AD∥BF，∴∠ADE=∠FBE.∵∠AED=∠BEF，∴△EBF∽△EDA，∴BFAD=BEED.∵四邊形ABCD為正方形，∴AD=DC=CB=6cm，∴BD=62cm.∵點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)，以2cm/s的速度沿BD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，∴BE=2tcm，DE=(62-2t)cm，∴y6=2t62-2t，∴y=6t6-t.(8分)
?、凇咚倪呅蜛BCD為正方形，∴∠MAN=∠FBA=90°.∵M(jìn)N⊥AF，∴∠NAH+∠ANH=90°.∵∠NMA+∠ANH=90°，∴∠NAH=∠NMA.∴△ABF∽△MAN，∴ANAM=BFAB.∵BN=2AN，AB=6 cm，∴AN=2cm.∴26-t=6t6-t6，∴t=2，∴BF=6×26-2=3(cm).又∵BN=4cm，∴FN=32+42=5(cm).(12分)
九年級(jí)下數(shù)學(xué)期中測(cè)試帶答案
一、選擇題(每小題3分，共30分)
1.若函數(shù)y=axa2-2是二次函數(shù)且圖象開口向上，則a=(B)
A.-2 B.2 C.2或-2 D.1
2.下列二次函數(shù)中，圖象以直線x=2為對(duì)稱軸、且經(jīng)過點(diǎn)(0，1)的是(C)
A.y=(x-2)2+1 B.y=(x+2)2+1
C.y=(x-2)2-3 D.y=(x+2)2-3
3.如圖，在半徑為5 cm的⊙O中，弦AB=6 cm，OC⊥AB于點(diǎn)C，則OC=(B)
A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm
4.如圖，BC是⊙O的直徑，點(diǎn)A是⊙O上的一點(diǎn)，∠OAC=32°，則∠B的度數(shù)是(A)
A.58° B.60° C.64° D.68°
5.如圖為坐標(biāo)平面上二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象，且此圖象經(jīng)過(-1，1)，(2，-1)兩點(diǎn).下列關(guān)于此二次函數(shù)的敘述中正確的是(D)
A.y的最大值小于0
B.當(dāng)x=0時(shí)，y的值大于1
C.當(dāng)x=1時(shí)，y的值大于1
D.當(dāng)x=3時(shí)，y的值小于0
6.如圖，點(diǎn)B，C，D在⊙O上.若∠BCD=130°，則∠BOD的度數(shù)是(D)
A.50° B.60° C.80° D.100°
7.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是(D)
A.c>-1 B.b>0
C.2a+b≠0 D.9a+c>3b
8.如圖，CA，CB分別與⊙O相切于點(diǎn)D，B，圓心O在AB上，AB與⊙O的另一交點(diǎn)為E，AE=2，⊙O的半徑為1，則BC的長(zhǎng)為(A)
A.2 B.22 C.22 D.3
9.已知圓內(nèi)接正三角形的面積為3，則該圓的內(nèi)接正六邊形的邊心距是(B)
A.2 B.1 C.3 D.32
10.已知拋物線y=a(x-3)2+254(a≠0)過點(diǎn)C(0，4)，頂點(diǎn)為M，與x軸交于A，B兩點(diǎn).如圖所示以AB為直徑作圓，記作⊙D，下列結(jié)論：①拋物線的對(duì)稱軸是直線x=3;②點(diǎn)C在⊙D外;③直線CM與⊙D相切.其中正確的有(C)
A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)
二、填空題(每小題3分，共24分)
11.如圖，已知BD是⊙O的直徑，點(diǎn)A，C在⊙O上，AB︵=BC︵，∠AOB=60°，則∠COD的度數(shù)是120°.
12.已知拋物線y=x2-3x+m與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，則m=94.
13.已知Rt△ABC的兩直角邊的長(zhǎng)分別為6 cm和8 cm，則它的外接圓的半徑為5cm.
14.如果將拋物線y=x2+2x-1向上平移，使它經(jīng)過點(diǎn)A(0，3)，那么所得新拋物線的表達(dá)式是y=x2+2x+3.
