影子價(jià)格長(zhǎng)短期劃分及其計(jì)算
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摘要：影子價(jià)格對(duì)資源配置具有重要的指導(dǎo)意義。但是影子價(jià)格的定義方式通常與短期生產(chǎn)相聯(lián)系，而長(zhǎng)期生產(chǎn)多資源要素的變化往往被忽視。區(qū)分生產(chǎn)短、長(zhǎng)期，通過(guò)方向?qū)?shù)來(lái)確定長(zhǎng)期生產(chǎn)資源調(diào)整的影子價(jià)格。
關(guān)鍵詞：線性規(guī)劃；影子價(jià)格；方向?qū)?shù)；資源配置
引言
影子價(jià)格是運(yùn)籌學(xué)、管理學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)中的一個(gè)重要概念。在實(shí)際計(jì)算中采用一般偏向求導(dǎo)法或者單純形表可以衡量資源的影子價(jià)格。但是，長(zhǎng)期生產(chǎn)所對(duì)應(yīng)的影子價(jià)格的論述較為罕見(jiàn)。本項(xiàng)研究試圖借助Aucamp與Steinberge等的研究成果，從對(duì)偶函數(shù)的極點(diǎn)值著手，利用Akgulm所提出的影子價(jià)格方向?qū)?shù)定義，計(jì)算短、長(zhǎng)期生產(chǎn)所對(duì)應(yīng)的影子價(jià)格。
一、問(wèn)題的提出
影子價(jià)格與線性規(guī)劃對(duì)偶理論淵源極深，考慮如下一對(duì)線性規(guī)劃問(wèn)題，原規(guī)劃問(wèn)題（1）。
maxcjxj=zs.t. aijxi≤bi，i=1，2，…，m xi≥0，j=1，2，…，n（1）
maxbiyi=fs.t. aijyi≤cj，j=1，2，…，n yi≥0，i=1，2，…，m（2）
如果y*=（y*1，y*2，…，y*m）T為對(duì)偶規(guī)劃（2）的最優(yōu)解，則最優(yōu)值z(mì)*可看做是資源量bi（i=1，2，…，m）的一個(gè)函數(shù)，即z*=b1y*1+b2y*2+…+bmy*m（3），對(duì)bi求右向偏導(dǎo)數(shù)即為y*i：
y*i=，i=1，2，…，m（4）
顯然，此影子價(jià)格僅對(duì)應(yīng)于一個(gè)短期生產(chǎn)問(wèn)題，其前提是其他資源數(shù)量保持不變，一般通過(guò)單純形法求得。
考慮一個(gè)生產(chǎn)運(yùn)作問(wèn)題。設(shè)某工廠利用K、L兩種資源生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，資源要素量、產(chǎn)品的單位價(jià)格及可耗用的資源總量（如表1所示）：
表1 生產(chǎn)有關(guān)數(shù)據(jù)表
對(duì)于上述問(wèn)題，為確定最優(yōu)資源配置計(jì)劃，以收益為目標(biāo)函數(shù)，以可耗資源為約束，構(gòu)造線性規(guī)劃問(wèn)題（5）。
max３x1+2x2=zs.t. 2x1+x2≤600 x1+3x2≤400 x1，x2≥0（5）
利用單純形法對(duì)問(wèn)題（5）求解，結(jié)果（如表2所示）。
表2初始線性規(guī)劃的最優(yōu)單純形
根據(jù)表2，推斷資源Ｋ的影子價(jià)格為，資源Ｌ的影子價(jià)格為。
但是，如果我們對(duì)資源K、L的數(shù)量同時(shí)進(jìn)行調(diào)整的長(zhǎng)期生產(chǎn)問(wèn)題，上述計(jì)算方法難以確定資源影子價(jià)格，需要引進(jìn)新的定義方式與計(jì)算方法。
二、影子價(jià)格的長(zhǎng)期劃分與計(jì)算
本文擬借助Aucamp與Steinberge 等的研究成果，從生產(chǎn)最優(yōu)值函數(shù)的極點(diǎn)解進(jìn)行分析，通過(guò)Akgulm的方向?qū)?shù)進(jìn)而確定長(zhǎng)期多資源變化的影子價(jià)格。
Akgulm定義了函數(shù)Z*（b1，…，bm）在資源組合點(diǎn)B處沿方向u=（u1，u2，…，um）T∈Rm的導(dǎo)數(shù)：
Duz*（b）=limt→0+ （6）
為資源組合u的影子價(jià)格。利用凸分析的一個(gè)結(jié)論，有Duz*（b）=min{uTy|y∈z*（b）}（7），通過(guò)（7）式我們可以求得多種資源變化時(shí)的影子價(jià)格，我們稱之為資源的組合影子價(jià)格。
三、長(zhǎng)期資源調(diào)整的計(jì)算示例
