初三期中考試數(shù)學知識點整理
初三期中考試數(shù)學知識點整理
初三期中考試即將到來，同學們要如何準備呢?接下來是學習啦小編為大家?guī)淼某跞谥锌荚嚁?shù)學知識點整理，供大家參考。
初三期中考試數(shù)學知識點整理(一)
相似三角形的判定定理：
(1)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似;
(2)如果一個三角形的兩條邊和另一個三角形的兩條邊對應成比例,并且夾角相等,那么這兩個三角形相似
(簡敘為：兩邊對應成比例且夾角相等，兩個三角形相似.);
(3)如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應成比例,那么這兩個三角形相似
(簡敘為:三邊對應成比例，兩個三角形相似.);
(4)如果兩個三角形的兩個角分別對應相等(或三個角分別對應相等)，則有兩個三角形相似
(簡敘為兩角對應相等，兩個三角形相似.).
直角三角形相似的判定定理：
(1)直角三角形被斜邊上的高分成兩個直角三角形和原三角形相似;(2)如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那么這兩個直角三角形相似.
2性質(zhì)定理編輯
(1)相似三角形的對應角相等;
(2)相似三角形的對應邊成比例;
(3)相似三角形的對應高線的比,對應中線的比和對應角平分線的比都等于相似比;
(4)相似三角形的周長比等于相似比;
(5)相似三角形的面積比等于相似比的平方.
3判定方法編輯
預備定理
平行于三角形一邊的直線截其它兩邊所在的直線，截得的三角形與原三角形相似。(這是相似三角形判定的定理，是以下判定方法證明的基礎(chǔ)。這個引理的證明方法需要平行線與線段成比例的證明)
定義
對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形。
判定定理
常用的判定定理有以下6條：
判定定理1：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似。(簡敘為：兩角對應相等，兩個三角形相似。)(AA)
判定定理2：如果兩個三角形的兩組對應邊成比例，并且對應的夾角相等，那么這兩個三角形相似。(簡敘為：兩邊對應成比例且夾角相等，兩個三角形相似。)(SAS)
判定定理3：如果兩個三角形的三組對應邊成比例，那么這兩個三角形相似。(簡敘為：三邊對應成比例，兩個三角形相似。)(SSS)
判定定理4：兩三角形三邊對應平行，則兩三角形相似。(簡敘為：三邊對應平行，兩個三角形相似。)
判定定理5：如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那么這兩個直角三角形相似。(簡敘為：斜邊與直角邊對應成比例，兩個直角三角形相似。)(HL)
判定定理6：如果兩個三角形全等，那么這兩個三角形相似(相似比為1：1)(簡敘為：全等三角形相似)。
相似的判定定理與全等三角形基本相等，因為全等三角形是特殊的相似三角形。[1]
4一定相似編輯
符合下面的情況中的任何一種的兩個(或多個)三角形一定相似：
1.兩個全等的三角形
全等三角形是特殊的相似三角形，相似比為1：1。
2.任意一個頂角或底角相等的兩個等腰三角形
兩個等腰三角形，如果其中的任意一個頂角或底角相等，那么這兩個等腰三角形相似。
3.兩個等邊三角形
兩個等邊三角形，三個內(nèi)角都是60度，且邊邊相等，所以相似。
4.直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形
由于斜邊的高形成兩個直角，再加上一個公共的角，所以相似。[1]
5定理推論編輯
推論一：頂角或底角相等的兩個等腰三角形相似。
推論二：腰和底對應成比例的兩個等腰三角形相似。
推論三：有一個銳角相等的兩個直角三角形相似。
推論四：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形都相似。
推論五：如果一個三角形的兩邊和三角形任意一邊上的中線與另一個三角形的對應部分成比例，那么這兩個三角形相似。
性質(zhì)
1.相似三角形對應角相等，對應邊成正比例。
2.相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等)的比等于相似比。
3.相似三角形周長的比等于相似比。
4.相似三角形面積的比等于相似比的平方。
5.相似三角形內(nèi)切圓、外接圓直徑比和周長比都和相似比相同，內(nèi)切圓、外接圓面積比是相似比的平方
6.若a/b =b/c，即b²=ac，b叫做a,c的比例中項
7.a/b=c/d等同于ad=bc.