15.若二次函數(shù)y=2x2-3的圖象上有兩個(gè)點(diǎn)A(1，m)，B(2，n)，則m
16.如圖，點(diǎn)A，B，D在⊙O上，∠A=25°，OD的延長(zhǎng)線交直線BC于點(diǎn)C，且∠OCB=40°，直線BC與⊙O的位置關(guān)系為相切.
17.如圖，已知AB是⊙O的一條直徑，延長(zhǎng)AB至C點(diǎn)，使AC=3BC，CD與⊙O相切于D點(diǎn).若CD=3，則劣弧AD的長(zhǎng)為23π.
18.如圖，在一個(gè)直角三角形的內(nèi)部作一個(gè)矩形ABCD，其中AB和AD分別在兩直角邊上，C點(diǎn)在斜邊上，設(shè)矩形的一邊AB=x m，矩形的面積為y m2，則y的最大值為300__m2.
三、解答題(共66分)
19.(6分)已知二次函數(shù)y=x2+4x.用配方法把該函數(shù)化為y=a(x-h)2+k(其中a，h，k都是常數(shù)，且a≠0)的形式，并指出函數(shù)圖象的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo).
解：∵y=x2+4x=(x2+4x+4)-4=(x+2)2-4，
∴對(duì)稱軸為直線x=-2.頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-2，-4).
20.(6分)如圖所示，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB=AC，∠BOC=120°，延長(zhǎng)BO交⊙O于D點(diǎn).
(1)試求∠BAD的度數(shù);
(2)求證：△ABC為等邊三角形.
解：(1)∵BD是⊙O的直徑，
∴∠BAD=90°(直徑所對(duì)的圓周角是直角).
(2)證明：∵∠BOC=120°，
∴∠BAC=12∠BOC=60°.
又∵AB=AC，
∴△ABC是等邊三角形.
21.(8分)如圖，一次函數(shù)y1=kx+1與二次函數(shù)y2=ax2+bx-2(a≠0)交于A，B兩點(diǎn)，且A(1，0)，拋物線的對(duì)稱軸是直線x=-32.
(1)求k和a，b的值;
(2)根據(jù)圖象求不等式kx+1>ax2+bx-2的解集.
解：(1)把A(1，0)代入一次函數(shù)表達(dá)式，得k+1=0，解得k=-1.
根據(jù)題意，得-b2a=-32，a+b-2=0，解得a=12，b=32.
(2)解方程組y=-x+1，y=12x2+32x-2，得x=1，y=0或x=-6，y=7.
則B的坐標(biāo)是(-6，7).
根據(jù)圖象可得，不等式kx+1>ax2+bx-2的解集是-6
22.(8分)如圖，已知AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C，D在⊙O上，且BC=6 cm，AC=8 cm，∠ABD=45°.
(1)求BD的長(zhǎng);
(2)求圖中陰影部分的面積.
解：(1)連接OD.∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°.
∵BC=6 cm，AC=8 cm，∴AB=10 cm.∴OB=5 cm.
∵OD=OB，∴∠ODB=∠ABD=45°.
∴∠BOD=90°.∴BD=OB2+OD2=52 cm.
(2)S陰影=S扇形ODB-S△OBD
=90360π×52-12×5×5
=25π-504(cm2).
23.(8分)如圖，一小球沿與地面成一定角度的方向飛出，小球的飛行路線是一條拋物線，如果不考慮空氣阻力，小球的飛行高度y(單位：m)與飛行時(shí)間x(單位：s)之間具有函數(shù)關(guān)系y=-5x2+20x，請(qǐng)根據(jù)要求解答下列問題：
(1)在飛行過程中，當(dāng)小球的飛行高度為15 m時(shí)，飛行時(shí)間是多少?
(2)在飛行過程中，小球從飛出到落地所用時(shí)間是多少?
(3)在飛行過程中，小球飛行高度何時(shí)最大?最大高度是多少?
解：(1)當(dāng)y=15時(shí)，15=-5x2+20x，
解得x1=1，x2=3.
答：在飛行過程中，當(dāng)小球的飛行高度為15 m時(shí)，飛行時(shí)間是1 s或3 s.
(2)當(dāng)y=0時(shí)，0=-5x2+20x，
解得x1=0，x2=4，
∵4-0=4，
∴在飛行過程中，小球從飛出到落地所用時(shí)間是4 s.
