人教版八年級下冊數(shù)學(xué)期末試題
人教版八年級下冊數(shù)學(xué)期末試題
數(shù)學(xué)期末考試與八年級學(xué)生的學(xué)習(xí)是息息相關(guān)的。小編整理了關(guān)于人教版八年級下冊數(shù)學(xué)期末試題,希望對大家有幫助!
八年級下冊數(shù)學(xué)期末試題
一.細(xì)心選一選:(本大題12個小題,每小題4分,共48分)在每個小題的下面,都給出了代號為A、B、C、D的四個答案,其中只有一個是正確的,請將正確答案的代號填在表格中.
1.在分式中,x的取值范圍是( )
A. x≠1 B. x≠0 C. x>1 D. x<1
2.在以下回收、綠色食品、節(jié)能、節(jié)水四個標(biāo)志中,是軸對稱圖形的是( )
A. B. C. D.
3.已知α、β是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的兩個根,則α+β的值是( )
A. 2 B. ﹣2 C. 3 D. ﹣3
4.如圖,反比例函數(shù)y=的圖象過點(diǎn)A,過點(diǎn)A分別向x軸和y軸作垂線,垂足為B和C.若矩形ABOC的面積為2,則k的值為( )
A. 4 B. 2 C. 1 D.
5.如圖所示,▱ABCD中,對角線AC,BD交于點(diǎn)O,E是CD中點(diǎn),連接OE,若OE=3cm,則AD的長為( )
A. 3cm B. 6cm C. 9cm D. 12cm
6.方程x2+6x﹣5=0的左邊配成完全平方后所得方程為( )
A. (x+3)2=14 B. (x﹣3)2=14 C. D. (x+3)2=4
7.一個多邊形的每個內(nèi)角都是108°,那么這個多邊形是( )
A. 五邊形 B. 六邊形 C. 七邊形 D. 八邊形
8.分式方程的解是( )
A. x=﹣5 B. x=5 C. x=﹣3 D. x=3
9.如圖,菱形ABCD中,已知∠D=110°,則∠BAC的度數(shù)為( )
A. 30° B. 35° C. 40° D. 45°
10.若關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根,則k的取值范圍( )
A. k<1且k≠0 B. k≠0 C. k<1 D. k>1
11.下列圖形都是由面積為1的正方形按一定的規(guī)律組成,其中,第(1)個圖形中面積為1的正方形有9個,第(2)個圖形中面積為1的正方形有14個,…,按此規(guī)律.則第(10)個圖形中面積為1的正方形的個數(shù)為( )
A. 72 B. 64 C. 54 D. 50
12.已知四邊形OABC是矩形,邊OA在x軸上,邊OC在y軸上,雙曲線與邊BC交于點(diǎn)D、與對角線OB交于點(diǎn)中點(diǎn)E,若△OBD的面積為10,則k的值是( )
A. 10 B. 5 C. D.
二、耐心填一填(本大題共6個小題,每小題4分,共24分)請將每小題的正確答案填入下面的表格中.
13.分解因式:2m2﹣2= .
14.若分式的值為零,則x= .
15.如圖,在矩形ABCD中,對角線AC,BD相交于點(diǎn)O,AB=4,∠AOD=120°,則對角線AC的長度為 .
16.已知x=2是方程x2+mx+2=0的一個根,則m的值是 .
17.由于天氣炎熱,某校根據(jù)《學(xué)校衛(wèi)生工作條例》,為預(yù)防“蚊蟲叮咬”,對教室進(jìn)行“薰藥消毒”.已知藥物在燃燒機(jī)釋放過程中,室內(nèi)空氣中每立方米含藥量y(毫克)與燃燒時間x(分鐘)之間的關(guān)系如圖所示(即圖中線段OA和雙曲線在A點(diǎn)及其右側(cè)的部分),當(dāng)空氣中每立方米的含藥量低于2毫克時,對人體無毒害作用,那么從消毒開始,至少在 分鐘內(nèi),師生不能呆在教室.
18.如圖,在正方形ABCD中,AB=2,將∠BAD繞著點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)α°(0<α<45),得到∠B′AD′,其中過點(diǎn)B作與對角線BD垂直的直線交射線AB′于點(diǎn)E,射線AD′與對角線BD交于點(diǎn)F,連接CF,并延長交AD于點(diǎn)M,當(dāng)滿足S四邊形AEBF=S△CDM時,線段BE的長度為 .
三.解答題(本大題共4個小題,19題10分,20題8分,21題8分,22題8分,共34分)解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟.
19.解方程:
(1)x2﹣6x﹣2=0
(2)=+1.
20.如圖,在▱ABCD中,∠ABD的平分線BE交AD于點(diǎn)E,∠CDB的平分線DF交BC于點(diǎn)F,連接BD.
(1)求證:△ABE≌△CDF;
(2)若AB=DB,求證:四邊形DFBE是矩形.
21.如圖,一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象過點(diǎn)P(﹣,0),且與反比例函數(shù)y=(m≠0)的圖象相交于點(diǎn)A(﹣2,1)和點(diǎn)B.
(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式;
(2)求點(diǎn)B的坐標(biāo),并根據(jù)圖象回答:當(dāng)x在什么范圍內(nèi)取值時,一次函數(shù)的函數(shù)值小于反比例函數(shù)的函數(shù)值?
