什么是最大公因數(shù)_具體的求法
什么是最大公因數(shù)_具體的求法
最大公因數(shù)指兩個(gè)或多個(gè)整數(shù)共有約數(shù)中最大的一個(gè)。那么你對最大公因數(shù)了解多少呢?以下是由學(xué)習(xí)啦小編整理關(guān)于什么是最大公因數(shù)的內(nèi)容,希望大家喜歡!
最大公因數(shù)的介紹
a,b的最大公約數(shù)記為(a,b),同樣的,a,b,c的最大公約數(shù)記為(a,b,c),多個(gè)整數(shù)的最大公約數(shù)也有同樣的記號。求最大公約數(shù)有多種方法,常見的有質(zhì)因數(shù)分解法、短除法、輾轉(zhuǎn)相除法、更相減損法。與最大公約數(shù)相對應(yīng)的概念是最小公倍數(shù),a,b的最小公倍數(shù)記為[a,b]。如果數(shù)a能被數(shù)b整除,a就叫做b的倍數(shù),b就叫做a的約數(shù)。約數(shù)和倍數(shù)都表示一個(gè)整數(shù)與另一個(gè)整數(shù)的關(guān)系,不能單獨(dú)存在。如只能說16是某數(shù)的倍數(shù),2是某數(shù)的約數(shù),而不能孤立地說16是倍數(shù),2是約數(shù)。
"倍"與"倍數(shù)"是不同的兩個(gè)概念,"倍"是指兩個(gè)數(shù)相除的商,它可以是整數(shù)、小數(shù)或者分?jǐn)?shù)。"倍數(shù)"只是在數(shù)的整除的范圍內(nèi),相對于"約數(shù)"而言的一個(gè)數(shù)字的概念,表示的是能被某一個(gè)自然數(shù)整除的數(shù)。
幾個(gè)整數(shù),公有的約數(shù),叫做這幾個(gè)數(shù)的公約數(shù);其中最大的一個(gè),叫做這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。例如:12、16的公約數(shù)有1、2、4,其中最大的一個(gè)是4,4是12與16的最大公約數(shù),一般記為(12,16)=4。12、15、18的最大公約數(shù)是3,記為(12,15,18)=3。
幾個(gè)自然數(shù)公有的倍數(shù),叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù),其中最小的一個(gè)自然數(shù),叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。例如:4的倍數(shù)有4、8、12、16,……,6的倍數(shù)有6、12、18、24,……,4和6的公倍數(shù)有12、24,……,其中最小的是12,一般記為[4,6]=12。12、15、18的最小公倍數(shù)是180。記為[12,15,18]=180。若干個(gè)互質(zhì)數(shù)的最小公倍數(shù)為它們的乘積的絕對值。
最大公因數(shù)的求法
質(zhì)因數(shù)分解法
質(zhì)因數(shù)分解法:把每個(gè)數(shù)分別分解質(zhì)因數(shù),再把各數(shù)中的全部公有質(zhì)因數(shù)提取出來連乘,所得的積就是這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。
例如:求24和60的最大公約數(shù),先分解質(zhì)因數(shù),得24=2×2×2×3,60=2×2×3×5,24與60的全部公有的質(zhì)因數(shù)是2、2、3,它們的積是2×2×3=12,所以,(24,60)=12。
把幾個(gè)數(shù)先分別分解質(zhì)因數(shù),再把各數(shù)中的全部公有的質(zhì)因數(shù)和獨(dú)有的質(zhì)因數(shù)提取出來連乘,所得的積就是這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。
例如:求6和15的最小公倍數(shù)。先分解質(zhì)因數(shù),得6=2×3,15=3×5,6和15的全部公有的質(zhì)因數(shù)是3,6獨(dú)有質(zhì)因數(shù)是2,15獨(dú)有的質(zhì)因數(shù)是5,2×3×5=30,30里面包含6的全部質(zhì)因數(shù)2和3,還包含了15的全部質(zhì)因數(shù)3和5,且30是6和15的公倍數(shù)中最小的一個(gè),所以[6,15]=30。
短除法
短除法:短除法求最大公約數(shù),先用這幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)連續(xù)去除,一直除到所有的商互質(zhì)為止,然
后把所有的除數(shù)連乘起來,所得的積就是這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。
短除法求最小公倍數(shù),先用這幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)去除每個(gè)數(shù),再用部分?jǐn)?shù)的公約數(shù)去除,并把不能整除的數(shù)移下來,一直除到所有的商中每兩個(gè)數(shù)都是互質(zhì)的為止,然后把所有的除數(shù)和商連乘起來,所得的積就是這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù),例如,求12、15、18的最小公倍數(shù)。
短除法的本質(zhì)就是質(zhì)因數(shù)分解法,只是將質(zhì)因數(shù)分解用短除符號來進(jìn)行。
短除符號就是除號倒過來。短除就是在除法中寫除數(shù)的地方寫兩個(gè)數(shù)共有的質(zhì)因數(shù),然后落下兩個(gè)數(shù)被公有質(zhì)因數(shù)整除的商,之后再除,以此類推,直到結(jié)果互質(zhì)為止(兩個(gè)數(shù)互質(zhì))。
而在用短除計(jì)算多個(gè)數(shù)時(shí),對其中任意兩個(gè)數(shù)存在的因數(shù)都要算出,其它沒有這個(gè)因數(shù)的數(shù)則原樣落下。直到剩下每兩個(gè)都是互質(zhì)關(guān)系。
求最大公因數(shù)便乘一邊,求最小公倍數(shù)便乘一圈。
無論是短除法,還是分解質(zhì)因數(shù)法,在質(zhì)因數(shù)較大時(shí),都會(huì)覺得困難。這時(shí)就需要用新的方法。
最大公因數(shù)的常用結(jié)論
在解有關(guān)最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)的問題時(shí),常用到以下結(jié)論:
(1)如果兩個(gè)自然數(shù)是互質(zhì)數(shù),那么它們的最大公約數(shù)是1,最小公倍數(shù)是這兩個(gè)數(shù)的乘積。
例如8和9,它們是互質(zhì)數(shù),所以(8,9)=1,[8,9]=72。
(2)如果兩個(gè)自然數(shù)中,較大數(shù)是較小數(shù)的倍數(shù),那么較小數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù),較大數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。
例如18與3,18÷3=6,所以(18,3)=3,[18,3]=18。
(3)兩個(gè)整數(shù)分別除以它們的最大公約數(shù),所得的商是互質(zhì)數(shù)。
例如8和14分別除以它們的最大公約數(shù)2,所得的商分別為4和7,那么4和7是互質(zhì)數(shù)。
(4)兩個(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù)與它們的最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個(gè)數(shù)的乘積。
例如12和16,(12,16)=4,[12,16]=48,有4×48=12×16,即(12,16)× [12,16]=12×16。
(5)GCD(a,b) is the smallest positive linear combination of a and b. a與b的最大公約數(shù)是最小的a與b的正線性組合,即對于方程xa+yb=c來說,若x,a,y,b都為整數(shù),那么c的最小正根為gcd(a,b).
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