(3)y=-5x2+20x=-5(x-2)2+20，
∴當(dāng)x=2時(shí)，y取得最大值，此時(shí)，y=20.
答：在飛行過程中，小球飛行高度第2 s時(shí)最大，最大高度是20 m.
24.(8分)為了響應(yīng)政府提出的由中國制造向中國創(chuàng)造轉(zhuǎn)型的號(hào)召，某公司自主設(shè)計(jì)了一款成本為40元的可控溫杯，并投放市場(chǎng)進(jìn)行試銷售，經(jīng)過調(diào)查發(fā)現(xiàn)該產(chǎn)品每天的銷售量y(件)與銷售單價(jià)x(元)滿足一次函數(shù)關(guān)系：y=-10x+1 200.
(1)求出利潤(rùn)S(元)與銷售單價(jià)x(元)之間的關(guān)系式;(利潤(rùn)=銷售額-成本)
(2)當(dāng)銷售單價(jià)定為多少時(shí)，該公司每天獲取的利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少元?
解：(1)S=y(x-40)=(-10x+1 200)(x-40)=-10x2+1 600x-48 000.
(2)S=-10x2+1 600x-48 000=-10(x-80)2+16 000，
則當(dāng)銷售單價(jià)定為80元時(shí)，工廠每天獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是16 000元.
25.(10分)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑作⊙O交AB于D點(diǎn)，連接CD.
(1)求證：∠A=∠BCD;
(2)若M為線段BC上一點(diǎn)，試問當(dāng)點(diǎn)M在什么位置時(shí)，直線DM與⊙O相切?并說明理由.
解：(1)證明：∵AC為⊙O的直徑，∴∠ADC=90°.
∴∠A=90°-∠ACD.
又∵∠ACB=90°，
∴∠BCD=90°-∠ACD.
∴∠A=∠BCD.
(2)點(diǎn)M為線段BC的中點(diǎn)時(shí)，直線DM與⊙O相切.理由如下：
連接OD，作DM⊥OD，交BC于點(diǎn)M，則DM為⊙O的切線.
∵∠ACB=90°，∴∠B=90°-∠A，BC為⊙O的切線.
由切線長(zhǎng)定理，得DM=CM.
∴∠MDC=∠BCD.
由(1)可知∠A=∠BCD，CD⊥AB.
∴∠BDM=90°-∠MDC=90°-∠BCD.
∴∠B=∠BDM.∴DM=BM.
∴CM=BM，
即點(diǎn)M為線段BC的中點(diǎn).
26.(12分)如圖，拋物線的頂點(diǎn)為A(2，1)，且經(jīng)過原點(diǎn)O，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B.
(1)求拋物線的表達(dá)式;
(2)在拋物線上求點(diǎn)M，使△MOB的面積是△AOB面積的3倍;
(3)在x軸下方的拋物線上是否存在點(diǎn)N，使△OBN與△OAB相似?若存在，求出點(diǎn)N坐標(biāo);若不存在，說明理由.
解：(1)設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a(x-2)2+1.
∵拋物線經(jīng)過原點(diǎn)(0，0)，代入，得a=-14.
∴y=-14(x-2)2+1.
(2)設(shè)點(diǎn)M(a，b)，S△AOB=12×4×1=2.
則S△MOB=6，∴點(diǎn)M必在x軸下方.
∴12×4×|b|=6.∴b=-3.
將y=-3代入y=-14(x-2)2+1中，得
x=-2或6.
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-2，-3)或(6，-3).
(3)存在.∵△OBN相似于△OAB，
相似比OA∶OB=5∶4，
∴S△AOB∶S△OBN=5∶16.
而S△AOB=2.∴S△OBN=325.
設(shè)點(diǎn)N(m，n)，點(diǎn)N在x軸下方.
S△OBN=12×4×|n|=325.n=-165.
將其代入拋物線表達(dá)式，求得橫坐標(biāo)為2±25105，
∴存在點(diǎn)N，使△OBN與△OAB相似，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(2±25105，-165).