22.童裝店在服裝銷售中發(fā)現(xiàn):進(jìn)貨價每件60元,銷售價每件100元的某童裝平均每天可售出20件.為了迎接“六一”,童裝店決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施,擴(kuò)大銷售量,增加盈利.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn):如果每件童裝降價1元,那么平均每天就可多售出2件,
(1)降價前,童裝店每天的利潤是多少元?
(2)如果童裝店每要每天銷售這種童裝盈利1200元,同時又要使顧客得到更多的實(shí)惠,那么每件童裝應(yīng)降價多少元?
四、解答題(本大題共2個小題,每小題10分,共20分)解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟.
23.先化簡,再求值:(﹣)÷(﹣1),其中a是方程a2﹣4a+2=0的解.
24.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,對于任意兩點(diǎn)P1(x1,y1)與P2(x2,y2)的“非常距離”,給出如下定義:
若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|,則點(diǎn)P1與點(diǎn)P2的“非常距離”為|x1﹣x2|;
若|x1﹣x2|<|y1﹣y2|,則點(diǎn)P1與點(diǎn)P2的“非常距離”為|y1﹣y2|.
例如:點(diǎn)P1(1,2),點(diǎn)P1(3,5),因?yàn)閨1﹣3|<|2﹣5|,所以點(diǎn)P1與點(diǎn)P2的“非常距離”為|2﹣5|=3,也就是圖1中線段P1Q與線段P2Q長度的較大值(點(diǎn)Q為垂直于y軸的直線P1Q與垂直于x軸的直線P2Q的交點(diǎn)).
(1)已知點(diǎn)A(﹣),B為y軸上的一個動點(diǎn),①若點(diǎn)A與點(diǎn)B的“非常距離”為2,寫出滿足條件的點(diǎn)B的坐標(biāo);②直接寫出點(diǎn)A與點(diǎn)B的“非常距離”的最小值;
(2)如圖2,已知C是直線上的一個動點(diǎn),點(diǎn)D的坐標(biāo)是(0,1),求點(diǎn)C與點(diǎn)D的“非常距離”最小時,相應(yīng)的點(diǎn)C的坐標(biāo).
五.解答題(本大題共2個小題,25題12分,26題12分,共24分)解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟.
25.如圖,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,E是對角線AC上任意一點(diǎn),F(xiàn)是線段BC延長線上一點(diǎn),且CF=AE,連接BE、EF.
(1)如圖1,當(dāng)E是線段AC的中點(diǎn),且AB=2時,求△ABC的面積;
(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E不是線段AC的中點(diǎn)時,求證:BE=EF;
(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)E是線段AC延長線上的任意一點(diǎn)時,(2)中的結(jié)論是否成立?若成立,請給予證明;若不成立,請說明理由.
26.如圖,已知點(diǎn)A是直線y=2x+1與反比例函數(shù)y=(x>0)圖象的交點(diǎn),且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1.
(1)求k的值;
(2)如圖1,雙曲線y=(x>0)上一點(diǎn)M,若S△AOM=4,求點(diǎn)M的坐標(biāo);
(3)如圖2所示,若已知反比例函數(shù)y=(x>0)圖象上一點(diǎn)B(3,1),點(diǎn)P是直線y=x上一動點(diǎn),點(diǎn)Q是反比例函數(shù)y=(x>0)圖象上另一點(diǎn),是否存在以P、A、B、Q為頂點(diǎn)的平行四邊形?若存在,請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
人教版八年級下冊數(shù)學(xué)期末試題參考答案
一.細(xì)心選一選:(本大題12個小題,每小題4分,共48分)在每個小題的下面,都給出了代號為A、B、C、D的四個答案,其中只有一個是正確的,請將正確答案的代號填在表格中.
1.在分式中,x的取值范圍是( )
A. x≠1 B. x≠0 C. x>1 D. x<1
考點(diǎn): 分式有意義的條件.
分析: 根據(jù)分式有意義,分母不等于0列式計算即可得解.
解答: 解:由題意得,x﹣1≠0,
解得x≠1.
故選A.
點(diǎn)評: 本題考查了分式有意義的條件,從以下三個方面透徹理解分式的概念:
(1)分式無意義⇔分母為零;
(2)分式有意義⇔分母不為零;
(3)分式值為零⇔分子為零且分母不為零.
2.在以下回收、綠色食品、節(jié)能、節(jié)水四個標(biāo)志中,是軸對稱圖形的是( )
A. B. C. D.
考點(diǎn): 軸對稱圖形.
分析: 根據(jù)軸對稱圖形的概念對各選項(xiàng)分析判斷利用排除法求解.
解答: 解:A、不是軸對稱圖形,故本選項(xiàng)錯誤;
B、是軸對稱圖形,故本選項(xiàng)正確;
C、不是軸對稱圖形,故本選項(xiàng)錯誤;
D、不是軸對稱圖形,故本選項(xiàng)錯誤.
故選;B.
點(diǎn)評: 本題考查了軸對稱圖形的概念.軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸,圖形兩部分折疊后可重合.
