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北師大版五年級數學(下冊)教材高清電子版

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五年級數學下冊期末復習知識點總結

一、圖形的變換

圖形變換的基本方式是平移、對稱和旋轉。

1、軸對稱:如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸。

(1)學過的軸對稱平面圖形：長(正)方形、圓形、等腰三角形、等邊三角形、等腰梯形……

等腰三角形有1條對稱軸，等邊三角形有3條對稱軸，長方形有2條對稱軸，正方形有4條對稱軸，等腰梯形有1條對稱軸，任意梯形和平行四邊形不是軸對稱圖形。

(2)圓有無數條對稱軸。

(3)對稱點到對稱軸的距離相等。

(4)軸對稱圖形的特征和性質：

①對應點到對稱軸的距離相等;

②對應點的連線與對稱軸垂直;

③對稱軸兩邊的圖形大小、形狀完全相同。

對稱圖形包括軸對稱圖形和中心對稱圖形。平行四邊形(除棱形)屬于中心對稱圖形。

2、旋轉：在平面內，一個圖形繞著一個頂點旋轉一定的角度得到另一個圖形的變化較做旋轉，定點O叫做旋轉中心，旋轉的角度叫做旋轉角，原圖形上的一點旋轉后成為的另一點成為對應點。

(1)生活中的旋轉：電風扇、車輪、紙風車

(2)旋轉要明確繞點，角度和方向。

(3)長方形繞中點旋轉180度與原來重合，正方形繞中點旋轉90度與原來重合。等邊三角形繞中點旋轉120度與原來重合。

旋轉的性質：

(1)圖形的旋轉是圖形上的每一點在平面上繞某個固定點旋轉固定角度的位置移動;

(2)其中對應點到旋轉中心的距離相等;

(3)旋轉前后圖形的大小和形狀沒有改變;

(4)兩組對應點非別與旋轉中心的連線所成的角相等，都等于旋轉角;

(5)旋轉中心是不動的點。

3、對稱和旋轉的畫法：旋轉要注意：順時針、逆時針、度數

二、因數和倍數

1、整除：被除數、除數和商都是自然數，并且沒有余數。

整數與自然數的關系：整數包括自然數。

2、因數、倍數：大數能被小數整除時，大數是小數的倍數，小數是大數的因數。

例：12是6的倍數，6是12的因數。

(1)數a能被b整除，那么a就是b的倍數，b就是a的因數。因數和倍數是相互依存的，不能單獨存在。

(2)一個數的因數的個數是有限的，其中最小的因數是1，的因數是它本身。

一個數的因數的求法：成對地按順序找。

(3)一個數的倍數的個數是無限的，最小的倍數是它本身。

一個數的倍數的求法：依次乘以自然數。

(4)2、3、5的倍數特征

1) 個位上是0，2，4，6，8的數都是2的倍數。

2)一個數各位上的數的和是3的倍數，這個數就是3的倍數。

3)個位上是0或5的數，是5的倍數。

4)能同時被2、3、5整除(也就是2、3、5的倍數)的的兩位數是90，最小的三位數是120。

同時滿足2、3、5的倍數，實際是求2×3×5=30的倍數。

5)如果一個數同時是2和5的倍數，那它的個位上的數字一定是0。

3、自然數按能不能被2整除來分：奇數、偶數。

自 奇數：不能被2整除的數。叫奇數。也就是個位上是1、3、5、7、9的數。

然

數 偶數：能被2整除的數叫偶數(0也是偶數)，也就是個位上是0、2、4、6、8的數。

最小的奇數是1，最小的偶數是0.

關系： 奇數+、- 偶數=奇數 奇數+、- 奇數=偶數 偶數+、-偶數=偶數。

5、自然數按因數的個數來分：質數、合數、1三類.

質數(或素數)：只有1和它本身兩個因數。

合數：除了1和它本身還有別的因數(至少有三個因數：1、它本身、別的因數)。

1： 只有1個因數?！?”既不是質數，也不是合數。

最小的質數是2，最小的合數是4，連續(xù)的兩個質數是2、3。

每個合數都可以由幾個質數相乘得到，質數相乘一定得合數。

20以內的質數：有8個(2、3、5、7、11、13、17、19)

100以內的質數有25個：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、

43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97

100以內找質數、合數的技巧：

看是否是2、3、5、7、11、13…的倍數，是的就是合數，不是的就是質數。

關系： 奇數×奇數=奇數 質數×質數=合數

6、、最小

A的最小因數是：1; A的因數是：A; A的最小倍數是：A;

