2017年八年級上冊數(shù)學期中考試試卷
2017年八年級上冊數(shù)學期中考試試卷
八年級數(shù)學期中考試快到了，挺直胸膛，直面考試。祝你考出好成績！下面是小編為大家精心整理的2017年八年級上冊數(shù)學的期中考試試卷，僅供參考。
2017年八年級上冊數(shù)學期中考試卷
一、選擇題：每小題3分，共36分。請把正確答案的序號填入表中。
1.若分式 有意義，則x的取值應滿足( )
A.x≠3 B.x≠4 C.x≠﹣4 D.x≠﹣3
2.在以下綠色食品、回收、節(jié)能、節(jié)水四個標志中，是軸對稱圖形的是( )
A. B. C. D.
3.若 ，則M的值是( )
A.x﹣1 B.x+1 C. D.1
4.下列圖形中，△A′B′C′與△ABC關于直線MN成軸對稱的是( )
A. B. C. D.
5.等邊三角形的兩條高線相交成鈍角的度數(shù)是( )
A.105° B.120° C.135° D.150°
6.下列式子中，是分式的是( )
A. B. C. D.﹣
7.如圖，一扇窗戶打開后，用窗鉤AB可將其固定，這里所運用的幾何原理是( )
A.三角形的穩(wěn)定性 B.兩點之間線段最短
C.兩點確定一條直線 D.垂線段最短
8.下列條件中一定能使△ABC≌△DEF成立的是( )
A.兩邊對應相等 B.面積相等 C.三邊對應相等 D.周長相等
9.下列說法：①全等三角形的形狀相同、大小相等;②全等三角形的對應邊相等;③全等三角形的對應角相等;④全等三角形的周長相等，面積不相等，其中正確的為( )
A.①②③④ B.①②③ C.①②④ D.①②③④
10.如圖，△ACB≌△A1CB1，∠BCB1=40°，則∠ACA1的度數(shù)為( )
A.20° B.30° C.35° D.40°
11.如圖所示，BD、AC交于點O，若OA=OD，用SAS說明△AOB≌△DOC，還需( )
A.AB=DC B.OB=OC C.∠BAD=∠ADC D.∠AOB=∠DOC
12.利用尺規(guī)作圖不能唯一作出三角形的是( )
A.已知三邊 B.已知兩邊及夾角
C.已知兩角及夾邊 D.已知兩邊及其中一邊的對角
二、填空題：本大題共10個小題，每小題3分，共計30分。
13.化簡 的結果是__________.
14.如圖，△ABC≌△DEF，請根據(jù)圖中提供的信息，寫出x=__________.
15.如圖，AF=DC，BC∥EF，若添加條件__________，則可利用“ASA”說明△ABC≌△DEF.
16.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分線AD交BC于點D，DE∥AC，DE交AB于點E，M為BE的中點，連接DM.在不添加任何輔助線和字母的情況下，圖中的等腰三角形是__________.(寫出一個即可)
17.如圖，已知AB∥CF，E為DF的中點，若AB=11cm，CF=5cm，則BD=__________cm.
18.如圖，AB∥CD，O為∠BAC和∠ACD的平分線的交點，OE⊥AC于點E，且OE=4，則兩平行線間的距離為__________.
19.如圖，AE∥BD，C是BD上的點，且AB=BC，∠ACD=110°，則∠EAB=__________度.
20.化簡： =__________.
21.已知線段a，b，c，求作△ABC，使BC=a，AC=b，AB=c.①以點B為圓心，c為半徑圓弧;②連接AB，AC;③作BC=a;④以C點為圓心，b為半徑畫弧，兩弧交于點A.作法的合理順序是__________.
22.分式 的最簡公分母為__________.
三、解答題：本大題滿分54分。
23.已知線段a、b.求作等腰三角形ABC，使底邊AB=a，底邊上的高CD=b.(要求用尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)
24.如圖，AC、BD相交于點O，AC=BD，AB=CD，求證：∠A=∠D.
25.如圖，AC比AB短2cm，BC的垂直平分線交AB于點D，交BC于點E，△ACD的周長是12cm，求AB和AC的長.
26.(16分)計算：
(1)
(2)(1+ )
(3)
(4) ÷ .
27.如圖，點B在線段AD上，BC∥DE，AB=ED，BC=DB.求證：∠A=∠E.
28.如圖，△ABC為等邊三角形，∠1=∠2=∠3.
