最小公倍數是什么意思有什么計算方法
兩個或多個整數的公倍數里最小的那一個叫做它們的最小公倍數。那么你對最小公倍數了解多少呢?以下是由學習啦小編整理關于什么是最小公倍數的內容,希望大家喜歡!
最小公倍數的定義
幾個數共有的倍數叫做這幾個數的公倍數,其中除0以外最小的一個公倍數,叫做這幾個數的最小公倍數。
自然數a、b的最小公倍數可以記作[a,b],自然數a、b的最大公因數可以記作(a、b),當(a、b)=1時,[a、b]= a×b。
如果兩個數是倍數關系,則它們的最小公倍數就是較大的數,相鄰的兩個自然數的最小公倍數是它們的乘積。
最小公倍數=兩數的乘積/最大公約(因)數, 解題時要避免和最大公約(因)數問題混淆。 最小公倍數的適用范圍:分數的加減法,中國剩余定理(正確的題在最小公倍數內有解,有唯一的解).因為,素數是不能被1和自身數以外的其它數整除的數;素數X的N次方,是只能被X的N及以下次方,1和自身數整除.所以,給最小公倍數下一個定義:S個數的最小公倍數,為這S個數中所含素因子的最高次方之間的乘積。如:1,求756,4400,19845,9000的最小公倍數?因756=2*2*3*3*3*7,4400=2*2*2*2*5*5*11,19845=3*3*3*3*5*7*7,9000=2*2*2*3*3*5*5*5,這里有素數2,3,5,7,11.2最高為4次方16,3最高為4次方81,5最高為3次方125,7最高為2次方49,還有素數11.得最小公倍數為16*81*125*49*11=87318000.2,自然數1至50的最小公倍數,因為,√50≈7,所以,在50之內的數只有≤7的素數涉及N次方。在50之內,2的最高次方的數為32,3的最高次方的數為27,5的最高次方的數為25,7的最高次方的數為49,其余為50之內的素數。所以,1,2,3,4,5,6,…,50的最小公倍數為:32*27*25*49*11*13*17*19*23*29*31*37*41*43*47=3099044504245996706400
最小公倍數的計算方法
(1)分解質因數法
先把這幾個數的質因數寫出來,最小公倍數等于它們所有的質因數的乘積(如果有幾個質因數相同,則比較兩數中哪個數有該質因數的個數較多,乘較多的次數)。
比如求45和30的最小公倍數。
45=3*3*5
30=2*3*5
不同的質因數是2,5。3是他們兩者都有的質因數,由于45有兩個3,30只有一個3,所以計算最小公倍數的時候乘兩個3.
最小公倍數等于2*3*3*5=90
又如計算36和270的最小公倍數
36=2*2*3*3
270=2*3*3*3*5
不同的質因數是5。2這個質因數在36中比較多,為兩個,所以乘兩次;3這個質因數在270個比較多,為三個,所以乘三次。
最小公倍數等于2*2*3*3*3*5=540
20和40的最小公倍數是40
(2)公式法
由于兩個數的乘積等于這兩個數的最大公約數與最小公倍數的積。即(a,b)×[a,b]=a×b。所以,求兩個數的最小公倍數,就可以先求出它們的最大公約數,然后用上述公式求出它們的最小公倍數。
例如,求[18,20],即得[18,20]=18×20÷(18,20)=18×20÷2=180。求幾個自然數的最小公倍數,可以先求出其中兩個數的最小公倍數,再求這個最小公倍數與第三個數的最小公倍數,依次求下去,直到最后一個為止。最后所得的那個最小公倍數,就是所求的幾個數的最小公倍數。
最小公倍數的示例
例題1
兩個數的最大公因數是15,最小公倍數是90,求這兩個數分別是多少?
15×1=15,15×6=90;當a1b1分別是2和3時,a、b分別為15×2=30,15×3=45。所以,這兩個數是15和90或者30和45。
例題2
兩個自然數的積是360,最小公倍數是120,這兩個數各是多少?
分析我們把這兩個自然數稱為甲數和乙數。因為甲、乙兩數的積一定等于甲、乙兩數的最大公因數與最小公倍數的積。根據這一規(guī)律,我們可以求出這兩個數的最大公因數是360÷120=3。又因為(甲÷3=a,乙÷3=b)中,3×a×b=120,a和b一定是互質數,所以,a和b可以是1和40,也可以是5和8。當a和b是1和40時,所求的數是3×1=3和3×40=120;當a和b是5和8時,所求的數是3×5=15和3×8=24。
例題3
甲、乙、丙三人是朋友,他們每隔不同天數到圖書館去一次。甲3天去一次,乙4天去一次,丙5天去一次。有一天,他們三人恰好在圖書館相會,問至少再過多少天他們三人又在圖書館相會?
分析從第一次三人在圖書館相會到下一次再次相會,相隔的天數應該是3、4、5的最小公倍數。因為3、4、5的最小公倍數是60,所以至少再過60天他們三人又在圖書館相會。
例題4
一塊磚長20厘米,寬12厘米,厚6厘米。要堆成正方體至少需要這樣的磚頭多少塊?
分析把若干個長方體疊成正方體,它的棱長應是長方體長、寬、高的公倍數。現(xiàn)在要求長方體磚塊最少,它的棱長應是長方體長、寬、高的最小公倍數,求出正方體棱長后,再根據正方體與長方體體積之間的關系就能求出長方體磚的塊數。
例題5
甲每秒跑3米,乙每秒跑4米,丙每秒跑2米,三人沿600米的環(huán)形跑道從同一地點同時同方向跑步,經過多少時間三人又同時從出發(fā)點出發(fā)?
分析甲跑一圈需要600÷3=200秒,乙跑一圈需要600÷4=150秒,丙跑一圈需要600÷2=300秒。要使三人再次從出發(fā)點一齊出發(fā),經過的時間一定是200、150和300的最小公倍數。200、150和300的最小公倍數是600,所以,經過600秒后三人又同時從出發(fā)點出發(fā)。
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