高一數學科必修必考知識點
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高一數學科必修必考知識點1
(一)、映射、函數、反函數
1、對應、映射、函數三個概念既有共性又有區(qū)別，映射是一種特殊的對應，而函數又是一種特殊的映射.
2、對于函數的概念，應注意如下幾點：
(1)掌握構成函數的三要素，會判斷兩個函數是否為同一函數.
(2)掌握三種表示法——列表法、解析法、圖象法，能根實際問題尋求變量間的函數關系式，特別是會求分段函數的解析式.
(3)如果y=f(u)，u=g(_)，那么y=f[g(_)]叫做f和g的復合函數，其中g(_)為內函數，f(u)為外函數.
3、求函數y=f(_)的反函數的一般步驟：
(1)確定原函數的值域，也就是反函數的定義域;
(2)由y=f(_)的解析式求出_=f-1(y);
(3)將_，y對換，得反函數的習慣表達式y=f-1(_)，并注明定義域.
注意①：對于分段函數的反函數，先分別求出在各段上的反函數，然后再合并到一起.
②熟悉的應用，求f-1(_0)的值，合理利用這個結論，可以避免求反函數的過程，從而簡化運算.
(二)、函數的解析式與定義域
1、函數及其定義域是不可分割的整體，沒有定義域的函數是不存在的，因此，要正確地寫出函數的解析式，必須是在求出變量間的對應法則的同時，求出函數的定義域.求函數的定義域一般有三種類型：
(1)有時一個函數來自于一個實際問題，這時自變量_有實際意義，求定義域要結合實際意義考慮;
(2)已知一個函數的解析式求其定義域，只要使解析式有意義即可.如：
①分式的分母不得為零;
②偶次方根的被開方數不小于零;
③對數函數的真數必須大于零;
④指數函數和對數函數的底數必須大于零且不等于1;
⑤三角函數中的正切函數y=tan_(_∈R，且k∈Z)，余切函數y=cot_(_∈R，_≠kπ，k∈Z)等.
應注意，一個函數的解析式由幾部分組成時，定義域為各部分有意義的自變量取值的公共部分(即交集).
(3)已知一個函數的定義域，求另一個函數的定義域，主要考慮定義域的深刻含義即可.
已知f(_)的定義域是[a，b]，求f[g(_)]的定義域是指滿足a≤g(_)≤b的_的取值范圍，而已知f[g(_)]的定義域[a，b]指的是_∈[a，b]，此時f(_)的定義域，即g(_)的值域.
2、求函數的解析式一般有四種情況
(1)根據某實際問題需建立一種函數關系時，必須引入合適的變量，根據數學的有關知識尋求函數的解析式.
(2)有時題設給出函數特征，求函數的解析式，可采用待定系數法.比如函數是一次函數，可設f(_)=a_+b(a≠0)，其中a，b為待定系數，根據題設條件，列出方程組，求出a，b即可.
(3)若題設給出復合函數f[g(_)]的表達式時，可用換元法求函數f(_)的表達式，這時必須求出g(_)的值域，這相當于求函數的定義域.
(4)若已知f(_)滿足某個等式，這個等式除f(_)是未知量外，還出現其他未知量(如f(-_)，等)，必須根據已知等式，再構造其他等式組成方程組，利用解方程組法求出f(_)的表達式.
(三)、函數的值域與最值
1、函數的值域取決于定義域和對應法則，不論采用何種方法求函數值域都應先考慮其定義域，求函數值域常用方法如下：
(1)直接法：亦稱觀察法，對于結構較為簡單的函數，可由函數的解析式應用不等式的性質，直接觀察得出函數的值域.
(2)換元法：運用代數式或三角換元將所給的復雜函數轉化成另一種簡單函數再求值域，若函數解析式中含有根式，當根式里一次式時用代數換元，當根式里是二次式時，用三角換元.
(3)反函數法：利用函數f(_)與其反函數f-1(_)的定義域和值域間的關系，通過求反函數的定義域而得到原函數的值域，形如(a≠0)的函數值域可采用此法求得.
(4)配方法：對于二次函數或二次函數有關的函數的值域問題可考慮用配方法.
(5)不等式法求值域：利用基本不等式a+b≥[a，b∈(0，+∞)]可以求某些函數的值域，不過應注意條件“一正二定三相等”有時需用到平方等技巧.
(6)判別式法：把y=f(_)變形為關于_的一元二次方程，利用“△≥0”求值域.其題型特征是解析式中含有根式或分式.
(7)利用函數的單調性求值域：當能確定函數在其定義域上(或某個定義域的子集上)的單調性，可采用單調性法求出函數的值域.
(8)數形結合法求函數的值域：利用函數所表示的幾何意義，借助于幾何方法或圖象，求出函數的值域，即以數形結合求函數的值域.
