2017湖北中考數(shù)學(xué)練習(xí)試題及答案(2)
2017湖北中考數(shù)學(xué)練習(xí)考題答案
一、選擇題(本題共20個(gè)小題，每小題3分，共60分)
1.計(jì)算(﹣π)0÷(﹣ )﹣2的結(jié)果是( )
A.﹣ B.0 C.6 D.
【考點(diǎn)】負(fù)整數(shù)指數(shù)冪;零指數(shù)冪.
【分析】根據(jù)零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，可得答案.
【解答】解：原式=1÷9= ，
故選：C.
2.下列計(jì)算正確的是( )
A.2+a=2a B.2a﹣3a=﹣1 C.(﹣a)2•a3=a5 D.8ab÷4ab=2ab
【考點(diǎn)】?jī)绲某朔脚c積的乘方;合并同類項(xiàng);同底數(shù)冪的乘法.
【分析】分別利用合并同類項(xiàng)法則以及同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算法則以及單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則進(jìn)而判斷即可.
【解答】解：A、2+a無法計(jì)算，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不合題意;
B、2a﹣3a=﹣a，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不合題意;
C、(﹣a)2•a3=a5，正確，符合題意;
D、8ab÷4ab=2，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不合題意;
故選：C.
3.下列圖形：任取一個(gè)既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的概率是( )
A. B. C. D.1
【考點(diǎn)】概率公式;軸對(duì)稱圖形;中心對(duì)稱圖形.
【分析】用既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形的個(gè)數(shù)除以圖形的總個(gè)數(shù)即可求得概率;
【解答】解：∵四個(gè)圖形中既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形的是第二個(gè)和第四個(gè)，
∴從中任取一個(gè)圖形既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的概率為 = ，
故選B.
4.化簡(jiǎn)x÷ • 的結(jié)果為( )
A. B. C.xy D.1
【考點(diǎn)】分式的乘除法.
【分析】原式利用除法法則變形，約分即可得到結(jié)果.
【解答】解：原式=x• • = ，
故選B
5.某種細(xì)菌直徑約為0.00000067mm，若將0.000 000 67mm用科學(xué)記數(shù)法表示為6.7×10nmm(n為負(fù)整數(shù))，則n的值為( )
A.﹣5 B.﹣6 C.﹣7 D.﹣8
【考點(diǎn)】科學(xué)記數(shù)法—表示較小的數(shù).
【分析】絕對(duì)值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為a×10﹣n，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定.
【解答】解：∵0.000 000 67mm=6.7×10﹣7mm=6.7×10nmm，
∴n=﹣7.
故選：C.
6.，已知該圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為120°、半徑長為6，圓錐的高與母線的夾角為α，則( )
A.圓錐的底面半徑為3 B.tanα=
C.圓錐的表面積為12π D.該圓錐的主視圖的面積為8
【考點(diǎn)】圓錐的計(jì)算.
【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖的弧長=2πr= ，求出r以及圓錐的高h(yuǎn)即可解決問題.
【解答】解：設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h.
由題意：2πr= ，解得r=2，h= =4 ，
所以tanα= = ，圓錐的主視圖的面積= ×4×4 =8 ，表面積=4π+π×2×6=16π.
∴選項(xiàng)A、B、C錯(cuò)誤，D正確.
故選D.
7.，在平行四邊形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，E是OD的中點(diǎn)，連接AE并延長交DC于點(diǎn)F，則DF：FC=( )
A.1：4 B.1：3 C.1：2 D.1：1
【考點(diǎn)】平行線分線段成比例;平行四邊形的性質(zhì).
【分析】首先證明△DFE∽△BAE，然后利用對(duì)應(yīng)邊成比例，E為OD的中點(diǎn)，求出DF：AB的值，又知AB=DC，即可得出DF：FC的值.
【解答】解：在平行四邊形ABCD中，AB∥DC，
則△DFE∽△BAE，
∴ ，
∵O為對(duì)角線的交點(diǎn)，
∴DO=BO，
又∵E為OD的中點(diǎn)，
∴DE= DB，
則DE：EB=1：3，
∴DF：AB=1：3，
∵DC=AB，
∴DF：DC=1：3，
∴DF：FC=1：2;
故選：C.
