多項式的定義是什么
多項式函數(shù)以其簡單的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)在數(shù)值逼近中起到重要的作用,多項式的定義是什么?以下是學(xué)習(xí)啦小編為大家整理的關(guān)于多項式的定義，歡迎大家前來閱讀!
多項式的定義
多項式是代數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)概念，是由稱為不定元的變量和稱為系數(shù)的常數(shù)通過有限次加減法、乘法以及自然數(shù)冪次的乘方運算得到的代數(shù)表達式。例如X2 - 3X + 4就是一個多項式。多項式是整式的一種。不定元只有一個的多項式稱為一元多項式;不定元不止一個的多項式稱為多元多項式。多項式在數(shù)學(xué)的很多分支中乃至許多自然科學(xué)以及工程學(xué)中都有重要作用。
多項式數(shù)學(xué)術(shù)語
多項式 polynomial
不含字母的項叫做常數(shù)項。如：5X+6，6就是常數(shù)項。
比較廣義的定義，1個或0個單項式的和也算多項式。按這個定義，多項式就是整式。實際上，還沒有一個只對狹義多項式起作用，對單項式不起作用的定理。0作為多項式時，次數(shù)為正無窮大。單項式和多項式統(tǒng)稱為整式。
多項式幾何特性
多項式是簡單的連續(xù)函數(shù)，它是平滑的，它的微分也必定是多項式。
泰勒多項式的精神便在于以多項式逼近一個平滑函數(shù)，此外閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)都可以寫成多項式的均勻極限。
多項式定理
基本定理
代數(shù)基本定理是指所有一元 n 次(復(fù)數(shù))多項式都有 n 個(復(fù)數(shù))根。
高斯引理
兩個本原多項式的乘積是本原多項式。
應(yīng)用高斯引理可證，如果一個整系數(shù)多項式可以分解為兩個次數(shù)較低的有理系數(shù)多項式的乘積，那么它一定可以分解為兩個整系數(shù)多項式的乘積。這個結(jié)論可用來判斷有理系數(shù)多項式的不可約性。關(guān)于Q[x]中多項式的不可約性的判斷，還有艾森斯坦判別法：對于整系數(shù)多項式，如果有一個素數(shù)p能整除αn-1，αn-2，…，α1，α0，但不能整除αn，且p2不能整除常數(shù)項α0，那么ƒ(x)在Q上是不可約的。由此可知，對于任一自然數(shù)n，在有理數(shù)域上xn-2是不可約的。因而，對任一自然數(shù)n，都有n次不可約的有理系數(shù)多項式。
分解定理
F[x]中任一個次數(shù)不小于 1的多項式都可以分解為F上的不可約多項式的乘積，而且除去因式的次序以及常數(shù)因子外，分解的方法是惟一的。
當(dāng)F是復(fù)數(shù)域C時，根據(jù)代數(shù)基本定理，可證C[x]中不可約多項式都是一次的。因此，每個復(fù)系數(shù)多項式都可分解成一次因式的連乘積。
當(dāng)F是實數(shù)域R時，由于實系數(shù)多項式的虛根是成對出現(xiàn)的，即虛根的共軛數(shù)仍是根，因此R[x]中不可約多項式是一次的或二次的。所以每個實系數(shù)多項式都可以分解成一些一次和二次的不可約多項式的乘積。實系數(shù)二次多項式αx2+bx+с不可約的充分必要條件是其判別式b2-4αс<0。
當(dāng)F是有理數(shù)域Q時，情況復(fù)雜得多。要判斷一個有理系數(shù)多項式是否不可約，就較困難。應(yīng)用本原多項式理論，可把有理系數(shù)多項式的分解問題化為整系數(shù)多項式的分解問題。一個整系數(shù)多項式如其系數(shù)是互素的，則稱之為本原多項式。每個有理系數(shù)多項式都可表成一個有理數(shù)及一個本原多項式的乘積。關(guān)于本原多項式有下述重要性質(zhì)。
多項式運算法則
加法與乘法
有限個單項式之和稱為多元多項式，簡稱多項式。不同類的單項式之和表示的多項式，其中系數(shù)不為零的單項式的最高次數(shù)，稱為此多項式的次數(shù)。
多項式的加法，是指多項式中同類項的系數(shù)相加，字母保持不變(即合并同類項)。多項式的乘法，是指把一個多項式中的每個單項式與另一個多項式中的每個單項式相乘之后合并同類項。
F上x1，x2，…，xn的多項式全體所成的集合F[x1，x2，…，xn]，對于多項式的加法和乘法成為一個環(huán)，是具有單位元素的整環(huán)。
域上的多元多項式也有因式分解惟一性定理。
帶余除法