(1)求∠BEC的度數(shù);
(2)△DEF是等邊三角形嗎?為什么?
29.如圖，已知點D為等腰直角△ABC內(nèi)一點，∠CAD=∠CBD=15°，E為AD延長線上的一點，且CE=CA.
(1)求證：DE平分∠BDC;
(2)若點M在DE上，且DC=DM，求證：ME=BD.
2017年八年級上冊數(shù)學期中考試試卷參考答案
一、選擇題：每小題3分，共36分。請把正確答案的序號填入表中。
1.若分式 有意義，則x的取值應滿足( )
A.x≠3 B.x≠4 C.x≠﹣4 D.x≠﹣3
【考點】分式有意義的條件.
【分析】根據(jù)分式有意義的條件是分母不等于零列出不等式，解不等式即可.
【解答】解：由題意得 ，x+4≠0，
解得x≠﹣4.
故選：C.
【點評】本題考查的是分式有意義的條件，掌握分式有意義的條件是分母不等于零是解題的關鍵.
2.在以下綠色食品、回收、節(jié)能、節(jié)水四個標志中，是軸對稱圖形的是( )
A. B. C. D.
【考點】軸對稱圖形.
【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念求解.如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸.
【解答】解：A、是軸對稱圖形，故A符合題意;
B、不是軸對稱圖形，故B不符合題意;
C、不是軸對稱圖形，故C不符合題意;
D、不是軸對稱圖形，故D不符合題意.
故選：A.
【點評】本題主要考查軸對稱圖形的知識點.確定軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合.
3.若 ，則M的值是( )
A.x﹣1 B.x+1 C. D.1
【考點】分式的基本性質(zhì).
【分析】根據(jù)分式的分子分母都乘以(或除以)同一個不為零數(shù)或(整式)，結果不變，可得答案.
【解答】解： ，得
兩邊都除以(x﹣1)，
M=x+1，
故選：B.
【點評】本題考查了分式的基本性質(zhì)，分式的分子分母都乘以(或除以)同一個不為零數(shù)或(整式)，結果不變.
4.下列圖形中，△A′B′C′與△ABC關于直線MN成軸對稱的是( )
A. B. C. D.
【考點】軸對稱的性質(zhì).
【專題】壓軸題.
【分析】認真觀察各選項給出的圖形，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，對稱軸垂直平分線對應點的連線進行判斷.
【解答】解：根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，結合四個選項，只有B選項中對應點的連線被對稱軸MN垂直平分，所以B是符合要求的.
故選B.
【點評】本題考查軸對稱的性質(zhì);應用對應點的連線與對稱軸的位置關系是互相垂直，對應點所連的線段被對稱軸垂直平分解題是正確解答本題的關鍵.
5.等邊三角形的兩條高線相交成鈍角的度數(shù)是( )
A.105° B.120° C.135° D.150°
【考點】等邊三角形的性質(zhì);三角形內(nèi)角和定理.
【專題】計算題.
【分析】根據(jù)等邊三角形三線合一的性質(zhì)，高線即是角平分線，再利用三角形的內(nèi)角和定理知鈍角的度數(shù)是120°.
【解答】解：∵等邊△ABC的兩條高線相交于O
∴∠OAB=∠OBA=30°
∴∠AOB=180°﹣∠OAB﹣∠OBA=120°
故選B
【點評】此題主要考查了等邊三角形三線合一的性質(zhì)，比較簡單.
6.下列式子中，是分式的是( )
A. B. C. D.﹣
【考點】分式的定義.
【分析】判斷分式的依據(jù)是看分母中是否含有字母，如果含有字母則是分式，如果不 含有字母則不是分式.
【解答】解：A、 是整式，故A錯誤;
B、 是分式，故B正確;
C、分母不含字母是整式，故C錯誤;
D、分母不含字母是整式，故D錯誤;
故選：B.
【點評】本題主要考查分式的定義，注意π不是字母，是常數(shù)，所以 不是分式，是整式.
7.如圖，一扇窗戶打開后，用窗鉤AB可將其固定，這里所運用的幾何原理是( )
A.三角形的穩(wěn)定性 B.兩點之間線段最短
C.兩點確定一條直線 D.垂線段最短
【考點】三角形的穩(wěn)定性.
【分析】根據(jù)加上窗鉤，可以構成三角形的形狀，故可用三角形的穩(wěn)定性解釋.