8.，數(shù)軸上的A，B，C三點(diǎn)所表示的數(shù)是分別是a、b、c，其中AB=BC，如果|a|>|b|>|c|，那么該數(shù)軸的原點(diǎn)O的位置應(yīng)該在( )
A.點(diǎn)A的左邊
B.點(diǎn)A與點(diǎn)B之間
C.點(diǎn)B與點(diǎn)C之間
D.點(diǎn)B與點(diǎn)C之間(靠近點(diǎn)C)或點(diǎn)C的右邊
【考點(diǎn)】數(shù)軸.
【分析】根據(jù)絕對(duì)值是數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，分別判斷出點(diǎn)A、B、C到原點(diǎn)的距離的大小，從而得到原點(diǎn)的位置，即可得解.
【解答】解：∵|a|>|b|>|c|，
∴點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離最大，點(diǎn)B其次，點(diǎn)C最小，
又∵AB=BC，
∴在點(diǎn)B與點(diǎn)C之間，且靠近點(diǎn)C的地方.
故選：D.
9.若5k+20<0，則關(guān)于x的一元二次方程x2+4x﹣k=0的根的情況是( )
A.沒有實(shí)數(shù)根 B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 D.無法判斷
【考點(diǎn)】根的判別式.
【分析】根據(jù)已知不等式求出k的范圍，進(jìn)而判斷出根的判別式的值的正負(fù)，即可得到方程解的情況.
【解答】解：∵5k+20<0，即k<﹣4，
∴△=16+4k<0，
則方程沒有實(shí)數(shù)根.
故選：A.
10.在我縣中學(xué)生春季田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)上，參加男子跳高的16名運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)?nèi)缦卤硭荆?/p>
成績(jī)(m) 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80
人數(shù) 1 3 3 4 3 2
這些運(yùn)動(dòng)員跳高成績(jī)的中位數(shù)和眾數(shù)分別是( )
A.1.70，1.65 B.1.70，1.70 C.1.65，1.70 D.3，3
【考點(diǎn)】眾數(shù);中位數(shù).
【分析】根據(jù)眾數(shù)及中位數(shù)的定義，結(jié)合表格數(shù)據(jù)進(jìn)行判斷即可.
【解答】解：第8和第9位同學(xué)的成績(jī)是1.70，1.70，故中位數(shù)是1.70;
數(shù)據(jù)1.70出現(xiàn)的次數(shù)最多，故眾數(shù)是1.70.
故選B.
11.，半圓O的直徑AB=10cm，弦AC=6cm，AD平分∠BAC，則AD的長為( )
A. cm B. cm C. cm D.4cm
【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系;全等三角形的判定與性質(zhì);勾股定理.
【分析】連接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，運(yùn)用圓周角定理，可證得∠DOB=∠OAC，即證△AOF≌△OED，所以O(shè)E=AF=3cm，根據(jù)勾股定理，得DE=4cm，在直角三角形ADE中，根據(jù)勾股定理，可求AD的長.
【解答】解：連接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∵∠CAD=∠BAD(角平分線的性質(zhì))，
∴ = ，
∴∠DOB=∠OAC=2∠BAD，
∴△AOF≌△ODE，
∴OE=AF= AC=3(cm)，
在Rt△DOE中，DE= =4(cm)，
在Rt△ADE中，AD= =4 (cm).
故選：A.
12.一次函數(shù)y=ax+b(a≠0)、二次函數(shù)y=ax2+bx和反比例函數(shù)y= (k≠0)在同一直角坐標(biāo)系中的圖象所示，A點(diǎn)的坐標(biāo)為(﹣2，0)，則下列結(jié)論中，正確的是( )
A.b=2a+k B.a=b+k C.a>b>0 D.a>k>0
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的圖象;一次函數(shù)的圖象;反比例函數(shù)的圖象.
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象知，由一次函數(shù)圖象所在的象限可以確定a、b的符號(hào)，且直線與拋物線均經(jīng)過點(diǎn)A，所以把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入一次函數(shù)或二次函數(shù)可以求得b=2a，k的符號(hào)可以根據(jù)雙曲線所在的象限進(jìn)行判定.
【解答】解：∵根據(jù)圖示知，一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣2，0)，
∴﹣2a+b=0，
∴b=2a.
