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      數(shù)學(xué)思想的論文

      時間: 秋梅1032 分享

        數(shù)學(xué)思想方法是形成學(xué)生的良好認識結(jié)構(gòu)的紐帶,是由知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁。下文是學(xué)習(xí)啦小編為大家搜集整理的關(guān)于數(shù)學(xué)思想的論文的內(nèi)容,歡迎大家閱讀參考!

        數(shù)學(xué)思想的論文篇1

        淺析初中數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)思想

        數(shù)學(xué)思想和方法是數(shù)學(xué)知識的精髓,又是知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁。目前初中階段,主要數(shù)學(xué)思想方法有:數(shù)形結(jié)合的思想、分類討論的思想、化歸的思想、轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)的思想、方程與函數(shù)的思想方法等。

        一、 方程和函數(shù)思想

        例1:去冬今春,我國西南地區(qū)遭遇歷史上罕見的旱災(zāi)。解放軍某部接到了限期打30口井的作業(yè)任務(wù)。部隊官兵到達災(zāi)區(qū)后,目睹災(zāi)情,心急如焚,他們增派機械車輛,爭分奪秒,每天比原計劃多打3口井,結(jié)果提前5天完成任務(wù)。求原計劃每天打多少口井?

        解析:設(shè)原計劃每天打x口井,依題意可得:

        去分母得, ,

        整理得,

        解得:

        經(jīng)檢驗:

        答:原計劃每天打3口井.

        把變化過程中的一些制約變量用函數(shù)關(guān)系表達出來,用函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)去分析問題和解決問題就是函數(shù)思想,確立函數(shù)關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵。

        點評:把研究數(shù)學(xué)問題中的已知量與未知量之間的數(shù)量關(guān)系,轉(zhuǎn)化為方程或方程組等數(shù)學(xué)模型,從而是問題得到解決的方法就是方程思想。一般主要有列方程(組)解應(yīng)用題和解代數(shù)題或幾何題,解題時要建立正確的方程模型,以便使問題得到解決。

        例2:某賓館有50個房間供游客住宿,當每個房間的房價為每天l80元時,房間會全部住滿.當每個房間每天的房價每增加10元時,就會有一個房間空閑.賓館需對游客居住的每個房間每天支出20元的各種費用.根據(jù)規(guī)定,每個房間每天的房價不得高于340元.設(shè)每個房間的房價每天增加x元(x為10的正整數(shù)倍).

        (1) 設(shè)一天訂住的房間數(shù)為y,直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍;

        (2) 設(shè)賓館一天的利潤為w元,求w與x的函數(shù)關(guān)系式;

        (3) 一天訂住多少個房間時,賓館的利潤最大? 最大利潤是多少元?

        解析:(1)y=50- (0 );

        (2)W=(50- )(180+x-20)=- ;

        (3) W=- =- +10890,當x 時,W隨x的增大而增大,但0≤x≤160.∴當x=160時, .當x=160時,y=50- =34.

        答:一天訂住34個房間時,賓館的利潤最大,最大利潤是10880元.

        點評:大膽設(shè)元,抓住關(guān)系構(gòu)建方程,合理轉(zhuǎn)化求解.

        二、 分類討論思想

        例3:函數(shù) 與 在同一平面直角坐標系中的圖像可能是( ).

        解析:當m>0時,函數(shù) 與 在同一平面直角坐標系中的圖像如圖1;

        圖1 圖2

        當m<0時,函數(shù) 與 在同一平面直角坐標系中的圖像如圖2.對比上述四個選項,本題應(yīng)選C.

        說明:本題的函數(shù)表達式中的m有m>0或m<0兩種情況。對m進行分類討論,并根據(jù)一次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì),繪制相應(yīng)草圖即可解答. 點評:分類討論思想是對所求結(jié)論進行分類討論、逐類求解,然后綜合得解的思想方法,解題思路是:正確確定分類討論的對象,對討論對象合理分類、逐類討論、歸納 總結(jié)。

        三、 化歸思想

        例4:已知2x-3=0.求代數(shù)式 的值.

        解析:∵2x-3=0,∴x=

        當x= 時,原式= × + × -9

        =0.