【解答】解：構成△AOB，這里所運用的幾何原理是三角形的穩(wěn)定性.
故選：A.
【點評】本題考查三角形的穩(wěn)定性在實際生活中的應用問題.三角形的穩(wěn)定性在實際生活中有著廣泛的應用.
8.下列條件中一定能使△ABC≌△DEF成立的是( )
A.兩邊對應相等 B.面積相等 C.三邊對應相等 D.周長相等
【考點】全等三角形的判定.
【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法，分析、判斷即可.
【解答】解：根據(jù)三邊對應相等即SSS即可證明△ABC≌△DEF，
故選C
【點評】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等.
9.下列說法：①全等三角形的形狀相同、大小相等;②全等三角形的對應邊相等;③全等三角形的對應角相等;④全等三角形的周長相等，面積不相等，其中正確的為( )
A.①②③④ B.①②③ C.①②④ D.①②③④
【考點】全等三角形的性質(zhì).
【分析】全等三角形是指能夠完全重合的兩個三角形，全等三角形的對應角相等，對應邊相等，根據(jù)以上內(nèi)容判斷即可.
【解答】解：∵全等三角形是指能夠完全重合的兩個三角形，
∴全等三角形的形狀相同、大小相等，∴①正確;
∵全等三角形的對應邊相等，∴②正確;
∵全等三角形的對應角相等，∴③正確;
∵全等三角形的對應邊相等，全等三角形是指能夠完全重合的兩個三角形，
∴全等三角形的周長相等，面積相等，∴④錯誤;
故選B.
【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和定義的應 用，能運用全等三角形的性質(zhì)和定義進行推理是解此題的關鍵，注意：全等三角形的對應角相等，對應邊相等.
10.如圖，△ACB≌△A1CB1，∠BCB1=40°，則∠ACA1的度數(shù)為( )
A.20° B.30° C.35° D.40°
【考點】全等三角形的性質(zhì).
【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠ACB=∠A1CB1，求出∠ACA1=∠BCB1，代入求出即可.
【解答】解：∵△ACB≌△A1CB1，
∴∠ACB=∠A1CB1，
∴∠ACB﹣∠A1CB=∠A1CB1﹣∠A1CB，
∴∠ACA1=∠BCB1，
∵∠BCB1=40°，
∴∠ACA1=40°，
故選D.
【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)的應用，能正確運用全等三角形的性質(zhì)定理進行推理是解此題的關鍵，注意：全等三角形的對應角相等，對應邊相等.
11.如圖所示，BD、AC交于點O，若OA=OD，用SAS說明△AOB≌△DOC，還需( )
A.AB=DC B.OB=OC C.∠BAD=∠ADC D.∠AOB=∠DOC
【考點】全等三角形的判定.
【分析】要用SAS說明△AOB≌△DOC，已知有一組邊OA，OD對應相等，且有一組對頂角∠AOB，∠DOC相等，從而再添加OB=OC即滿足條件.
【解答】解：還需OB=OC
∵OA=OD，∠AOB=∠DOC，OB=OC
∴△AOB≌△DOC(SAS)
故選B.
【點評】此題主要考查學生對全等三角形的判定方法的理解及運用，做題時要根據(jù)給出的已知條件在圖形的位置來確定要添加的條件，對選項要逐個驗證.
12.利用尺規(guī)作圖不能唯一作出三角形的是( )
A.已知三邊 B.已知兩邊及夾角
C.已知兩角及夾邊 D.已知兩邊及其中一邊的對角
【考點】作圖—復雜作圖.
【分析】依據(jù)了全等三角形的判定判斷.
【解答】解：A、邊邊邊(SSS);B、兩邊夾一角(SAS);C、兩角夾一邊(ASA)都是成立的.只有D是錯誤的，故選D.
【點評】本題主要考查了作圖的理論依據(jù).
二、填空題：本大題共10個小題，每小題3分，共計30分。
13.化簡 的結果是1﹣x.
【考點】分式的乘除法.
【分析】本題考查的是分式的除法運算，做除法時要注意先把除法運算轉(zhuǎn)化為乘法運算，而做乘法運算時要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后約分.
【解答】解：原式= .
【點評】分式的除法計算首先要轉(zhuǎn)化為乘法運算，然后對式子進行化簡，化簡的方法就是把分子、分母進行分解因式，然后進行約分.分式的乘除運算實際就是分式的約分.