九年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題
一、選擇題(每小題3分，共30分)
1.如圖是我們學(xué)過的反比例函數(shù)圖象，它的函數(shù)解析式可能是(B)
A.y=x2 B.y=4x C.y=-3x D.y=12x
2.如圖，AD∥BE∥CF，直線l1，l2與這三條平行線分別交于點(diǎn)A，B，C和點(diǎn)D，E，F(xiàn).已知AB=1，BC=3，DE=2，則EF的長(zhǎng)為(C)
A.4 B.5 C.6 D.8
3.如圖，雙曲線y=kx(k≠0)的圖象上有一點(diǎn)A，過點(diǎn)A作AB⊥x軸于點(diǎn)B，△AOB的面積為2，則該雙曲線的解析式為(D)
A.y=2x B.y=-2x
C.y=4x D.y=-4x
4.已知點(diǎn)A(-2，y1)，B(3，y2)是反比例函數(shù)y=kx(k<0)圖象上的兩點(diǎn)，則有(B)
A.y1<0
C.y1
5.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，下列條件中不能判斷△ABC∽△AED的是(D)
A.∠AED=∠B B.∠ADE=∠C
C.ADAE=ACAB D.ADAB=AEAC
6.如圖是一次函數(shù)y1=kx-b和反比例函數(shù)y2=mx的圖象，觀察圖象，寫出y1>y2時(shí)x的取值范圍是(D)
A.x>3 B.x>-2或x>3
C.x<-2或0
7.如圖，利用標(biāo)桿BE測(cè)量樓的高度，標(biāo)桿BE高1.5 m，測(cè)得AB=2 m，BC=14 m，則樓高CD為(C)
A.10.5 m B.9.5 m
C.12 m D.14 m
8.函數(shù)y=ax2-a與y=ax(a≠0)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是(A)
9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)A(6，2)，B(6，0)，以原點(diǎn)為位似中心，相似比為3∶1，把線段AB縮小得到A′B′，則過A′點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的反比例函數(shù)的解析式為(B)
A.y=4x
B.y=43x
C.y=-43x
D.y=18x
10.如圖，點(diǎn)D是等邊△ABC邊AB上的一點(diǎn)，且AD∶BD=1∶2，現(xiàn)將△ABC折疊，使點(diǎn)C與D重合，折痕為EF，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AC和BC上，則CE∶CF=(B)
A.34 B.45 C.56 D.67
二、填空題(每小題3分，共24分)
11.已知反比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1，5)，則k的值是5.
12.如圖，若△ADE∽△ACB，且ADAC=23，DE=10，則BC=15.
13.如圖，已知△ABC∽△DBE，AB=6，DB=8，則S△ABCS△DBE=916.
14.若反比例函數(shù)y=k-3x的圖象位于第一、三象限，正比例函數(shù)y=(2k-9)x過第二、四象限，則k的整數(shù)值是4.
15.如圖，點(diǎn)P是▱ABCD邊AB上的一點(diǎn)，射線CP交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則圖中相似的三角形有3對(duì).
16.若直線y=kx(k>0)與雙曲線y=2x的交點(diǎn)為(x1，y1)，(x2，y2)，則2x1y2-5x2y1的值為6.
17.如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，AF⊥DE于點(diǎn)O，則AODO=12 .
18.如圖，已知雙曲線y=kx(k>0)的圖象經(jīng)過Rt△OAB的斜邊OB的中點(diǎn)D，與直角邊AB相交于點(diǎn)C.當(dāng)BC=OA=6時(shí)，k=12.
三、解答題(共66分)
19.(8分)反比例函數(shù)y=m-2x的圖象的一支在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，根據(jù)圖象回答下列問題：
(1)圖象的另一支在第四象限;在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大;
(2)若此反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(-2，3)，求m的值.點(diǎn)A(-5，2)是否在這個(gè)函數(shù)圖象上?點(diǎn)B(-3，4)呢?
解：把(-2，3)代入y=m-2x，得m-2=xy=-2×3=-6，
∴m=-4.
∴該反比例函數(shù)的解析式為y=-6x.
∵-5×2=-10≠-6，
∴點(diǎn)A不在該函數(shù)圖象上.
∵-3×4=-12≠-6，
∴點(diǎn)B不在該函數(shù)圖象上.
20.(10分)一定質(zhì)量的氧氣，其密度ρ(kg/m3)是它的體積V(m3)的反比例函數(shù).當(dāng)V=10 m3時(shí)，ρ等于1.43 kg/m3.