若 ƒ(x)和g(x)是F[x]中的兩個多項式，且 g(x)≠0，則在F[x]中有唯一的多項式 q(x)和r(x)，滿足ƒ(x)=q(x)g(x)+r(x)，其中r(x)的次數(shù)小于g(x)的次數(shù)。此時q(x) 稱為g(x)除ƒ(x)的商式，r(x)稱為余式。當(dāng)g(x)=x-α時，則r(x)=ƒ(α)稱為余元，式中的α是F的元素。此時帶余除法具有形式ƒ(x)=q(x)(x-α)+ƒ(α)，稱為余元定理。g(x)是ƒ(x)的因式的充分必要條件是g(x)除ƒ(x)所得余式等于零。如果g(x)是ƒ(x)的因式，那么也稱g(x) 能整除ƒ(x)，或ƒ(x)能被g(x)整除。特別地，x-α是ƒ(x)的因式的充分必要條件是ƒ(α)=0，這時稱α是ƒ(x)的一個根。
如果d(x)既是ƒ(x)的因式，又是g(x)的因式，那么稱d(x)是ƒ(x)與g(x)的一個公因式。如果d(x)是ƒ(x)與g(x)的一個公因式，并且ƒ(x)與g(x)的任一個因式都是d(x)的因式，那么稱d(x)是ƒ(x)與g(x)的一個最大公因式。如果ƒ(x)=0，那么g(x)就是ƒ(x)與g(x)的一個最大公因式。當(dāng)ƒ(x)與g(x)全不為零時，可以應(yīng)用輾轉(zhuǎn)相除法來求它們的最大公因式。
輾轉(zhuǎn)相除法
已知一元多項式環(huán)F[x] [1]中兩個不等于零的多項式ƒ(x)與g(x)，用g(x)除ƒ(x)得商式q1(x)、余式r1(x)。若r1(x)=0，則g(x)就是ƒ(x)與g(x)的一個最大公因式。若 r1(x)≠0，則用 r1(x)除 g(x)得商式q2(x)、余式r2(x)。若r2(x)=0，則r1就是ƒ(x)與g(x)的一個最大公因式。否則，如此輾轉(zhuǎn)相除下去，余式的次數(shù)不斷降低，經(jīng)有限s次之后，必有余式為零次(即零次多項式)或余式為零(即零多項式)。若最終余式結(jié)果為零次多項式，則原來f(x)與g(x)互素;若最終余式結(jié)果為零多項式，則原來f(x)與g(x)的最大公因式是最后一次帶余除法的是除式。
利用輾轉(zhuǎn)相除法的算法，可將ƒ(x)與g(x)的最大公因式rs(x)表成ƒ(x)和g(x)的組合，而組合的系數(shù)是F上的多項式。
如果ƒ(x)與g(x)的最大公因式是零次多項式，那么稱ƒ(x)與g(x)是互素的。最大公因式和互素概念都可以推廣到幾個多項式的情形。
如果F[x]中的一個次數(shù)不小于1的多項式ƒ(x)，不能表成 F[x] 中的兩個次數(shù)較低的多項式的乘積，那么稱ƒ(x)是F上的一個不可約多項式。
任一多項式都可分解為不可約多項式的乘積。
多項式應(yīng)用
函數(shù)及根
給出多項式 f∈R[x1，...，xn] 以及一個 R-代數(shù) A。對 (a1...an)∈An，我們把 f 中的 xj 都換成 aj，得出一個 A 中的元素，記作 f(a1...an)。如此， f 可看作一個由 An 到 A 的函數(shù)。
若然 f(a1...an)=0，則 (a1...an) 稱作 f 的根或零點。
例如 f=x^2+1。若然考慮 x 是實數(shù)、復(fù)數(shù)、或矩陣，則 f 會無根、有兩個根、及有無限個根!
例如 f=x-y。若然考慮 x 是實數(shù)或復(fù)數(shù)，則 f 的零點集是所有 (x，x) 的集合，是一個代數(shù)曲線。事實上所有代數(shù)曲線由此而來。
另外，若所有系數(shù)為實數(shù)多項式 P(x)有復(fù)數(shù)根Z，則Z的共軌復(fù)數(shù)也是根。
若P(x)有n個重疊的根，則 P‘(x) 有n-1個重疊根。即若 P(x)=(x-a)^nQ(x)，則有 a 是 P’(x)的重疊根且有n-1個。
插值多項式
在實際問題中，往往通過實驗或觀測得出表示某種規(guī)律的數(shù)量關(guān)系y=F(x)，通常只給出了F(x)在某些點xi上的函數(shù)值yi=F(xi)，j=1，2，…，n+1。即使有時給出了函數(shù)F(x)的解析表達式，倘若較為復(fù)雜，也不便于計算。因此，需要根據(jù)給定點 xi 上的函數(shù)值F(xi)，求出一個既能反映F(x)的特性，又便于計算的簡單函數(shù)ƒ(x)來近似地代替F(x)，此時ƒ(x)稱為F(x)的插值函數(shù);x1，x2，…，xn+1，稱為插值節(jié)點。求插值函數(shù)的方法，稱為插值法。
多項式是一類簡單的初等函數(shù)，而且任給兩組數(shù)：b1，b2，…，bn+1和各不相同的 с1，с2，…，сn+1，總有唯一的次數(shù)不超過n的多項式ƒ(x)滿足ƒ(сi)=bi，i=1，2，…，n+1。因此在實際應(yīng)用中常常取多項式作為插值函數(shù)。作為插值函數(shù)的多項式，稱為插值多項式。插值多項式在計算數(shù)學(xué)插值中最常用。
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