3.已知α、β是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的兩個根,則α+β的值是( )
A. 2 B. ﹣2 C. 3 D. ﹣3
考點(diǎn): 根與系數(shù)的關(guān)系.
分析: 根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到α+β=﹣=2,即可得出答案.
解答: 解:∵α、β是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的兩個根,
∴α+β=﹣=2;
故選A.
點(diǎn)評: 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系:若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根時,x1+x2=﹣,x1x2=.
4.如圖,反比例函數(shù)y=的圖象過點(diǎn)A,過點(diǎn)A分別向x軸和y軸作垂線,垂足為B和C.若矩形ABOC的面積為2,則k的值為( )
A. 4 B. 2 C. 1 D.
考點(diǎn): 反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義.
分析: 設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x,y),用x、y表示OB、AB的長,根據(jù)矩形ABOC的面積為2,列出算式求出k的值.
解答: 解:設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x,y),
則OB=x,AB=y,
∵矩形ABOC的面積為2,
∴k=xy=2,
故選:B.
點(diǎn)評: 本題考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義,過雙曲線上的任意一點(diǎn)分別向兩條坐標(biāo)軸作垂線,與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積就等于|k|.
5.如圖所示,▱ABCD中,對角線AC,BD交于點(diǎn)O,E是CD中點(diǎn),連接OE,若OE=3cm,則AD的長為( )
A. 3cm B. 6cm C. 9cm D. 12cm
考點(diǎn): 三角形中位線定理;平行四邊形的性質(zhì).
分析: 由平行四邊形的性質(zhì),易證OE是中位線,根據(jù)中位線定理求解.
解答: 解:根據(jù)平行四邊形基本性質(zhì):平行四邊形的對角線互相平分.可知點(diǎn)O是BD中點(diǎn),所以O(shè)E是△BCD的中位線.
根據(jù)中位線定理可知AD=2OE=2×3=6(cm).
故選B.
點(diǎn)評: 主要考查了平行四邊形的基本性質(zhì)和中位線性質(zhì),并利用性質(zhì)解題.平行四邊形基本性質(zhì):①平行四邊形兩組對邊分別平行;②平行四邊形的兩組對邊分別相等;③平行四邊形的兩組對角分別相等;④平行四邊形的對角線互相平分.
6.方程x2+6x﹣5=0的左邊配成完全平方后所得方程為( )
A. (x+3)2=14 B. (x﹣3)2=14 C. D. (x+3)2=4
考點(diǎn): 解一元二次方程-配方法.
專題: 配方法.
分析: 配方法的一般步驟:
(1)把常數(shù)項(xiàng)移到等號的右邊;
(2)把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1;
(3)等式兩邊同時加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.
解答: 解:由原方程移項(xiàng),得
x2+6x=5,
等式兩邊同時加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方,即32,得
x2+6x+9=5+9,
∴(x+3)2=14.
故選A.
點(diǎn)評: 此題考查了配方法解一元二次方程,解題時要注意解題步驟的準(zhǔn)確應(yīng)用.選擇用配方法解一元二次方程時,最好使方程的二次項(xiàng)的系數(shù)為1,一次項(xiàng)的系數(shù)是2的倍數(shù).
7.一個多邊形的每個內(nèi)角都是108°,那么這個多邊形是( )
A. 五邊形 B. 六邊形 C. 七邊形 D. 八邊形
考點(diǎn): 多邊形內(nèi)角與外角.
分析: 利用多邊形的內(nèi)角和=180(n﹣2)可得.
解答: 解:108=180(n﹣2)÷n
解得n=5.
故選A.
點(diǎn)評: 本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和定理.
8.分式方程的解是( )
A. x=﹣5 B. x=5 C. x=﹣3 D. x=3
考點(diǎn): 解分式方程.
專題: 計算題.
分析: 觀察可得最簡公分母是(x+1)(x﹣1),方程兩邊乘以最簡公分母,可以把分式方程化為整式方程,再求解.
解答: 解:方程兩邊同乘以(x+1)(x﹣1),
得3(x+1)=2(x﹣1),
解得x=﹣5.
經(jīng)檢驗(yàn):x=﹣5是原方程的解.
故選A.
點(diǎn)評: (1)解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”,把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解.
(2)解分式方程一定注意要驗(yàn)根.
9.如圖,菱形ABCD中,已知∠D=110°,則∠BAC的度數(shù)為( )
A. 30° B. 35° C. 40° D. 45°
考點(diǎn): 菱形的性質(zhì).
專題: 計算題.
分析: 先根據(jù)菱形的對邊平行和直線平行的性質(zhì)得到∠BAD=70°,然后根據(jù)菱形的每一條對角線平分一組對角求解.
解答: 解:∵四邊形ABCD為菱形,
∴AD∥AB,
∴∠BAD=180°﹣∠D=180°﹣110°=70°,
∵四邊形ABCD為菱形,
∴AC平分∠BAD,
∴∠BAC=∠BAD=35°.
故選B.
點(diǎn)評: 本題考查了菱形的性質(zhì):菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì);菱形的四條邊都相等;菱形的兩條對角線互相垂直,并且每一條對角線平分一組對角;菱形是軸對稱圖形,它有2條對稱軸,分別是兩條對角線所在直線.
