層次法數(shù)學(xué)建模論文
層次分析法(Analytic Hierarchy Process,簡稱AHP)是將與決策總是有關(guān)的元素分解成目標(biāo)、準(zhǔn)則、方案等層次,在此基礎(chǔ)之上進(jìn)行定性和定量分析的決策方法。下文是學(xué)習(xí)啦小編為大家整理的關(guān)于層次法數(shù)學(xué)建模論文的范文,歡迎大家閱讀參考!
層次法數(shù)學(xué)建模論文1
層次分析法建模
70 年代由美國運(yùn)籌學(xué)家T·L·Satty提出的,是一種定性與定量分析相結(jié)合的多目標(biāo)決策分析方法論。吸收利用行為科學(xué)的特點(diǎn),是將決策者的經(jīng)驗(yàn)判斷給予量化,對目標(biāo)(因素)結(jié)構(gòu)復(fù)雜而且缺乏必要的數(shù)據(jù)情況下,採用此方法較為實(shí)用,是一種系統(tǒng)科學(xué)中,常用的一種系統(tǒng)分析方法,因而成為系統(tǒng)分析的數(shù)學(xué)工具之一。
一、問題舉例:
A.大學(xué)畢業(yè)生就業(yè)選擇問題
獲得大學(xué)畢業(yè)學(xué)位的畢業(yè)生,“雙向選擇”時(shí),用人單位與畢業(yè)生都有各自的選擇標(biāo)準(zhǔn)和要求。就畢業(yè)生來說選擇單位的標(biāo)準(zhǔn)和要求是多方面的,例如:
?、?能發(fā)揮自己的才干為國家作出較好貢獻(xiàn)(即工作崗位適合發(fā)揮專長);
② 工作收入較好(待遇好);
?、?生活環(huán)境好(大城市、氣候等工作條件等);
④ 單位名聲好(聲譽(yù)-Reputation);
?、?工作環(huán)境好(人際關(guān)系和諧等)
?、?發(fā)展晉升(promote, promotion)機(jī)會多(如新單位或單位發(fā)展有后勁)等。
問題:現(xiàn)在有多個(gè)用人單位可供他選擇,因此,他面臨多種選擇和決策,問題是他將如何作出決策和選擇?——或者說他將用什么方法將可供選擇的工作單位排序?
B.假期旅游地點(diǎn)選擇
暑假有3個(gè)旅游勝地可供選擇。例如:P1:蘇州杭州,P2北戴河,P3桂林,到底到哪個(gè)
地方去旅游最好?要作出決策和選擇。為此,要把三個(gè)旅游地的特點(diǎn),例如:①景色;②費(fèi)用;③居住;④環(huán)境;⑤旅途條件等作一些比較——建立一個(gè)決策的準(zhǔn)則,最后綜合評判確定出一個(gè)可選擇的最優(yōu)方案。
目標(biāo)層
準(zhǔn)則層
方案層
C.資源開發(fā)的綜合判斷
7種金屬可供開發(fā),開發(fā)后對國家貢獻(xiàn)可以通過兩兩比較得到,決定對哪種資源先開發(fā),效用最用。
二、問題分析:
例如旅游地選擇問題:一般說來,此決策問題可按如下步驟進(jìn)行:
(S1)將決策解分解為三個(gè)層次,即:
目標(biāo)層:(選擇旅游地)
準(zhǔn)則層:(景色、費(fèi)用、居住、飲食、旅途等5個(gè)準(zhǔn)則)
方案層:(有P1,P2,P3三個(gè)選擇地點(diǎn))
并用直線連接各層次。
(S2)互相比較各準(zhǔn)則對目標(biāo)的權(quán)重,各方案對每一個(gè)準(zhǔn)則的權(quán)重。這些權(quán)限重在人的思維過
程中常是定性的。
例如:經(jīng)濟(jì)好,身體好的人:會將景色好作為第一選擇;
中老年人:會將居住、飲食好作為第一選擇;
經(jīng)濟(jì)不好的人:會把費(fèi)用低作為第一選擇。
而層次分析方法則應(yīng)給出確定權(quán)重的定量分析方法。
(S3)將方案層對準(zhǔn)則層的權(quán)重,及準(zhǔn)則層對目標(biāo)層的權(quán)重進(jìn)行綜合。
(S4)最終得出方案層對目標(biāo)層的權(quán)重,從而作出決策。
以上步驟和方法即是AHP的決策分析方法。
三、確定各層次互相比較的方法——成對比較矩陣和權(quán)向量
因素比較方法 —— 成對比較矩陣法:
目的是,要比較某一層n個(gè)因素C1,C2, , Cn對上一層因素O的影響(例如:旅游決策解中,比較景色等5個(gè)準(zhǔn)則在選擇旅游地這個(gè)目標(biāo)中的重要性)。
采用的方法是:每次取兩個(gè)因素Ci和Cj比較其對目標(biāo)因素O的影響,并用aij表示,全部
比較的結(jié)果用成對比較矩陣表示,即:
A(aij)nxn, aij0, aji1aij(或aijaij1) (1)