最小的奇數是：1; 最小的偶數是：0;最小的質數是：2;最小的合數是：4;

最小的自然數是：0;

7、分解質因數：把一個合數分解成多個質數相乘的形式。

用短除法分解質因數 (一個合數寫成幾個質數相乘的形式)。

比如：30分解質因數是：(30=2×3×5)

8、互質數：公因數只有1的兩個數，叫做互質數。

兩個質數的互質數：5和7 兩個合數的互質數：8和9 一質一合的互質數：7和8

兩數互質的特殊情況：

⑴1和任何自然數互質;⑵相鄰兩個自然數互質; ⑶兩個質數一定互質;

⑷2和所有奇數互質; ⑸質數與比它小的合數互質;

9、公因數、公因數

幾個數公有的因數叫這些數的公因數。其中的那個就叫它們的公因數。

用短除法求兩個數或三個數的公因數 (除到互質為止，把所有的除數連乘起來)

幾個數的公因數只有1，就說這幾個數互質。

如果兩數是倍數關系時，那么較小的數就是它們的公因數。

如果兩數互質時，那么1就是它們的公因數。

10、公倍數、最小公倍數

幾個數公有的倍數叫這些數的公倍數。其中最小的那個就叫它們的最小公倍數。

用短除法求兩個數的最小公倍數(除到互質為止，把所有的除數和商連乘起來)

用短除法求三個數的最小公倍數(除到兩兩互質為止，把所有的除數和商連乘起來)

如果兩數是倍數關系時，那么較大的數就是它們的最小公倍數。

如果兩數互質時，那么它們的積就是它們的最小公倍數。

11、求公因數和最小公倍數方法

用12和16來舉例

1、 求法一：(列舉求同法)

公因數的求法：

12的因數有：1、12、2、6、3、4

16的因數有：1、16、2、8、4

公因數是4

最小公倍數的求法：

12的倍數有：12、24、36、48、…

16的倍數有：16、32、48、…

最小公倍數是48

2、求法二：(分解質因數法)

12=2×2×3

16=2×2×2×2

公因數是：2×2=4 (相同乘)

最小公倍數是：2×2 × 3×2×2= 48 (相同乘× 不同乘)

三 長方體和正方體

1、由6個長方形(特殊情況有兩個相對的面是正方形)圍成的立體圖形叫做長方體。兩個面相交的邊叫做棱。三條棱相交的點叫做頂點。相交于一個頂點的三條棱的長度分別叫做長方體的長、寬、高。

長方體特點：

(1)有6個面，8個頂點，12條棱，相對的面的面積相等，相對的棱的長度相等。

(2)一個長方體最多有6個面是長方形，最少有4個面是長方形，最多有2個面是正方形。

2、由6個完全相同的正方形圍成的立體圖形叫做正方體(也叫做立方體)。

正方體特點：

(1)正方體有12條棱，它們的長度都相等。

(2)正方體有6個面，每個面都是正方形，每個面的面積都相等。

(3)正方體可以說是長、寬、高都相等的長方體，它是一種特殊的長方體。

相同點

不同點

面

棱

長方體

都有6個面，

12條棱，

8個頂點。

6個面都是長方形。

(有可能有兩個相對的面是正方形)。

相對的棱的長度都相等

正方體

6個面都是正方形。

12條棱都相等。

3、長方體、正方體有關棱長計算公式：

長方體的棱長總和=(長+寬+高)×4=長×4+寬×4+高×4 L=(a+b+h)×4

長=棱長總和÷4-寬 -高 a=L÷4-b-h

寬=棱長總和÷4-長 -高 b=L÷4-a-h

高=棱長總和÷4-長 -寬 h=L÷4-a-b

正方體的棱長總和=棱長×12 L=a×12

正方體的棱長=棱長總和÷12 a=L÷12

4、長方體或正方體6個面和總面積叫做它的表面積。

長方體的表面積=(長×寬+長×高+寬×高)×2 S=2(ab+ah+bh)

無底(或無蓋)長方體表面積= 長×寬+(長×高+寬×高)×2

S=2(ab+ah+bh)-ab S=2(ah+bh)+ab

無底又無蓋長方體表面積=(長×高+寬×高)×2 S=2(ah+bh) 貼墻紙

正方體的表面積=棱長×棱長×6 S=a×a×6 用字母表示： S= 6a2

生活實際：

油箱、罐頭盒等都是6個面 游泳池、魚缸等都只有5個面 水管、煙囪等都只有4個面。

注意1：用刀分開物體時，每分一次增加兩個面。(表面積相應增加)

