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      遼寧省新高考II卷2023年數(shù)學試卷及答案

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      遼寧省新高考II卷2023年數(shù)學試卷及答案(最新版)

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      2023新高考II卷數(shù)學真題試卷及答案

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      高中數(shù)學基礎知識點總結

      一、平面的基本性質與推論

      1、平面的基本性質:

      公理1如果一條直線的兩點在一個平面內,那么這條直線在這個平面內;

      公理2過不在一條直線上的三點,有且只有一個平面;

      公理3如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線。

      2、空間點、直線、平面之間的位置關系:

      直線與直線—平行、相交、異面;

      直線與平面—平行、相交、直線屬于該平面(線在面內,最易忽視);

      平面與平面—平行、相交。

      3、異面直線:

      平面外一點A與平面一點B的連線和平面內不經過點B的直線是異面直線(判定);

      所成的角范圍(0,90)度(平移法,作平行線相交得到夾角或其補角);

      兩條直線不是異面直線,則兩條直線平行或相交(反證);

      異面直線不同在任何一個平面內。

      求異面直線所成的角:平移法,把異面問題轉化為相交直線的夾角

      二、空間中的平行關系

      1、直線與平面平行(核心)

      定義:直線和平面沒有公共點

      判定:不在一個平面內的一條直線和平面內的一條直線平行,則該直線平行于此平面(由線線平行得出)

      性質:一條直線和一個平面平行,經過這條直線的平面和這個平面相交,則這條直線就和兩平面的交線平行

      2、平面與平面平行

      定義:兩個平面沒有公共點

      判定:一個平面內有兩條相交直線平行于另一個平面,則這兩個平面平行

      性質:兩個平面平行,則其中一個平面內的直線平行于另一個平面;如果兩個平行平面同時與第三個平面相交,那么它們的交線平行。

      3、常利用三角形中位線、平行四邊形對邊、已知直線作一平面找其交線

      三、空間中的垂直關系

      1、直線與平面垂直

      定義:直線與平面內任意一條直線都垂直

      判定:如果一條直線與一個平面內的兩條相交的直線都垂直,則該直線與此平面垂直

      性質:垂直于同一直線的兩平面平行

      推論:如果在兩條平行直線中,有一條垂直于一個平面,那么另一條也垂直于這個平面

      直線和平面所成的角:【0,90】度,平面內的一條斜線和它在平面內的射影說成的銳角,特別規(guī)定垂直90度,在平面內或者平行0度

      2、平面與平面垂直

      定義:兩個平面所成的二面角(從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形)是直二面角(二面角的平面角:以二面角的棱上任一點為端點,在兩個半平面內分別作垂直于棱的兩條射線所成的角)

      判定:一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直

      性質:兩個平面垂直,則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直

      四、導數(shù)

      (一)導數(shù)第一定義

      設函數(shù) y = f(x) 在點 x0 的某個領域內有定義,當自變量 x 在 x0 處有增量 △x ( x0 + △x 也在該鄰域內 ) 時,相應地函數(shù)取得增量 △y = f(x0 + △x) - f(x0) ;如果 △y 與 △x 之比當 △x→0 時極限存在,則稱函數(shù) y = f(x) 在點 x0 處可導,并稱這個極限值為函數(shù) y = f(x) 在點 x0 處的導數(shù)記為 f(x0) ,即導數(shù)第一定義

      (二)導數(shù)第二定義

      設函數(shù) y = f(x) 在點 x0 的某個領域內有定義,當自變量 x 在 x0 處有變化 △x ( x - x0 也在該鄰域內 ) 時,相應地函數(shù)變化 △y = f(x) - f(x0) ;如果 △y 與 △x 之比當 △x→0 時極限存在,則稱函數(shù) y = f(x) 在點 x0 處可導,并稱這個極限值為函數(shù) y = f(x) 在點 x0 處的導數(shù)記為 f(x0) ,即 導數(shù)第二定義

      (三)導函數(shù)與導數(shù)

      如果函數(shù) y = f(x) 在開區(qū)間 I 內每一點都可導,就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間 I 內可導。這時函數(shù) y = f(x) 對于區(qū)間 I 內的每一個確定的 x 值,都對應著一個確定的導數(shù),這就構成一個新的函數(shù),稱這個函數(shù)為原來函數(shù) y = f(x) 的導函數(shù),記作 y, f(x), dy/dx, df(x)/dx。導函數(shù)簡稱導數(shù)。

      (四)單調性及其應用

      1.利用導數(shù)研究多項式函數(shù)單調性的一般步驟

      (1)求f(x)

      (2)確定f(x)在(a,b)內符號 (3)若f(x)>0在(a,b)上恒成立,則f(x)在(a,b)上是增函數(shù);若f(x)<0在(a,b)上恒成立,則f(x)在(a,b)上是減函數(shù)