∵由圖示知，拋物線開口向上，則a>0，
∴b>0.
∵反比例函數(shù)圖象經(jīng)過第一、三象限，
∴k>0.
A、由圖示知，雙曲線位于第一、三象限，則k>0，
∴2a+k>2a，即b<2a+k.
故A選項(xiàng)錯(cuò)誤;
B、∵k>0，b=2a，
∴b+k>b，
即b+k>2a，
∴a=b+k不成立.
故B選項(xiàng)錯(cuò)誤;
C、∵a>0，b=2a，
∴b>a>0.
故C選項(xiàng)錯(cuò)誤;
D、觀察二次函數(shù)y=ax2+bx和反比例函數(shù)y= (k≠0)圖象知，當(dāng)x=﹣ =﹣ =﹣1時(shí)，y=﹣k>﹣ =﹣ =﹣a，即k
∵a>0，k>0，
∴a>k>0.
故D選項(xiàng)正確;
故選：D.
13.甲計(jì)劃用若干個(gè)工作日完成某項(xiàng)工作，從第二個(gè)工作日起，乙加入此項(xiàng)工作，且甲、乙兩人工效相同，結(jié)果提前3天完成任務(wù)，則甲計(jì)劃完成此項(xiàng)工作的天數(shù)是( )
A.8 B.7 C.6 D.5
【考點(diǎn)】一元一次方程的應(yīng)用.
【分析】設(shè)甲計(jì)劃完成此項(xiàng)工作的天數(shù)為x，根據(jù)甲先干一天后甲乙合作完成比甲單獨(dú)完成提前3天即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論.
【解答】解：設(shè)甲計(jì)劃完成此項(xiàng)工作的天數(shù)為x，
根據(jù)題意得：x﹣(1+ )=3，
解得：x=7.
故選B.
14.不等式組 的最小整數(shù)解為( )
A.﹣1 B.0 C.1 D.2
【考點(diǎn)】一元一次不等式組的整數(shù)解.
【分析】先求出不等式組的解集，再求其最小整數(shù)解即可.
【解答】解：不等式組解集為﹣1
其中整數(shù)解為0，1，2.
故最小整數(shù)解是0.
故選B.
15.在﹣1，0，1，2，3這五個(gè)數(shù)中任取兩數(shù)m，n，則二次函數(shù)y=﹣(x+m)2﹣n的頂點(diǎn)在x軸上的概率為( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法;二次函數(shù)的性質(zhì).
【分析】畫樹狀圖展示所有20種等可能的結(jié)果數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)找出二次函數(shù)y=﹣(x+m)2﹣n的頂點(diǎn)在x軸上的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解.
【解答】解：畫樹狀圖為：
共有20種等可能的結(jié)果數(shù)，其中二次函數(shù)y=﹣(x+m)2﹣n的頂點(diǎn)在x軸上的結(jié)果數(shù)為4，
所以二次函數(shù)y=﹣(x+m)2﹣n的頂點(diǎn)在x軸上的概率= = .
故選A.
16.河堤橫斷面所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比為1： ，則AB的長為( )
A.12米 B.4 米 C.5 米 D.6 米
【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題.
【分析】根據(jù)迎水坡AB的坡比為1： ，可得 =1： ，即可求得AC的長度，然后根據(jù)勾股定理求得AB的長度.
【解答】解：Rt△ABC中，BC=6米， =1： ，
∴AC=BC× =6 ，
∴AB= = =12.
故選A.
17.，⊙O的半徑OD⊥弦AB于點(diǎn)C，連結(jié)AO并延長交⊙O于點(diǎn)E，連結(jié)EC.若AB=8，CD=2，則EC的長為( )
A.2 B.8 C.2 D.2
【考點(diǎn)】垂徑定理;勾股定理;圓周角定理.
【分析】先根據(jù)垂徑定理求出AC的長，設(shè)⊙O的半徑為r，則OC=r﹣2，由勾股定理即可得出r的值，故可得出AE的長，連接BE，由圓周角定理可知∠ABE=90°，在Rt△BCE中，根據(jù)勾股定理即可求出CE的長.