注意2：長方體或正方體的長、寬、高同時擴大幾倍，表面積會擴大倍數的平方倍。

(如長、寬、高各擴大2倍，表面積就會擴大到原來的4倍)。

5、物體所占空間的大小叫做物體的體積。

長方體的體積=長×寬×高 V=abh

長=體積÷寬÷高 a=V÷b÷h

寬=體積÷長÷高 b=V÷a÷h

高=體積÷長÷寬 h= V÷a÷b

正方體的體積=棱長×棱長×棱長

V=a×a×a= a3讀作“a的立方”表示3個a相乘，(即a·a·a)

長方體或正方體底面的面積叫做底面積。

長方體(或正方體)的體積=底面積×高 用字母表示：V=S h

(橫截面積相當于底面積，長相當于高)。

注意：一個長方體和一個正方體的棱長總和相等，但體積不一定相等。

6、箱子、油桶、倉庫等所能容納物體的體積，通常叫做他們的容積。

固體一般就用體積單位，計量液體的體積，如水、油等。

常用的容積單位有升和毫升也可以寫成L和ml。

1升=1立方分米 1毫升=1立方厘米 1升=1000毫升

(1 L = 1 dm3 1 ml = 1 cm3)

長方體或正方體容器容積的計算方法，跟體積的計算方法相同。

但要從容器里面量長、寬、高。(所以，對于同一個物體，體積大于容積。)

注意：長方體或正方體的長、寬、高同時擴大幾倍，體積就會擴大倍數的立方倍。

(如長、寬、高各擴大2倍，體積就會擴大到原來的8倍)。

形狀不規(guī)則的物體可以用排水法求體積，形狀規(guī)則的物體可以用公式直接求體積。

排水法的公式：V物體 =V現在-V原來

也可以 V物體 =S×(h現在- h原來)

V物體 =S×h升高

8、【體積單位換算】

× 進率

大單位轉換成小單位

÷進率

小單位轉換成大單位

進率：　1立方米=1000立方分米=1000000立方厘米 (立方相鄰單位進率1000)

1立方分米=1000立方厘米=1升=1000毫升

1立方厘米=1毫升

1平方米=100平方分米=10000平方厘米

1平方千米=100公頃=1000000平方米

注意：長方體與正方體關系

把長方體或正方體截成若干個小長方體(或正方體)后，表面積增加了，體積不變。

重量單位進率，時間單位進率，長度單位進率

× 進率

【單位換算】

大單位 小單位

÷進率

小單位 大單位

長度單位：1千米 =1000 米 1 分米=10 厘米 1厘米=10毫米 1分米=100毫米

1米=10分米=100厘米=1000毫米 (相鄰單位進率10)

面積單位：1平方千米=100公頃 1平方米=100平方分米

1平方分米=100平方厘米 1公頃=10000平方米 (平方相鄰單位進率100)

質量單位：1噸=1000千克 1千克=1000克

人民幣：1元=10角 1角=10分 1元=100分

四 分數的意義和性質

1、分數的意義：一個物體、一物體等都可以看作一個整體，把這個整體平均分成若干份，這樣的一份或幾份都可以用分數來表示。

2、單位“1”：一個整體可以用自然數1來表示，通常把它叫做單位“1”。(也就是把什么平均分什么就是單位“1”。)

3、分數單位：把單位“1”平均分成若干份，表示其中一份的數叫做分數單位。

4、分數與除法

A÷B=(B≠0，除數不能為0，分母也不能夠為0) 例如： 4÷5=

5、真分數和假分數、帶分數

1、真分數：分子比分母小的分數叫真分數。真分數<1。

2、假分數：分子比分母大或分子和分母相等的分數叫假分數。假分數≧1

3、帶分數：帶分數由整數和真分數組成的分數。帶分數>1.

4、真分數<1≤假分數 真分數<1<帶分數

6、假分數與整數、帶分數的互化

(1)假分數化為整數或帶分數，用分子÷分母，商作為整數，余數作為分子， 如：

=10÷5=2 =21÷5=4

(2)整數化為假分數，用整數乘以分母得分子 如：

2= 2×4=8 (8作分子)