10.若關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根,則k的取值范圍( )
A. k<1且k≠0 B. k≠0 C. k<1 D. k>1
考點(diǎn): 根的判別式;一元二次方程的定義.
專題: 計算題.
分析: 根據(jù)根的判別式和一元二次方程的定義,令△>0且二次項(xiàng)系數(shù)不為0即可.
解答: 解:∵關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根,
∴△>0,
即(﹣6)2﹣4×9k>0,
解得,k<1,
∵為一元二次方程,
∴k≠0,
∴k<1且k≠0.
故選A.
點(diǎn)評: 本題考查了根的判別式和一元二次方程的定義,要知道:(1)△>0⇔方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根;
(2)△=0⇔方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根;(3)△<0⇔方程沒有實(shí)數(shù)根.
11.下列圖形都是由面積為1的正方形按一定的規(guī)律組成,其中,第(1)個圖形中面積為1的正方形有9個,第(2)個圖形中面積為1的正方形有14個,…,按此規(guī)律.則第(10)個圖形中面積為1的正方形的個數(shù)為( )
A. 72 B. 64 C. 54 D. 50
考點(diǎn): 規(guī)律型:圖形的變化類.
分析: 由第1個圖形有9個邊長為1的小正方形,第2個圖形有9+5=14個邊長為1的小正方形,第3個圖形有9+5×2=19個邊長為1的小正方形,…由此得出第n個圖形有9+5×(n﹣1)=5n+4個邊長為1的小正方形,由此求得答案即可.
解答: 解:第1個圖形邊長為1的小正方形有9個,
第2個圖形邊長為1的小正方形有9+5=14個,
第3個圖形邊長為1的小正方形有9+5×2=19個,
…
第n個圖形邊長為1的小正方形有9+5×(n﹣1)=5n+4個,
所以第10個圖形中邊長為1的小正方形的個數(shù)為5×10+4=54個.
故選:C.
點(diǎn)評: 此題考查圖形的變化規(guī)律,找出圖形與數(shù)字之間的運(yùn)算規(guī)律,利用規(guī)律解決問題.
12.已知四邊形OABC是矩形,邊OA在x軸上,邊OC在y軸上,雙曲線與邊BC交于點(diǎn)D、與對角線OB交于點(diǎn)中點(diǎn)E,若△OBD的面積為10,則k的值是( )
A. 10 B. 5 C. D.
考點(diǎn): 反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義.
分析: 設(shè)雙曲線的解析式為:y=,E點(diǎn)的坐標(biāo)是(x,y),根據(jù)E是OB的中點(diǎn),得到B點(diǎn)的坐標(biāo),求出點(diǎn)E的坐標(biāo),根據(jù)三角形的面積公式求出k.
解答: 解:設(shè)雙曲線的解析式為:y=,E點(diǎn)的坐標(biāo)是(x,y),
∵E是OB的中點(diǎn),
∴B點(diǎn)的坐標(biāo)是(2x,2y),
則D點(diǎn)的坐標(biāo)是(,2y),
∵△OBD的面積為10,
∴×(2x﹣)×2y=10,
解得,k=,
故選:D.
點(diǎn)評: 本題考查反比例系數(shù)k的幾何意義,過雙曲線上的任意一點(diǎn)分別向兩條坐標(biāo)作垂線,與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積就等于|k|.
二、耐心填一填(本大題共6個小題,每小題4分,共24分)請將每小題的正確答案填入下面的表格中.
13.分解因式:2m2﹣2= 2(m+1)(m﹣1) .
考點(diǎn): 提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用.
專題: 壓軸題.
分析: 先提取公因式2,再對剩余的多項(xiàng)式利用平方差公式繼續(xù)分解因式.
解答: 解:2m2﹣2,
=2(m2﹣1),
=2(m+1)(m﹣1).
故答案為:2(m+1)(m﹣1).
點(diǎn)評: 本題考查了提公因式法,公式法分解因式,關(guān)鍵在于提取公因式后繼續(xù)利用平方差公式進(jìn)行二次因式分解.
14.若分式的值為零,則x= ﹣3 .
考點(diǎn): 分式的值為零的條件.
專題: 計算題.
分析: 分式的值為零,分子等于0,分母不為0.
解答: 解:根據(jù)題意,得
|x|﹣3=0且x﹣3≠0,
解得,x=﹣3.
故答案是:﹣3.
點(diǎn)評: 本題考查了分式的值為0的條件.若分式的值為零,需同時具備兩個條件:(1)分子為0;(2)分母不為0.這兩個條件缺一不可.
15.如圖,在矩形ABCD中,對角線AC,BD相交于點(diǎn)O,AB=4,∠AOD=120°,則對角線AC的長度為 8 .
考點(diǎn): 矩形的性質(zhì);含30度角的直角三角形.
分析: 由矩形的性質(zhì)得出OA=OB,再證明△AOB是等邊三角形,得出OA=OB=AB=4,得出AC=2OA即可.
解答: 解:∵四邊形ABCD是矩形,
∴OA=AC,OB=BD,AC=BD,
∴OA=OB,
∵∠AOD=120°,
∴∠AOB=60°,
∴△AOB是等邊三角形,
∴OA=OB=AB=4,
∴AC=2OA=8;
故答案為:8.
