小升初數(shù)學(xué)難點(diǎn)解析
小升初數(shù)學(xué)難點(diǎn)解析
小升初數(shù)學(xué)考試很多學(xué)生對(duì)重難點(diǎn)沒有頭緒，不知道怎么下手。小編在這里整理了相關(guān)知識(shí)，快來學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)吧!
小升初數(shù)學(xué)難點(diǎn)解析
一年級(jí)奧數(shù)
一年級(jí)的孩子剛剛踏入小學(xué)。不論是學(xué)習(xí)習(xí)慣還是學(xué)習(xí)方法，都需要全面的培養(yǎng)和正確的引導(dǎo)，這就需要家長對(duì)整個(gè)六年的小學(xué)學(xué)習(xí)有一個(gè)全面的規(guī)劃。
學(xué)習(xí)重點(diǎn)難點(diǎn)解析：
巧算與速算的基本知識(shí)：對(duì)于一年級(jí)的學(xué)生來說，計(jì)算是學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)遇到的第一個(gè)問題。如果能夠在看似無序的算式中尋找到一定的規(guī)律，化繁為簡，那么學(xué)生一定能夠增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。另外，計(jì)算與速算是各種后續(xù)問題學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。學(xué)好數(shù)學(xué)，首先就要過計(jì)算這關(guān)。
認(rèn)識(shí)并學(xué)會(huì)數(shù)各種基本圖形：正方形、長方體、圓和立方體等是小學(xué)學(xué)習(xí)中最常見的圖形。通過系統(tǒng)的指導(dǎo)，使一年級(jí)的學(xué)生能夠計(jì)算出各種基本圖形的個(gè)數(shù);使學(xué)生建立起有序思維，為建立思維模式打下基礎(chǔ)。
學(xué)習(xí)簡單的枚舉法：枚舉法對(duì)于一年級(jí)的學(xué)生來說的確是有一定的困難。在華數(shù)課本中，介紹這一難題時(shí)采用數(shù)數(shù)這種更為直觀的方式，將復(fù)雜抽象的問題形象化，便于孩子們理解。
枚舉法訓(xùn)練的重點(diǎn)在于有序的思維方式，學(xué)習(xí)之初將抽象問題形象化，能夠更好地引導(dǎo)學(xué)生去主動(dòng)思考，建立起自己的思維方式。
數(shù)字的奇與偶、不等與相等等關(guān)于數(shù)論的基礎(chǔ)知識(shí)：數(shù)論問題是后續(xù)學(xué)習(xí)中的一個(gè)重點(diǎn)，而這學(xué)期將要學(xué)到的：數(shù)字的奇與偶、不等與相等等無疑將會(huì)是今后學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，在這里我們把數(shù)論問題分解為各種類型逐一講解，使華數(shù)學(xué)習(xí)更加系統(tǒng)。
二年級(jí)奧數(shù)
二年級(jí)是開發(fā)孩子智力、形成良好思維習(xí)慣的最佳時(shí)期，學(xué)習(xí)奧數(shù)不僅能夠極大地鍛煉孩子的思維能力，也能為孩子之后的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。對(duì)于二年級(jí)的學(xué)生家長來說，激發(fā)孩子對(duì)華數(shù)的興趣是最主要的。
學(xué)習(xí)重點(diǎn)難點(diǎn)解析：
計(jì)算要過關(guān)：對(duì)于二年級(jí)學(xué)生的奧數(shù)學(xué)習(xí)來說，最先碰到的問題就是計(jì)算問題，計(jì)算問題是重點(diǎn)也是難點(diǎn)。
根據(jù)學(xué)校數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)情況，孩子還沒有學(xué)習(xí)乘除法的列豎式，尤其是乘法的列豎式在二年級(jí)華數(shù)的學(xué)習(xí)中要求的比較多，比如華數(shù)課本下冊(cè)第三講速算與巧算中就多次用到了乘法，另外一些應(yīng)用題中也會(huì)有所應(yīng)用。所以對(duì)于學(xué)習(xí)下冊(cè)華數(shù)的學(xué)生，首先計(jì)算關(guān)一定要過。
枚舉是難點(diǎn)：對(duì)于二年級(jí)的學(xué)生來說，有序思維和抽象思維是比較困難的，對(duì)于問題，二年級(jí)的學(xué)生更多的愿意以湊數(shù)來嘗試解答問題。
而枚舉法的問題需要的就是孩子的有序思維，比如華數(shù)課本上冊(cè)幾枚硬幣湊錢的方法，下冊(cè)的整數(shù)拆分都屬于枚舉法的問題。這類問題不僅要求孩子要有序，同時(shí)直觀性不強(qiáng)，對(duì)于孩子理解有一定困難。建議家長可以比較抽象的問題形象化，比如上面舉到的漢堡和汽水的例子就更加形象。
應(yīng)用題要接觸：二年級(jí)華數(shù)課本下冊(cè)中的后幾講已經(jīng)接觸到了應(yīng)用題部分，對(duì)于倍數(shù)等概念也有學(xué)習(xí)，建議學(xué)有余力的孩子可以適當(dāng)接觸三年級(jí)中的部分問題，但是難度不要像三年級(jí)華數(shù)課本中那樣大。
三年級(jí)奧數(shù)
三年級(jí)的奧數(shù)學(xué)習(xí)是小學(xué)奧數(shù)最重要的基礎(chǔ)階段，只有牢固掌握了三年級(jí)奧數(shù)最基本的知識(shí)技巧，才能有效的促進(jìn)今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，最終在競賽、以及小升初中有所斬獲。
學(xué)習(xí)重點(diǎn)難點(diǎn)解析：
三年級(jí)屬于奧數(shù)學(xué)習(xí)打基礎(chǔ)階段，孩子進(jìn)入三年級(jí)以后，隨著年齡的增長，孩子的計(jì)算能力，認(rèn)知能力，邏輯分析能力相比于一、二年級(jí)有很大的提高，這個(gè)時(shí)期是奧數(shù)思維形成的關(guān)鍵時(shí)期，是學(xué)奧數(shù)的黃金時(shí)段，所以能否把握住三年級(jí)這一黃金時(shí)段，關(guān)系到以后小升初的成與敗。
下面就簡要介紹一下三年級(jí)下學(xué)期學(xué)習(xí)的關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)。
1.運(yùn)用運(yùn)算定律及性質(zhì)速算與巧算
計(jì)算是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本知識(shí)，也是學(xué)好奧數(shù)的基礎(chǔ)。能否又快又準(zhǔn)的算出答案，是歷年數(shù)學(xué)競賽考察的一個(gè)基本點(diǎn)。在三年級(jí)，主要學(xué)習(xí)了加法與乘法運(yùn)算定律，其中應(yīng)用乘法分配率是競賽中考察巧算的一大重點(diǎn);除此之外，競賽中還時(shí)?？疾鞄Х?hào)“搬家”與添括號(hào)/去括號(hào)這兩種通過改變運(yùn)算順序進(jìn)而簡便運(yùn)算的思路。例如：17×5+17×7+13×5+13×7
問題解析：由于四個(gè)加項(xiàng)沒有公共的乘數(shù)，不能直接應(yīng)用乘法分配率?？梢钥紤]先分組應(yīng)用乘法分配率，在觀察的思路，原式=(17×5+17×7)+(13×5+13×7)=17×(5+7)+13×(5+7)=17×12+13×12=(17+13)×12=30×12
2、學(xué)習(xí)假設(shè)思想解決雞兔同籠問題
雞兔同籠問題源于我國1500年前左右的偉大數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》，其中記載的31題，“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何?”翻譯成現(xiàn)代文就是說有若干只雞兔同在一個(gè)籠子里，從上面數(shù)，有35個(gè)頭;從下面數(shù)，有94只腳。求籠中各有幾只雞和兔?