        點評:化歸思想,就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題是采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化,進而達到解決的一 種方法。一般是將復(fù)雜的問題通過變化轉(zhuǎn)化為簡單的問題,將難解的問題轉(zhuǎn)化為容易求解的問題,將未解決的問題轉(zhuǎn)化為已解決的問題。

        綜觀近幾年的中 考試題,側(cè)重參透數(shù)學(xué)思想方法,尤其是壓軸題,考查學(xué)生是否會運用數(shù)學(xué)思想方法分析問題和解決問題。所以,在數(shù)學(xué)教學(xué)中,切實把握好上述幾個典型的數(shù)學(xué)思想方法,同時注重滲透的過程,依據(jù)課本內(nèi)容和學(xué)生的認識水平,有 計劃有步驟地滲透,使其成為由知識轉(zhuǎn)化為能力的紐帶,成為提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率和數(shù)學(xué)能力的法寶。

        數(shù)學(xué)思想的論文篇2

        淺析高等數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)思想

        一、函數(shù)思想

        函數(shù)概念和函數(shù)思想的提出和運用,使得變量數(shù)學(xué)誕生了,常量數(shù)學(xué)發(fā)展到變量數(shù)學(xué),函數(shù)思想起了決定性作用。函數(shù)是數(shù)學(xué)分析的研究對象,函數(shù)思想就是運用函數(shù)的觀點,把常量視作變量、化靜為動、化離散為連續(xù),將待解決的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題,運用函數(shù)的性質(zhì)加以解決的一種思想方法。

        在數(shù)學(xué)分析中,我們通常用來解決不等式的證明、方程根的存在性與個數(shù)、級數(shù)問題、數(shù)列極限等。

        例1,證明:當x>0時,x- <1n(1+x)。

        分析:這是一個不等式證明問題,直接證明有一定難度,但是將此問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題的單調(diào)性,即可解決問題。

        證明:構(gòu)造輔助函數(shù)f(x)=1n(1+x)-x+ ,則f`(x)= -1+x,可證當x>0時,f`(x)>0,因此單調(diào)遞增。又因為f(0)=0,所以當x>0時,f(x)>f(0)=0,即原不等式成立。

        例2,判斷∑(-1)n 的斂散性。

        分析:這是一個級數(shù)問題,該級數(shù)為交錯級數(shù),從函數(shù)的觀點出發(fā),化離散為連續(xù),轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題,運用函數(shù)的性質(zhì),從而解決問題。

        解:該級數(shù)為交錯級數(shù),由萊布尼茲判別法知,要判斷其斂散性,只需判斷通項的絕對值un= =是否單調(diào)減少且趨于為0。為此,將un連續(xù)化,設(shè)f(x)= ,由于f`(x)= ,當x>9時,f`(x)<0,即f(x)在(9,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減。將特殊值x=n(n為大于9)的自然數(shù)代入知,un=f(n)也遞減且極限為0,故此級數(shù)收斂。

        二、極限的思想

        極限的思想方法是近代數(shù)學(xué)的一種重要思想方法,數(shù)學(xué)分析就是以極限概念為基礎(chǔ)、極限理論為主要工具來研究初等函數(shù)的一門學(xué)科。極限是研究無限的有力工具,“極限”揭示了常量與變量、有限與無限、直線與曲線、勻速運動與變速運動對立統(tǒng)一的關(guān)系。極限的思想方法貫穿于數(shù)學(xué)分析課程的始終,一方面利用極限的思想給出了連續(xù)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、定積分、無窮小(大)量、級數(shù)的斂散性、多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、廣義積分的斂散性、重積分、曲線積分、曲線弧長、曲面積分等的概念,數(shù)學(xué)分析中幾乎所有的概念都離不開極限的思想。另一方面在閉區(qū)間列上的區(qū)間套定理體現(xiàn)了極限的思想,泰勒定理中的泰勒公式就是利用多項式函數(shù)去逼近已知函數(shù)等。學(xué)習(xí)者以”極限理論”為工具,以現(xiàn)實具體的問題為背景,從具體到抽象,特殊到一般地去理解概念及定理的本質(zhì),可以增強分析和解決問題的能力。

        對所求量,先構(gòu)造與其相關(guān)的變量,前提是該變量無限變化的結(jié)果就是所求量,此時采用極限運算得到所求量。例如邱瞬時速度、曲面弧長、曲變形面積等問題,就是采用了極限的思想。