【解答】解：∵⊙O的半徑OD⊥弦AB于點(diǎn)C，AB=8，
∴AC= AB=4，
設(shè)⊙O的半徑為r，則OC=r﹣2，
在Rt△AOC中，
∵AC=4，OC=r﹣2，
∴OA2=AC2+OC2，即r2=42+(r﹣2)2，解得r=5，
∴AE=2r=10，
連接BE，
∵AE是⊙O的直徑，
∴∠ABE=90°，
在Rt△ABE中，
∵AE=10，AB=8，
∴BE= = =6，
在Rt△BCE中，
∵BE=6，BC=4，
∴CE= = =2 .
故選：D.
18.，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一點(diǎn)，將Rt△ABC沿CD折疊，使B點(diǎn)落在AC邊上的B′處，則∠CDB′等于( )
A.40° B.60° C.70° D.80°
【考點(diǎn)】翻折變換(折疊問題).
【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC的度數(shù)，再由翻折變換的性質(zhì)得出△BCD≌△B′CD，據(jù)此可得出結(jié)論.
【解答】解：∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，
∴∠ABC=90°﹣25°=65°.
∵△B′CD由△BCD翻折而成，
∴∠BCD=∠B′CD= ×90°=45°，∠CB′D=∠CBD=65°，
∴∠CDB′=180°﹣45°﹣65°=70°.
故選C.
19.某商品的標(biāo)價(jià)比成本價(jià)高m%，根據(jù)市場(chǎng)需要，該商品需降價(jià)n%出售，為了不虧本，n應(yīng)滿足( )
A.n≤m B.n≤ C.n≤ D.n≤
【考點(diǎn)】一元一次不等式的應(yīng)用.
【分析】根據(jù)最大的降價(jià)率即是保證售價(jià)大于等于成本價(jià)，進(jìn)而得出不等式即可.
【解答】解：設(shè)成本為a元，由題意可得：a(1+m%)(1﹣n%)﹣a≥0，
則(1+m%)(1﹣n%)﹣1≥0，
去括號(hào)得：1﹣n%+m%﹣ ﹣1≥0，
整理得：100n+mn≤100m，
故n≤ .
故選：B.
20.，菱形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AC=6，BD=8，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿著B﹣A﹣D在菱形ABCD的邊上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D停止，點(diǎn)P′是點(diǎn)P關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)，PP′交BD于點(diǎn)M，若BM=x，△OPP′的面積為y，則y與x之間的函數(shù)圖象大致為( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象.
【分析】由菱形的性質(zhì)得出AB=BC=CD=DA，OA= AC=3，OB= BD=4，AC⊥BD，分兩種情況：
①當(dāng)BM≤4時(shí)，先證明△P′BP∽△CBA，得出比例式 ，求出PP′，得出△OPP′的面積y是關(guān)于x的二次函數(shù)，即可得出圖象的情形;
?、诋?dāng)BM≥4時(shí)，y與x之間的函數(shù)圖象的形狀與①中的相同;即可得出結(jié)論.
【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，OA= AC=3，OB= BD=4，AC⊥BD，
?、佼?dāng)BM≤4時(shí)，
∵點(diǎn)P′與點(diǎn)P關(guān)于BD對(duì)稱，
∴P′P⊥BD，
∴P′P∥AC，
∴△P′BP∽△CBA，
∴ ，即 ，
∴PP′= x，
∵OM=4﹣x，
∴△OPP′的面積y= PP′•OM= × x(4﹣x)=﹣ x2+3x;
∴y與x之間的函數(shù)圖象是拋物線，開口向下，過(0，0)和(4，0);
?、诋?dāng)BM≥4時(shí)，y與x之間的函數(shù)圖象的形狀與①中的相同，過(4，0)和(8，0);
綜上所述：y與x之間的函數(shù)圖象大致為 .
故選：D.
二、填空題(本大題共4小題，每小題3分，共12分)
21.拋物線y=x2+mx+n可以由拋物線y=x2向下平移2個(gè)單位，再向右平移3個(gè)單位得到，則mn值為 66 .
【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換.
【分析】求得拋物線y=x2向上平移2個(gè)單位，再向左平移3個(gè)單位后函數(shù)的解析式，化成一般形式求得m和n的值，進(jìn)而求得代數(shù)式的值.