(3)帶分數化為假分數，用整數乘以分母加分子，得數就是假分數的分子，分母不變，如：

5= 5×5+1=26

(4)1等于任何分子和分母相同的分數。如：

1=====…==…

7、分數的基本性質：

分數的分子和分母同時乘以或除以相同的數(0除外)，分數的大小不變。

8、最簡分數：分數的分子和分母只有公因數1，像這樣的分數叫做最簡分數。

一個最簡分數，如果分母中除了2和5以外，不含其他的質因數，就能夠化成有限小數。反之則不可以。

9、約分：把一個分數化成和它相等，但分子和分母都比較小的分數，叫做約分。

10、通分：把異分母分數分別化成和原來相等的同分母分數，叫做通分。如：

11、分數和小數的互化

(1)小數化為分數：數小數位數。一位小數，分母是10;兩位小數，分母是100……

如：0.3= 0.03= 0.003=

(2)分數化為小數：

方法一：把分數化為分母是10、100、1000……

如：=0.3 ==0.6 ==0.25

方法二：用分子÷分母

如：=3÷4=0.75

(3)帶分數化為小數：

先把整數后的分數化為小數，再加上整數

如：2=2+0.3=2.3

12、比分數的大?。?分母相同，分子大，分數就大;

分子相同，分母小，分數才大。

分數比較大小的一般方法：同分子比較;通分后比較;化成小數比較。

13、分數化簡包括兩步：一是約分;二是把假分數化成整數或帶分數。

14、兩個數互質的特殊判斷方法：

① 1和任何大于1的自然數互質。

② 2和任何奇數都是互質數。

③ 相鄰的兩個自然數是互質數。

④ 相鄰的兩個奇數互質。

⑤ 不相同的兩個質數互質。

⑥當一個數是合數，另一個數是質數時(除了合數是質數的倍數情況下)，一般情況下這兩個數也都是互質數。

15、求公因數的方法：

①倍數關系： 公因數就是較小數。

②互質關系： 公因數就是1

③一般關系： 從大到小看較小數的因數是否是較大數的因數。

16、分數知識圖解：

分數的產生

分數的意義 分數與意義 ：把單位1平均分成幾份，表示其中的一份或幾份。

分數與除法 ：分子(被除數)，分母(除數)，分數值(商)。

真分數 真分數小于1

真分數與假分數 假分數 假分數大于1或等于1

帶分(整數部分和真分數)

假分數化帶分數、整數(分子除以分母，商作整數部分，余數作分子)

分數的基本性質：分數的分子、分母同時擴大或縮小相同的倍數，

分數的基本性質 分數的大小不變。

通分、通分子：化成分母不同，大小不變的分數(通分)

公因數

約 分 求公因數

最簡分數 分子分母互質的分數(最簡真分數、最簡假分數)

約分及其方法

最小公倍數

通 分 求最小公倍數

分數比大小 (通分、通分子、化成小數)

通分及其方法

小數化分數 小數化成分母是10、100、1000的分數再化簡

分數和小數的互化

分數化小數 分子除以分母，除不盡的取近似值

五 分數的加法和減法

(1)同分母分數加、減法 (分母不變，分子相加減)

1、分數數的加法和減法 (2) 異分母分數加、減法 (通分后再加減)

(3) 分數加減混合運算：同整數。

(4) 結果要是最簡分數

2、帶分數加減法:帶分數相加減，整數部分和分數部分分別相加減，再把所得的結果合并起來。

附：具體解釋

(一)同分母分數加、減法

1、同分母分數加、減法：

同分母分數相加、減，分母不變，只把分子相加減。

2、計算的結果，能約分的要約成最簡分數。

(二)異分母分數加、減法

1、分母不同，也就是分數單位不同，不能直接相加、減。

2、異分母分數的加減法：

異分母分數相加、減，要先通分，再按照同分母分數加減法的方法進行計算。

(三)分數加減混合運算

1、分數加減混合運算的運算順序與整數加減混合運算的順序相同。

在一個算式中，如果有括號，應先算括號里面的，再算括號外面的;如果只含有同一級運算，應從左到右依次計算。

2、整數加法的交換律、結合律對分數加法同樣適用。

六 統計與數學廣角

眾數 一組數據中出現次數最多的數叫眾數。

眾數能夠反映一組數據的集中情況。

統計 在一組數據中，眾數可能不止一個，也可能沒有眾數。

復式折線統計圖

綜合應用 打電話的方案

1、眾數： 一組數據中出現次數最多的一個數或幾個數，就是這組數據的眾數。

眾數能夠反映一組數據的集中情況。

在一組數據中，眾數可能不止一個，也可能沒有眾數。

2、中位數：(1)按大小排列;

(2)如果數據的個數是單數，那么最中間的那個數就是中位數;