        例3,如果物體做非勻速直線運動,其運動規(guī)律的函數(shù)是s=f(t),其中t為時間,s是距離,求它在時刻t0的瞬時速度。

        解:物體從時刻到時刻這段時間內(nèi)的平均速度是:

        v= = ,當|△t|很小時,時刻t0的瞬時速度v0≈v,因此當無限趨近于0(△t≠0) 時,就無限趨近于v0,即v0=1im =1im 。

        三、連續(xù)的思想

        在數(shù)學(xué)分析中,把函數(shù)的連續(xù)性局部化到當函數(shù)的自變量在某點鄰域內(nèi)作微小變動時,相應(yīng)函數(shù)值也在對應(yīng)點的函數(shù)值鄰域內(nèi)作微小變動。

        這種思想應(yīng)用到連續(xù)函數(shù)求極限的情形,就可以把極限的復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值的問題,從而大大簡化了運算。如果給定的函數(shù)不連續(xù),可以通過整理、化簡、變換等途徑將其轉(zhuǎn)化為連續(xù)函數(shù),再利用上面的方法求其極限。

        例4,求1im ,(a>0,a≠1)。

        解:將給定的函數(shù)變形為1oga(1+x) ,再根據(jù)對數(shù)函數(shù)的連續(xù)性,有1im =1im1og(1+x) =1oga[1im(1+x) ]=1ogae。

        四、數(shù)形結(jié)合的思想

        數(shù)學(xué)是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué),而空間形式和數(shù)量關(guān)系之間往往存在密切的聯(lián)系,又有各自特點。數(shù)形結(jié)合思想方法,就是充分利用形的直觀性和數(shù)的規(guī)范性,通過數(shù)與形的聯(lián)系轉(zhuǎn)化來研究數(shù)學(xué)對象和解決數(shù)學(xué)問題。具體包括:數(shù)轉(zhuǎn)化為形的思想;形轉(zhuǎn)化為數(shù)的思想。這種方法使得復(fù)雜問題簡單化、抽象問題具體化、形象化、直觀化,化難為易,最終找到最優(yōu)解決方案。

        數(shù)形結(jié)合的思想在數(shù)學(xué)分析課程中的應(yīng)用廣泛,很多抽象問題中都蘊含著某種幾何意義,借助幾何圖形,對抽象問題進行幾何解釋,使抽象問題結(jié)合圖形更容易深入理解,更容易掌握其最本質(zhì)的知識。

        比如:極限、曲線的漸近線、導(dǎo)數(shù)與微分、二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)與全微分、定積分與重積分、反常積分(無窮積分與瑕積分)、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的凹凸性等概念的幾何意義,對于確切理解并正確掌握這些基本概念是非常重要的,同時為解決各種實際問題提供了多樣化的方法。

        又比如:閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)基本性質(zhì)(介值性定理、根的存在定理)、微分中值定理(羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理)、積分中值定理、費馬定理、隱函數(shù)存在唯一性定理等幾何意義,不論對定理的深入理解,還是對啟發(fā)證明定理結(jié)論方面有很大幫助。

        例5,下面僅談?wù)剮缀螆D形對拉格朗日定理的內(nèi)容的理解及證明所起的作用。

        為了敘述的方便,首先將拉格朗日定理陳述如下:若函數(shù)f滿足如下:(1)f在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);(2)f在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),則在(a,b)內(nèi)至少存在一點,使得f`()= 。

        它的幾何意義是若一條曲線在[a,b]上連續(xù),曲線上每一點都存在切線,則曲線上至少存在一點θ(,f()),過點θ的切線平行于割線AB(圖1)。此定理的證明關(guān)鍵在于運用其幾何意義,考慮到這個定理比羅爾定理少了一個條件,構(gòu)造輔助函數(shù)使其滿足羅爾定理的要求,即滿足函數(shù)在端點的取值相同,最后用羅爾定理得出最后的結(jié)論。因此,想辦法構(gòu)造一個輔助函數(shù)F(x),使得在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)并且F(a)=F(b)。觀察圖1可知,割線與曲線有兩個交點A與B,要使F(a)=F(b),只需使F(x)的圖像經(jīng)過A,B兩點,F(xiàn)(x)可取為曲線縱坐標與割線縱坐標之差。其中,曲線的方程為y=f(x),割線AB的方程為y=f(a)+ (x-a),可見,幾何圖形在此定理的證明起到關(guān)鍵的作用。

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