對(duì)于例題，原規(guī)劃問(wèn)題的對(duì)偶可行域的極點(diǎn)有三個(gè)，分別為（0，3）（，）（2，0），于是在短期生產(chǎn)范圍內(nèi)，給定b1=600不變，僅b2發(fā)生變化，即此時(shí)資源組合點(diǎn)B沿單位方向（0，1）方向發(fā)生變化：
=minb1，b23b2，b1+b2，2b1=0，3b1≤b2，b1≤b2≤3b13，0≤b2≤b1
?。?）
在長(zhǎng)期范圍內(nèi)，多種資源甚至所有資源投入都可進(jìn)行調(diào)整，資源可以就任何方向進(jìn)行調(diào)整。比如，假設(shè)當(dāng)前要素組合沿單位方向=，進(jìn)行調(diào)整，由于最優(yōu)對(duì)偶解單一，此時(shí)資源組合的影子價(jià)格如下：
Dz*（b1，b2）=，1 800≤b1（a），300≤b2＜1 800（b），0≤b2＜300（c）（8）
結(jié)論
實(shí)際生產(chǎn)總表現(xiàn)出某種時(shí)期特性，不同時(shí)期特性下的影子價(jià)格定義方式、估計(jì)方法不盡相同。如果單純考察給定要素變動(dòng)對(duì)收益的影響，采用收益函數(shù)對(duì)該要素的右向偏導(dǎo)數(shù)即可。如果給定時(shí)間范圍內(nèi)涉及到至少兩種以上生產(chǎn)要素的調(diào)整，則需采用方向?qū)?shù)方能測(cè)度投入要素對(duì)收益函數(shù)的影響，唯有如此才能根據(jù)影子價(jià)格合理指導(dǎo)資源配置。
參考文獻(xiàn)：
[1]劉舒燕.關(guān)于資源影子價(jià)格不唯一性問(wèn)題的討論[J].運(yùn)籌與管理，2001，(2)：33-36.
[2]D.C.Aucamp and D.I.Steinberg.The computation of shadow prices in linear Programming.The Journal the Operational Research Society[J]，Vol.33，No.6，1982：557-565.
[3]Akgulm.A note on shadow prices in linear programming.The Journal of the Operational Research Society[J]，Vol.35，No.5，1984：425-431.
[4]周永華，陳新，劉建斌，鄭芳英.影子價(jià)格及其經(jīng)濟(jì)意義[J].浙江理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2006，(3)：145-150.
關(guān)鍵詞：線性規(guī)劃；影子價(jià)格；方向?qū)?shù)；資源配置
引言
影子價(jià)格是運(yùn)籌學(xué)、管理學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)中的一個(gè)重要概念。在實(shí)際計(jì)算中采用一般偏向求導(dǎo)法或者單純形表可以衡量資源的影子價(jià)格。但是，長(zhǎng)期生產(chǎn)所對(duì)應(yīng)的影子價(jià)格的論述較為罕見(jiàn)。本項(xiàng)研究試圖借助Aucamp與Steinberge等的研究成果，從對(duì)偶函數(shù)的極點(diǎn)值著手，利用Akgulm所提出的影子價(jià)格方向?qū)?shù)定義，計(jì)算短、長(zhǎng)期生產(chǎn)所對(duì)應(yīng)的影子價(jià)格。
一、問(wèn)題的提出
影子價(jià)格與線性規(guī)劃對(duì)偶理論淵源極深，考慮如下一對(duì)線性規(guī)劃問(wèn)題，原規(guī)劃問(wèn)題（1）。
maxcjxj=zs.t. aijxi≤bi，i=1，2，…，m xi≥0，j=1，2，…，n（1）
maxbiyi=fs.t. aijyi≤cj，j=1，2，…，n yi≥0，i=1，2，…，m（2）
如果y*=（y*1，y*2，…，y*m）T為對(duì)偶規(guī)劃（2）的最優(yōu)解，則最優(yōu)值z(mì)*可看做是資源量bi（i=1，2，…，m）的一個(gè)函數(shù)，即z*=b1y*1+b2y*2+…+bmy*m（3），對(duì)bi求右向偏導(dǎo)數(shù)即為y*i：
y*i=，i=1，2，…，m（4）
顯然，此影子價(jià)格僅對(duì)應(yīng)于一個(gè)短期生產(chǎn)問(wèn)題，其前提是其他資源數(shù)量保持不變，一般通過(guò)單純形法求得。
