關(guān)于大學(xué)高數(shù)論文范文免費(fèi)
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高數(shù)是大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)的重要組成部分,并且在重要的考試中所占的比重也是非常大。下面是學(xué)習(xí)啦小編為大家整理的關(guān)于大學(xué)高數(shù)論文,供大家參考。
大學(xué)高數(shù)論文范文篇一
多元函數(shù)微分學(xué)是高等數(shù)學(xué)中的一個重點,它涉及的內(nèi)容是微積分學(xué)內(nèi)容在多元函數(shù)中的體現(xiàn),其中有關(guān)多元函數(shù)的連續(xù)性,偏導(dǎo)存在及可微性之間的關(guān)系是學(xué)生在學(xué)習(xí)中容易發(fā)生概念模糊和難以把握的一個重要知識點。
當(dāng)前,多元函數(shù)的連續(xù)性,偏導(dǎo)存在及可微性之間的關(guān)系研究方面已經(jīng)取得了一定的成果,但是,在一些學(xué)術(shù)性論文中只是對二元函數(shù)的連續(xù)性、偏導(dǎo)存在及可微性的個別關(guān)系做了具體的說明,因此,想要達(dá)到對這方面知識能做到全面的掌握對學(xué)生來說仍是一大難題。 本文通過具體實例對多元微分學(xué)中的幾個重要概念間進(jìn)行分析討論,主要研究二元函數(shù)的連續(xù)性,偏導(dǎo)存在性,可微性等概念及它們之間因果關(guān)系. 然后推廣到多元函數(shù),由此來總結(jié)有關(guān)多元函數(shù)的連續(xù)性、偏導(dǎo)存在及可微性之間的關(guān)系,并對二元函數(shù)具體的實例詳細(xì)加以證明,建立它們之間的關(guān)系圖,這樣對有效理解和掌握多遠(yuǎn)函數(shù)微分學(xué)知識將起到重要作用。
一、函數(shù)連續(xù)
一個一元函數(shù)若在某點存在左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù),則這個一元函數(shù)必在這點連續(xù).但對于二
p(x,y)f(x,y)元函數(shù)f(x,y)來說,即使它在某點000既存在關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù)x00,又存在
關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù)
域fy(x0,y0),f(x,y)也未必在p0(x0,y0)連續(xù)。甚至,在p0(x0,y0)的某鄰U(p0)存在偏導(dǎo)數(shù)fx(x,y)(或fy(x,y))f(x,y)(或fy(x,y))在點,而且x
p0(x0,y0)連續(xù),也不能保證f(x,y)在p0(x0,y0)連續(xù).如函數(shù)
21y0sinx,y
0,y0f(x,y)
關(guān)于具體驗算步驟不難得出。過,我們卻有如下的定理。
定理1 [1]設(shè)函數(shù)f(x,y)在點p0(x0,y0)的某鄰域U(p0)內(nèi)有定義,若f(x0,y)作為y的一元函數(shù)在點y=y0連續(xù),fx(x,y)在U(p0)內(nèi)有界,則f(x,y)在點p0(x0,y0)連續(xù)。
p(x,y)U(p0)有定義,fy(x,y)在U(p0)定理2 [4]設(shè)函數(shù)f(x,y)在點000的某鄰域內(nèi)有界,
f(x,y0)作為x的一元函數(shù)在點xx0連續(xù),則f(x,y)在點p0(x0,y0)連續(xù)。
定理1和定理2可推廣到更多元的情形中去。
000
f(x,x,,x)p(x,x,,x12n在點012n)的某鄰域U(p0)內(nèi)有定義, 定理 3[5] 設(shè)函數(shù)
fxi(x1,x2,xn)
U(p0)有界(i1,2,n),f(x1,xi1,xi,xi1,xn)作為
在
00
x1,xi1,xi1,xn的n-1元函數(shù)在點(x1,xi01,xi01,xn)連續(xù),則 f(x1,x2,,xn)在 000
p(x,x,,xn)連續(xù)。 點012
二、多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)
我們知道高等數(shù)學(xué)及數(shù)學(xué)分析教材中有:偏導(dǎo)數(shù)