8.不必是在同一平面內(nèi)的三角形里。
6相似三角形的傳遞性
如果△ABC∽△A₁B₁C₁，△A₁B₁C₁∽△A₂B₂C₂，那么△ABC∽△A₂B₂C₂.
初三期中考試數(shù)學知識點整理(二)
1.銳角三角比
三角比(trigonometric ratio)是三角學的基本概念之一，指三角函數(shù)定義中的兩線段的數(shù)量比。 定義銳角三角函數(shù)時，是指含此銳角的直角三角形中任意兩邊的比。定義任意角三角函數(shù)時，是指角的終邊上任意一點的縱、橫坐標和原點到這點的距離三個數(shù)量中任意兩個的比。
三角比的出現(xiàn)，帶來了角與邊的關(guān)系。
銳角三角比又名直角三角比。定義中，都帶有一個“直角三角形”的前提，這是為了方便理解和有一個統(tǒng)一的標準。
一個銳角的正切tan(gent)、余切cot(angent)、正弦sin(e)、余弦cos(ine)，這些三角比的數(shù)值，是這個銳角本身自己的“屬性”，和這個角是否在直角三角形中無關(guān)。
2.概念
正切：我們把直角三角形中一個銳角的對邊與鄰邊的比叫做這個銳角的正切(tangent)。
余切：我們把直角三角形中一個銳角的鄰邊與對邊的比叫做這個銳角的余切(cotangent)。
正弦：直角三角形中一個銳角的對邊與斜邊的比叫做這個銳角的正弦(sine)。
余弦：直角三角形中一個銳角的鄰邊與斜邊的比叫做這個銳角的余弦(cosine)。
正切與余切的關(guān)系：
公式tanA=角A的對邊/鄰邊
cotA=角A的鄰邊/對邊
sinA=角A的對邊/斜邊
cosA=角A的鄰邊/斜邊
3.注意
對于銳角三角函數(shù)要注意以下幾點
要分清一個直角三角形中的對邊和鄰邊。
三角函數(shù)的值是一個比值，這些比值只與銳角的大小有關(guān)。當一個銳角的值確定時，它的四個三角函數(shù)的值也就確定了。
任何一個銳角都有四個相應的函數(shù)值，不因這個角不在某個直角三角形內(nèi)而不存在。
由三角函數(shù)的定義可知0<sinA<1;0<cosA<1
銳角三角函數(shù)揭示了三角形中邊與角之間的關(guān)系。
初三期中考試數(shù)學知識點整理(三)
二次函數(shù)
I.定義與定義表達式
一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：
y=ax^2+bx+c(a，b，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下,IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大.)