14.如圖，△ABC≌△DEF，請根據(jù)圖中提供的信息，寫出x=20.
【考點】全等三角形的性質(zhì).
【專題】壓軸題.
【分析】先利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠A=70°，然后根據(jù)全等三角形對應邊相等解答.
【解答】解：如圖，∠A=180°﹣50°﹣60°=70°，
∵△ABC≌△DEF，
∴EF=BC=20，
即x=20.
故答案為：20.
【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，根據(jù)角度確定出全等三角形的對應邊是解題的關鍵.
15.如圖，AF=DC，BC∥EF，若添加條件∠A=∠D，則可利用“ASA”說明△ABC≌△DEF.
【考點】全等三角形的判定.
【分析】此題是一道開放型的題目，答案不唯一，只要添加一個條件符合全等三角形的判定定理即可.
【解答】解：∠A=∠D，
理由是：∵AF=CD，
∴AF+FC=CD+FC，
∴AC=DF，
∵BC∥EF，
∴∠BCA=∠EFD，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF(ASA).
故答案為：∠A=∠D.
【點評】本題考查了全等三角形的判定定理的應用，能靈活運用全等三角形的判定定理進行推理是解此題的關鍵，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS.
16.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分線AD交BC于點D，DE∥AC，DE交AB于點E，M為BE的中點，連接DM.在不添加任何輔助線和字母的情況下，圖中的等腰三角形是△EAD或△MBD或△MDE.(寫出一個即可)
【考點】等腰三角形的判定;平行線的性質(zhì);角平分線的性質(zhì);直角三角形斜邊上的中線.
【專題】壓軸題;開放型.
【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得出∠BAD=∠DAC，由平行線的性質(zhì)得出∠EDA=∠DAC，再由直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)解答即可.
【解答】解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC，
∵DE∥AC，
∴∠EDA=∠DAC，
∵∠EDA=∠EAD，
∴ED=EA，
∴△EAD是 等腰三角形，
∵在Rt△EBD中，點M為斜邊BE的中點，
∴BM=ME=DM，
∴△MBD，△MDE是等腰三角形.
故圖中的等腰三角形是△EAD，△MBD，△MDE.
故答案為：△EAD或△MBD或△MDE.
【點評】本題考查角平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)等知識點.規(guī)律總結：本題設計到了兩個中考必考的小知識點：“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”，“角平分線+平行線”后者的主要應用模式是角平分線平分一個角，而兩直線平分，內(nèi)錯角相等，從而出現(xiàn)新的等角，進而根據(jù)等角對等邊解決問題.
17.如圖，已知AB∥CF，E為DF的中點，若AB=11cm，CF=5cm，則BD=6cm.
【考點】全等三角形的判定與性質(zhì).
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠A=∠ACF，∠AED=∠CEF，進而利用全等三角形的判定與性質(zhì)得出答案.
【解答】解：∵AB∥CF，
∴∠A=∠ACF，∠AED=∠CEF，
在△AED和△CEF中
，
∴△AED≌△CEF(AAS)，
∴FC=AD=5cm，
∴BD=AB﹣AD=11﹣5=6(cm).
故答案為：6.
【點評】此題主要考查了全 等三角形的判定與性質(zhì)，正確掌握全等三角形的判定方法是解題關鍵.
18.如圖，AB∥CD，O為∠BAC和∠ACD的平分線的交點，OE⊥AC于點E，且OE=4，則兩平行線間的距離為8.
【考點】角平分線的性質(zhì);平行線之間的距離.
【分析】過點O作MN，MN⊥AB于M，求出MN⊥CD，則MN的長度是AB和CD之間的距離;然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)，分別求出OM、ON的長度是多少，再把它們求和即可.
【解答】解：如圖，過點O作MN，MN⊥AB于M，交CD于N，
∵AB∥CD，
∴MN⊥CD，
∵AO是∠BAC的平分線，OM⊥AB，OE⊥AC，OE=4，
∴OM=OE=4，
∵CO是∠ACD的平分線，OE⊥AC，ON⊥CD，
∴ON=OE=4，
∴MN=OM+ON=8，
即AB與CD之間的距離是8.
故答案為：8.
【點評】此題主要考查了角平分線的性質(zhì)和平行線之間的距離的應用，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：①角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等，②從一條平行線上的任意一點到另一條直線作垂線，垂線段的長度叫兩條平行線之間的距離，③平行線間的距離處處相等.