//
fxy
////fxy(x0,y0)fyx(x0,y0)
此式成立的條件為:
和
//
fyx
在
(x0,y0)都連續(xù)。
下面給出一個更若條件下二元混合偏導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)次序無關(guān)的條件。
//////
fffp(x,y)ff(x,y)yyxyx
定理4 [6]若函數(shù)在000的某鄰域內(nèi)偏導(dǎo)數(shù)x,及存在,且//////
fxyfxy(x0,y0)fyx(x0,y0)pp00在對y連續(xù),則偏導(dǎo)數(shù)在存在,且
三、多元函數(shù)的可微性
考察函數(shù)的可微性時,如果知道偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),則函數(shù)一定可微.但是偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)性條件常常不滿足,或不易判斷。知函數(shù)在點
p0可微的必要條件是各個偏導(dǎo)數(shù)在p0處存在.如果
p函數(shù)zf(x,y)在0處的全增量可表示為:
z=A
則常數(shù)A與B一定為A=
x+B
y+()
fx(p0) B=fy(P0) 且函數(shù)在P0處可微。[7]
lim
Z
0p定理5[2] 設(shè)n元函數(shù)zf(p)在0的某個鄰域內(nèi)有定義,且極限存在,記
為
p(1) 若0,則函數(shù)zf(p)在0處不可微;
dzp
0p0
(2) 若=0,則函數(shù)在0處可微且,其中。
我們以二元函數(shù)為例證明。
定理6[3] 若n+1元函數(shù)可微(即把
f(x1,xn,y)關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù)對n+1個變量連續(xù),x,xn
關(guān)于1
f(x1,xn,y)
可微。
f(x1,xn,y)
中的y看成常數(shù)后可微),則n+1元函數(shù)
推論 若n(n≥2)元函數(shù)
f(x1,xn,)的偏導(dǎo)數(shù)存在,且至多有一個偏導(dǎo)不連續(xù),則
f(x1,xn,)可微。
1、
若函數(shù)在點P可微該函數(shù)在點P連續(xù);若函數(shù)在點P可微該函數(shù)在P點處存在偏導(dǎo)數(shù);若函數(shù)在點P可微該函數(shù)在點P處的一切方向?qū)?shù)都存在。
2、 3、
若函數(shù)在P點處連續(xù)函數(shù)在點P處存在偏導(dǎo)數(shù)。
若函數(shù)在P點處偏導(dǎo)數(shù)存在該函數(shù)在點P處的一切方向?qū)?shù)存在(僅有
/
fx這種關(guān)系:函數(shù)在點P處偏導(dǎo)數(shù)存在該函數(shù)在P處沿X軸方向的導(dǎo)數(shù)存
在),函數(shù)在P處的一切方向?qū)?shù)存在該函數(shù)在P處偏導(dǎo)存在。
4、 5、
函數(shù)在P處的一切方向?qū)?shù)都存在該函數(shù)在P處連續(xù)。 函數(shù)在P處的一切方向?qū)?shù)都存在該函數(shù)在點P處可微。[11]
多元函數(shù)在點P可微,那么函數(shù)在P點的偏導(dǎo)數(shù)必存在。即偏導(dǎo)數(shù)存在時可微的必要但不充分條件。而多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)在點P連續(xù)是函數(shù)在該點可微分的充分條件,但不是必要條件。但是,多元函數(shù)在一點連續(xù)在該點其偏導(dǎo)數(shù)不一定存在,也不一定可微;多元函數(shù)在一點偏導(dǎo)數(shù)存在而在該點不一定連續(xù);多元函數(shù)在一點可微在該點也不一定連續(xù)。[12] 若n+1元函數(shù)
f(x1,xn,y)
關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù)對n+1個變量連續(xù),關(guān)于
x1,xi1,xi1,xn可微(即把f(x1,xn,y)中的y看成常數(shù)后可微),則n+1元函數(shù)
f(x1,xn,y)
可微。[13]
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