問題解析：我們知道每只雞2只腳，每只兔子4只腳，我們不妨假設(shè)籠子里面只有雞，那么應(yīng)該有只腳，而事實(shí)上有94只腳，原因就是我們把一部分兔子假設(shè)成了雞。
我們知道，每只兔子比雞多2只腳，那么一共應(yīng)該有只兔子，剩下了35–12=23只雞。
對(duì)于一般的雞兔同籠問題，我們有雞數(shù)=(兔的腳數(shù)總頭數(shù)–總腳數(shù))(兔的腳數(shù)-雞的腳數(shù))
兔數(shù)=(總腳數(shù)-雞的腳數(shù)總頭數(shù))(兔的腳數(shù)-雞的腳數(shù))
3.平均數(shù)應(yīng)用題
“平均數(shù)”這個(gè)數(shù)學(xué)概念在同學(xué)們的日常學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常用到。例如，三年級(jí)上學(xué)期期末考完試，可以計(jì)算全班同學(xué)的數(shù)學(xué)“平均成績”，同學(xué)與爸爸媽媽三個(gè)人的“平均年齡”等等，都是我們經(jīng)常碰到的求平均數(shù)的問題。
根據(jù)我們所舉的例子，可以總結(jié)出求平均數(shù)的一般公式：總數(shù)和÷人數(shù)(或個(gè)數(shù))=平均數(shù)。比如說人大附小三年級(jí)(一)班第2小組5名同學(xué)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)成績分別是93，95，98，97，90，那么第2小組5名同學(xué)的數(shù)學(xué)平均分是多少呢?
問題解析：根據(jù)我們總結(jié)的公式，首先可以求出第2小組5名同學(xué)數(shù)學(xué)的總分一共是93+95+98+97+92=475，所以他們的平均分是475÷5=95(分)。
4.和差倍應(yīng)用題
和差倍問題是由和差問題、和倍問題、差倍問題三類問題組成的。
和倍問題是已知大小兩個(gè)數(shù)的和與它們的倍數(shù)關(guān)系，求大小兩個(gè)數(shù)的應(yīng)用題，一般可應(yīng)用公式：數(shù)量和÷對(duì)應(yīng)的倍數(shù)和=“1”倍量;
差倍問題就是已知大小兩個(gè)數(shù)的差和它們的倍數(shù)關(guān)系，求大小兩個(gè)數(shù)的應(yīng)用題，一般可應(yīng)用公式：數(shù)量差÷對(duì)應(yīng)的倍數(shù)差=“1”倍量;
和差問題是已知大小兩個(gè)數(shù)的和與兩個(gè)數(shù)的差，求大小兩個(gè)數(shù)的應(yīng)用題一般可應(yīng)用公式：大數(shù)=(數(shù)量和+數(shù)量差)÷2，小數(shù)=(數(shù)量和-數(shù)量差)÷2。
為了幫助我們理解題意，弄清題目中兩種量彼此間的關(guān)系，常采用畫線段圖的方法以線段的相對(duì)長度來表示兩種量間的關(guān)系，以便于找到解題的途徑。
5.年齡問題
基本的年齡問題可以說是和差倍問題生活化的典型應(yīng)用。同時(shí)，年齡問題也有其鮮明的特點(diǎn)：任何兩個(gè)人之間的年齡差保持不變。解決年齡問題，關(guān)鍵就是要抓住以上兩點(diǎn)。例如：哥哥兩年后的年齡是弟弟年齡的2倍，今年哥哥比弟弟大5歲，那么今年弟弟多少歲?
