標(biāo)準差和標(biāo)準誤的區(qū)別與聯(lián)系
標(biāo)準差和標(biāo)準誤的區(qū)別與聯(lián)系
小伙伴們知道什么是標(biāo)準差與標(biāo)準誤嗎?這兩者有何關(guān)系?有何區(qū)別?下面就跟著學(xué)習(xí)啦小編一起來看看吧。
標(biāo)準差與標(biāo)準誤關(guān)系與區(qū)別
在日常的統(tǒng)計分析中，標(biāo)準差和標(biāo)準誤是一對十分重要的統(tǒng)計量，兩者有區(qū)別也有聯(lián)系。但是很多人卻沒有弄清其中的差異，經(jīng)常性地進行一些錯誤的使用。對于標(biāo)準差與標(biāo)準誤的區(qū)別，很多書上這樣表達：標(biāo)準差表示數(shù)據(jù)的離散程度，標(biāo)準誤表示抽樣誤差的大小。這樣的解釋可能對于許多人來說等于沒有解釋。 其實這兩者的區(qū)別可以采用數(shù)據(jù)分布表達方式描述如下：如果樣本服從均值為μ，標(biāo)準差為δ的正態(tài)分布，即X～N(μ, δ2),那么樣本均值服從均值為0，標(biāo)準差為δ2/n的正態(tài)分布，即?～ N(μ,δ2/n)。這里δ為標(biāo)準差，δ/n1/2為標(biāo)準誤。明白了吧，用統(tǒng)計學(xué)的方法解釋起來就是這么簡單。
可是，實際使用中總體參數(shù)往往未知，多數(shù)情況下用樣本統(tǒng)計量來表示。那么，關(guān)于這兩者的區(qū)別可以這樣表述：標(biāo)準差是樣本數(shù)據(jù)方差的平方根，它衡量的是樣本數(shù)據(jù)的離散程度;標(biāo)準誤是樣本均值的標(biāo)準差，衡量的是樣本均值的離散程度。而在實際的抽樣中，習(xí)慣用樣本均值來推斷總體均值，那么樣本均值的離散程度(標(biāo)準誤)越大，抽樣誤差就越大。所以用標(biāo)準誤來衡量抽樣誤差的大小。
在此舉一個例子。比如，某學(xué)校共有500名學(xué)生，現(xiàn)在要通過抽取樣本量為30的一個樣本，來推斷學(xué)生的數(shù)學(xué)成績。這時可以依據(jù)抽取的樣本信息，計算出樣本的均值與標(biāo)準差。如果我們抽取的不是一個樣本，而是10個樣本，每個樣本30人，那么每個樣本都可以計算出均值，這樣就會有10個均值。也就是形成了一個10個數(shù)字的數(shù)列，然后計算這10個數(shù)字的標(biāo)準差，此時的標(biāo)準差就是標(biāo)準誤。但是，在實際抽樣中我們不可能抽取10個樣本。所以，標(biāo)準誤就由樣本標(biāo)準差除以樣本量來表示。當(dāng)然，這樣的結(jié)論也不是隨心所欲，而是經(jīng)過了統(tǒng)計學(xué)家的嚴密證明的。
在實際的應(yīng)用中，標(biāo)準差主要有兩點作用，一是用來對樣本進行標(biāo)準化處理，即樣本觀察值減去樣本均值，然后除以標(biāo)準差，這樣就變成了標(biāo)準正態(tài)分布;而是通過標(biāo)準差來確定異常值，常用的方法就是樣本均值加減n倍的標(biāo)準差。標(biāo)準誤的作用主要是用來做區(qū)間估計，常用的估計區(qū)間是均值加減n倍的標(biāo)準誤。
標(biāo)準偏差反映的是個體觀察值的變異，標(biāo)準誤反映的是樣本均數(shù)之間的變異(即樣本均數(shù)的標(biāo)準差，是描述均數(shù)抽樣分布的離散程度及衡量均數(shù)抽樣誤差大小的尺度)，標(biāo)準誤不是標(biāo)準差，是樣本平均數(shù)的標(biāo)準差。 標(biāo)準誤用來衡量抽樣誤差。標(biāo)準誤越小，表明樣本統(tǒng)計量與總體參數(shù)的值越接近，樣本對總體越有代表性，用樣本統(tǒng)計量推斷總體參數(shù)的可靠度越大。因此，標(biāo)準誤是統(tǒng)計推斷可靠性的指標(biāo)。
在相同測量條件下進行的測量稱為等精度測量，例如在同樣的條件下，用同一個游標(biāo)卡尺測量銅棒的直徑若干次，這就是等精度測量。對于等精度測量來說，還有一種更好的表示誤差的方法，就是標(biāo)準誤差。
標(biāo)準誤差定義
標(biāo)準誤差定義為各測量值誤差的平方和的平均值的平方根，故又稱為均方誤差。
設(shè)n個測量值的誤差為ε1、ε2……εn，則這組測量值的標(biāo)準誤差ζ等于：
(此處為一公式，顯示不出來，你看下文字就可以知道這個公式是什么樣的。)
由于被測量的真值是未知數(shù)，各測量值的誤差也都不知道，因此不能按上式求得標(biāo)準誤差。測量時能夠得到的是算術(shù)平均值()，它最接近真值(N)，而且也容易算出測量值和算術(shù)平均值之差，稱為殘差(記為v)。理論分析表明①可以用殘差v表示有限次(n次)觀測中的某一次測量結(jié)果的標(biāo)準誤差ζ，其計算公式為
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對于一組等精度測量(n次測量)數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值，其誤差應(yīng)該更小些。理論分析表明，它的算術(shù)平均值的標(biāo)準誤差。有的書中或計算器上用符號s表示)與一次測量值的標(biāo)準誤差ζ之間的關(guān)系是
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標(biāo)準誤差
需要注意的是，標(biāo)準誤差不是測量值的實際誤差，也不是誤差范圍，它只是對一組測量數(shù)據(jù)可靠性的估計。標(biāo)準誤差小，測量的可靠性大一些，反之，測量就不大可靠。進一步的分析表明，根據(jù)偶然誤差的高斯理論，當(dāng)一組測量值的標(biāo)準誤差為ζ時，則其中的任何一個測量值的誤差εi有68.3%的可能性是在(-ζ，+ζ)區(qū)間內(nèi)。
世界上多數(shù)國家的物理實驗和正式的科學(xué)實驗報告都是用標(biāo)準誤差評價數(shù)據(jù)的，現(xiàn)在稍好一些的計算器都有計算標(biāo)準誤差的功能，因此，了解標(biāo)準誤差是必要的。
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