19.如圖，AE∥BD，C是BD上的點，且AB=BC，∠ACD=110°，則∠EAB=40度.
【考點】等腰三角形的性質(zhì);平行線的性質(zhì).
【分析】首先利用∠ACD=110°求得∠ACB與∠BAC的度數(shù)，然后利用三角形內(nèi)角和定理求得∠B的度數(shù)，然后利用平行線的性質(zhì)求得結論即可.
【解答】解：∵AB=BC，
∴∠ACB=∠BAC
∵∠ACD=110°
∴∠ACB=∠BAC=70°
∴∠B=∠40°，
∵AE∥BD，
∴∠EAB=40°，
故答案為40.
【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)，題目相對比較簡單，屬于基礎題.
20.化簡： =x+2.
【考點】分式的加減法.
【專題】計算題.
【分析】先轉(zhuǎn)化為同分母(x﹣2)的分式相加減，然后約分即可得解.
【解答】解： +
= ﹣
=
=x+2.
故答案為：x+2.
【點評】本題考查了分式的加減法，把互為相反數(shù)的分母化為同分母是解題的關鍵.
21.已知線段a，b，c，求作△ABC，使BC=a，AC=b，AB=c.①以點B為圓心，c為半徑圓弧;②連接AB，AC;③作BC=a;④以C點為圓心，b為半徑畫弧，兩弧交于點A.作法的合理順序是③①④②.
【考點】作圖—復雜作圖.
【專題】作圖題.
【分析】作△ABC，先確定一 邊，然后確定第三個頂點.
【解答】解：先作BC=a，再以點B為圓心，c為半徑圓弧;接著以C點為圓心，b為半徑畫弧，兩弧交于點A，然后連接AB，AC，則△ABC為所作.
故答案為③①④②.
【點評】本題考查了作圖﹣復雜作圖：復雜作 圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法.解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結合幾何圖形的基本性質(zhì)把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.
22.分式 的最簡公分母為10xy2.
【考點】最簡公分母.
【分析】通常取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與字母因式的最高次冪的積作公分母，這樣的公分母叫做最簡公分母.
【解答】解：因為系數(shù)的最小公倍數(shù)為10，x最高次冪為1，y的最高次冪為2，所以最簡公分母為10xy2.
【點評】此題主要考查了學生的最簡公分母的定義即通常取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與字母因式的最高次冪的積作公分母，這樣的公分母叫做最簡公分母.
三、解答題：本大題滿分54分。
23.已知線段a、b.求作等腰三角形ABC，使底邊AB=a，底邊上的高CD=b.(要求用尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)
【考點】作圖—復雜作圖.
【專題】計算題.
【分析】(1)作AB=a;
(2)作AB的垂直平分線CF，垂足為C;
(3)在CF上截取CD=b;
(4)連接AD、BD，即可得等腰三角形.
【解答】解：如圖，△ABD即為所求三角形.
【點評】本題考查了復雜作圖，要熟悉線段垂直平分線的作法和等腰 三角形的判定和性質(zhì).難度不大，要注意不能用刻度尺測量.
24.如圖，AC、BD相交于點O，AC=BD，AB=CD，求證：∠A=∠D.
【考點】全等三角形的判定與性質(zhì).
【專題】證明題.
【分析】連接B、C兩點，要證∠A=∠D.則證明△ABC≌△DCB即可，由題中AC=BD，AB=CD，BC是公共邊即可得△ABC≌△DCB，進而的∠A=∠D
【解答】
證明：連接B、C兩點，
在△ABC和△DCB中，
∵AC=BD，AB=CD，BC是公共邊，
∴△ABC≌△DCB，
∴∠A=∠D.
【點評】這一題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，同學們應靈活掌握.
25.如圖，AC比AB短2cm，BC的垂直平分線交AB于點D，交BC于點E，△ACD的周長是12cm，求AB和AC的長.
【考點】線段垂直平分線的性質(zhì).
【分析】根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)求出BD=DC，根據(jù)三角形周長求出AB+AC=12cm，根據(jù)已知得出AC=AB﹣2cm，即可求出答案.
【解答】解：∵BC的垂直平分線交AB于點D，交BC于點E，
∴BD=DC，
∵△ACD的周長是12cm，
∴AD+DC+AC=12cm，
∴AD+BD+AC=AB+AC=12cm，
∵AC比AB短2cm，
∴AC=AB﹣2cm，
∴AC=5cm，AB=7cm.