問題解析：由于兩人之間的年齡差不變，在2年之后哥哥仍然比弟弟大5歲，那時(shí)哥哥是弟弟年齡的2倍，這就變成了一道差倍問題，也就是說弟弟的年齡在2年后是5÷(2-1)=5(歲)，所以今年弟弟5-2=3(歲)。
四年級(jí)奧數(shù)
四年級(jí)是一個(gè)承前啟后的階段，學(xué)習(xí)內(nèi)容的難度和廣度有所增加，各種競賽任務(wù)和招生考試的成績重要性大大增加。
不論自己的孩子是剛剛開始學(xué)習(xí)奧數(shù)，還是已經(jīng)著手為競賽、升學(xué)做準(zhǔn)備，如何更好的完成四年級(jí)的學(xué)習(xí)計(jì)劃，如何做好四年級(jí)和五年級(jí)的過渡，如何規(guī)劃小升初之前的這兩年時(shí)間是每個(gè)家長都要面對(duì)的問題。
學(xué)習(xí)重點(diǎn)難點(diǎn)解析：
1、計(jì)算：計(jì)算是貫穿整個(gè)小學(xué)階段的重點(diǎn)，每個(gè)年級(jí)奧數(shù)的學(xué)習(xí)都以計(jì)算為基礎(chǔ)，較好的計(jì)算能力是學(xué)好其它章節(jié)，取得優(yōu)異成績的保證。
每個(gè)年級(jí)的計(jì)算有每個(gè)年級(jí)的特點(diǎn)，四年級(jí)的計(jì)算以加入了小數(shù)的計(jì)算為主，對(duì)于奧數(shù)基礎(chǔ)扎實(shí)的同學(xué)并且希望在五年級(jí)取得一些成績的同學(xué)還應(yīng)該加入一些分?jǐn)?shù)的計(jì)算。
四年級(jí)計(jì)算應(yīng)該掌握的重點(diǎn)題型有多位數(shù)的計(jì)算，小數(shù)的基本運(yùn)算，小數(shù)的簡便運(yùn)算等。其中，多位數(shù)的計(jì)算主要以通過縮放講多位數(shù)湊成各位數(shù)全是9的多位數(shù)，再利用乘法的分配率進(jìn)行計(jì)算。小數(shù)的簡便運(yùn)算主要與等差數(shù)列求和、乘法的分配率和結(jié)合率、換元法等結(jié)合在一起，需要同學(xué)們對(duì)各種題型熟練的掌握，尤其是多位數(shù)的計(jì)算。
最后，小數(shù)計(jì)算的重點(diǎn)還是最基礎(chǔ)的小數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算，在初學(xué)小數(shù)時(shí)由于小數(shù)點(diǎn)的原因計(jì)算經(jīng)常出錯(cuò)，如果計(jì)算不準(zhǔn)確，再好的方法和技巧都無從談起。
所以，四年級(jí)學(xué)習(xí)計(jì)算的重點(diǎn)在于以基礎(chǔ)計(jì)算為主，掌握各種簡便運(yùn)算技巧，提高準(zhǔn)確度和速度。
2、平均數(shù)問題：我們?cè)谑谡n過程中經(jīng)常發(fā)現(xiàn)絕大多數(shù)同學(xué)在解平均數(shù)問題時(shí)經(jīng)常犯一個(gè)錯(cuò)，尤其是在行程問題中的一道題，錯(cuò)誤率最高。
小明從學(xué)校到家速度為12，從家到學(xué)校速度為24，問往返的平均速度是多少?很多同學(xué)答案都是18，誤以為平均數(shù)度就是速度的平均，這是不對(duì)的。
在平均數(shù)問題的時(shí)候還要會(huì)利用基準(zhǔn)數(shù)處理一大串?dāng)?shù)據(jù)的求和問題和求平均數(shù)的問題。很多復(fù)雜的平均數(shù)問題都是可以利用濃度三角的方法來解決的，尤其是思維導(dǎo)引中后面的一些復(fù)雜的平均數(shù)問題，同學(xué)們應(yīng)該嘗試用濃度三角的方法來解決平均數(shù)問題。
平均數(shù)問題的學(xué)習(xí)對(duì)以后濃度問題的學(xué)習(xí)很有好處，因?yàn)榇蟛糠制骄鶈栴}的題型和濃度問題的題型從本質(zhì)上來講是相同的。
3、行程問題：四年級(jí)行程問題要掌握以下各類的問題：相遇問題、追及問題、火車相遇問題、流水行船問題、多次相遇問題等。
首先，我們要對(duì)基本的相遇問題和追及問題有非常深刻的了解，在學(xué)習(xí)過程中經(jīng)常有同學(xué)到六年級(jí)了對(duì)于追及問題中兩個(gè)人所走的時(shí)間是否相等還經(jīng)常容易出錯(cuò)。
其次，我們要熟悉并掌握火車相遇問題和流水行船問題這兩個(gè)行程問題中最基本的專題，對(duì)我們后面復(fù)雜行程問題的學(xué)習(xí)起到非常大的幫助。
最后，要掌握行程問題中解決復(fù)雜問題常用的技巧，劃線段的習(xí)慣，并養(yǎng)成良好、簡潔的解題習(xí)慣。
畫線段圖的方法是解決很多復(fù)雜行程問題常用的方法，很多同學(xué)在畫線段圖的時(shí)候不夠簡潔，常常畫出的線段圖中多余的線段和條件太多，導(dǎo)致畫出的線段圖比題目本身還復(fù)雜，無法分析求解。在平時(shí)的學(xué)習(xí)中應(yīng)該盡量模仿老師，養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣。
4、排列組合：排列組合是對(duì)上學(xué)期所學(xué)的加法原理和乘法原理兩講的一個(gè)升華。在加法原理和乘法原理中大家對(duì)分步和分類有了一定程度的理解和掌握，排列組合在此基礎(chǔ)上提供了更專業(yè)更有效解決計(jì)數(shù)問題的方法。
在排列組合中首先要對(duì)排列組合的概念、排列數(shù)與組合數(shù)的計(jì)算、排列與組合的區(qū)別等有很好的理解，尤其是排列和組合的區(qū)分上，需要對(duì)一些經(jīng)典例題的掌握從而來理解排列和組合的區(qū)別。
同時(shí)，很多問題好需要結(jié)合分類分步方法和排列組合的原理來解題，并不是單純的排解組合公式的應(yīng)用。對(duì)于一些基礎(chǔ)不好的同學(xué)，一定要在熟練掌握加法原理和乘法原理之后再來學(xué)習(xí)排列組合的知識(shí)。對(duì)于一些排列組合常見的題型和常用的方法要做到信手拈來。
5、幾何計(jì)數(shù)與周期性問題：幾何計(jì)數(shù)和周期性問題相對(duì)于行程和排列組合來說是兩個(gè)較小的專題，但是也是各大競賽和入學(xué)考試常見題型，尤其是很多綜合題同時(shí)包含數(shù)論和周期性問題的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，是競賽和備考的重中之重。
