關(guān)于大學(xué)高數(shù)論文范文免費(fèi)(2)
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大學(xué)高數(shù)論文范文篇二:《第二型曲面積分化為二重積分計(jì)算》
摘要:第二型曲面積分屬于向量函數(shù)的積分,在流體力學(xué)和電磁學(xué)等領(lǐng)域有極為廣泛的運(yùn)用。所以,正確選擇計(jì)算第二型曲面積分的方法對(duì)解決問題有著很大的幫助。一般的書本都介紹的主要通過將其轉(zhuǎn)化為二重積分或利用高斯公式計(jì)算。第二型曲面積分和二重積分有著密切的關(guān)系,這里介紹將第二型曲面積分化為二重積分來計(jì)算的方法。并且希望大學(xué)生能夠培養(yǎng)對(duì)高等數(shù)學(xué)的愛好,努力鉆研高等數(shù)學(xué)。
關(guān)鍵詞:第二型曲面積分、二重積分、轉(zhuǎn)換、計(jì)算、鉆研高等數(shù)學(xué)
正文:
1.第二型曲面積分定義:
設(shè)為光滑的有向曲面,函數(shù)R(x,y,z)在上有界,把任意分割成n塊小曲面Si(i1,2,,n)(Si同時(shí)表示第i小塊曲面的面積), Si在xoy坐標(biāo)面上的投影為(Si)xy,(i,i,i)Si ,若當(dāng)各小塊曲面的直徑的最大值0時(shí),lim,Ri(i0i1niR(x,y,z)在有向曲面上對(duì)坐標(biāo)x,y的,S)(i存在。則稱此極限值為xy)
曲面積分(或第二型曲面積分).記作R(x,y,z)dxdy。
2.將第二型曲面積分化為二重積分來計(jì)算的方法:
?、俚诙颓娣e分P(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxR(x,y,z)dxdy可化為三個(gè)第二型
曲面積分來計(jì)算:I1P(x,y,z)dydz,I
2Q(x,y,z)dzdx,I3R(x,y,z)dxdy。
這就必須把曲面分別投影到y(tǒng)Oz、zOx、xOy面上,再分別按照前側(cè)為正后側(cè)為負(fù)、右側(cè)為正左側(cè)為負(fù)、上側(cè)為正下側(cè)為負(fù)的規(guī)則再次分解。這樣一來就需要六個(gè)式子來計(jì)算一個(gè)第二型曲面積分,運(yùn)算量相當(dāng)大且容易出錯(cuò)。
例:.計(jì)算下列閉曲面上的曲面積分(積分沿區(qū)域 之邊界曲面 的外側(cè)):
xzdydz(x3y3)dzdx(x3y3)dxdy,其中
(x,y,z)|x2y21,x0,y0,0z1;
解:在曲面上x0,y0,z0及z1部分的S上xzdydz
S0,所以
xzdydz
Dyz
zydydzzdz
2
3
11
y2dy
8
.
在曲面上x0,z0及z1部分的S上
x
S
z3dzdx0,所以
3
xydzdxxdzdxx1x2
DxzDxz
3
3
3
3
2dzdx
3
. 16
在曲面上x0,y0及x2y21部分的S上
x
S
3
y3dxdy0,所以
x
3
y3dxdy
5. 16
Dxy
x
3
y3dxdy
Dxy
x
3
y3dxdy0,
原式
②先將第二型曲面積分轉(zhuǎn)化為第一型曲面積分:
AdS
(PcosQcosRcos)dS
cos
zx
22
zxzy
,cos
zy
22
zxzy
,cos
1
22
zxzy
再將第一型曲面積分轉(zhuǎn)化為二重積分: 若在xOy面:
fx,y,zdS
Dxy
22
x,yzyx,ydxdy fx,y,zx,yzx
yOz,xOz面上以此類推。
最后利用二重積分計(jì)算得出結(jié)果。
較第一種方法,此方法更加靈活多變,在計(jì)算中可以省很多力氣。 例:計(jì)算曲面積分:
S
z(x2y2)(dydzdxdz),其中 S 為球面 x2y2z2R2
在第一、四卦限(x0,z0)的部分,積分沿S的上側(cè); 解:S的單位正法向?yàn)?/p>
xyzn,,
222
x2y2z2x2y2z2xyz
01
x,y,z.
R
22
dydzdxdzzxyS
12222
zxy,zxy,0x,y,zdS RS
1
zx2y2xydS. RS
z
R2x2y2,zx
xRxyR
2
2
2
,zy
yRxy
2
2
2
.
22
dSzxzydxdy
Rxy
222
dxdy.
原式
1R
R2x2y2x2y2xydxdy RDxyR2x2y2
2d
2
R
2R5
. cossind5
3
總結(jié):
利用向量形式計(jì)算第二型曲面積分直接將第二型曲面積分轉(zhuǎn)化為一個(gè)二重積分計(jì)算,避免了傳統(tǒng)計(jì)算方法對(duì)曲面?zhèn)鹊呐卸?,其顯著優(yōu)點(diǎn)是物理意義明確,計(jì)算過程簡(jiǎn)單,適用于所有的第二型曲面積分的計(jì)算。但是,計(jì)算時(shí)要不斷地總結(jié),學(xué)會(huì)根據(jù)題型的變化來選擇方法,尋求更加簡(jiǎn)便的方法,不能一味的追求某一種。
而且,高等數(shù)學(xué)這門科學(xué)是博大精深的,要不斷的學(xué)習(xí)研究才能領(lǐng)悟得更多。就自身而言,要抱著謙虛謹(jǐn)慎的態(tài)度,努力鉆研高數(shù),希望能夠參透高等數(shù)學(xué)的一角。
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