【點評】本題考查了解二元一次方程組，線段垂直平分線性質(zhì)的應用，能得出關于AB、AC的方程是解此題的關鍵，注意：線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等.
26.(16分)計算：
(1)
(2)(1+ )
(3)
(4) ÷ .
【考點】分式的混合運算.
【分析】(1)先因式分解，再約分即可;
(2)先計算括號里面的，再因式分解，再約分即可;
(3)先因式分解，再約分，最后算加減即可;
(4)先算括號里面的，再因式分解，約分即可;
【解答】解：(1)原式= •
=2x;
(2)原式= •
= ;
( 3 )原式= ﹣ •
= ﹣
=
=
=﹣ ;
(4)原式= ÷
= •
= .
【點評】本題考查的是分式的混合運算，熟知分式混合運算的法則是解答此題的關鍵.
27.如圖，點B在線段AD上，BC∥DE，AB=ED，BC=DB.求證：∠A=∠E.
【考點】全等三角形的判定與性質(zhì).
【專題】證明題.
【分析】由全等三角形的判定定理SAS證得△ABC≌△EDB，則對應角相等：∠A=∠E.
【解答】證明：如圖，∵BC∥DE，
∴∠ABC=∠BDE.
在△ABC與△EDB中，
∴△ABC≌△EDB (SAS)，
∴∠A=∠E.
【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì).全等三角形的判定是結合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具.在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當?shù)呐卸l件.
28.如圖，△ABC為等邊三角形，∠1=∠2=∠3.
(1)求∠BEC的度數(shù);
(2)△DEF是等邊三角形嗎?為什么?
【考點】等邊三角形的判定與性質(zhì).
【分析】(1)求∠BEC的度數(shù)，可利用180°減去∠BEC的外角進行求解，只要求得∠BEF即可，利用三角形的外角的性質(zhì)可得答案.
(2)根據(jù)三個內(nèi)角都是60度的三角形是等邊三角形進行證明.
【解答】解：(1)∵△ABC為等邊三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠3+∠BCE=60°.
∵∠2=∠3，
∴∠BEF=∠2+∠BCE=60°，
∴∠BEC=180°﹣(∠2+∠BCE)=120°.
(2)△DEF是等邊三角形.理由如下：
由(1)知，∠BEC=120°，則∠DEF=60°.
同理，∠EFD=∠F DE=60°，
∴△DEF是等邊三角形.
【點評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì);利用外角的性質(zhì)得到∠BEF=60°是正確解答本題的關鍵.
29.如圖，已知點D為等腰直角△ABC內(nèi)一點，∠CAD=∠CBD=15°，E為AD延長線上的一點，且CE=CA.
(1)求證：DE平分∠BDC;
(2)若點M在DE上，且DC=DM，求證：ME=BD.
【考點】全等三角形的判定與性質(zhì);等邊三角形的判定與性質(zhì);等腰直角三角形.
【專題】證明題;壓軸題.
【分析】(1)根據(jù)等腰直角△ABC，求出CD是邊AB的垂直平分線，求出CD平分∠ACB，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出∠BDE=∠CDE=60°即可.
(2)連接MC，可得△MDC是等邊三角形，可求證∠EMC=∠ADC.再證明△ADC≌△EMC即可.
【解答】證明：(1)∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
∵∠CAD=∠CBD=15°，
∴∠BAD=∠ABD=45°﹣15°=30°，∠ABD=∠ABC﹣15°=30°，
∴BD=AD，
∴D在AB的垂直平分線上，
∵AC=BC，
∴C也在AB的垂直平分線上，
即直線CD是AB的垂直平分線，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠CDE=15°+45°=60°，
∴∠BDE=∠DBA+∠BAD=60°;
∴∠CDE=∠BDE，
即DE平分∠BDC.
(2)如圖，連接MC.
∵DC=DM，且∠MDC=60°，
∴△MDC是等邊三角形，即CM=CD.∠DMC=∠MDC=60°，
∵∠ADC+∠MDC=180°，∠DMC+∠EMC=180°，
∴∠EMC=∠ADC.
又∵CE=CA，
∴∠DAC=∠CEM.
在△ADC與△EMC中，
，
∴△ADC≌△EMC(AAS)，
∴ME=AD=BD.
【點評】此題主要考查等腰直角三角形，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)的等知識點，難易程度適中，是一道很典型的題目.
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