幾何級(jí)數(shù)的掌握要從線段、角、三角形、長方形開始，學(xué)會(huì)用簡單的方法來解決復(fù)雜計(jì)數(shù)問題的步驟。而周期性問題常和等差數(shù)列、數(shù)論結(jié)合在一起，同學(xué)在做題題時(shí)經(jīng)常容易出錯(cuò)，需要在這方面的加大做題量。
五年級(jí)奧數(shù)
五年級(jí)下學(xué)期是小升初前的最后一個(gè)學(xué)期，對(duì)于整個(gè)小學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)起著至關(guān)重要的作用，只有這一關(guān)過好了，才可能在小升初的備考中游刃有余。所以這學(xué)期的奧數(shù)學(xué)習(xí)應(yīng)該有更強(qiáng)的針對(duì)性，針對(duì)自己的實(shí)際情況和目標(biāo)選擇合適的班型。
學(xué)習(xí)重點(diǎn)難點(diǎn)解析：
五年級(jí)屬于小學(xué)高年級(jí)，孩子進(jìn)入五年級(jí)以后，隨著年齡的增長，孩子的計(jì)算能力，認(rèn)知能力，邏輯分析能力都比以前有很大的提高，這個(gè)時(shí)期是奧數(shù)思維形成的關(guān)鍵時(shí)期，是學(xué)奧數(shù)的黃金時(shí)段，所以是否把握住五年級(jí)這個(gè)黃金時(shí)段，關(guān)系到以后小升初的成與敗。
那么在整個(gè)五年級(jí)階段都有哪些重點(diǎn)知識(shí)呢?為了孩子更好的把握五年級(jí)的學(xué)習(xí)重點(diǎn)，下面就介紹一下五年級(jí)的關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)。
1.進(jìn)入數(shù)學(xué)寶庫的分析方法——遞推方法：任何事物的發(fā)展總是從簡單到復(fù)雜，奧數(shù)也是一樣，對(duì)于復(fù)雜問題，我們不妨先從最簡單的情況入手，通過處理簡單的問題，我們可以從中得到規(guī)律或者訣竅，從而來解決復(fù)雜的問題，這就是遞推方法。
比如說：平面上2008條直線最多有幾個(gè)交點(diǎn)?同學(xué)們第一眼看到這個(gè)問題時(shí)，肯定會(huì)想畫2008條直線相交然后再數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)，那該是多麻煩啊!其實(shí)我們可以先來解決簡單點(diǎn)的情況，分別找到1條、2條、3條、4條……這些直線有多少個(gè)交點(diǎn)。
1條直線最多有0個(gè)交點(diǎn)
2條直線最多有1個(gè)交點(diǎn)
3條直線最多有3個(gè)交點(diǎn)
4條直線最多有6個(gè)交點(diǎn)
5條直線最多有10個(gè)交點(diǎn)
6條直線最多有15個(gè)交點(diǎn)
……
所以2008條直線有1+2+3+4+5+…+2007=2015028個(gè)交點(diǎn)。
那么聰明的你，你能算出2008條直線最多可以把圓分成幾部分么?
2.變化無窮、形跡不定的行程問題：提到行程問題，同學(xué)們可能就感到頭疼，的確不錯(cuò)，因?yàn)樾谐虇栴}中各個(gè)物體的速度、時(shí)間、路程都在變化，而且各個(gè)物體都是在運(yùn)動(dòng)中，位置是隨著時(shí)間在變化，所以分析起來就很麻煩。
為了更好的解決這個(gè)問題，我們把行程問題進(jìn)行了細(xì)分：基本行程(單個(gè)物體)、平均速度、相遇、追及、流水行船、火車過橋、火車錯(cuò)車、鐘表問題、環(huán)形線路上行程。
只要我們掌握這些每個(gè)小類型中的訣竅，形成一種分析思路，復(fù)雜的行程問題無非是這些類型的變形而已，解決起來就容易多了。
3.抽象而又雜亂的數(shù)論問題：數(shù)論是從五年級(jí)的核心知識(shí)，無論是在哪本教材里，都用了很多的章節(jié)來講解數(shù)論。
要想解決復(fù)雜的數(shù)論問題，我們首先得掌握數(shù)論的基本知識(shí)：數(shù)的奇偶性、約數(shù)(現(xiàn)在叫因數(shù))、倍數(shù)、公約數(shù)及最大公約數(shù)、公倍數(shù)及最小公倍數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)、分解質(zhì)因數(shù)、整除、余數(shù)及同余等。
這些基本知識(shí)點(diǎn)里又有些非常有代表性的例題，只要能掌握好這些知識(shí)點(diǎn)，然后做一定量的數(shù)論綜合習(xí)題，碰到難的數(shù)論問題我們就容易解決了。
4.有趣的抽屜原理：生活中有很多有趣的事情，比如說：把4個(gè)蘋果放到3個(gè)抽屜里，無論你怎么放，總有某個(gè)抽屜里至少有2個(gè)蘋果，這就是抽屜原理。
對(duì)于抽屜原理我們只要找到蘋果的個(gè)數(shù)a與抽屜的個(gè)數(shù)b,我們就可以得到下面的結(jié)論：
若a÷b=r……
當(dāng)q=0時(shí)，我們就說總有某個(gè)抽屜里至少有r個(gè)蘋果;
當(dāng)q0時(shí)，我們就說總有某個(gè)抽屜里至少有(r+1)個(gè)蘋果。
比如說把32個(gè)蘋果放進(jìn)8個(gè)抽屜里，因?yàn)?2÷8=4，無論怎么放，總有某個(gè)抽屜里有4個(gè)蘋果。如果把35個(gè)蘋果放進(jìn)8個(gè)抽屜里，因?yàn)?5÷8=4……3,無論怎么放，總有某個(gè)抽屜里有4+1=5個(gè)蘋果。
但是大部分的奧數(shù)題是沒有告訴我們抽屜的個(gè)數(shù)的，那樣我們就得自己構(gòu)造抽屜，從而找出抽屜的個(gè)數(shù)。
5.圖形面積計(jì)算：求圖形的面積也是奧數(shù)中的一個(gè)難點(diǎn)，對(duì)于這類題我們首先要掌握好各種基本圖形的面積計(jì)算公式，然后記住一些重要的結(jié)論：比如說三角形的等積變形、直角三角形中30度所對(duì)的邊是斜邊的一半、勾股定理、梯形中蝴蝶翅膀原理、相似三角形中邊與面積的關(guān)系。
