摘要：培養(yǎng)和提高中學生的數(shù)學應用意識，是中學數(shù)學教育教學的迫切要求。本文對高
中數(shù)學應用問題的教學進行了探討。
關(guān)鍵詞：數(shù)學應用問題；數(shù)學應用意識；學生
作者簡介：文興奎，任教于甘肅臨洮二中。
培養(yǎng)和提高中學生的數(shù)學應用意識，是中學數(shù)學教育教學的迫切要求，在中學數(shù)學教學過程的始終都應注重學生應用意識的培養(yǎng)。近年來高考中，對應用問題的考查逐年增大了。
一、高中數(shù)學教材中的應用問題
1.每一章的序言都編排了一個現(xiàn)實中的應用問題，引入該章的知識內(nèi)容，以突出知識的實際背景。如在第三章《數(shù)列》以趣味話題：“國王對國際象棋棋盤發(fā)明者獎勵的麥粒數(shù) ”的計算作為章頭序言，激發(fā)學習欲望，增加教材內(nèi)容的趣味性。
在教材的編排上，既用通俗易懂的語言陳述問題，又附以插圖增強直觀形象性、趣味性。
2.在研究“具體問題”時以實際例子引入課題
高中數(shù)學的十章內(nèi)容中，分別就概念引入、實例說明、數(shù)學表示等方面有三十一處都恰當?shù)剡\用了實際問題和具體情景。如用“不同重量信件的郵資問題”表示分段函數(shù)，用功和位移的關(guān)系引入向量數(shù)量積的概念等。實例引入增強了問題的實際背景，為順利解決問題作了鋪墊。
3.例題中的應用問題
例題中安排應用問題，一方面可以培養(yǎng)學生閱讀能力、分析問題、解決問題的能力，培養(yǎng)學生的應用意識，而且通過范例講解，使學生掌握解決應用問題的一般思想和方法。新教材的十章內(nèi)容中共有 41 個例題是涉及數(shù)學應用的，占例題總數(shù)的14.6%，它們都非常接近學生的生活實際和所學知識，難易適中，示范性強。
4.練習、習題、復習題中增加了應用問題的分量
為使學生鞏固所學知識，逐步提高分析問題、解決問題的能力，新教材在練習題、習題、復習題中增加了大量的應用問題，其中練習題有45題，占總數(shù)的12.4%；習題有 105題，占總數(shù)的18.15%；復習題有50題，占總數(shù)的14.91%。分別涉及增長率、行程問題、物理、化學、生物問題、儲蓄等各個方面，量大面寬，情景新穎，融知識性、趣味性、自主實踐性于一體。
二、高中數(shù)學應用題問題的教學實踐
高中學生年齡一般在15~17周歲，他們認識過程的各種心理成份雖已接近成人的水平，但智力活動帶有明顯的隨意性，其抽象思維從“經(jīng)驗型”向“理論型”急劇轉(zhuǎn)化，能夠逐步擺脫具體形象和直接經(jīng)驗的限制，借助于概念進行合乎邏輯的抽象思維活動，開始在教師幫助下獨立地搜集事實材料，進行分析綜合，抽象概括事物的本質(zhì)屬性。因此，應結(jié)合學生的心理特點和思維規(guī)律進行應用問題的教學。
1.重視基本方法和基本解題思想的滲透與訓練
為培養(yǎng)學生的應用意識，提高學生分析問題、解決問題的能力，教學中首先應結(jié)合具體問題，教給學生解答應用題的基本方法、步驟和建模過程、建模思想。
教學應用題的常規(guī)思路是：將實際問題抽象、概括、轉(zhuǎn)化——數(shù)學問題——解決數(shù)學問題——回答實際問題。具體可按以下程序進行：
(1)審題：由于數(shù)學應用的廣泛性及實際問題非數(shù)學情景的多樣性，往往需要在陌生的情景中去理解、分析給出的問題，舍棄與數(shù)學無關(guān)的因素，抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系。為此，引導學生從粗讀到細研，冷靜、縝密地閱讀題目，明確問題中所含的量及相關(guān)量的數(shù)學關(guān)系。對學生生疏情景、名詞、概念作必要的解釋和提示，以幫助學生將實際問題數(shù)學化。
(2)建模：明白題意后，再進一步引導學生分析題目中各量的特點，哪些是已知的，哪些是未知的。是否可用字母或字母的代數(shù)式表示，它們之間存在著怎樣的聯(lián)系？將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學語言或圖形語言，找到與此相聯(lián)系的數(shù)學知識，建成數(shù)學模型。
(3)求解數(shù)學問題，得出數(shù)學結(jié)論
(4)還原：將得到的結(jié)論，根據(jù)實際意義適當增刪，還原為實際問題。
例：某城市現(xiàn)有人口總數(shù)100萬人，如果年自然增長率為1.2%，寫出該城市人口總數(shù)y(人)與年份x(年)的函數(shù)關(guān)系式：
這是一道人口增長率問題，教學時為幫助學生審題，筆者在指導學生閱讀題時提出以下要求：