點(diǎn)評: 本題考查了矩形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì);熟練掌握矩形的性質(zhì),證明三角形是等邊三角形是解決問題的關(guān)鍵.
16.已知x=2是方程x2+mx+2=0的一個根,則m的值是 ﹣3 .
考點(diǎn): 一元二次方程的解.
分析: 將x=2代入方程即可得到一個關(guān)于m的方程,解方程即可求出m值.
解答: 解:把x=2代入方程可得:4+2m+2=0,
解得m=﹣3.
故答案為﹣3.
點(diǎn)評: 本題主要考查了方程的解的定義,把求未知系數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為方程求解的問題.
17.由于天氣炎熱,某校根據(jù)《學(xué)校衛(wèi)生工作條例》,為預(yù)防“蚊蟲叮咬”,對教室進(jìn)行“薰藥消毒”.已知藥物在燃燒機(jī)釋放過程中,室內(nèi)空氣中每立方米含藥量y(毫克)與燃燒時間x(分鐘)之間的關(guān)系如圖所示(即圖中線段OA和雙曲線在A點(diǎn)及其右側(cè)的部分),當(dāng)空氣中每立方米的含藥量低于2毫克時,對人體無毒害作用,那么從消毒開始,至少在 75 分鐘內(nèi),師生不能呆在教室.
考點(diǎn): 反比例函數(shù)的應(yīng)用.
分析: 首先根據(jù)題意,藥物釋放過程中,室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時間x(分鐘)成正比例;藥物釋放完畢后,y與x成反比例,將數(shù)據(jù)代入用待定系數(shù)法可得反比例函數(shù)的關(guān)系式;進(jìn)一步求解可得答案.
解答: 解:設(shè)反比例函數(shù)解析式為y=(k≠0),
將(25,6)代入解析式得,k=25×6=150,
則函數(shù)解析式為y=(x≥15),
當(dāng)y=2時,=2,
解得x=75.
答:從消毒開始,師生至少在75分鐘內(nèi)不能進(jìn)入教室.
點(diǎn)評: 本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用,現(xiàn)實(shí)生活中存在大量成反比例函數(shù)的兩個變量,解答該類問題的關(guān)鍵是確定兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系,然后利用待定系數(shù)法求出它們的關(guān)系式.
18.如圖,在正方形ABCD中,AB=2,將∠BAD繞著點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)α°(0<α<45),得到∠B′AD′,其中過點(diǎn)B作與對角線BD垂直的直線交射線AB′于點(diǎn)E,射線AD′與對角線BD交于點(diǎn)F,連接CF,并延長交AD于點(diǎn)M,當(dāng)滿足S四邊形AEBF=S△CDM時,線段BE的長度為 2﹣2 .
考點(diǎn): 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì);正方形的性質(zhì).
分析: 先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠EAB=∠FAD=α,再根據(jù)正方形的性質(zhì)得AB=AD,∠ADB=∠ABD=45°,則利用BE⊥BD得∠EBA=∠FDA=45°,于是可根據(jù)“ASA”判定△ABE≌△ADF,得到S△ABE=S△ADF,所以S四邊形AEBF=S△ABD=4,則S△CDM=2,利用三角形面積公式可計算出DM=2,延長AB到M′使BM′=DM=2,如圖,接著根據(jù)勾股定理計算出CM=2,再通過證明△BCM≌△DCM得到CM′=CM=2,∠BCM′=∠DCM,然后證∠M′NC=∠M′CN得到M′N=M′C=2,則BN=M′C﹣BM′=2﹣2.
解答: 解:∵∠BAD繞著點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)α°(0<α<45°),得到∠B′AD′,
∴∠EAB=∠FAD=α,
∵四邊形ABCD為正方形,
∴AB=AD,∠ADB=∠ABD=45°,∵BE⊥BD,
∴∠EBD=90°,
∴∠EBA=45°,
∴∠EBA=∠FDA,
在△ABE和△ADF中,
,
∴△ABE≌△ADF(ASA),
∴S△ABE=S△ADF,
∴S四邊形AEBF=S△ABE+S△ABF=S△ADF+S△ABF=S△ABD=×2×2=4,
∵S四邊形AEBF=S△CDM,
∴S△CDM==2,
∴DM•2=2,解得DM=2,
延長AB到M′使BM′=DM=2,如圖,
在Rt△CDM中,CM==2,
在△BCM′和△DCM中
,
∴△BCM≌△DCM(SAS),
∴CM′=CM=2,∠BCM′=∠DCM,
∵AB∥CD,
∴∠M′NC=∠DCN=∠DCM+∠NCM=∠BCM′+∠NCM,
而NC平分∠BCM,
∴∠NCM=∠BCN,
∴∠M′NC=∠BCM′+∠BCN=∠M′CN,
∴M′N=M′C=2,
∴BN=M′C﹣BM′=2﹣2.
故答案為:2﹣2.
點(diǎn)評: 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì):對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等;對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角;旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.也考查了正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì).
三.解答題(本大題共4個小題,19題10分,20題8分,21題8分,22題8分,共34分)解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟.
19.解方程:
(1)x2﹣6x﹣2=0
(2)=+1.
考點(diǎn): 解一元二次方程-配方法;解分式方程.