在計(jì)算面積時(shí)的方法有：直接計(jì)算法、割補(bǔ)法、方程法等。在圖形面積計(jì)算中，難題往往得添加輔助線，這個(gè)就是難點(diǎn)所在，因?yàn)樘砑虞o助線非常靈活，這就要我們多做些這方面的題，多積累一些添加輔助線的技巧，做到心中有數(shù)。
六年級(jí)奧數(shù)
現(xiàn)在正是小升初特別關(guān)鍵的一個(gè)時(shí)期，無論從信息還是自身的學(xué)習(xí)方面都要做好充分的準(zhǔn)備。
下面主要說說當(dāng)機(jī)會(huì)擺在面前的時(shí)候我們應(yīng)該怎樣去把握住它，首先要明確一點(diǎn)，小升初并不是我們的最終目標(biāo)，而只是為了孩子今后的學(xué)習(xí)打下一個(gè)良好的基礎(chǔ)。
所以我們一定要重視孩子學(xué)習(xí)習(xí)慣的培養(yǎng)，舉個(gè)很簡單的例子：很多同學(xué)做題的時(shí)候?qū)忣}不認(rèn)真，經(jīng)常把會(huì)做的題目做錯(cuò)，即使是最厲害的學(xué)生，如果把題目看錯(cuò)了，那也是不可能把題目做對(duì)的。
這一點(diǎn)特別特別的重要，無論是小升初還是今后的中考高考，因?yàn)楝F(xiàn)在的衡量標(biāo)準(zhǔn)其實(shí)并不是比誰更“聰明”，而是比誰更認(rèn)真，學(xué)習(xí)更扎實(shí)。
從最近的一些學(xué)校的考試我們就可以看出一個(gè)趨勢，就是題量大，時(shí)間段，對(duì)于單位時(shí)間內(nèi)的做題效率有很高的要求，這個(gè)效率體現(xiàn)在兩個(gè)方面，就是速度和正確率。
學(xué)習(xí)重點(diǎn)難點(diǎn)解析：
1、分?jǐn)?shù)百分?jǐn)?shù)問題，比和比例：
這是六年級(jí)的重點(diǎn)內(nèi)容，在歷年各個(gè)學(xué)校測試中所占比例非常高，重點(diǎn)應(yīng)該掌握好以下內(nèi)容：
對(duì)單位1的正確理解，知道甲比乙多百分之幾和乙比甲少百分之幾的區(qū)別;
求單位1的正確方法，用具體的量去除以對(duì)應(yīng)的分率，找到對(duì)應(yīng)關(guān)系是重點(diǎn);
分?jǐn)?shù)比和整數(shù)比的轉(zhuǎn)化，了解正比和反比關(guān)系;
通過對(duì)“份數(shù)”的理解結(jié)合比例解決和倍(按比例分配)和差倍問題;
2、行程問題：
應(yīng)用題里最重要的內(nèi)容，因?yàn)榫C合考察了學(xué)生比例，方程的運(yùn)用以及分析復(fù)雜問題的能力，所以常常作為壓軸題出現(xiàn)，重點(diǎn)應(yīng)該掌握以下內(nèi)容：
路程速度時(shí)間三個(gè)量之間的比例關(guān)系，即當(dāng)路程一定時(shí)，速度與時(shí)間成反比;速度一定時(shí)，路程與時(shí)間成正比;時(shí)間一定時(shí)，速度與路程成正比。特別需要強(qiáng)調(diào)的是在很多題目中一定要先去找到這個(gè)“一定”的量;
當(dāng)三個(gè)量均不相等時(shí)，學(xué)會(huì)通過其中兩個(gè)量的比例關(guān)系求第三個(gè)量的比;
學(xué)會(huì)用比例的方法分析解決一般的行程問題;
有了以上基礎(chǔ)，進(jìn)一步加強(qiáng)多次相遇追及問題及火車過橋流水行船等特殊行程問題的理解，重點(diǎn)是學(xué)會(huì)如何去分析一個(gè)復(fù)雜的題目，而不是一味的做題。
3、幾何問題：
幾何問題是各個(gè)學(xué)?？疾斓闹攸c(diǎn)內(nèi)容，分為平面幾何和立體幾何兩大塊，具體的平面幾何里分為直線形問題和圓與扇形;立體幾何里分為表面積和體積兩大部分內(nèi)容。學(xué)生應(yīng)重點(diǎn)掌握以下內(nèi)容：
等積變換及面積中比例的應(yīng)用;
與圓和扇形的周長面積相關(guān)的幾何問題，處理不規(guī)則圖形問題的相關(guān)方法;
立體圖形面積：染色問題、切面問題、投影法、切挖問題;
立體圖形體積：簡單體積求解、體積變換、浸泡問題。
4、數(shù)論問題：
常考內(nèi)容，而且可以應(yīng)用于策略問題，數(shù)字謎問題，計(jì)算問題等其他專題中，相當(dāng)重要，應(yīng)重點(diǎn)掌握以下內(nèi)容：
掌握被特殊整數(shù)整除的性質(zhì)，如數(shù)字和能被9整除的整數(shù)一定是9的倍數(shù)等;
最好了解其中的道理，因?yàn)檫@個(gè)方法可以用在許多題目中，包括一些數(shù)字謎問題;
掌握約數(shù)倍數(shù)的性質(zhì)，會(huì)用分解質(zhì)因數(shù)法，短除法，輾轉(zhuǎn)相除法求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù);
學(xué)會(huì)求約數(shù)個(gè)數(shù)的方法，為了提高靈活運(yùn)用的能力，需了解這個(gè)方法的原理;
了解同余的概念，學(xué)會(huì)把余數(shù)問題轉(zhuǎn)化成整除問題，下面的這個(gè)性質(zhì)是非常有用的：兩個(gè)數(shù)被第三個(gè)數(shù)去除，如果所得的余數(shù)相同，那么這兩個(gè)數(shù)的差就能被這個(gè)數(shù)整除;
能夠解決求一個(gè)多位數(shù)除以一個(gè)較小的自然數(shù)所得的余數(shù)問題，例如求1011121314…9899除以11的余數(shù)，以及求20082008除以13的余數(shù)這類問題。
5、計(jì)算問題：
計(jì)算問題通常在前幾個(gè)題目中出現(xiàn)概率較高，主要考察兩個(gè)方面，一個(gè)是基本的四則運(yùn)算能力，同時(shí)，一些速算巧算及裂項(xiàng)換元等技巧也經(jīng)常成為考察的重點(diǎn)。我們應(yīng)該重點(diǎn)掌握以下內(nèi)容：
計(jì)算基本功的訓(xùn)練;
利用乘法分配率進(jìn)行速算與巧算;
分小數(shù)互化及運(yùn)算，繁分?jǐn)?shù)運(yùn)算;
估算與比較;
計(jì)算公式應(yīng)用。如等差數(shù)列求和，平方差公式等;
裂項(xiàng)，換元與通項(xiàng)公式。
小學(xué)數(shù)學(xué)--最易混淆的15條基礎(chǔ)概念
1、最小的一位數(shù)是0還是1?
