高二數(shù)學(xué)選修2-1知識點
高中的數(shù)學(xué)有選修,雖然是選修,但是高考還是會考的,所以我們還是得學(xué)好這部分內(nèi)容。小編整理了相關(guān)資料,希望能幫助到您。
1、命題:用語言、符號或式子表達的,可以判斷真假的陳述句.
真命題:判斷為真的語句.
假命題:判斷為假的語句.
2、“若,則”形式的命題中的稱為命題的條件,稱為命題的結(jié)論.
3、對于兩個命題,如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和條件,則這兩個命題稱為互逆命題.其中一個命題稱為原命題,另一個稱為原命題的逆命題.
若原命題為“若,則”,它的逆命題為“若,則”.
4、對于兩個命題,如果一個命題的條件和結(jié)論恰好是另一個命題的條件的否定和結(jié)論的否定,則這兩個命題稱為互否命題.中一個命題稱為原命題,另一個稱為原命題的否命題.
若原命題為“若,則”,則它的否命題為“若,則”.
5、對于兩個命題,如果一個命題的條件和結(jié)論恰好是另一個命題的結(jié)論的否定和條件的否定,則這兩個命題稱為互為逆否命題.其中一個命題稱為原命題,另一個稱為原命題的逆否命題.
若原命題為“若,則”,則它的否命題為“若,則”.
6、四種命題的真假性:
原命題 | 逆命題 | 否命題 | 逆否命題 |
真 | 真 | 真 | 真 |
真 | 假 | 假 | 真 |
假 | 真 | 真 | 真 |
假 | 假 | 假 | 假 |
四種命題的真假性之間的關(guān)系:
兩個命題互為逆否命題,它們有相同的真假性;
兩個命題為互逆命題或互否命題,它們的真假性沒有關(guān)系.
7、若,則是的充分條件,是的必要條件.
若,則是的充要條件(充分必要條件).
8、用聯(lián)結(jié)詞“且”把命題和命題聯(lián)結(jié)起來,得到一個新命題,記作.
當、都是真命題時,是真命題;當、兩個命題中有一個命題是假命題時,是假命題.
用聯(lián)結(jié)詞“或”把命題和命題聯(lián)結(jié)起來,得到一個新命題,記作.
當、兩個命題中有一個命題是真命題時,是真命題;當、兩個命題都是假命題時,是假命題.
對一個命題全盤否定,得到一個新命題,記作.
若是真命題,則必是假命題;若是假命題,則必是真命題.
9、短語“對所有的”、“對任意一個”在邏輯中通常稱為全稱量詞,用“”表示.
含有全稱量詞的命題稱為全稱命題.
全稱命題“對中任意一個,有成立”,記作“,”.
短語“存在一個”、“至少有一個”在邏輯中通常稱為存在量詞,用“”表示.
含有存在量詞的命題稱為特稱命題.
特稱命題“存在中的一個,使成立”,記作“,”.
10、全稱命題:,,它的否定:,.全稱命題的否定是特稱命題.
11、平面內(nèi)與兩個定點,的距離之和等于常數(shù)(大于)的點的軌跡稱為橢圓.這兩個定點稱為橢圓的焦點,兩焦點的距離稱為橢圓的焦距.
12、橢圓的幾何性質(zhì):
焦點的位置 | 焦點在軸上 | 焦點在軸上 |
圖形 |
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標準方程 | ||
范圍 | 且 | 且 |
頂點 | 、 、 | 、 、 |
軸長 | 短軸的長 長軸的長 | |
焦點 | 、 | 、 |
焦距 | ||
對稱性 | 關(guān)于軸、軸、原點對稱 | |
離心率 | ||
準線方程 #FormatImgID_3#
|
13、設(shè)是橢圓上任一點,點到對應(yīng)準線的距離為,點到對應(yīng)準線的距離為,則.
14、平面內(nèi)與兩個定點,的距離之差的絕對值等于常數(shù)(小于)的點的軌跡稱為雙曲線.這兩個定點稱為雙曲線的焦點,兩焦點的距離稱為雙曲線的焦距.
15、雙曲線的幾何性質(zhì):
焦點的位置 | 焦點在軸上 | 焦點在軸上 |
圖形 |
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標準方程 | ||
范圍 | 或, | 或, |
頂點 | 、 | 、 |
軸長 | 虛軸的長 實軸的長 | |
焦點 | 、 | 、 |
焦距 | ||
對稱性 | 關(guān)于軸、軸對稱,關(guān)于原點中心對稱 | |
離心率 | ||
準線方程 | ||
漸近線方程 |
16、實軸和虛軸等長的雙曲線稱為等軸雙曲線.
17、設(shè)是雙曲線上任一點,點到對應(yīng)準線的距離為,點到對應(yīng)準線的距離為,則.
18、平面內(nèi)與一個定點和一條定直線的距離相等的點的軌跡稱為拋物線.定點稱為拋物線的焦點,定直線稱為拋物線的準線.
19、過拋物線的焦點作垂直于對稱軸且交拋物線于、兩點的線段,稱為拋物線的“通徑”,即.
20、焦半徑公式:
若點在拋物線上,焦點為,則;
若點在拋物線上,焦點為,則;
若點在拋物線上,焦點為,則;
若點在拋物線上,焦點為,則.