分析: (1)移項(xiàng),配方,再開方,即可得出兩個一元一次方程,求出方程的解即可;
(2)先把分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程,求出方程的解,再進(jìn)行檢驗(yàn)即可.
解答: 解:(1)x2﹣6x﹣2=0,
x2﹣6x=2,
x2﹣6x+9=2+9,
(x﹣3)2=11,
x﹣3=,
x1=3+,x2=3﹣;
(2)方程兩邊都乘以x﹣2得:1﹣x=﹣1+x﹣2,
解這個方程得:x=2,
檢驗(yàn):當(dāng)x=2時,x﹣2=0,
所以x=2不是原方程的解,
所以原方程無解.
點(diǎn)評: 本題考查了解一元二次方程,解分式方程的應(yīng)用,解(1)小題的關(guān)鍵是能把一元二次方程轉(zhuǎn)化成一元一次方程,解分式方程的關(guān)鍵是能把分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程.
20.如圖,在▱ABCD中,∠ABD的平分線BE交AD于點(diǎn)E,∠CDB的平分線DF交BC于點(diǎn)F,連接BD.
(1)求證:△ABE≌△CDF;
(2)若AB=DB,求證:四邊形DFBE是矩形.
考點(diǎn): 矩形的判定;全等三角形的判定與性質(zhì);平行四邊形的性質(zhì).
專題: 證明題.
分析: (1)根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得出AB=CD,∠A=∠C.求出∠ABD=∠CDB.推出∠ABE=∠CDF,根據(jù)ASA推出全等即可;
(2)根據(jù)全等得出AE=CF,根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得出AD∥BC,AD=BC,推出DE∥BF,DE=BF,得出四邊形DFBE是平行四邊形,根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出∠DEB=90°,根據(jù)矩形的判定推出即可.
解答: 證明:(1)在□ABCD中,AB=CD,∠A=∠C.
∵AB∥CD,
∴∠ABD=∠CDB.
∵BE平分∠ABD,DF平分∠CDB,
∴∠ABE=∠ABD,∠CDF=∠CDB.
∴∠ABE=∠CDF.
∵在△ABE和△CDF中,
∴△ABE≌△CDF(ASA).
(2)∵△ABE≌△CDF,
∴AE=CF,
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AD∥BC,AD=BC,
∴DE∥BF,DE=BF,
∴四邊形DFBE是平行四邊形,
∵AB=DB,BE平分∠ABD,
∴BE⊥AD,即∠DEB=90°.
∴平行四邊形DFBE是矩形.
點(diǎn)評: 本題考查了平行線的性質(zhì),平行四邊形的性質(zhì)和判定,矩形的判定,全等三角形的性質(zhì)和判定,角平分線定義等知識點(diǎn)的應(yīng)用,主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力.
21.如圖,一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象過點(diǎn)P(﹣,0),且與反比例函數(shù)y=(m≠0)的圖象相交于點(diǎn)A(﹣2,1)和點(diǎn)B.
(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式;
(2)求點(diǎn)B的坐標(biāo),并根據(jù)圖象回答:當(dāng)x在什么范圍內(nèi)取值時,一次函數(shù)的函數(shù)值小于反比例函數(shù)的函數(shù)值?
考點(diǎn): 反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題.
專題: 數(shù)形結(jié)合;待定系數(shù)法.
分析: (1)根據(jù)待定系數(shù)法,可得函數(shù)解析式;
(2)根據(jù)二元一次方程組,可得函數(shù)圖象的交點(diǎn),根據(jù)一次函數(shù)圖象位于反比例函數(shù)圖象的下方,可得答案.
解答: 解:(1)一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象過點(diǎn)P(﹣,0)和A(﹣2,1),
∴,解得,
∴一次函數(shù)的解析式為y=﹣2x﹣3,
反比例函數(shù)y=(m≠0)的圖象過點(diǎn)A(﹣2,1),
∴,解得m=﹣2,
∴反比例函數(shù)的解析式為y=﹣;
(2),
解得,或,
∴B(,﹣4)
由圖象可知,當(dāng)﹣2
點(diǎn)評: 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題,待定系數(shù)法是求函數(shù)解析式的關(guān)鍵.
22.童裝店在服裝銷售中發(fā)現(xiàn):進(jìn)貨價每件60元,銷售價每件100元的某童裝平均每天可售出20件.為了迎接“六一”,童裝店決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施,擴(kuò)大銷售量,增加盈利.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn):如果每件童裝降價1元,那么平均每天就可多售出2件,
(1)降價前,童裝店每天的利潤是多少元?
(2)如果童裝店每要每天銷售這種童裝盈利1200元,同時又要使顧客得到更多的實(shí)惠,那么每件童裝應(yīng)降價多少元?
考點(diǎn): 一元二次方程的應(yīng)用.
專題: 銷售問題.
分析: (1)用降價前每件利潤×銷售量列式計算即可;
(2)設(shè)每件童裝降價x元,利用童裝平均每天售出的件數(shù)×每件盈利=每天銷售這種童裝利潤列出方程解答即可.
解答: 解:(1)童裝店降價前每天銷售該童裝可盈利:
(100﹣60)×20=800(元);
(2)設(shè)每件童裝降價x元,根據(jù)題意,得
(100﹣60﹣x)(20+2x)=1200,
解得:x1=10,x2=20.