這個(gè)問題在很長一段時(shí)間存在爭論。
先來看看《九年義務(wù)教育六年制小學(xué)數(shù)學(xué)第八冊(cè)教師教學(xué)用書》第98頁“關(guān)于幾位數(shù)”的敘述：“通常在自然數(shù)里，含有幾個(gè)數(shù)位的數(shù)，叫做幾位數(shù)。
例如“2”是含有一個(gè)數(shù)位的數(shù)，叫做一位數(shù);“30”是含有兩個(gè)數(shù)位的數(shù)，叫做兩位數(shù);“405”是含有三個(gè)數(shù)位的數(shù)，叫做三位數(shù)……但是要注意：一般不說0是幾位數(shù)。
再來聽聽專家的說明：在自然數(shù)的理論中，對(duì)“幾位數(shù)”是這樣定義的，“只用一個(gè)有效數(shù)字表示的數(shù)，叫做一位數(shù);只用兩個(gè)數(shù)字(其中左邊第一個(gè)數(shù)字為有效數(shù)字)表示的數(shù)，叫做兩位數(shù)……所以，在一個(gè)數(shù)中，數(shù)字的個(gè)數(shù)是幾(其中最左邊第一個(gè)數(shù)字為有效數(shù)字)，這個(gè)數(shù)就叫幾位數(shù)。
于此，所謂最大的幾位數(shù)，最小的幾位數(shù)，通常是在非零自然數(shù)的范圍研究。所以一位數(shù)共有九個(gè)，即：1、2、3、4、5、6、7、8、9。
0不是最小的一位數(shù)。
2、為什么0也是自然數(shù)?
課標(biāo)教材對(duì)“0也是自然數(shù)”的規(guī)定，顛覆了人們對(duì)自然數(shù)的傳統(tǒng)認(rèn)識(shí)。
于此，中央教科所教材編寫組主編陳昌鑄如是說：國際上對(duì)自然數(shù)的定義一直都有不同的說法，以法國為代表的多數(shù)國家都認(rèn)為自然數(shù)從0開始，我國教材以前一直都是遵循前蘇聯(lián)的說法，認(rèn)為0不是自然數(shù)。
2000年教育部主持召開教材改編會(huì)議時(shí)，已明確提出將0歸為自然數(shù)。這次改版也是與國際慣例接軌。
從教學(xué)實(shí)踐層面來說，將“0”規(guī)定為“自然數(shù)”也有著積極的現(xiàn)實(shí)意義。
“0”作為自然數(shù)的“好處”
眾所周知，數(shù)學(xué)中的集合被分為有限集合和無限集合兩類。有限集合是含有有限個(gè)元素的集合，像某班學(xué)生的集合。無限集合是含有的元素個(gè)數(shù)是非有限的集合，如分?jǐn)?shù)的集合。因?yàn)樽匀粩?shù)具有“基數(shù)”的性質(zhì)，因此用自然數(shù)來描述有限集合中元素的個(gè)數(shù)是很自然的。
但在有限集合中，有一個(gè)最主要也是最基本的集合，叫空集{｝，元素個(gè)數(shù)為0。如果不把0作為自然數(shù)，那么空集的元素的個(gè)數(shù)就無法用自然數(shù)來表示了。如果把“0”作為一個(gè)自然數(shù)，那么自然數(shù)就可以完成刻畫“有限集合元素個(gè)數(shù)”的任務(wù)了。
于此，從“自然數(shù)的基數(shù)性”這個(gè)角度，我們看到了把“0”作為自然數(shù)的好處。
把“0”作為自然數(shù)，不會(huì)影響自然數(shù)的“運(yùn)算功能”
“0”加入傳統(tǒng)的自然數(shù)集合，所有的“運(yùn)算規(guī)則”依舊保持，如新自然數(shù)集合{0,1,2,…,n,…}中的任何兩個(gè)自然數(shù)都可以進(jìn)行加法和乘法運(yùn)算，而運(yùn)算結(jié)果仍然是自然數(shù)。同時(shí)，加法、乘法運(yùn)算的結(jié)合律和交換律，以及乘法的分配律也不會(huì)受到影響。
所以，“0”加盟到自然數(shù)集合實(shí)屬理所當(dāng)然，而不僅僅是人為的“規(guī)定”。它讓我們更好地理解自然數(shù)和它的功能，同時(shí)也讓我們意識(shí)到教學(xué)時(shí)不僅要知道和記住數(shù)學(xué)的“定義”和“規(guī)定”，還應(yīng)該思考“規(guī)定”背后的數(shù)學(xué)涵義。
3、什么是有效數(shù)字一無效數(shù)字?
有效數(shù)字是對(duì)一個(gè)數(shù)的近似值的精確程度而提出的。同一個(gè)近似數(shù)如果在取舍時(shí)，保留的有效數(shù)字多，就比保留的有效數(shù)字少更精確。
一般說，一個(gè)近似數(shù)四舍五入到哪一位，就說這個(gè)近似數(shù)精確到哪一位。這時(shí)，從左邊第一個(gè)非零的數(shù)字起，到那一位上的所有數(shù)字都叫做這個(gè)數(shù)的有效數(shù)字。
如近似數(shù)0.00309有三個(gè)有效數(shù)字：3、0、9;0.520也有三個(gè)有效字：5、2、0。
而0.00309中左邊的三個(gè)零，0.520中左邊的一個(gè)零，都叫做無效數(shù)字。
4、加法與減法、乘法與除法是否互為逆運(yùn)算?
“加法與減法互為逆運(yùn)算、乘法與除法互為逆運(yùn)算”這似乎成了許多老師的口頭禪，這其實(shí)是一種誤解。
例如：
加法“2+3=5”，其逆算為“5-2=3”，“5-3=2”。
故此，加法的逆運(yùn)算只有減法;
減法“5-2=3”，其逆算有“5-3=2”，“2+3=5”。
故此，減法的逆運(yùn)算有減法和加法兩種運(yùn)算。
綜上可知，只能說減法是加法的逆運(yùn)算，而不能說加法與減法互為逆運(yùn)算。
同理，也只能說除法是乘法的逆運(yùn)算，而不能說乘法與除法互為逆運(yùn)算。
5、為什么不寫“倍”?
