勾股定理，我們?cè)诟咧械臅r(shí)候?qū)W習(xí)過(guò)，它在中國(guó)的九章算術(shù)上也有記載，相信大家不會(huì)陌生。下面是學(xué)習(xí)啦小編給大家整理的勾股定理，供大家參閱!

　　勾股定理定義

　　在平面上的一個(gè)直角三角形中，兩個(gè)直角邊邊長(zhǎng)的平方加起來(lái)等于斜邊長(zhǎng)的平方。如果設(shè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)度分別是a和b，斜邊長(zhǎng)度是c，那么可以用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)：

　　勾股定理是余弦定理中的一個(gè)特例。

　　勾股定理是一個(gè)基本的幾何定理，指直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。中國(guó)古代稱(chēng)直角三角形為勾股形，并且直角邊中較小者為勾，另一長(zhǎng)直角邊為股，斜邊為弦，所以稱(chēng)這個(gè)定理為勾股定理，也有人稱(chēng)商高定理。

　　勾股定理現(xiàn)約有500種證明方法，是數(shù)學(xué)定理中證明方法最多的定理之一。勾股定理是人類(lèi)早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，用代數(shù)思想解決幾何問(wèn)題的最重要的工具之一，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一。在中國(guó)，商朝時(shí)期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的特例。在西方，最早提出并證明此定理的為公元前6世紀(jì)古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，他用演繹法證明了直角三角形斜邊平方等于兩直角邊平方之和。

　　勾股定理意義

　　1.勾股定理的證明是論證幾何的發(fā)端;

　　2.勾股定理是歷史上第一個(gè)把數(shù)與形聯(lián)系起來(lái)的定理，即它是第一個(gè)把幾何與代數(shù)聯(lián)系起來(lái)的定理;

　　3.勾股定理導(dǎo)致了無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，引起第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，大大加深了人們對(duì)數(shù)的理解;

　　4.勾股定理是歷史上第—個(gè)給出了完全解答的不定方程，它引出了費(fèi)馬大定理;

　　5.勾股定理是歐氏幾何的基礎(chǔ)定理，并有巨大的實(shí)用價(jià)值.這條定理不僅在幾何學(xué)中是一顆光彩奪目的明珠，被譽(yù)為“幾何學(xué)的基石”，而且在高等數(shù)學(xué)和其他科學(xué)領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用.1971年5月15日，尼加拉瓜發(fā)行了一套題為“改變世界面貌的十個(gè)數(shù)學(xué)公式”郵票，這十個(gè)數(shù)學(xué)公式由著名數(shù)學(xué)家選出的，勾股定理是其中之首。

　　勾股定理推廣

　　勾股數(shù)組

　　勾股數(shù)組是滿(mǎn)足勾股定理　的正整數(shù)組，其中的稱(chēng)為勾股數(shù)。例如就是一組勾股數(shù)組。

　　任意一組勾股數(shù)可以表示為如下形式：　，，，其中　均為正整數(shù)，且。

　　定理用途

　　已知直角三角形兩邊求解第三邊，或者已知三角形的三邊長(zhǎng)度，證明該三角形為直角三角形或用來(lái)證明該三角形內(nèi)兩邊垂直。利用勾股定理求線段長(zhǎng)度這是勾股定理的最基本運(yùn)用。

　　勾股定理推導(dǎo)

　　青朱出入圖

　　青朱出入圖，是東漢末年數(shù)學(xué)家劉徽根據(jù)“割補(bǔ)術(shù)”運(yùn)用數(shù)形關(guān)系證明勾股定理的幾何證明法，特色鮮明、通俗易懂。

　　劉徽描述此圖，“勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補(bǔ)，各從其類(lèi)，因就其余不動(dòng)也，合成弦方之冪。開(kāi)方除之，即弦也。”其大意為，一個(gè)任意直角三角形，以勾寬作紅色正方形即朱方，以股長(zhǎng)作青色正方形即青方。將朱方、青方兩個(gè)正方形對(duì)齊底邊排列，再以盈補(bǔ)虛，分割線內(nèi)不動(dòng)，線外則“各從其類(lèi)”，以合成弦的正方形即弦方，弦方開(kāi)方即為弦長(zhǎng)。

　　歐幾里得證法

　　在歐幾里得的《幾何原本》一書(shū)中給出勾股定理的以下證明。設(shè)△ABC為一直角三角形，其中A為直角。從A點(diǎn)劃一直線至對(duì)邊，使其垂直于對(duì)邊。延長(zhǎng)此線把對(duì)邊上的正方形一分為二，其面積分別與其余兩個(gè)正方形相等。

　　在這個(gè)定理的證明中，我們需要如下四個(gè)輔助定理：

　　如果兩個(gè)三角形有兩組對(duì)應(yīng)邊和這兩組邊所夾的角相等，則兩三角形全等。(SAS)

　　三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半。

　　任意一個(gè)正方形的面積等于其二邊長(zhǎng)的乘積。

　　任意一個(gè)矩形的面積等于其二邊長(zhǎng)的乘積(據(jù)輔助定理3)。

　　證明的思路為：從A點(diǎn)劃一直線至對(duì)邊，使其垂直于對(duì)邊。延長(zhǎng)此線把對(duì)邊上的正方形一分為二，把上方的兩個(gè)正方形，通過(guò)等高同底的三角形，以其面積關(guān)系，轉(zhuǎn)換成下方兩個(gè)同等面積的長(zhǎng)方形。

　　設(shè)△ABC為一直角三角形，其直角為∠CAB。

　　其邊為BC、AB和CA，依序繪成四方形CBDE、BAGF和ACIH。

　　畫(huà)出過(guò)點(diǎn)A之BD、CE的平行線，分別垂直BC和DE于K、L。

　　分別連接CF、AD，形成△BCF、△BDA。

　　∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A和G共線，同理可證B、A和H共線。

　　∠CBD和∠FBA都是直角，所以∠ABD=∠FBC。

　　因?yàn)锳B=FB，BD=BC，所以△ABD≌△FBC。

　　因?yàn)锳與K和L在同一直線上，所以四邊形BDLK=2△ABD。

　　因?yàn)镃、A和G在同一直線上，所以正方形BAGF=2△FBC。

　　因此四邊形BDLK=BAGF=AB²。

　　同理可證，四邊形CKLE=ACIH=AC²。

　　把這兩個(gè)結(jié)果相加，AB²+AC²=BD×BK+KL×KC

　　由于BD=KL，BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC

　　由于CBDE是個(gè)正方形，因此AB²+AC²=BC²，即a²+b²=c²。

　　此證明是于歐幾里得《幾何原本》一書(shū)第1.47節(jié)所提出的。

　　由于這個(gè)定理的證明依賴(lài)于平行公理，而且從這個(gè)定理可以推出平行公理，很多人質(zhì)疑平行公理是這個(gè)定理的必要條件，一直到十九世紀(jì)嘗試否定第五公理的非歐幾何出現(xiàn)。

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