由于上述成對比較矩陣有特點(diǎn): A(aij) , aij0, aij
1aji
1aji
故可稱A為正互反矩陣:顯然,由 aij,即:aijaji1,故有:aji1
四、一致性檢驗(yàn)——一致性指標(biāo):
1.一致性檢驗(yàn)指標(biāo)的定義和確定——CI的定義:
maxn
CI
n1
一般CI01,認(rèn)為主觀判斷矩陣A的一致性可以接受,否則應(yīng)重新進(jìn)行兩兩比較,構(gòu)造主觀判斷矩陣。
2.隨機(jī)一致性檢驗(yàn)指標(biāo)——RI
問題:實(shí)際操作時(shí)發(fā)現(xiàn):主觀判斷矩陣A的維數(shù)越大,判斷的一致性越差,故應(yīng)放寬對高維矩
陣的一致性要求。于是引入修正值RI來校正一致性檢驗(yàn)指標(biāo):即定義RI的修正值表為:
CIRI
并定義新的一致性檢驗(yàn)指標(biāo)——一致性比率為:CR
當(dāng):CR
CIRI
01時(shí),認(rèn)為主觀判斷矩陣A的不一致程度在容許范圍之內(nèi),
可用其特征向量作為權(quán)向量。否則,對主觀判斷矩陣A重新進(jìn)行成對比較,構(gòu)重新的主觀判斷矩陣A。 注:上式CR
CIRI
0
1的選取是帶有一定主觀信度的。
五、標(biāo)度——比較尺度解:
六、組合權(quán)向量的計(jì)算——層次總排序的權(quán)向量的計(jì)算
七、層次分析法的基本步驟:
(S1)建立層次結(jié)構(gòu)模型
將有關(guān)因素按照屬性自上而下地分解成若干層次:
同一層各因素從屬于上一層因素,或?qū)ι蠈右蛩赜杏绊?,同時(shí)又支配下一層的因素或受到下層因素的影響。
最上層為目標(biāo)層(一般只有一個(gè)因素),最下層為方案層或?qū)ο髮?決策層,中間可以有1個(gè)或幾個(gè)層次,通常為準(zhǔn)則層或指標(biāo)層。
當(dāng)準(zhǔn)則層元素過多(例如多于9個(gè))時(shí),應(yīng)進(jìn)一步分解出子準(zhǔn)則層。
(S2)構(gòu)造成對比較矩陣,以層次結(jié)構(gòu)模型的第2層開始,對于從屬于(或影響及)上一層每個(gè)因素的同一層諸因素,用成對比較法和1~9比較尺度構(gòu)造成對比較矩陣,直到最下層。
(S3)計(jì)算(每個(gè)成對比較矩陣的)權(quán)向量并作一致性檢驗(yàn)
(S4)計(jì)算組合權(quán)向量并作組合一致性檢驗(yàn)——即層次總排序 八、應(yīng)用實(shí)例
目標(biāo)層:
準(zhǔn)則層:
決策層: 1.
1
43312121755
112111A4723=0.25
112110.333350.333
11
311
35
0.510.1430.20.2
47123
350.511
50.333
1
1
3
max 5.0721
0.26360.4758
5.0721 , W0.0538
0.09810.1087
故有最大特征根max
對A一致性檢驗(yàn)指標(biāo):CI
maxn
n1
0.07214
0.018
RI1.12CR
0.021.12
0.01610.1
故通過檢驗(yàn)。
2.準(zhǔn)則B1, B2, B3, B4, B5相對于P1, P2, P3的成對比較矩陣為
b11
B1b21
b31
b12b22b32
b131
b231/2
b33211/2
1
2B23
18
5
3
13
31
1B31
1/3
111/3
331
B4
14
311
14
1 B51
41
114
4 41
對以上每個(gè)比較矩陣都可計(jì)算出最大特征根max及對象的特征向量W(即權(quán)重向量),并進(jìn)行一致性檢驗(yàn):CIRI CR
列表如下:
n
其中W1, W2, W3的計(jì)算公式為:Wi
a
j1
j
bij (i1,,n)
WP1
因此層次總排序:組合權(quán)向量為:WWP2
WP
30.29920.2452 0.4556
故最終決策為P3首選,P1次之,P2最后。 組合一致性檢驗(yàn):
m
a
由CR
j1m
j
CIRI
j
可知:組合一致性檢驗(yàn)結(jié)果為——層次總排序的一致性檢驗(yàn):
j
j
a
j1
5
a
CR
j15
j
CI3
0.00260.1, RIj
a
j1
j
最下層對第一層的組合一致性比率為0.0161+0.0026=0.0187. 故整個(gè)層次一致性檢驗(yàn)通過。
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層次法數(shù)學(xué)建模論文2