在學(xué)習(xí)“求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍”應(yīng)用題時(shí)，很多小朋友會(huì)自然提出這樣的疑問，如：“飼養(yǎng)小組養(yǎng)了12只小雞，3只小鴨，小雞的只數(shù)是小鴨的幾倍?”為什么“12÷3=4”的后面不寫“倍”呢?(馬上點(diǎn)標(biāo)題下“小升初”關(guān)注可獲取更多教育經(jīng)驗(yàn)、方法、學(xué)習(xí)資料，每天更新喲!)
我們首先應(yīng)該肯定學(xué)生的質(zhì)疑(學(xué)生有較強(qiáng)的解題規(guī)范意識(shí))。但同時(shí)又該對(duì)學(xué)生說明：在解答應(yīng)用題時(shí)，得數(shù)后面一般要寫上的是數(shù)的單位名稱
如：12只的“只”;8克的“克”。一個(gè)數(shù)只有帶上單位名稱，才能準(zhǔn)確地表示出一個(gè)物體的多少、大小、長短、輕重等等。但是，“倍”不是單位名稱，它表示兩個(gè)數(shù)量之間的一種關(guān)系。
例如，上面的計(jì)算結(jié)果“4”，表示12里面有4個(gè)3，就是12只小雞是3只小鴨的4倍。
所以，在算式里不寫“倍”，以免“倍”與單位名稱發(fā)生混淆。
6、“倍”和“倍數(shù)”的區(qū)別
在第一學(xué)段我們學(xué)習(xí)了“倍的初步認(rèn)識(shí)”，認(rèn)識(shí)了概念“倍”，而在第二學(xué)段,我們又學(xué)習(xí)到“倍數(shù)”這個(gè)概念。那么，“倍”和“倍數(shù)”這兩個(gè)詞到底是不是一回事呢?這兩個(gè)詞之間有什么區(qū)別呢?
“倍”指的是數(shù)量關(guān)系，它建立在乘除法概念的基礎(chǔ)上。
例如：男生有10人，女生有30人，因?yàn)椤?0×3=30”或者“30÷10=3”，我們就說，女生人數(shù)(30)是男生人數(shù)(10)的3倍，也可以說，男生人數(shù)(10)的3倍等于女生人數(shù)(30)。勿寧說，“倍”其實(shí)表示的是兩個(gè)數(shù)的商(這個(gè)商可以是整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)等各種表現(xiàn)形式)。
“倍數(shù)”指的是數(shù)與數(shù)之間的聯(lián)系，它建立在整除概念的基礎(chǔ)上。
例如，30能被6整除，30就是6的倍數(shù)?？梢姡氨稊?shù)”是不能獨(dú)立存在的(具有特定的指向性)，而且對(duì)數(shù)的形式有特別的要求(必須為整數(shù))。
同時(shí)我們又看到，30也是6的5倍，因?yàn)?×5=30，“6×5”表示6的5倍。所以從這個(gè)角度來說，“倍”的涵義應(yīng)寬泛于“倍數(shù)”，后者可以視為前者在特定情形下的一種表現(xiàn)。
7、“時(shí)”和“小時(shí)”有什么不同?怎樣使用“時(shí)”和“小時(shí)”?
首先應(yīng)該明確的是，〔小〕時(shí)并非國際時(shí)間單位。在1984年國務(wù)院發(fā)布的《關(guān)于我國統(tǒng)一法定計(jì)量單位的命令》中，把秒作為時(shí)間的基本單位，把非國際單位制的時(shí)間單位天(日)、〔小〕時(shí)、分作為輔助單位。
(注：〔〕里的字，在不致混淆的情況下，可以省略)。
這樣，在我國范圍內(nèi)使用的法定時(shí)間單位就有：天(日)、〔小〕時(shí)、分、秒。
由此，“時(shí)”既可以表示時(shí)間，又可以表示時(shí)刻。由于“時(shí)間”和“時(shí)刻”這兩個(gè)不同的概念容易產(chǎn)生混淆，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)間單位“時(shí)”時(shí)，
現(xiàn)行教材作了如下處理：
當(dāng)列式計(jì)算出時(shí)間的長短時(shí)，在得數(shù)的括號(hào)里寫上時(shí)間的單位“時(shí)”。例如：超市營業(yè)時(shí)間：21-9=12(時(shí))。(此處可省略“小”字)
在用語言表述時(shí)間的長短時(shí)，為避免“時(shí)間”和“時(shí)刻”這兩個(gè)概念產(chǎn)生混淆，則在“時(shí)”的前面加上一個(gè)“小”字。例如：超市營業(yè)時(shí)間12小時(shí)。
在用語言表示時(shí)刻時(shí)，一律不得出現(xiàn)“小時(shí)”字樣。例如：公園每天早上7時(shí)30分開園(而非7小時(shí)30分)。
8、“改寫”和“省略”是一樣的嗎?
從形式上看，此例將“改寫”與“省略”兩種對(duì)數(shù)的變化置于了同一個(gè)要求之下(即改寫成用“億”作單位的數(shù))。我們真希望編者不是有意而為之，因?yàn)椤案膶憽迸c“省略”其本質(zhì)是完全不同的。
表現(xiàn)在：
目的不同
“改寫”的目的是方便對(duì)大數(shù)的讀寫，而“省略”則是取數(shù)的近似值。
方法不同
此處的“改寫”是去掉“億”位后面的0，再寫上一個(gè)“億”字，而“省略”除了要找準(zhǔn)“億”位，還要考慮被省略的尾數(shù)的最高位是幾，然后用四舍五入法求出近似數(shù)。
符號(hào)不同
“改寫”只改變了數(shù)的表現(xiàn)形式，大小并未改變，所以用“=”號(hào)連接;而“省略”既改變了數(shù)的形式，又改變的數(shù)的大小，所以用“≈”連接。
9、“路程”就是“距離”嗎?
這兩個(gè)詞在許多老師的教學(xué)語言中是替代使用的，其實(shí)不然。
“路程”是指從一個(gè)地點(diǎn)到另一個(gè)地點(diǎn)所經(jīng)過路線的長度;而“距離”則指連接兩個(gè)地點(diǎn)而成的直線段的長度。
“路程”所經(jīng)過的路線可以是曲形線，也可以是直形線，還可能是折形線。
一般情況下，兩個(gè)地點(diǎn)之間的“路程”要大于它們之間的“距離”，只有當(dāng)兩個(gè)地點(diǎn)之間的路線為直線時(shí)，路程和距離才相等。
雖然老師們都知道這個(gè)等式是成立的,但我們的學(xué)生卻沒有相應(yīng)的知識(shí)儲(chǔ)備,怎樣繞開”極限”尋找能為小學(xué)生所理解和接受的證明途徑。
10、最大的分?jǐn)?shù)單位是1/2還是1/1?