      2.用導數(shù)求多項式函數(shù)單調區(qū)間的一般步驟

      (1)求f(x)

      (2)f(x)>0的解集與定義域的交集的對應區(qū)間為增區(qū)間; f(x)<0的解集與定義域的交集的對應區(qū)間為減區(qū)間

      學習了導數(shù)基礎知識點,接下來可以學習高二數(shù)學中涉及到的導數(shù)應用的部分。

      五、高中數(shù)列基本公式:

      1、一般數(shù)列的通項an與前n項和Sn的關系:an=

      2、等差數(shù)列的通項公式:an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1為首項、ak為已知的第k項) 當d≠0時,an是關于n的一次式;當d=0時,an是一個常數(shù)。

      3、等差數(shù)列的前n項和公式

      當d≠0時,Sn是關于n的二次式且常數(shù)項為0;當d=0時(a1≠0),Sn=na1是關于n的正比例式。

      4、等比數(shù)列的通項公式: an= a1qn-1an= akqn-k

      (其中a1為首項、ak為已知的第k項,an≠0)

      5、等比數(shù)列的前n項和公式:當q=1時,Sn=n a1 (是關于n的正比例式);

      六、高中數(shù)學中有關等差、等比數(shù)列的結論

      1、等差數(shù)列{an}的任意連續(xù)m項的和構成的數(shù)列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m- S3m、……仍為等差數(shù)列。

      2、等差數(shù)列{an}中,若m+n=p+q,則

      3、等比數(shù)列{an}中,若m+n=p+q,則

      4、等比數(shù)列{an}的任意連續(xù)m項的和構成的數(shù)列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m- S3m、……仍為等比數(shù)列。

      5、兩個等差數(shù)列{an}與{bn}的和差的數(shù)列{an+bn}、{an-bn}仍為等差數(shù)列。

      6、兩個等比數(shù)列{an}與{bn}的積、商、倒數(shù)組成的數(shù)列仍為等比數(shù)列。

      7、等差數(shù)列{an}的任意等距離的項構成的數(shù)列仍為等差數(shù)列。

      8、等比數(shù)列{an}的任意等距離的項構成的數(shù)列仍為等比數(shù)列。

      9、三個數(shù)成等差數(shù)列的設法:a-d,a,a+d;四個數(shù)成等差的設法:a-3d,a-d,,a+d,a+3d

      10、三個數(shù)成等比數(shù)列的設法:a/q,a,aq;

      四個數(shù)成等比的錯誤設法:a/q3,a/q,aq,aq3

      七、集合有關概念

      1、集合的含義:某些指定的對象集在一起就成為一個集合,其中每一個對象叫元素。

      2、集合的中元素的三個特性:元素的確定性;元素的互異性;元素的無序性.

      3、集合的表示:

      (1)如{我校的籃球隊員},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

      (2).用拉丁字母表示集合:A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}

      4、集合的表示方法:列舉法與描述法。

      常用數(shù)集及其記法:非負整數(shù)集(即自然數(shù)集)記作:N正整數(shù)集N_或N+整數(shù)集Z有理數(shù)集Q實數(shù)集R

      5.關于“屬于”的概念

      集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示,如:a是集合A的元素,就說a屬于集合A記作a∈A,相反,a不屬于集合A記作a?A

      列舉法:把集合中的元素一一列舉出來,然后用一個大括號括上。

      描述法:將集合中的元素的公共屬性描述出來,寫在大括號內表示集合的方法。用確定的條件表示某些對象是否屬于這個集合的方法。

      6、集合的分類:

      (1)有限集含有有限個元素的集合

      (2)無限集含有無限個元素的集合

      (3)空集不含任何元素的集合例:{x|x2=-5}=Φ

      八、集合間的基本關系

      1.“包含”關系—子集注意:A?B有兩種可能(1)A是B的一部分,;(2)A與B是同一集合。反之:集?B或B??A合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作A?

      2.“相等”關系:對于兩個集合A與B,如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素,同時,集合B的任何一個元素都是集合A的元素,我們就說集合A等于集合B,即:A=B

      ①任何一個集合是它本身的子集。即A?A

      ②如果A?B,且A?B那就說集合A是集合B的真子集,記作A B(或BA)

      ③如果A?B,B?C,那么A?C

      ④如果A?B同時B?A那么A=B

      3.不含任何元素的集合叫做空集,記為Φ

      規(guī)定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。三、集合的運算

      1.交集的定義:一般地,由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集.

      記作A∩B(讀作"A交B"),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}.

      2、并集的定義:一般地,由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合,叫做A,B的并集。記作:A∪B(讀作"A并B"),即A∪B={x|x∈A,或x∈B}.