基于層次分析法的數(shù)學(xué)分析教材選擇
摘 要:數(shù)學(xué)分析課程是數(shù)學(xué)專業(yè)的核心基礎(chǔ)課,該課程具有高度的抽象性、嚴(yán)密的邏輯性和科學(xué)的系統(tǒng)性,從而使得大部分大一新生在學(xué)習(xí)該課程時(shí)遇到較大的困難,導(dǎo)致難以達(dá)到很好的學(xué)習(xí)效果繼而影響后繼課程的學(xué)習(xí)。為更好地提高教育教學(xué)質(zhì)量,實(shí)踐以學(xué)生為主體的辦學(xué)理念,選擇一套適合該院學(xué)生的該課程教材是教學(xué)改革的重要環(huán)節(jié)之一。通過引入層次分析法,計(jì)算出數(shù)學(xué)分析教材選擇中的指標(biāo)權(quán)重,從而得到更合理、更科學(xué)的數(shù)學(xué)分析教材選擇模型。
關(guān)鍵詞:教材選擇 層次分析法 指標(biāo)體系
1 方法步驟
1.1 層次分析法
層次分析法(Analytic Hierarchy Process,簡記AHP)是由T.L.Saaty等人在20世紀(jì)70年代提出的一種定性和定量相結(jié)合的、系統(tǒng)化、層次化的分析方法。該方法自提出之后,由于它在處理復(fù)雜的決策問題上的適應(yīng)性和有效性已經(jīng)在眾多領(lǐng)域得到了成功的應(yīng)用。
1.2 建立層次結(jié)構(gòu)模型
根據(jù)應(yīng)用型地方本科院校培養(yǎng)人才目標(biāo)及數(shù)學(xué)分析教材選擇時(shí)涉及到的因素進(jìn)行充分分析,建立層次結(jié)構(gòu)如圖1所示。
第一層:目標(biāo)層A,表示系統(tǒng)要達(dá)到的目標(biāo)“最佳教材A”。
第二層:主準(zhǔn)則層B,衡量達(dá)到目標(biāo)的各項(xiàng)準(zhǔn)則,包括知識體系B1、學(xué)生心理B2、質(zhì)量體系B3。
第三層:子準(zhǔn)則層C,是衡量達(dá)到主準(zhǔn)則層的各項(xiàng)子準(zhǔn)則,包括數(shù)學(xué)分析知識介紹C1、結(jié)構(gòu)安排情況C2、難易程度C3、符合認(rèn)識發(fā)展規(guī)律C4、學(xué)習(xí)興趣C5、學(xué)習(xí)主動(dòng)性C6、印刷水平C7、教材價(jià)格C8、讀者服務(wù)C9。
第四層:方案層D,是實(shí)現(xiàn)目標(biāo)可能采取的各種方案。對眾多的數(shù)學(xué)分析教材進(jìn)行篩選后選定了3套教材,即華東師大編寫數(shù)學(xué)分析D1;劉玉蓮、傅沛仁編數(shù)學(xué)分析D2;王綿森、馬知恩編數(shù)學(xué)分析D3。
1.3 構(gòu)造成對比較陣及計(jì)算權(quán)向量并做一致性檢驗(yàn)
從層次結(jié)構(gòu)模型的第二層開始,對于從屬于(或影響及)上一層每個(gè)因素的同一層諸因素,用成對比較法和1~9比較尺度構(gòu)造成對比較陣,直到最下層。由此得到主準(zhǔn)則層B對目標(biāo)層A的判斷矩陣,利用Matlab軟件對求出最大特征值。對做一致性檢驗(yàn),指標(biāo)為,其中為判斷矩陣的階數(shù)。檢驗(yàn)系數(shù)為,表明矩陣具有滿意的一致性。其中為平均一致性指標(biāo),當(dāng)時(shí),。同時(shí)可求得的對應(yīng)于的單位特征向量為。
2 結(jié)語
從層次分析模型可知,最佳教材選擇應(yīng)為D1,即華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編《數(shù)學(xué)分析(第四版)》。D2所占比例與D1所占比例較接近,這也說明在實(shí)際工作中這兩部教材被眾多普通高校所選擇使用的主要原因。應(yīng)用層次分析法對數(shù)學(xué)分析教材進(jìn)行選擇,能夠很好地反映教材的實(shí)際情況,具有一定的合理性,避免了憑感覺選擇教材的局限性,從而能夠更好地為教學(xué)工作提供支持。但是用此方法在構(gòu)造判斷矩陣時(shí)任具有一定的主觀性,各項(xiàng)指標(biāo)權(quán)重及測評指標(biāo)的內(nèi)涵的確定仍有待進(jìn)一步的研究與探索。
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