【解答】解：拋物線y=x2向上平移2個(gè)單位，再向左平移3個(gè)單位后函數(shù)的解析式是：y=(x+3)2+2.
即y=x2+6x+11，
則m=6，n=11，
則mn=66.
故答案是：66.
22.，直線l與⊙相切于點(diǎn)D，過圓心O作EF∥l交⊙O于E、F兩點(diǎn)，點(diǎn)A是⊙O上一點(diǎn)，連接AE，AF，并分別延長交直線于B、C兩點(diǎn);若⊙的半徑R=5，BD=12，則∠ACB的正切值為 .
【考點(diǎn)】切線的性質(zhì);解直角三角形.
【分析】連接OD，作EH⊥BC，，先利用圓周角定理得到∠A=90°，再利用等角的余角相等得到∠BEH=∠C，接著根據(jù)切線的性質(zhì)得到OD⊥BC，易得四邊形EHOD為正方形，則EH=OD=OE=HD=5，所以BH=7，然后根據(jù)正切的定義得到tan∠BEH= ，從而得到tan∠ACB的值.
【解答】解：連接OD，作EH⊥BC，，
∵EF為直徑，
∴∠A=90°，
∵∠B+∠C=90°，∠B+∠BEH=90°，
∴∠BEH=∠C，
∵直線l與⊙相切于點(diǎn)D，
∴OD⊥BC，
而EH⊥BC，EF∥BC，
∴四邊形EHOD為正方形，
∴EH=OD=OE=HD=5，
∴BH=BD﹣HD=7，
在Rt△BEH中，tan∠BEH= = ，
∴tan∠ACB= .
故答案為 .
23.，在菱形ABCD中，點(diǎn)M，N在AC上，ME⊥AD，NF⊥AB，若NF=NM=2，ME=3，則AN的長度為 4 .
【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì).
【分析】由△MAE∽△NAF，推出 = ，可得 = ，解方程即可解決問題.
【解答】解：設(shè)AN=x，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠MAE=∠NAF，
∵∠AEM=∠AFN=90°，
∴△MAE∽△NAF，
∴ = ，
∴ = ，
∴x=4，
∴AN=4，
故答案為4.
24.，所有正三角形的一邊平行于x軸，一頂點(diǎn)在y軸上，從內(nèi)到外，它們的邊長依次為2，4，6，8，…，頂點(diǎn)依次用A1、A2、A3、A4、…表示，其中A1A2與x軸、底邊A1A2與A4A5、A4A5與A7A8、…均相距一個(gè)單位，則A2017的坐標(biāo)是 (﹣673，﹣673) .
【考點(diǎn)】規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo).
【分析】先根據(jù)每一個(gè)三角形有三個(gè)頂點(diǎn)確定出A2017所在的三角形，再求出相應(yīng)的三角形的邊長以及A2017的縱坐標(biāo)的長度，即可得解.
【解答】解：∵2017÷3=672…1，
∴A2017是第673個(gè)等邊三角形的第1個(gè)頂點(diǎn)，
第673個(gè)等邊三角形邊長為2×673=1346，
∴點(diǎn)A2017的橫坐標(biāo)為 ×(﹣1346)=﹣673，
∵邊A1A2與A4A5、A4A5與A7A8、…均相距一個(gè)單位，
∴點(diǎn)A2017的縱坐標(biāo)為﹣673，
∴點(diǎn)A2014的坐標(biāo)為(﹣673，﹣673)，
故答案為：(﹣673，﹣673).
三、解答題(本大題共5小題，共48分)
25.，已知正比例函數(shù)y=2x和反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A(m，﹣2).
(1)求反比例函數(shù)的解析式;
(2)觀察圖象，直接寫出正比例函數(shù)值大于反比例函數(shù)值時(shí)自變量x的取值范圍;
(3)若雙曲線上點(diǎn)C(2，n)沿OA方向平移 個(gè)單位長度得到點(diǎn)B，判斷四邊形OABC的形狀并證明你的結(jié)論.2-1-c-n-j-y
【考點(diǎn)】反比例函數(shù)綜合題.