考慮一個(gè)生產(chǎn)運(yùn)作問(wèn)題。設(shè)某工廠利用K、L兩種資源生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，資源要素量、產(chǎn)品的單位價(jià)格及可耗用的資源總量（如表1所示）：
表1 生產(chǎn)有關(guān)數(shù)據(jù)表
對(duì)于上述問(wèn)題，為確定最優(yōu)資源配置計(jì)劃，以收益為目標(biāo)函數(shù)，以可耗資源為約束，構(gòu)造線性規(guī)劃問(wèn)題（5）。
max３x1+2x2=zs.t. 2x1+x2≤600 x1+3x2≤400 x1，x2≥0（5）
利用單純形法對(duì)問(wèn)題（5）求解，結(jié)果（如表2所示）。
表2初始線性規(guī)劃的最優(yōu)單純形
根據(jù)表2，推斷資源Ｋ的影子價(jià)格為，資源Ｌ的影子價(jià)格為。
但是，如果我們對(duì)資源K、L的數(shù)量同時(shí)進(jìn)行調(diào)整的長(zhǎng)期生產(chǎn)問(wèn)題，上述計(jì)算方法難以確定資源影子價(jià)格，需要引進(jìn)新的定義方式與計(jì)算方法。
二、影子價(jià)格的長(zhǎng)期劃分與計(jì)算
本文擬借助Aucamp與Steinberge 等的研究成果，從生產(chǎn)最優(yōu)值函數(shù)的極點(diǎn)解進(jìn)行分析，通過(guò)Akgulm的方向?qū)?shù)進(jìn)而確定長(zhǎng)期多資源變化的影子價(jià)格。
Akgulm定義了函數(shù)Z*（b1，…，bm）在資源組合點(diǎn)B處沿方向u=（u1，u2，…，um）T∈Rm的導(dǎo)數(shù)：
Duz*（b）=limt→0+ （6）
為資源組合u的影子價(jià)格。利用凸分析的一個(gè)結(jié)論，有Duz*（b）=min{uTy|y∈z*（b）}（7），通過(guò)（7）式我們可以求得多種資源變化時(shí)的影子價(jià)格，我們稱之為資源的組合影子價(jià)格。
三、長(zhǎng)期資源調(diào)整的計(jì)算示例
對(duì)于例題，原規(guī)劃問(wèn)題的對(duì)偶可行域的極點(diǎn)有三個(gè)，分別為（0，3）（，）（2，0），于是在短期生產(chǎn)范圍內(nèi)，給定b1=600不變，僅b2發(fā)生變化，即此時(shí)資源組合點(diǎn)B沿單位方向（0，1）方向發(fā)生變化：
=minb1，b23b2，b1+b2，2b1=0，3b1≤b2，b1≤b2≤3b13，0≤b2≤b1
?。?）
在長(zhǎng)期范圍內(nèi)，多種資源甚至所有資源投入都可進(jìn)行調(diào)整，資源可以就任何方向進(jìn)行調(diào)整。比如，假設(shè)當(dāng)前要素組合沿單位方向=，進(jìn)行調(diào)整，由于最優(yōu)對(duì)偶解單一，此時(shí)資源組合的影子價(jià)格如下：
Dz*（b1，b2）=，1 800≤b1（a），300≤b2＜1 800（b），0≤b2＜300（c）（8）
結(jié)論
實(shí)際生產(chǎn)總表現(xiàn)出某種時(shí)期特性，不同時(shí)期特性下的影子價(jià)格定義方式、估計(jì)方法不盡相同。如果單純考察給定要素變動(dòng)對(duì)收益的影響，采用收益函數(shù)對(duì)該要素的右向偏導(dǎo)數(shù)即可。如果給定時(shí)間范圍內(nèi)涉及到至少兩種以上生產(chǎn)要素的調(diào)整，則需采用方向?qū)?shù)方能測(cè)度投入要素對(duì)收益函數(shù)的影響，唯有如此才能根據(jù)影子價(jià)格合理指導(dǎo)資源配置。
參考文獻(xiàn)：
[1]劉舒燕.關(guān)于資源影子價(jià)格不唯一性問(wèn)題的討論[J].運(yùn)籌與管理，2001，(2)：33-36.
[2]D.C.Aucamp and D.I.Steinberg.The computation of shadow prices in linear Programming.The Journal the Operational Research Society[J]，Vol.33，No.6，1982：557-565.
[3]Akgulm.A note on shadow prices in linear programming.The Journal of the Operational Research Society[J]，Vol.35，No.5，1984：425-431.
[4]周永華，陳新，劉建斌，鄭芳英.影子價(jià)格及其經(jīng)濟(jì)意義[J].浙江理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2006，(3)：145-150.