角平分線的定義是什么
角平分線的定義是什么
三角形的角平分線是指在三角形中,一個內(nèi)角的角平分線與它的對邊相交,這個角的頂點和交點之間的線段叫做三角形的角平分線。角平分線的定義是什么?以下是學習啦小編分享給大家的關(guān)于角平分線的定義，歡迎大家前來閱讀!
角平分線的定義
角平分線定義(Anglebisectordefinition)從一個角的頂點引出一條射線，把這個角分成兩個完全相同的角，這條射線叫做這個角的角平分線(bisectorofangle)。三角形三條角平分線的交點叫做三角形的內(nèi)心。三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等，是該三角形內(nèi)切圓的圓心。其它解釋：角平分線是在角的型內(nèi)及形上，到角兩邊距離相等的點的軌跡。
角平分線的性質(zhì)
在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。
(逆定理)在一個角的內(nèi)部(包括頂點)且到角的兩邊的距離相等的點在這個角的角平分線上。
三角形的角平分線定義
三角形的一個角的平分線與這個角的對邊相交，連結(jié)這個角的頂點和與對邊交點的線段叫做三角形的角平分線(也叫三角形的內(nèi)角平分線)。 由定義可知，三角形的角平分線是一條線段。 由于三角形有三個 內(nèi)角，所以三角形有三條角平分線。三角形的角平分線交點一定在三角形內(nèi)部。
角平分線的其它解釋
角平分線可以看作是到角兩邊距離相等的所有點的集合。
三角形的一個角的平分線與這個角的對邊相交，連結(jié)這個角的頂點和與對邊交點的線段叫做三角形的角平分線(也叫三角形的內(nèi)角平分線)。 由定義可知，三角形的角平分線是一條線段。 由于三角形有三個 內(nèi)角，所以三角形有三個角平分線。三角形的角平分線交點一定在三角形內(nèi)部。
角平分線的作法
在角AOB中，畫角平分線
方法一：1.以點O為圓心，以任意長為半徑畫弧，兩弧交角AOB兩邊于點M，N。
2.分別以點M，N為圓心，以大于1/2MN的長度為半徑畫弧，兩弧交于點P。
3.作射線OP。
則射線OP為角AOB的角平分線。
證明：連接PM,PN
在△POM和△PON中
∵OM=ON,PM=PN,PO=PO
∴△POM≌△PON(SSS)
∴∠POM=∠PON，即射線OP為角AOB的角平分線
當然，角平分線的作法有很多種。下面再提供一種 尺規(guī)作圖的方法供參考。
方法二：1.在兩邊OA、OB上分別截取OM、OC和ON、OD，且使得OM=ON，OC=OD;
2.連接CN與DM，他們相交于點P;
3.作射線OP。
則射線OP為角AOB的角平分線。
角平分線的舉例
求證：三角形內(nèi)角平分線分對邊所得的兩條線段和這個角的兩邊對應(yīng)成比例。
如圖，若AD是△ABC的角平分線，則 BD/DC=AB/AC 。
證明：作CE∥AD交BA延長線于E。
∵CE∥AD
∴△BDA∽△BCE
∴BA/BE=BD/BC
∴ BA/AE=BD/DC
∵CE∥AD
∴∠BAD=∠E,∠DAC=∠ACE
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠CAD
∴ ∠BAD=∠CAD=∠ACE=∠E
即∠ACE=∠E
∴ AE=AC
又∵BA/AE=BD/DC
∴BA/AC=BD/DC
(注：例題中∵、∴分別表示為因為、所以)
角平分線的判斷
角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點，都在這個角的平分線上。
判定定理的證明：如圖，已知PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE，求證：OC平分∠AOB
證明：在Rt△OPD和Rt△OPE中：
OP=OP，PD=PE
∴Rt△OPD≌Rt△OPE(HL)
∴∠1=∠2
∴ OC平分∠AOB
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