先看看分?jǐn)?shù)單位的含義：把單位“1”平均分成若干份，表示這樣一份的數(shù)。
顯然，在分?jǐn)?shù)意義中，關(guān)鍵是“分”，沒有“分”，就沒有“份”。
因?yàn)榘褑挝弧?”平均分成的最少份數(shù)是2份(如果是1份，也就無所謂“分”)，由此得到的分?jǐn)?shù)單位是1/2，所以1/2是最大的分?jǐn)?shù)單位。
盡管就廣義的分?jǐn)?shù)來說，1/1也可視作分?jǐn)?shù)，但它已不是我們通常意義上認(rèn)識(shí)的與整數(shù)對(duì)立的那種分?jǐn)?shù)(在平均分的基礎(chǔ)上所產(chǎn)生)，故此，最大的分?jǐn)?shù)單位應(yīng)以1/2為宜。
11、像0/3、0.2/3、3/0.2這樣的數(shù)是不是分?jǐn)?shù)?
分?jǐn)?shù)的定義明確告訴我們:把單位“1”平均分成若干份，表示這樣一份或幾份的數(shù),叫分?jǐn)?shù)。其中，分成的份數(shù)叫做分?jǐn)?shù)的分母，要表示的份數(shù)叫做分子。
由此可知，分?jǐn)?shù)的分子和分母都應(yīng)該是非零自然數(shù)。從這個(gè)意義來說，以上這幾個(gè)數(shù)徒具分?jǐn)?shù)的形式，而不具分?jǐn)?shù)的實(shí)質(zhì)，因此都不應(yīng)該視為分?jǐn)?shù)。
進(jìn)而，在考查學(xué)生對(duì)“分?jǐn)?shù)”涵義的理解時(shí)，應(yīng)著眼于通常意義上的分?jǐn)?shù)，將上述這些變異形式納入思考的范圍，其本身對(duì)訓(xùn)練學(xué)生的思維并無多大實(shí)際意義，而且會(huì)令諸如“分?jǐn)?shù)都大于0”等命題的真與假陷入尷尬。
12、比6多1/2的數(shù)”應(yīng)該是“61/2”還是“6×(11/2)”
要弄清這個(gè)問題，先得弄清“6”的性質(zhì)。顯然，此處的“6”其實(shí)質(zhì)是一個(gè)“數(shù)”，而非一個(gè)“量”，求“比6多1/2的數(shù)”應(yīng)屬于“求比一個(gè)數(shù)多幾的數(shù)”的范疇，問題中的“多幾”都是確定的具體數(shù)，這里的“幾”既可以是整數(shù)，也可以是小數(shù)或分?jǐn)?shù)。所以，這里的“1/2”是指在6的基礎(chǔ)上“多1/2”這個(gè)“1/2”數(shù)的本身，而非“6的1/2”。
所以，“比6多1/2的數(shù)”應(yīng)該是“61/2”。
當(dāng)然，如果題目確定為“比6多它的1/2的數(shù)”，那答案則屬于后者。
13、計(jì)算出勤率可不可以不乘100%?
先來看看新人教版、北師大版和蘇教版三個(gè)不同版本的教材對(duì)類似問題的理解。
同一課程標(biāo)準(zhǔn)下，不同的教材給出了不同的理解，這給執(zhí)教者帶來了困惑：到底可不可以不乘100%呢?筆者以為，求“××率”其結(jié)果必定為百分率。以出勤率為例，就是求實(shí)際出勤人數(shù)占應(yīng)出勤人數(shù)的百分之幾。
如果公式只寫成：出勤率=實(shí)際出勤人數(shù)/應(yīng)出勤人數(shù)，我們說這只是分?jǐn)?shù)形式(也即是求實(shí)際出勤人數(shù)占應(yīng)出勤人數(shù)的“幾分之幾”)，并不是百分?jǐn)?shù)。
因此，在公式后面乘上“100%”，既可以使計(jì)算數(shù)值大小不變，又能保證結(jié)果形式滿足百分?jǐn)?shù)的要求。因此，計(jì)算出勤率、發(fā)芽率、出粉率、合格率……的公式中，都應(yīng)乘“100%”。
同時(shí)建議各版本教材的編委統(tǒng)一思想，以免給一線教師造成認(rèn)識(shí)上的混亂。
14、小于90度的角都是銳角嗎?
根據(jù)課標(biāo)教材定義：小于90度的角叫做銳角。答案似乎是肯定的，但由此又產(chǎn)生一個(gè)新的問題：0度的角是什么角，也是銳角嗎?
事實(shí)是，銳角定義有一個(gè)隱含的前提，就是小學(xué)數(shù)學(xué)中所討論的角都是正角。習(xí)慣上，我們把射線按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)而得到的角叫做正角，射線按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)而得到的角叫做負(fù)角，當(dāng)一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn)時(shí)，就把它看成零角。如果將角的概念推廣到任意大小的角，就應(yīng)分為正角、負(fù)角、和零角。
由此，嚴(yán)格意義上的銳角定義應(yīng)是：大于0度而小于90度的角叫做銳角。
15、足球比賽記分牌上的“3︰2”是數(shù)學(xué)中的“比”嗎?
我們至少可以從兩個(gè)方面來理解它們的差別。
第一，球類比賽中的“3︰2”表示的是比賽雙方的得分情況，是“差”比，即表示相差關(guān)系，一方得3分，另一方得2分，雙方相差1分;數(shù)學(xué)中的“3︰2”表示的是“3÷2”，是“倍”比，商為1.5。有鑒于此，球類比賽中的“比”(其實(shí)是比分)，其后數(shù)可以為0的，而數(shù)學(xué)中的“比”，其后數(shù)(相當(dāng)于除數(shù))是不可以為0的。
第二，數(shù)學(xué)中的“比”是可以化簡的，如“4︰2=2︰1”;同樣的“4︰2”放在球類比賽中，卻不可以化簡，如果化簡就不能反映雙方在比賽中的實(shí)際得分了。
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