∵要使顧客得到更多的實(shí)惠,
∴取x=20.
答:童裝店應(yīng)該降價20元.
點(diǎn)評: 此題主要考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用和二次函數(shù)實(shí)際中的應(yīng)用,此題找到關(guān)鍵描述語,找到等量關(guān)系準(zhǔn)確的列出方程或函數(shù)關(guān)系式是解決問題的關(guān)鍵.最后要注意判斷所求的解是否符合題意,舍去不合題意的解.
四、解答題(本大題共2個小題,每小題10分,共20分)解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟.
23.先化簡,再求值:(﹣)÷(﹣1),其中a是方程a2﹣4a+2=0的解.
考點(diǎn): 分式的化簡求值;一元二次方程的解.
專題: 計算題.
分析: 原式括號中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的加減法則計算,同時利用除法法則變形,約分得到最簡結(jié)果,把已知等式變形后代入計算即可求出值.
解答: 解:原式=[﹣]÷=•=,
由a2﹣4a+2=0,得a2﹣4a=﹣2,
則原式=.
點(diǎn)評: 此題考查了分式的化簡求值,熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.
24.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,對于任意兩點(diǎn)P1(x1,y1)與P2(x2,y2)的“非常距離”,給出如下定義:
若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|,則點(diǎn)P1與點(diǎn)P2的“非常距離”為|x1﹣x2|;
若|x1﹣x2|<|y1﹣y2|,則點(diǎn)P1與點(diǎn)P2的“非常距離”為|y1﹣y2|.
例如:點(diǎn)P1(1,2),點(diǎn)P1(3,5),因?yàn)閨1﹣3|<|2﹣5|,所以點(diǎn)P1與點(diǎn)P2的“非常距離”為|2﹣5|=3,也就是圖1中線段P1Q與線段P2Q長度的較大值(點(diǎn)Q為垂直于y軸的直線P1Q與垂直于x軸的直線P2Q的交點(diǎn)).
(1)已知點(diǎn)A(﹣),B為y軸上的一個動點(diǎn),①若點(diǎn)A與點(diǎn)B的“非常距離”為2,寫出滿足條件的點(diǎn)B的坐標(biāo);②直接寫出點(diǎn)A與點(diǎn)B的“非常距離”的最小值;
(2)如圖2,已知C是直線上的一個動點(diǎn),點(diǎn)D的坐標(biāo)是(0,1),求點(diǎn)C與點(diǎn)D的“非常距離”最小時,相應(yīng)的點(diǎn)C的坐標(biāo).
考點(diǎn): 一次函數(shù)綜合題.
分析: (1)①根據(jù)點(diǎn)B位于y軸上,可以設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,y).由“非常距離”的定義可以確定|0﹣y|=2,據(jù)此可以求得y的值;
?、谠O(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,y),根據(jù)|﹣﹣0|≥|0﹣y|,得出點(diǎn)A與點(diǎn)B的“非常距離”最小值為|﹣﹣0|,即可得出答案;
(2)設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x0,x0+3).根據(jù)材料“若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|,則點(diǎn)P1與點(diǎn)P2的“非常距離”為|x1﹣x2|”知,C、D兩點(diǎn)的“非常距離”的最小值為﹣x0=x0+2,據(jù)此可以求得點(diǎn)C的坐標(biāo);
解答: 解:(1)①∵B為y軸上的一個動點(diǎn),
∴設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,y).
∵|﹣﹣0|=≠2,
∴|0﹣y|=2,
解得,y=2或y=﹣2;
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是(0,2)或(0,﹣2);
?、谠O(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,y).
∵|﹣﹣0|≥|0﹣y|,
∴點(diǎn)A與點(diǎn)B的“非常距離”最小值為|﹣﹣0|=;
(2)如圖2,取點(diǎn)C與點(diǎn)D的“非常距離”的最小值時,需要根據(jù)運(yùn)算定義“若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|,
則點(diǎn)P1與點(diǎn)P2的“非常距離”為|x1﹣x2|”解答,此時|x1﹣x2|=|y1﹣y2|.
即AC=AD,
∵C是直線y=x+3上的一個動點(diǎn),點(diǎn)D的坐標(biāo)是(0,1),
∴設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x0,x0+3),
∴﹣x0=x0+2,
此時,x0=﹣,
∴點(diǎn)C與點(diǎn)D的“非常距離”的最小值為:|x0|=,
此時C(﹣,).
點(diǎn)評: 本題考查了一次函數(shù)綜合題.對于信息給予題,一定要弄清楚題干中的已知條件.本題中的“非常距離”的定義是正確解題的關(guān)鍵.
五.解答題(本大題共2個小題,25題12分,26題12分,共24分)解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟.
25.如圖,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,E是對角線AC上任意一點(diǎn),F(xiàn)是線段BC延長線上一點(diǎn),且CF=AE,連接BE、EF.
(1)如圖1,當(dāng)E是線段AC的中點(diǎn),且AB=2時,求△ABC的面積;
(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E不是線段AC的中點(diǎn)時,求證:BE=EF;
(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)E是線段AC延長線上的任意一點(diǎn)時,(2)中的結(jié)論是否成立?若成立,請給予證明;若不成立,請說明理由.