則稱y為x的二次函數(shù)。
二次函數(shù)表達式的右邊通常為二次三項式。
II.二次函數(shù)的三種表達式
一般式：y=ax^2;+bx+c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)
頂點式：y=a(x-h)^2;+k [拋物線的頂點P(h，k)]
交點式：y=a(x-x1)(x-x2) [僅限于與x軸有交點A(x1，0)和 B(x2，0)的拋物線]
注：在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中，有如下關(guān)系:
h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a x1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2a
III.二次函數(shù)的圖像
在平面直角坐標系中作出二次函數(shù)y=x?的圖像，
可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。
IV.拋物線的性質(zhì)
1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線
x = -b/2a。
對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。
特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)
2.拋物線有一個頂點P，坐標為
P [ -b/2a ，(4ac-b^2;)/4a ]。
當-b/2a=0時，P在y軸上;當Δ= b^2-4ac=0時，P在x軸上。
3.二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。
當a>0時，拋物線向上開口;當a<0時，拋物線向下開口。
|a|越大，則拋物線的開口越小。
4.一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。
當a與b同號時(即ab>0)，對稱軸在y軸左;
當a與b異號時(即ab<0)，對稱軸在y軸右。
5.常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點。
拋物線與y軸交于(0，c)
6.拋物線與x軸交點個數(shù)
Δ= b^2-4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點。
Δ= b^2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。
Δ= b^2-4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點。
V.二次函數(shù)與一元二次方程
特別地，二次函數(shù)(以下稱函數(shù))y=ax^2;+bx+c，
當y=0時，二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程(以下稱方程)，
即ax^2;+bx+c=0
此時，函數(shù)圖像與x軸有無交點即方程有無實數(shù)根。
函數(shù)與x軸交點的橫坐標即為方程的根。
答案補充
畫拋物線y=ax2時，應先列表，再描點，最后連線。列表選取自變量x值時常以0為中心，選取便于計算、描點的整數(shù)值，描點連線時一定要用光滑曲線連接，并注意變化趨勢。
二次函數(shù)解析式的幾種形式
(1)一般式：y=ax2+bx+c (a,b,c為常數(shù)，a≠0).
(2)頂點式：y=a(x-h)2+k(a,h,k為常數(shù)，a≠0).
(3)兩根式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是拋物線與x軸的交點的橫坐標，即一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個根，a≠0.
說明：(1)任何一個二次函數(shù)通過配方都可以化為頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k，拋物線的頂點坐標是(h,k)，h=0時，拋物線y=ax2+k的頂點在y軸上;當k=0時，拋物線a(x-h)2的頂點在x軸上;當h=0且k=0時，拋物線y=ax2的頂點在原點
答案補充
如果圖像經(jīng)過原點，并且對稱軸是y軸，則設(shè)y=ax^2;如果對稱軸是y軸，但不過原點，則設(shè)y=ax^2+k
定義與定義表達式
一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：
y=ax^2+bx+c
(a，b，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下。IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大。)
則稱y為x的二次函數(shù)。
二次函數(shù)表達式的右邊通常為二次三項式。
x是自變量，y是x的函數(shù)
二次函數(shù)的三種表達式
?、僖话闶剑簓=ax^2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0)
?、陧旤c式[拋物線的頂點 P(h，k) ]：y=a(x-h)^2+k
?、劢稽c式[僅限于與x軸有交點 A(x1,0) 和 B(x2,0) 的拋物線]：y=a(x-x1)(x-x2)
以上3種形式可進行如下轉(zhuǎn)化：
?、僖话闶胶晚旤c式的關(guān)系
對于二次函數(shù)y=ax^2+bx+c，其頂點坐標為(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)，即
h=-b/2a=(x1+x2)/2
k=(4ac-b^2)/4a
②一般式和交點式的關(guān)系
x1,x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)
初三期中考試數(shù)學知識點整理(四)
正3邊形：
內(nèi)角 = 180度/3=60度
中心角 = 360度/3=120度
半徑 = R
邊長 = (3的平方根)*R
邊心距 = R/2
周長 = 3*(3的平方根)*R
面積 = (3的平方根)*R * (3R/2) /2 =3*(3的平方根)/4 *(R的平方)
正4邊形：
內(nèi)角 = 180度/3=60度
中心角 = 360度/3=120度
半徑 = R
邊長 = (2的平方根)*R
邊心距 = R/(2的平方根)
周長 = 4*(2的平方根)*R
面積 = 2*(R的平方)
正6邊形：
內(nèi)角 = (6-2)*180度/6=120度
中心角 = 360度/6=60度
半徑 = R
邊長 = R
邊心距 = (3的平方根)/2*R
周長 = 6*R
面積 = 邊心距*R*3 = 3*(3的平方根)/2*(R的平方)
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