(1)求ρ與V的函數(shù)解析式;
(2)當(dāng)V=2 m3時(shí)，求氧氣的密度.
解：(1)由題意，得Vρ=10×1.43=14.3，
∴ρ與V的函數(shù)解析式為ρ=14.3V.
(2)當(dāng)V=2時(shí)，ρ=14.32=7.15，
即氧氣的密度為7.15 kg/m3.
21.(10分)如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC，△AOB的面積等于9，△AOD的面積等于6，AB=7，求CD的長(zhǎng).
解：∵AB∥DC，
∴△COD∽△AOB.
∴CDAB=DOBO.
∵△AOB的面積等于9，△AOD的面積等于6，
∴S△AODS△AOB=DOBO=23.
∴CDAB=DOBO=23.
∵AB=7，
∴CD7=23.
∴CD=143.
22.(12分)為了估算河的寬度，我們可以在河對(duì)岸的岸邊選定一個(gè)目標(biāo)作為點(diǎn)A，再在河的這一邊選點(diǎn)B和點(diǎn)C，使AB⊥BC，然后再選點(diǎn)E，使EC⊥BC，確定BC與AE的交點(diǎn)為點(diǎn)D，如圖，測(cè)得BD=120米，DC=60米，EC=50米，你能求出兩岸之間AB的大致距離嗎?
解：∵AB⊥BC，EC⊥BC，
∴∠ABD=∠ECD=90°.
又∵∠BDA=∠CDE，
∴Rt△ABD∽R(shí)t△ECD.
∴ABBD=ECCD.
∴AB120=5060.
∴AB=100米.
答：兩岸之間AB的大致距離為100米.
23.(12分)如圖，點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，AE與BD交于點(diǎn)C，∠DME=∠A=∠B=α，且DM交AC于點(diǎn)F，ME交BC于點(diǎn)G.
(1)寫出圖中三對(duì)相似三角形，并證明其中的一對(duì);
(2)連接FG，如果α=45°，AB=42，AF=3，求FC和FG的長(zhǎng).
解：(1)△AME∽△MFE，△BMD∽△MGD，
△AMF∽△BGM.
證明：∵∠AMD=∠B+∠D，∠BGM=∠DMG+∠D，
又∵∠B=∠A=∠DME=α，
∴∠AMF=∠BGM.
∴△AMF∽△BGM.
(2)∵M(jìn)是線段AB的中點(diǎn)，AB=42，
∴AM=BM=22.
由(1)知△AMF∽△BGM，
∴BGAM=BMAF，即BG22=223.∴BG=83.
∵∠A=∠B=α=45°，
∴△ABC為等腰直角三角形.
∴AC=BC=4.
∴FC=AC-AF=4-3=1，
CG=BC-BG=4-83=43.
在Rt△CFG中，由勾股定理，得
FG=FC2+CG2=12+(43)2=53.
24.(14分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形OBCD的邊OB在x軸上，反比例函數(shù)y=kx(x>0)的圖象經(jīng)過菱形對(duì)角線的交點(diǎn)A，且與邊BC交于點(diǎn)F，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4，2).
(1)求反比例函數(shù)的解析式;
(2)求點(diǎn)F的坐標(biāo).
解：(1)把A(4，2)代入y=kx，得2=k4，解得k=8.
∴反比例函數(shù)的解析式為y=8x.
(2)作AE⊥x軸于點(diǎn)E，CG⊥x軸于點(diǎn)G，F(xiàn)H⊥x軸于點(diǎn)H.
∵四邊形OBCD是菱形，
∴OA=12OC，OB=BC.
∵AE⊥x軸，CG⊥x軸，
∴AE∥CG.
∴△AOE∽△COG.
∴AECG=OEOG=OAOC=12.
∴CG=2AE=4，OG=2OE=8.
設(shè)BC=x，則BG=8-x.
在Rt△BCG中，x2-(8-x)2=42，解得x=5.
∴OB=BC=5，BG=3.
設(shè)點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為m，則點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為8m.
∵FH⊥x軸，CG⊥x軸，∴FH∥CG.
∴△BFH∽△BCG.
∴BHBG=FHCG，即m-53=8m 4 .
解得m1=6，m2=-1(舍去).
∴8m=43.
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(6，43).
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