21、拋物線的幾何性質(zhì):
標準方程 | ||||
圖形 |
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頂點 | ||||
對稱軸 | 軸 | 軸 | ||
焦點 | ||||
準線方程 | ||||
離心率 | ||||
范圍
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22、空間向量的概念:
在空間,具有大小和方向的量稱為空間向量.
向量可用一條有向線段來表示.有向線段的長度表示向量的大小,箭頭所指的方向表示向量的方向.
向量的大小稱為向量的模(或長度),記作.
模(或長度)為的向量稱為零向量;模為的向量稱為單位向量.
與向量長度相等且方向相反的向量稱為的相反向量,記作.
方向相同且模相等的向量稱為相等向量.
23、空間向量的加法和減法:
求兩個向量和的運算稱為向量的加法,它遵循平行四邊形法則.即:在空間以同一點為起點的兩個已知向量、為鄰邊作平行四邊形,則以起點的對角線就是與的和,這種求向量和的方法,稱為向量加法的平行四邊形法則.
求兩個向量差的運算稱為向量的減法,它遵循三角形法則.即:在空間任取一點,作,,則.
24、實數(shù)與空間向量的乘積是一個向量,稱為向量的數(shù)乘運算.當時,與方向相同;當時,與方向相反;當時,為零向量,記為.的長度是的長度的倍.
25、設(shè),為實數(shù),,是空間任意兩個向量,則數(shù)乘運算滿足分配律及結(jié)合律.
分配律:;結(jié)合律:.
26、如果表示空間的有向線段所在的直線互相平行或重合,則這些向量稱為共線向量或平行向量,并規(guī)定零向量與任何向量都共線.
27、向量共線的充要條件:對于空間任意兩個向量,,的充要條件是存在實數(shù),使.
28、平行于同一個平面的向量稱為共面向量.
29、向量共面定理:空間一點位于平面內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對,,使;或?qū)臻g任一定點,有;或若四點,,,共面,則.
30、已知兩個非零向量和,在空間任取一點,作,,則稱為向量,的夾角,記作.兩個向量夾角的取值范圍是:.
31、對于兩個非零向量和,若,則向量,互相垂直,記作.
32、已知兩個非零向量和,則稱為,的數(shù)量積,記作.即.零向量與任何向量的數(shù)量積為.
33、等于的長度與在的方向上的投影的乘積.
34、若,為非零向量,為單位向量,則有;
;,,;
;.
35、向量數(shù)乘積的運算律:;;
.
36、若,,是空間三個兩兩垂直的向量,則對空間任一向量,存在有序?qū)崝?shù)組,使得,稱,,為向量在,,上的分量.
37、空間向量基本定理:若三個向量,,不共面,則對空間任一向量,存在實數(shù)組,使得.
38、若三個向量,,不共面,則所有空間向量組成的集合是
.這個集合可看作是由向量,,生成的,
稱為空間的一個基底,,,稱為基向量.空間任意三個不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個基底.
39、設(shè),,為有公共起點的三個兩兩垂直的單位向量(稱它們?yōu)閱挝徽换?,以,,的公共起點為原點,分別以,,的方向為軸,軸,軸的正方向建立空間直角坐標系.則對于空間任意一個向量,一定可以把它平移,使它的起點與原點重合,得到向量.存在有序?qū)崝?shù)組,使得.把,,稱作向量在單位正交基底,,下的坐標,記作.此時,向量的坐標是點在空間直角坐標系中的坐標.
40、設(shè),,則.
.
.
若、為非零向量,則.
若,則.
.
.
,,則.
41、在空間中,取一定點作為基點,那么空間中任意一點的位置可以用向量來表示.向量稱為點的位置向量.
42、空間中任意一條直線的位置可以由上一個定點以及一個定方向確定.點是直線上一點,向量表示直線的方向向量,則對于直線上的任意一點,有,這樣點和向量不僅可以確定直線的位置,還可以具體表示出直線上的任意一點.
43、空間中平面的位置可以由內(nèi)的兩條相交直線來確定.設(shè)這兩條相交直線相交于點,它們的方向向量分別為,.為平面上任意一點,存在有序?qū)崝?shù)對,使得,這樣點與向量,就確定了平面的位置.
44、直線垂直,取直線的方向向量,則向量稱為平面的法向量.
45、若空間不重合兩條直線,的方向向量分別為,,則
,.
46、若直線的方向向量為,平面的法向量為,且,則
,.
47、若空間不重合的兩個平面,的法向量分別為,,則
,.
48、設(shè)異面直線,的夾角為,方向向量為,,其夾角為,則有
.
49、設(shè)直線的方向向量為,平面的法向量為,與所成的角為,與的夾角為,則有.
50、設(shè),是二面角的兩個面,的法向量,則向量,的夾角(或其補角)就是二面角的平面角的大小.若二面角的平面角為,則.
51、點與點之間的距離可以轉(zhuǎn)化為兩點對應(yīng)向量的模計算.
52、在直線上找一點,過定點且垂直于直線的向量為,則定點到直線的距離為.
53、點是平面外一點,是平面內(nèi)的一定點,為平面的一個法向量,則點到平面的距離為.
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