      3、交集與并集的性質:A∩A=A,A∩φ=φ,A∩B=B∩A,A∪A=A,

      A∪φ=A,A∪B=B∪A.

      4、全集與補集

      (1)補集:設S是一個集合,A是S的一個子集(即A?S),由S中所有不屬于A的元素組成的集合,叫做S中子集A的補集(或余集)記作:CSA即CSA={x?x?S且x?A}

      (2)全集:如果集合S含有我們所要研究的各個集合的全部元素,看作一個全集。通常用U來表示。

      (3)性質:⑴CU(CUA)=A⑵(CUA)∩A=Φ⑶(CUA)∪A=U

      九、函數(shù)的有關概念

      合A中的任意一個數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應,那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù).記作:y=f(x),x∈A.其中,x叫做自變量,x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域;與x的值相對應的y值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域.

      能使函數(shù)式有意義的實數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域,求函數(shù)的定義域時列不等式組的主要依據(jù)是:

      (1)分式的分母不等于零;

      (2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零;

      (3)對數(shù)式的真數(shù)必須大于零;

      (4)指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于1

      (5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結合而成的.那么,它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.

      2.構成函數(shù)的三要素:定義域、對應關系和值域

      再注意:

      (1)由于值域是由定義域和對應關系決定的,所以,如果兩個函數(shù)的定義域和對應關系完全一致,即稱這兩個函數(shù)相等(或為同一函數(shù))

      (2)兩個函數(shù)相等當且僅當它們的定義域和對應關系完全一致,而與表示自變量和函數(shù)值的字母無關。

      相同函數(shù)的判斷方法:

      ①表達式相同;

      ②定義域一致(兩點必須同時具備)

      3.區(qū)間的概念

      (1)區(qū)間的分類:開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間;

      (2)無窮區(qū)間;

      (3)區(qū)間的`數(shù)軸表示

      4.映射一般地,設A、B是兩個非空的集合,如果按某一個確定的對應法則f,使對于集合A中的任意一個元素x,在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應,那么就稱對應f:A?B為從集合A到集合B的一個映射。記作“f:A?B”

      給定一個集合A到B的映射,如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b對應,那么,我們把元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象

      說明:函數(shù)是一種特殊的映射,映射是一種特殊的對應,①集合A、B及對應法則f是確定的;②對應法則有“方向性”,即強調從集合A到集合B的對應,它與從B到A的對應關系一般是不同的;③對于映射f:A→B來說,則應滿足:(Ⅰ)集合A中的每一個元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;(Ⅱ)集合A中不同的元素,在集合B中對應的象可以是同一個;(Ⅲ)不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。

      5.常用的函數(shù)表示法:解析法:圖象法:列表法:

      6.分段函數(shù)在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數(shù)。

      (1)分段函數(shù)是一個函數(shù),不要把它誤認為是幾個函數(shù);

      (2)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集,值域是各段值域的并集

      7.函數(shù)單調性

      (1).設函數(shù)y=f(x)的定義域為I,如果對于定義域I內的某個區(qū)間D內的任意兩個自變量x1,x2,當x1<x2時,都有f(x1)<f(x2),那么就說f(x)在區(qū)間d上是增函數(shù)。區(qū)間d稱為y=f(x)的單調增區(qū)間< p="">

      如果對于區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1,x2,當x1<x2時,都有f(x1)>f(x2),那么就說f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù).區(qū)間d稱為y=f(x)的單調減區(qū)間.< p="">

      注意:函數(shù)的單調性是在定義域內的某個區(qū)間上的性質,是函數(shù)的局部性質;

      (2)圖象的特點如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù),那么說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴格的)單調性,在單調區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的,減函數(shù)的圖象從左到右是下降的.(3).函數(shù)單調區(qū)間與單調性的判定方法

      (A)定義法:○1任取x1,x2∈D,且x1<x2;○2作差f(x1)-f(x2);○3變形(通常是因式分解和配方);○4定號(即判斷差f(x1)-f(x2)的正負);○5下結論(指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間d上的單調性).(b)圖象法(從圖象上看升降)_注意:函數(shù)的單調區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間,不能把單調性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集.< p="">

      8.函數(shù)的奇偶性

      (1)一般地,對于函數(shù)f(x)的定義域內的任意一個x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函數(shù).

      (2).一般地,對于函數(shù)f(x)的定義域內的任意一個x,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函數(shù).

      注意:○1函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性,函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質;函數(shù)可能沒有奇偶性,也可能既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。

      2由函數(shù)的奇偶性定義可知,函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件是,對于定義域內的任意一個x,○則-x也一定是定義域內的一個自變量(即定義域關于原點對稱)

      (3)具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征

      偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱;奇函數(shù)的圖象關于原點對稱.