(3)如果數據的個數是雙數，那么最中間的那兩個數的平均數就是中位數。

3、平均數的求法：總數÷總份數=平均數

4、一組數據的一般水平：

(1)當一組數據中沒有偏大偏小的數，也沒有個別數據多次出現，用平均數表示一般水平。

(2)當一組數據中有偏大或偏小的數時，用中位數來表示一般水平。

(3)當一組數據中有個別數據多次出現，就用眾數來表示一般水平。

4、平均數、中位數和眾數的聯系與區(qū)別:

① 平均數：

一組數據的總和除以這組數據個數所得到的商叫這組數據的平均數。

容易受極端數據的影響，表示一組數據的平均情況。

② 中位數：

將一組數據按大小順序排列，處在最中間位置的一個數叫做這組數據的中位數 。

它不受極端數據的影響，表示一組數據的一般情況。

③ 眾數：

在一組數據中出現次數最多的數叫做這組數據的眾數。

它不受極端數據的影響，表示一組數據的集中情況。

5、統計圖：我們學過——條形統計圖、復式折線統計圖。

條形統計圖優(yōu)點：條形統計圖能形象地反映出數量的多少。

折線統計圖優(yōu)點：折線統計圖不僅能表示出數量的多少，還能反映出數量的變化情況。

注：① 畫圖時注意：一“點”(描點)、 二“連”(連線) 三“標”(標數據)。

②要用不同的線段分別連接兩組數據中的數。

6、 打電話：規(guī)律——人人不閑著，每人都在傳。(技巧：已知人數依次× 2)

(1)逐個法：所需時間最多。

(2)分組法：相對節(jié)約時間。

(3)同時進行法：最節(jié)約時間。

七 數學廣角

用天平找次品規(guī)律：

1、把所有物品盡可能平均地分成3份，(如余1則放入到最后一份中;如余2則分別放入到前兩份中)，保證找出次品而且稱的次數一定最少。

2、數目與測試的次數的關系：2～3個物體，保證能找出次品需要測的次數是1次

4～9個物體，保證能找出次品需要測的次數是2次

10～27個物體，保證能找出次品需要測的次數是3次

28～81個物體，保證能找出次品需要測的次數是4次

82～243個物體，保證能找出次品需要測的次數是5次

244～729個物體，保證能找出次品需要測的次數是6次

3、找次品規(guī)律

1 2 3 4 5 …次數

3 3×3 3×3×3 3×3×3×3 3×3×3×3×3 …

3 9 27 81 243 …次品個數

怎么提高數學成績

做好課后及時的復習。

上完課的當天，必須做好當天的復習。 課后復習的有效方法不是一遍遍地看書或筆記，而是采取回憶式的復習：先把書，筆記合起來回憶上課老師講的內容、例題、分析問題的思路、方法等(也可邊想邊在草稿本上寫一寫)盡量想得完整些。然后打開筆記與書本，對照一下還有哪些沒記清的，把它補起來，就使得當天上課內容鞏固下來，同時也就檢查了當天課堂聽課的效果如何，也為改進聽課方法及提高聽課效果提出必要的改進措施。

數學練習是必須的，而且還要有一定的量，否則就不能形成技能。我不提倡題海戰(zhàn)術，有不少同學把提高數學成績的希望寄托在大量做題上，我認為這是不妥當的，我認為對題要“精選”、“精做”、“做精”，做題的效益要高。做題的目的在于檢查你學的知識，方法是否掌握得很好。如果你掌握得不準，甚至有偏差，那么多做題的結果，反而鞏固了你的缺欠，因此，要在準確地把握住基本知識和方法的基礎上做一定量的練習是必要的。

體驗成功帶來的喜悅，穩(wěn)定學習的興趣

成功會激發(fā)興趣，失敗則使興趣經受考驗。人人都有成功的渴望，即使一次小小的成功，對學生來講也是一次莫大的鼓舞和激勵。因此，教師要探索“依綱靠本，分層教學，逐步推進”的因材施教策略，依據學生的個體差別，關注每一個學生的發(fā)展，創(chuàng)造條件讓不同層次的學生都能體驗到成功的喜悅，對學生的點滴進步都給予肯定，從而使學生獲得舒暢的心情，穩(wěn)定的學習情緒，保持學習積極性。

對于優(yōu)等生可以提出較高層次的要求，使他們逐漸的提高數學水平;對后進生，應讓他們多回答一些簡單的問題，為他們創(chuàng)造成功的機會，在成功的體驗中享受發(fā)現的樂趣。老師尤其要抓住后進生的微小進步，及時的加以肯定和表揚，使他覺得數學不但不可怕，而且很有興趣很容易學，從怕上數學課直至愛上數學課。實踐證明，在困難之中得到了老師的關愛的學生，學習興趣往往比他人增加的更快。