【分析】(1)設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y= (k>0)，然后根據(jù)條件求出A點(diǎn)坐標(biāo)，再求出k的值，進(jìn)而求出反比例函數(shù)的解析式;
(2)直接由圖象得出正比例函數(shù)值大于反比例函數(shù)值時(shí)自變量x的取值范圍;
(3)首先求出OA的長度，結(jié)合題意CB∥OA且CB= ，判斷出四邊形OABC是平行四邊形，再證明OA=OC即可判定出四邊形OABC的形狀.
【解答】解：(1)設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y= (k>0)，
∵A(m，﹣2)在y=2x上，
∴﹣2=2m，
∴m=﹣1，
∴A(﹣1，﹣2)，
又∵點(diǎn)A在y= 上，
∴k=2，
∴反比例函數(shù)的解析式為y= ;
(2)觀察圖象可知正比例函數(shù)值大于反比例函數(shù)值時(shí)自變量x的取值范圍為﹣11;
(3)四邊形OABC是菱形.
證明：∵A(﹣1，﹣2)，
∴OA= = ，
由題意知：CB∥OA且CB= ，
∴CB=OA，
∴四邊形OABC是平行四邊形，
∵C(2，n)在y= 上，
∴n=1，
∴C(2，1)，
OC= = ，
∴OC=OA，
∴四邊形OABC是菱形.
26.山西特產(chǎn)專賣店銷售核桃，其進(jìn)價(jià)為每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后來經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價(jià)每降低2元，則平均每天的銷售可增加20千克，若該專賣店銷售這種核桃要想平均每天獲利2240元，請(qǐng)回答：
(1)每千克核桃應(yīng)降價(jià)多少元?
(2)在平均每天獲利不變的情況下，為盡可能讓利于顧客，贏得市場(chǎng)，該店應(yīng)按原售價(jià)的幾折出售?
【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用.
【分析】(1)設(shè)每千克核桃降價(jià)x元，利用銷售量×每件利潤=2240元列出方程求解即可;
(2)為了讓利于顧客因此應(yīng)下降6元，求出此時(shí)的銷售單價(jià)即可確定幾折.
【解答】(1)解：設(shè)每千克核桃應(yīng)降價(jià)x元. …1分
根據(jù)題意，得 (60﹣x﹣40)=2240. …4分
化簡(jiǎn)，得 x2﹣10x+24=0 解得x1=4，x2=6.…6分
答：每千克核桃應(yīng)降價(jià)4元或6元. …7分
(2)解：由(1)可知每千克核桃可降價(jià)4元或6元.
因?yàn)橐M可能讓利于顧客，所以每千克核桃應(yīng)降價(jià)6元.
此時(shí)，售價(jià)為：60﹣6=54(元)， . …9分
答：該店應(yīng)按原售價(jià)的九折出售. …10分
27.已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4.點(diǎn)Q是線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)Q作AC的垂線交線段AB(1)或線段AB的延長線(2)于點(diǎn)P.
(1)當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，求證：△AQP∽△ABC;
(2)當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí)，求AP的長.
【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì);等腰三角形的性質(zhì);直角三角形斜邊上的中線;勾股定理.
【分析】(1)由兩對(duì)角相等(∠APQ=∠C，∠A=∠A)，證明△AQP∽△ABC;
(2)當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí)，有兩種情況，需要分類討論.
(I)當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，如題圖1所示.由三角形相似(△AQP∽△ABC)關(guān)系計(jì)算AP的長;
(II)當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長線上時(shí)，如題圖2所示.利用角之間的關(guān)系，證明點(diǎn)B為線段AP的中點(diǎn)，從而可以求出AP.
【解答】(1)證明：∵PQ⊥AQ，
∴∠AQP=90°=∠ABC，
在△APQ與△ABC中，
∵∠AQP=90°=∠ABC，∠A=∠A，
∴△AQP∽△ABC.
(2)解：在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，由勾股定理得：AC=5.
∵∠QPB為鈍角，
∴當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí)，
(I)當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，如題圖1所示.
∵∠QPB為鈍角，
∴當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí)，只可能是PB=PQ，
由(1)可知，△AQP∽△ABC，
∴ ，即 ，解得：PB= ，
∴AP=AB﹣PB=3﹣ = ;
(II)當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長線上時(shí)，如題圖2所示.
∵∠QBP為鈍角，
∴當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí)，只可能是PB=BQ.
