試論化歸思想在立幾中的探究
試論化歸思想在立幾中的探究
我們在解決代數(shù)問題時經(jīng)常使用化歸思想方法。數(shù)學(xué)解題過程實際上就是不斷的進(jìn)行化歸的過程,化歸是數(shù)學(xué)研究中普遍采用的一種思想,也是解決實際問題的關(guān)鍵,而這一思想的應(yīng)用在立體幾何的學(xué)習(xí)中尤為突出,不論是線線、線面、面面之間平行、垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化,空間圖形的證明與計算轉(zhuǎn)化為平面圖形的證明與計算,還是空間幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算關(guān)系,幾乎貫穿于立體幾何的全部領(lǐng)域,而數(shù)學(xué)課堂上學(xué)生往往只注意了這些知識的學(xué)習(xí),注意了新知識的增長,并未曾注意聯(lián)想到這些知識的觀點(diǎn)以及由此出發(fā)產(chǎn)生的解決問題的方法和策略,所以要增強(qiáng)學(xué)生對各種關(guān)系轉(zhuǎn)化的意識是關(guān)鍵,而這一意識的培養(yǎng)、增強(qiáng)全靠教師在教學(xué)中幫助學(xué)生有效地、有目的地進(jìn)行化歸,從而提高解題能力。不妨先從實例來作研究。
一、題型的化歸:
1、化歸為基本題型:
立體幾何中我們知道有一些基本題形是我們平時經(jīng)常研究的,如:正方體、四個面全為直角的三棱錐中的問題等。
棱長為a的正四面體的四個頂點(diǎn)均在一個球面上,求此球的表面積與體積.
解:以正四面體的每條棱作為一個正方體的面的一條對角線構(gòu)造如圖所示的正方體,則該正四面體的外接球也就是正方體的外接球.
分析:聯(lián)系正四面體,如圖3,PA、PB、PC兩兩成600,高PO與棱PA所成的角即為圖8中PO與PA所成的角,而在正四面體中,PO與PA所成角的正弦值為 ,故PE= cm。
3、幾何問題代數(shù)化
如圖4,在長方形 中, , , 為 的中點(diǎn), 為線段 (端點(diǎn)除外)上一動點(diǎn).現(xiàn)將 沿 折起,使平面 平面 .在平面 內(nèi)過點(diǎn) 作 , 為垂足.設(shè) ,則 的取值范圍是
本題在解的過程中引進(jìn)了變量 ,從而將求 的范圍問題轉(zhuǎn)化為求關(guān)于函數(shù)值域問題。
二、圖形的化歸
1、化歸為平面幾何問題
在立體幾何中,一般求表面距離最短問題通常都轉(zhuǎn)化為將此幾何體按一定要求側(cè)展,變空間問題為平面幾何問題。
如圖6,在四面體P—ABC中,PA=PB=PC=2,∠APB=∠BPC=∠APC=30°,一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)沿著四面體的表面繞一周,再回到A點(diǎn)。
問:螞蟻沿著怎樣的路徑爬行時路程最短,最短路程是多少?
解:如右圖,將四面體沿PA剪開,并將其側(cè)面展開平鋪在一個平面上,連接AA′分別交PB,PC于E,F(xiàn)兩點(diǎn),則當(dāng)螞蟻沿著A→E→F→A′路徑爬行時,路程最短.在△APA′中,∠APA′=90°,PA=PA′=2,∴AA′=22,即最短路程AA′的長為22.
2、化歸為平面圖形
在立體幾何中常將空間圖形中的條件有目的地化歸到幾何體內(nèi)的一個平面圖形中去,再結(jié)合平面幾何知識來解決這個問題。
如圖7,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,棱長為a,E為棱CC1上的的動點(diǎn).
(1)求證:A1E⊥BD;
(2)當(dāng)E恰為棱CC1的中點(diǎn)時,求證:平面A1BD⊥平面EBD.
證明:(1)略,
3、整體與局部的化歸
(1)補(bǔ)成整體:
設(shè)P,A,B,C是球O表面上的四個點(diǎn),PA、PB、PC兩兩垂直,且 m,求球的體積與表面積。
解:在球O中構(gòu)造一個正方體,使該正方體的棱長為1,則此正方體中的某四個點(diǎn)必滿足條件,故正方體的對角線長即為該球直徑,所以有 體積為 ,表面積為 。
將三棱錐補(bǔ)成正方體,是解決該題的關(guān)鍵。
(2)割成局部:
如圖8,已知平行六面體ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD,
(Ⅰ)證明:C1C⊥BD;
分析:如果我們從該圖中僅觀察三棱錐C—BC1D,就可以研究上面問題。
綜上可見,運(yùn)用化歸法解立體幾何題是一種很有力的工具,我們在解題當(dāng)中,應(yīng)當(dāng)熟悉和掌握這一工具,并能自覺地運(yùn)用這一工具?;瘹w是一種重要的數(shù)學(xué)思想。實際上,中學(xué)數(shù)學(xué)中,化歸方法的應(yīng)用不僅體現(xiàn)在立體幾何中,它無處不在。所以數(shù)學(xué)中注意化歸思想的培養(yǎng)對學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),發(fā)展解題能力都無疑是至關(guān)重要的。
化歸方法之間彼此密切聯(lián)系,只是表現(xiàn)形式有所側(cè)重,總的來說,化歸方法就是把未知問題轉(zhuǎn)化為已知問題,把陌生問題轉(zhuǎn)化為熟悉問題,把繁雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題。而這里所說的轉(zhuǎn)化,不是無目的活動,問題的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和相互之間的聯(lián)系,決定了處理這一問題的方式、方法。因此教師要充分揭示問題間的內(nèi)部聯(lián)系,幫助學(xué)生學(xué)會分析問題,創(chuàng)造條件,實現(xiàn)轉(zhuǎn)化,是掌握化歸方法的關(guān)鍵。