      總結:利用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟:○1首先確定函數(shù)的定義域,并判斷其定義域是否關于原點對稱;○2確定f(-x)與f(x)的關系;○3作出相應結論:若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,則f(x)是偶函數(shù);若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,則f(x)是奇函數(shù).9、函數(shù)的解析表達式

      (1).函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法,要求兩個變量之間的函數(shù)關系時,一是要求出它們之間的對應法則,二是要求出函數(shù)的定義域.

      (2).求函數(shù)的解析式的主要方法有:待定系數(shù)法、換元法、消參法等,如果已知函數(shù)解析式的構造時,可用待定系數(shù)法;已知復合函數(shù)f[g(x)]的表達式時,可用換元法,這時要注意元的取值范圍;當已知表達式較簡單時,也可用湊配法;若已知抽象函數(shù)表達式,則常用解方程組消參的方法求出f(x)。

      補充不等式的解法與二次函數(shù)(方程)的性質

      軌跡,包含兩個方面的問題:凡在軌跡上的點都符合給定的條件,這叫做軌跡的純粹性(也叫做必要性);凡不在軌跡上的點都不符合給定的條件,也就是符合給定條件的點必在軌跡上,這叫做軌跡的完備性(也叫做充分性)。

      十、求動點的軌跡方程的基本步驟。

      1、建立適當?shù)淖鴺讼?,設出動點M的坐標;

      2、寫出點M的集合;

      3、列出方程=0;

      4、化簡方程為最簡形式;

      5、檢驗。

      十一、求動點的軌跡方程的常用方法:求軌跡方程的方法有多種,常用的有直譯法、定義法、相關點法、參數(shù)法和交軌法等。

      1、直譯法:直接將條件翻譯成等式,整理化簡后即得動點的軌跡方程,這種求軌跡方程的方法通常叫做直譯法。

      2、定義法:如果能夠確定動點的軌跡滿足某種已知曲線的定義,則可利用曲線的定義寫出方程,這種求軌跡方程的方法叫做定義法。

      3、相關點法:用動點Q的坐標x,y表示相關點P的坐標x0、y0,然后代入點P的坐標(x0,y0)所滿足的曲線方程,整理化簡便得到動點Q軌跡方程,這種求軌跡方程的方法叫做相關點法。

      4、參數(shù)法:當動點坐標x、y之間的直接關系難以找到時,往往先尋找x、y與某一變數(shù)t的關系,得再消去參變數(shù)t,得到方程,即為動點的軌跡方程,這種求軌跡方程的方法叫做參數(shù)法。

      5、交軌法:將兩動曲線方程中的參數(shù)消去,得到不含參數(shù)的方程,即為兩動曲線交點的軌跡方程,這種求軌跡方程的方法叫做交軌法。

      求動點軌跡方程的一般步驟:

      ①建系——建立適當?shù)淖鴺讼担?/p>

      ②設點——設軌跡上的任一點P(x,y);

      ③列式——列出動點p所滿足的關系式;

      ④代換——依條件的特點,選用距離公式、斜率公式等將其轉化為關于X,Y的方程式,并化簡;

      ⑤證明——證明所求方程即為符合條件的動點軌跡方程。

      如何學好高中數(shù)學

      1.上課認真聽講,對老師說過的話進行加工整理(一般的數(shù)學差的孩子都來不及整理筆記,或者不喜歡整理筆記,好的學生不太需要筆記,但是差的,那就不得不多記,多看了),把老師說的話,轉化為自然語言,比如我說兩向量共線等價于b=λa,翻譯成,b和a成倍數(shù)關系,這就是自然語言,淺顯易懂,加深理解。

      2.利用圖形記憶,布贊的思維導圖(高中數(shù)學做思維導圖其實有點亂)告訴我們,圖形很容易幫助記憶(提升100倍以上的記憶能力),所以我上課從來都說看圖說話,用圖形幫助記憶公式,幫助解題。

      3.課后做好訂正,錯題本,哲學上說,人不可能兩次踏進同一條河流,但是做錯的題目,往往學習偏差的學生還是會做錯,防止做錯的再做錯,可以極大的提升成績。

      4.理解題目,為何要怎么做題,波利亞《如何解題》,學生是沒空研究,但適當?shù)膯栴}串引領,比如問自己,為什么這一步要這么么做,為什么要化簡,為什么要…這種思維習慣都可以提升你的解題能力,我上課也都是這樣的問題串講解。

      5.適當?shù)木毩?,題海戰(zhàn)術我不推薦,但又最行之有效,但是是要在1.2.3.4.都做好的基礎上,去練習,否則就是不求甚解。

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