∵BP=BQ，∴∠BQP=∠P，
∵∠BQP+∠AQB=90°，∠A+∠P=90°，
∴∠AQB=∠A，
∴BQ=AB，
∴AB=BP，點(diǎn)B為線段AP中點(diǎn)，
∴AP=2AB=2×3=6.
綜上所述，當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí)，AP的長為 或6.
28.，四邊形ABCD是邊長為a的正方形，點(diǎn)G，E分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點(diǎn)F.
(1)證明：∠BAE=∠FEC;
(2)證明：△AGE≌△ECF;
(3)求△AEF的面積.
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);正方形的性質(zhì).
【分析】(1)由于∠AEF是直角，則∠BAE和∠FEC同為∠AEB的余角，由此得證;
(2)根據(jù)正方形的性質(zhì)，易證得AG=EC，∠AGE=∠ECF=135°;再加上(1)得出的相等角，可由ASA判定兩個(gè)三角形全等;
(3)在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理易求得AE2;由(2)的全等三角形知：AE=EF，即△AEF是等腰Rt△，因此其面積為AE2的一半，由此得解.
【解答】(1)證明：∵∠AEF=90°，
∴∠FEC+∠AEB=90°;
在Rt△ABE中，∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠FEC;
(2)證明：∵G，E分別是正方形ABCD的邊AB，BC的中點(diǎn)，
∴AG=GB=BE=EC，且∠AGE=180°﹣45°=135°;
又∵CF是∠DCH的平分線，
∴∠DCF=∠FCH=45°，
∠ECF=90°+45°=135°;
在△AGE和△ECF中， ;
∴△AGE≌△ECF;
(3)解：由△AGE≌△ECF，得AE=EF;
又∵∠AEF=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形;
∵AB=a，E為BC中點(diǎn)，
∴BE= BC= AB= a，
根據(jù)勾股定理得：AE= = a，
∴S△AEF= a2.
29.已知：一次函數(shù)y= x+1的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B;二次函數(shù)y= x2+bx+c的圖象與一次函數(shù)y= x+1的圖象交于B、C兩點(diǎn)，與x軸交于D、E兩點(diǎn)且D點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0).
(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)求四邊形BDEC的面積S;
(3)在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得△PBC是以P為直角頂點(diǎn)的直角三角形?若存在，求出所有的點(diǎn)P，若不存在，請(qǐng)說明理由.
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題.
【分析】(1)根據(jù)直線BC的解析式，可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，由于B、D都在拋物線的圖象上，那么它們都滿足該拋物線的解析式，通過聯(lián)立方程組即可求得待定系數(shù)的值.
(2)根據(jù)拋物線的解析式，可求得E點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立直線BC的解析式，可求得C點(diǎn)坐標(biāo);那么四邊形BDEC的面積即可由△AEC、△ABD的面積差求得.
(3)假設(shè)存在符合條件的P點(diǎn)，連接BP、CP，過C作CF⊥x軸于F，若∠BPC=90°，則△BPO∽△CPF，可設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，分別表示出OP、PF的長，根據(jù)相似三角形所得比例線段即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo).
【解答】解：(1)將B(0，1)，D(1，0)的坐標(biāo)代入y= x2+bx+c，
得： ，
得解析式y(tǒng)= x2﹣ x+1.
(2)設(shè)C(x0，y0)(x0≠0，y0≠0)，
則有
解得 ，
∴C(4，3)
由圖可知：S四邊形BDEC=S△ACE﹣S△ABD，又由對(duì)稱軸為x= 可知E(2，0)，
∴S= AE•y0﹣ AD×OB= ×4×3﹣ ×3×1= .
(3)設(shè)符合條件的點(diǎn)P存在，令P(a，0)：
當(dāng)P為直角頂點(diǎn)時(shí)，：過C作CF⊥x軸于F;
∵∠BPO+∠OBP=90°，∠BPO+∠CPF=90°，
∴∠OBP=∠FPC，
∴Rt△BOP∽R(shí)t△PFC，
∴ ，
即 ，
整理得a2﹣4a+3=0，
解得a=1或a=3;
∴所求的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，0)或(3，0)，
綜上所述：滿足條件的點(diǎn)P共有2個(gè).
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