(1)粗讀，題目中涉及到哪些關(guān)鍵語句，哪些有用信息？解釋“年自然增長率”的詞義，指出：城市現(xiàn)有人口、年份、增長率，城市變化后的人口數(shù)等關(guān)鍵量。
(2)細想，問題中各量哪些是已知的，哪些是未知的，存在怎樣的關(guān)系？
(3)建模，啟發(fā)學生分析這道題與學過的、見過的哪些問題有聯(lián)系，它們是如何解決的？對此有何幫助？
學生討論后，從特殊的1年、2年……抽象歸納，尋找規(guī)律，探討x年的城市總?cè)丝趩栴}：y=100(1+1.2%)x
2.引導學生將應用問題進行歸類
為了增強學生的建模能力，在應用問題的教學中，及時結(jié)合所學章節(jié)，引導學生將應用問題進行歸類使學生掌握熟悉的實際原型，發(fā)揮“定勢思維”的積極作用，可順利解決數(shù)學建模的困難，如將高中的應用題歸為：①增長率(或減少率)問題；②行程問題；③合力的問題；④排列組合問題；⑤最值問題；⑥概率問題等。這樣，學生遇到應用問題時，針對問題情景，就可以通過類比尋找記憶中與題目相類似的實際事件，利用聯(lián)想建立數(shù)學模型。
3.針對不同內(nèi)容采取不同教法
高中新教材的數(shù)學應用問題遍及教材的各個方面，教學時針對不同內(nèi)容，有的放矢，各有側(cè)重，就會取得較好的效果。
(1)章頭序言，指導閱讀，留下懸念
對圖文并茂的章頭序言，由教師簡單提出或由學生閱讀，使學生稍作碰壁，留下解題懸念，增強解決問題的欲望。
(2)重視例題的示范作用
例題是連接理論知識與問題之間的橋梁，示范性強。因此在講解例題時應在分析題目各個量的特點關(guān)系、建模、解決數(shù)學問題、還原為實際問題諸環(huán)節(jié)都應很好地起示范作用，教師應重視例題的分析與講解，積極進行啟發(fā)式教學，培養(yǎng)學生分析問題、解決問題、尋求基本實際模型的能力，重視數(shù)學理論知識與實際應用的聯(lián)系。
(3)指導練習，鞏固方法
充分運用課本的練習題、習題、復習題，讓學生自己動手、動腦，運用所學的知識解決實際問題。練習題位于具體的理論知識后面，建模方向性強，教師只需稍作指導；而習題則更多利用教師批改作業(yè)的機會，主要糾正數(shù)學語言轉(zhuǎn)化過程及解題的規(guī)范過程；復習題由于綜合性強，學生解決有困難，教師要給予必要的指導、提示。
(4)課外閱讀，補充提高
對于不作教學要求的閱讀材料，根據(jù)教學進度提出閱讀要求，布置學生進行課外閱讀，培養(yǎng)學生的閱讀能力，擴大知識面，激發(fā)學生的學習興趣。
(5)研究性課題，重視自主探究
“研究性課題”是新教材中的一個專題性欄目，具有探究性和應用性的特點，它既是所學內(nèi)容的實際綜合應用，又對學生探究和解決問題具有較好的訓練價值。
總之，在數(shù)學應用問題的教學和對學生學習的指導中，應重視介紹數(shù)學知識的來龍去脈。
一般情況下，數(shù)學知識的產(chǎn)生不外乎實際的需要和數(shù)學內(nèi)部的需要，高中階段所學的知識大都是來源于實際生活，許多數(shù)學知識都有具體直接的應用，如高二運用不等式的性質(zhì)計算最值、線性規(guī)劃，高三的概率統(tǒng)計等，應該讓學生充分實踐和體驗這些知識是如何使用的，在此基礎上讓學生感受和體驗數(shù)學的應用價值。
其次，學會運用數(shù)學語言描述周圍世界中出現(xiàn)的數(shù)學現(xiàn)象
數(shù)學語言可以清楚、簡潔、準確地描述日常生活中的許多現(xiàn)象，讓學生養(yǎng)成樂意運用數(shù)學語言進行交流的習慣，既可以增強學生應用數(shù)學的意識，也可以提高學生運用數(shù)學的能力。在教學中，需幫助學生形成一個開闊的視野，了解數(shù)學對于人類發(fā)展的應用價值。在知識實踐、能力培養(yǎng)的基礎上，教師應主動地向?qū)W生展示現(xiàn)實生活中的數(shù)學信息和數(shù)學的廣泛應用，向?qū)W生提供豐富的閱讀材料，讓學生感受到現(xiàn)實生活與數(shù)學知識是密切相關(guān)、處處聯(lián)系的。
最后，關(guān)于應用問題中的算法問題。新教材要求用科學計算器處理、計算數(shù)值，在例題、習題中給出的數(shù)據(jù)都比較復雜，筆者認為高中數(shù)學應用題的重點是數(shù)學建模，所以，正確建模，明白算法、算理應占主流，一味追求“實際”，多次出現(xiàn)一些復雜數(shù)據(jù)，會沖淡主要問題的解決。事實上，每節(jié)中只要有一兩道實際數(shù)據(jù)的題目，其他的可選擇特殊數(shù)據(jù)或干脆用字母表示，不僅可突出算理，而且會加強應用問題的分析，節(jié)省時間，體現(xiàn)字母代數(shù)的優(yōu)越性。