2、求函數的最值與值域的區(qū)別和聯系
求函數最值的常用方法和求函數值域的方法基本上是相同的，事實上，如果在函數的值域中存在一個最小(大)數，這個數就是函數的最小(大)值.因此求函數的最值與值域，其實質是相同的，只是提問的角度不同，因而答題的方式就有所相異.
如函數的值域是(0，16]，值是16，無最小值.再如函數的值域是(-∞，-2]∪[2，+∞)，但此函數無值和最小值，只有在改變函數定義域后，如_>0時，函數的最小值為2.可見定義域對函數的值域或最值的影響.
3、函數的最值在實際問題中的應用
函數的最值的應用主要體現在用函數知識求解實際問題上，從文字表述上常常表現為“工程造價最低”，“利潤”或“面積(體積)(最小)”等諸多現實問題上，求解時要特別關注實際意義對自變量的制約，以便能正確求得最值.
(四)、函數的奇偶性
1、函數的奇偶性的定義：對于函數f(_)，如果對于函數定義域內的任意一個_，都有f(-_)=-f(_)(或f(-_)=f(_))，那么函數f(_)就叫做奇函數(或偶函數).
正確理解奇函數和偶函數的定義，要注意兩點：(1)定義域在數軸上關于原點對稱是函數f(_)為奇函數或偶函數的必要不充分條件;(2)f(_)=-f(_)或f(-_)=f(_)是定義域上的恒等式.(奇偶性是函數定義域上的整體性質).
2、奇偶函數的定義是判斷函數奇偶性的主要依據。為了便于判斷函數的奇偶性，有時需要將函數化簡或應用定義的等價形式：
注意如下結論的運用：
(1)不論f(_)是奇函數還是偶函數，f(|_|)總是偶函數;
(2)f(_)、g(_)分別是定義域D1、D2上的奇函數，那么在D1∩D2上，f(_)+g(_)是奇函數，f(_)·g(_)是偶函數，類似地有“奇±奇=奇”“奇×奇=偶”，“偶±偶=偶”“偶×偶=偶”“奇×偶=奇”;
(3)奇偶函數的復合函數的奇偶性通常是偶函數;
(4)奇函數的導函數是偶函數，偶函數的導函數是奇函數。
3、有關奇偶性的幾個性質及結論
(1)一個函數為奇函數的充要條件是它的圖象關于原點對稱;一個函數為偶函數的充要條件是它的圖象關于y軸對稱.
(2)如要函數的定義域關于原點對稱且函數值恒為零，那么它既是奇函數又是偶函數.
(3)若奇函數f(_)在_=0處有意義，則f(0)=0成立.
(4)若f(_)是具有奇偶性的區(qū)間單調函數，則奇(偶)函數在正負對稱區(qū)間上的單調性是相同(反)的。
(5)若f(_)的定義域關于原點對稱，則F(_)=f(_)+f(-_)是偶函數，G(_)=f(_)-f(-_)是奇函數.
(6)奇偶性的推廣
函數y=f(_)對定義域內的任一_都有f(a+_)=f(a-_)，則y=f(_)的圖象關于直線_=a對稱，即y=f(a+_)為偶函數.函數y=f(_)對定義域內的任-_都有f(a+_)=-f(a-_)，則y=f(_)的圖象關于點(a，0)成中心對稱圖形，即y=f(a+_)為奇函數。
高一數學科必修必考知識點2
重點難點講解：
1.回歸分析：
就是對具有相關關系的兩個變量之間的關系形式進行測定，確定一個相關的數學表達式，以便進行估計預測的統計分析方法。根據回歸分析方法得出的數學表達式稱為回歸方程，它可能是直線，也可能是曲線。
2.線性回歸方程
設_與y是具有相關關系的兩個變量，且相應于n組觀測值的n個點(_i,yi)(i=1,......,n)大致分布在一條直線的附近，則回歸直線的方程為。
其中。
3.線性相關性檢驗
線性相關性檢驗是一種假設檢驗，它給出了一個具體檢驗y與_之間線性相關與否的辦法。
①在課本附表3中查出與顯著性水平0.05與自由度n-2(n為觀測值組數)相應的相關系數臨界值r0.05。
②由公式，計算r的值。
③檢驗所得結果
如果|r|≤r0.05，可以認為y與_之間的線性相關關系不顯著，接受統計假設。
如果|r|>r0.05，可以認為y與_之間不具有線性相關關系的假設是不成立的，即y與_之間具有線性相關關系。
典型例題講解：
例1.從某班50名學生中隨機抽取10名，測得其數學考試成績與物理考試成績資料如表：序號12345678910數學成績54666876788285879094，物理成績61806286847685828896試建立該10名學生的物理成績對數學成績的線性回歸模型。
解：設數學成績?yōu)開，物理成績?yōu)?，則可設所求線性回歸模型為，
計算，代入公式得∴所求線性回歸模型為=0.74_+22.28。
說明：將自變量_的值分別代入上述回歸模型中，即可得到相應的因變量的估計值，由回歸模型知：數學成績每增加1分，物理成績平均增加0.74分。大家可以在老師的幫助下對自己班的數學、化學成績進行分析。
例2.假設關于某設備的使用年限_和所支出的維修費用y(萬元)，有如下的統計資料：_23456y2.23.85.56.57.0
若由資料可知y對_成線性相關關系。試求：
(1)線性回歸方程;(2)估計使用年限為10年時，維修費用是多少?
