復(fù)數(shù)x被定義為二元有序?qū)崝?shù)對(a,b)[1] ，記為z=a+bi,這里a和b是實(shí)數(shù)，i是虛數(shù)單位。在復(fù)數(shù)a+bi中，a=Re(z)稱為實(shí)部，b=Im(z)稱為虛部。當(dāng)虛部等于零時，這個復(fù)數(shù)可以視為實(shí)數(shù);當(dāng)z的虛部不等于零時，實(shí)部等于零時，常稱z為純虛數(shù)。復(fù)數(shù)域是實(shí)數(shù)域的代數(shù)閉包，也即任何復(fù)系數(shù)多項式在復(fù)數(shù)域中總有根。 復(fù)數(shù)是由意大利米蘭學(xué)者卡當(dāng)在十六世紀(jì)首次引入，經(jīng)過達(dá)朗貝爾、棣莫弗、歐拉、高斯等人的工作，此概念逐漸為數(shù)學(xué)家所接受。

　　復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算規(guī)定為：加法法則：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;減法法則：(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;乘法法則：(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i;除法法則：(a+bi)÷(c+di)=[(ac+bd)/(c²+d²)]+[(bc-ad)/(c²+d²)]i.

　　例如：[(a+bi)+(c+di)]-[(a+c)+(b+d)i]=0，最終結(jié)果還是0，也就在數(shù)字中沒有復(fù)數(shù)的存在。

　　[(a+bi)+(c+di)]-[(a+c)+(b+d)i]=Z是一個函數(shù)。

　　主要內(nèi)容

　　定義

　　數(shù)集拓展到實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，仍有些運(yùn)算無法進(jìn)行，(比如對負(fù)數(shù)開偶數(shù)次方)，為了使方程有解，我們將數(shù)集再次擴(kuò)充。

　　在實(shí)數(shù)域上定義二元有序?qū)=(a,b)，并規(guī)定有序?qū)χg有運(yùn)算"+","x" (記z1=(a,b),z2=(c,d))：

　　z1 + z2=(a+c,b+d)

　　z1 x z2=(ac-bd,bc+ad)

　　容易驗證，這樣定義的有序?qū)θw在有序?qū)Φ募臃ê统朔ㄏ鲁梢粋€域，并且對任何復(fù)數(shù)z，我們有

　　z=(a,b)=(a.0)+(0,1) x (b,0)

　　令f是從實(shí)數(shù)域到復(fù)數(shù)域的映射，f(a)=(a,0)，則這個映射保持了實(shí)數(shù)域上的加法和乘法，因此實(shí)數(shù)域可以嵌入復(fù)數(shù)域中，可以視為復(fù)數(shù)域的子域。

　　記(0,1)=i,則根據(jù)我們定義的運(yùn)算，(a,b)=(a.0)+(0,1) x (b,0):=a+bi，i x i=(0,1) x (0,1)=(-1,0)=-1，這就只通過實(shí)數(shù)解決了虛數(shù)單位i的存在問題。

　　形如 的數(shù)稱為復(fù)數(shù)(complex number)，其中規(guī)定i為虛數(shù)單位，且 (a，b是任意實(shí)數(shù))

　　我們將復(fù)數(shù) 中的實(shí)數(shù)a稱為復(fù)數(shù)z的實(shí)部(real part)記作Rez=a

　　實(shí)數(shù)b稱為復(fù)數(shù)z的虛部(imaginary part)記作 Imz=b.

　　當(dāng)a=0且b≠0時，z=bi，我們就將其稱為純虛數(shù)。

　　復(fù)數(shù)的模

　　將復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部的平方和的正的平方根的值稱為該復(fù)數(shù)的模，記作∣z∣.

　　即對于復(fù)數(shù) ，它的模

　　復(fù)數(shù)的集合用C表示，實(shí)數(shù)的集合用R表示，顯然，R是C的真子集。

　　復(fù)數(shù)集是無序集，不能建立大小順序。