考點(diǎn): 四邊形綜合題.
分析: (1)根據(jù)菱形的性質(zhì)證明△ABC是等邊三角形和AB=2,求出△ABC的面積;
(2)作EG∥BC交AB于G,證明△BGE≌△ECF,得到BE=EF;
(3)作EH∥BC交AB的延長線于H,證明△BHE≌△ECF,得到BE=EF.
解答: 解:(1)∵四邊形ABCD是菱形,∠ABC=60°,
∴△ABC是等邊三角形,又E是線段AC的中點(diǎn),
∴BE⊥AC,AE=AB=1,
∴BE=,
∴△ABC的面積=×AC×BE=;
(2)如圖2,作EG∥BC交AB于G,
∵△ABC是等邊三角形,
∴△AGE是等邊三角形,
∴BG=CE,
∵EG∥BC,∠ABC=60°,
∴∠BGE=120°,
∵∠ACB=60°,
∴∠ECF=120°,
∴∠BGE=∠ECF,
在△BGE和△ECF中,
,
∴△BGE≌△ECF,
∴EB=EF;
(3)成立,
如圖3,作EH∥BC交AB的延長線于H,
∵△ABC是等邊三角形,
∴△AHE是等邊三角形,
∴BH=CE,
在△BHE和△ECF中,
,
∴△BHE≌△ECF,
∴EB=EF.
點(diǎn)評: 本題考查的是菱形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì),正確作出輔助線、靈活運(yùn)用相關(guān)的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.
26.如圖,已知點(diǎn)A是直線y=2x+1與反比例函數(shù)y=(x>0)圖象的交點(diǎn),且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1.
(1)求k的值;
(2)如圖1,雙曲線y=(x>0)上一點(diǎn)M,若S△AOM=4,求點(diǎn)M的坐標(biāo);
(3)如圖2所示,若已知反比例函數(shù)y=(x>0)圖象上一點(diǎn)B(3,1),點(diǎn)P是直線y=x上一動點(diǎn),點(diǎn)Q是反比例函數(shù)y=(x>0)圖象上另一點(diǎn),是否存在以P、A、B、Q為頂點(diǎn)的平行四邊形?若存在,請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
考點(diǎn): 反比例函數(shù)綜合題.
分析: (1)點(diǎn)A是直線y=2x+1的點(diǎn),點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1,代入y=2×1+1=3,求得點(diǎn)A即可得到結(jié)果;
(2)如圖1,設(shè)點(diǎn)M(m,),過A作AE⊥x軸于E,過M作MF⊥x軸于F,根據(jù)題意得:S△AOM=S梯形AEFM=(3+)(m﹣1)=4,解方程即可得到結(jié)果;
(3)首先求得反比例函數(shù)的解析式,然后設(shè)P(m,m),分若PQ為平行四邊形的邊和若PQ為平行四邊形的對角線兩種情況分類討論即可確定點(diǎn)Q的坐標(biāo).
解答: 解:(1)∵點(diǎn)A是直線y=2x+1的點(diǎn),點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1,
∴y=2×1+1=3,
∴A(1,3),
∵點(diǎn)A是反比例函數(shù)y=(x>0)圖象上的點(diǎn),
∴k=3;
(2)如圖1,設(shè)點(diǎn)M(m,),過A作AE⊥x軸于E,過M作MF⊥x軸于F,
根據(jù)題意得:S△AOM=S梯形AEFM=(3+)(m﹣1)=4,
解得:m=3(負(fù)值舍去),
∴M(3,1);
(3)∵反比例函數(shù)y=(x>0)圖象經(jīng)過點(diǎn)A(1,3),
∴k=1×3=3,
∴反比例函數(shù)的解析式為y=,
∵點(diǎn)P在直線y=x上,
∴設(shè)P(m,m)
,若PQ為平行四邊形的邊,
∵點(diǎn)A的橫坐標(biāo)比點(diǎn)B的橫坐標(biāo)小2,點(diǎn)A的縱坐標(biāo)比點(diǎn)B的縱坐標(biāo)大2,
∴點(diǎn)Q在點(diǎn)P的下方,則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(m+2,m﹣2)如圖2,
若點(diǎn)Q在點(diǎn)P的上方,則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(m﹣2,m+2)如圖3,
把Q(m+2,m﹣2)代入反比例函數(shù)的解析式得:m=±,
∵m>0,
∴m=,
∴Q1(+2,﹣2),
同理可得另一點(diǎn)Q2(﹣2,+2);
?、谌鬚Q為平行四邊形的對角線,如圖4,
∵A、B關(guān)于y=x對稱,
∴OP⊥AB
此時點(diǎn)Q在直線y=x上,且為直線y=x與雙曲線y=的交點(diǎn),
由
解得,(舍去)
∴Q3(,)
綜上所述,滿足條件的點(diǎn)Q有三個,坐標(biāo)分別為:Q1(+2,﹣2),Q2(﹣2,+2),Q3(,).
點(diǎn)評: 本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì),待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式,平行四邊形的判定和性質(zhì),準(zhǔn)確的畫出圖形是解題的關(guān)鍵.
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