分析：本題為了降低難度，告訴了y與_間成線性相關關系，目的是訓練公式的使用。
解：(1)列表如下：i12345_i23456yi2.23.85.56.57.0_iyi4.411.422.032.542.049162536于是b=,?！嗑€性回歸方程為：=b_+a=1.23_+0.08。
(2)當_=10時，=1.23×10+0.08=12.38(萬元)即估計使用10年時維修費用是12.38萬元。
說明：本題若沒有告訴我們y與_間是線性相關的，應首先進行相關性檢驗。如果本身兩個變量不具備線性相關關系，或者說它們之間相關關系不顯著時，即使求出回歸方程也是沒有意義的，而且其估計與預測也是不可信的。
例3.某省七年的國民生產總值及社會商品零售總額如下表所示：已知國民生產總值與社會商品的零售總額之間存在線性關系，請建立回歸模型。年份國民生產總值(億元)
社會商品零售總額(億元)1985396.26205.821986442.04227.951987517.77268.661988625.10337.521989700.83366.001990792.54375.111991858.47413.18合計4333.012194.24
解：設國民生產總值為_，社會商品零售總額為y,設線性回歸模型為。
依上表計算有關數據后代入的表達式得：∴所求線性回歸模型為y=0.445957_+37.4148,表明國民生產總值每增加1億元，社會商品零售總額將平均增加4459.57萬元。
例4.已知某地每單位面積菜地年平均使用氮肥量_kg與每單位面積蔬菜每年平均產量yt之間的關系有如下數據：年份19851986198719881989199019911992_(kg)7074807885929095y(t)5.16.06.87.89.010.210.012.0年份19931994199519961997199871999_(kg)92108115123130138145y(t)11.511.011.812.212.512.813.0(1)求_與y之間的相關系數，并檢驗是否線性相關;
(2)若線性相關，求蔬菜產量y與使用氮肥量之間的回歸直線方程，并估計每單位面積施肥150kg時，每單位面積蔬菜的年平均產量。
分析：(1)使用樣本相關系數計算公式來完成;(2)查表得出顯著水平0.05與自由度15-2相應的相關系數臨界值r0.05比較，若r>r0.05，則線性相關，否則不線性相關。
解：(1)列出下表，并用科學計算器進行有關計算：i123456789101112131415_i707480788592909592108115123130138145yi5.16.06.87.89.010.210.012.011.511.011.812.212.512.813.0_iyi357444544608.4765938.490011401058118813571500.616251766.41885,.故蔬菜產量與施用氮肥量的相關系數：r=由于n=15，故自由度15-2=13。由相關系數檢驗的臨界值表查出與顯著水平0.05及自由度13相關系數臨界值r0.05=0.514，則r>r0.05，從而說明蔬菜產量與氮肥量之間存在著線性相關關系。
(2)設所求的回歸直線方程為=b_+a，則∴回歸直線方程為=0.0931_+0.7102。
當_=150時，y的估值=0.0931×150+0.7102=14.675(t)。
說明：求解兩個變量的相關系數及它們的回歸直線方程的計算量較大，需要細心謹慎計算，如果會使用含統計的科學計算器，能簡單得到，這些量，也就無需有制表這一步，直接算出結果就行了。另外，利用計算機中有關應用程序也可以對這些數據進行處理。
高一數學科必修必考知識點3
1.“包含”關系—子集
注意：有兩種可能(1)A是B的一部分，;(2)A與B是同一集合。
反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作AB或BA
2.“相等”關系(5≥5，且5≤5，則5=5)
實例：設A={__2-1=0}B={-1,1}“元素相同”
結論：對于兩個集合A與B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時,集合B的任何一個元素都是集合A的元素，我們就說集合A等于集合B，即：A=B
①任何一個集合是它本身的子集。AíA
②真子集:如果AíB,且A1B那就說集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA)
③如果AíB,BíC,那么AíC
④如果AíB同時BíA那么A=B
3.不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ
規(guī)定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集
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