人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上期末試題
人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上期末試題
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人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末試題
一、選擇題(本大題共10小題，每小題3分，共30分)每小題給出的4個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)將所選選項(xiàng)的字母填寫在答題卷相應(yīng)的位置上.
1.已知三角形的兩條邊長分別為3和4，則第三邊的長不可能是( )
A.3 B.4 C.6 D.7
2.要使分式 有意義，則x的取值范圍是( )
A.x=1 B.x≠1 C.x=﹣1 D.x≠﹣1
3.在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=10，則BC的長是( )
A.5 B.6 C.8 D.10
4.下列圖形中，不是軸對(duì)稱圖形的是( )
A. B. C. D.
5.點(diǎn)M(3，2)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為( )
A.(﹣3，2) B.(3，﹣2) C.(﹣3，﹣2) D.(3，2)
6.下列運(yùn)算正確的是( )
A.a4•a2=a8 B.a8÷a2=a4 C.(a3)2=a5 D.(2ab2)2=4a2b4
7.用科學(xué)記數(shù)法表示0.000 010 8，結(jié)果是( )
A.1.08×10﹣5 B.1.8×10﹣6 C.1.08×10﹣4 D.1.8×10﹣5
8.下列式子不正確的是( )
A. B.(﹣2)﹣2=4 C. =8 D.(﹣2)0=1
9.如圖，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′=30°，則∠ACA′的度數(shù)為( )
A.20° B.30° C.35° D.40°
10.如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，BE⊥AC，則下列結(jié)論不正確的是( )
A.BD=DC B.CE=AE C.∠BAD=∠CAD D.∠CBE=∠DAC
二、填空題(本大題共6小題，每小題4分，共24分)請(qǐng)將下列各題的正確答案寫在答題卷相應(yīng)的位置上.
11.計(jì)算：2x2•3xy=__________.
12.計(jì)算：(x﹣2)2=__________.
13.因式分解：8x2﹣2=__________.
14.方程 的解為__________.
15.一個(gè)六邊形的內(nèi)角和是__________.
16.Rt△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AC于E，若BC=8，DE=3，則CD的長度是__________.
三、解答題(一)(本大題共3小題，每小題6分，共18分)
17.計(jì)算：
(1)(﹣2xy2)2•(xy)3;
(2)(x﹣y)(x2+xy+y2).
18.計(jì)算： .
19.已知∠ABC.
(1)用尺規(guī)作圖：作∠DEF，使∠DEF=∠ABC(不寫作法，保留作圖痕跡);
(2)在上述作圖過程中，得到哪些相等的線段?
四、解答題(四)(本大題共3小題，每小題7分，共21分)
20.先化簡，后求值：(x+3y)2+(x+3y)(x﹣3y)﹣6y(x﹣1)，其中x=2， .
21.如圖，已知點(diǎn)C，E在線段BF上，AC=DE，BE=CF，∠ACB=∠DEF.求證：AB=DF.
22.我市某一城市綠化工程，若由甲隊(duì)單獨(dú)完成需要60天.現(xiàn)由甲隊(duì)先做20天，剩下的工程由甲，乙兩隊(duì)合作24天可完成，求乙隊(duì)單獨(dú)完成該工程需要多少天.
五、解答題(三)(本大題共3小題，每小題9分，共27分)
23.(1)先化簡，后求值： ，其中x=3;
(2)已知 ，求 的值.
24.如圖，在△ABC中，BE⊥AC，CF⊥AB，BE與CF相交于點(diǎn)D，且BD=AC，點(diǎn)G在CF的延長線上，且CG=AB.
(1)證明：△ABD≌△GCA;
(2)判斷△ADG是怎樣的三角形;
(3)證明：GF=FD.
25.如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，AC=2a，點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是AC的任意一點(diǎn)，點(diǎn)D在BC邊上，且滿足PB=PD，作DE⊥AC于點(diǎn)E，設(shè)DE=x.
(1)證明：PE=OB;
(2)若△PDC的面積為y，用a，x表示y，并求當(dāng)x=2時(shí)，y的值;
(3)記m=AP•PC+x2，證明：不論點(diǎn)P在什么位置，m的值不變.
人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上期末試題參考答案
一、選擇題(本大題共10小題，每小題3分，共30分)每小題給出的4個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)將所選選項(xiàng)的字母填寫在答題卷相應(yīng)的位置上.
1.已知三角形的兩條邊長分別為3和4，則第三邊的長不可能是( )
A.3 B.4 C.6 D.7
【考點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系.
【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系得出，任意兩邊之和大于第三邊以及任意兩邊之差小于第三邊，即可得出第三邊的取值范圍.
【解答】解：∵此三角形且兩邊為3和4，
∴第三邊的取值范圍是：1
在這個(gè)范圍內(nèi)的都符合要求.
故選D.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形三邊關(guān)系，根據(jù)第三邊的范圍是：大于已知的兩邊的差，而小于兩邊的和是解決問題的關(guān)鍵.
2.要使分式 有意義，則x的取值范圍是( )
A.x=1 B.x≠1 C.x=﹣1 D.x≠﹣1
【考點(diǎn)】分式有意義的條件.
【分析】分式有意義的條件是分母不等于零.
【解答】解：∵分式 有意義，
∴x﹣1≠0.
解得;x≠1.
故選：B.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是分式有意義的條件，掌握分式有意義的條件是解題的關(guān)鍵.
3.在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=10，則BC的長是( )
A.5 B.6 C.8 D.10
【考點(diǎn)】含30度角的直角三角形.
【分析】根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)得出BC= AB，代入求出即可.
【解答】解：
∵在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
∴BC= AB，
∵AB=10，
∴BC=5，
故選A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了含30度角的直角三角形性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，注意：在直角三角形中，如果有一個(gè)角是30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.
4.下列圖形中，不是軸對(duì)稱圖形的是( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】軸對(duì)稱圖形.
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念：如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸進(jìn)行分析即可.
【解答】解：A、B、C都是軸對(duì)稱圖形，只有D不是軸對(duì)稱圖形，
故選：D.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了軸對(duì)稱圖形定義，判斷軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分沿對(duì)稱軸折疊后可重合.
5.點(diǎn)M(3，2)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為( )
A.(﹣3，2) B.(3，﹣2) C.(﹣3，﹣2) D.(3，2)
【考點(diǎn)】關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo).
【分析】根據(jù)關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相等回答即可.
【解答】解：點(diǎn)M(3，2)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(﹣3，2).
故選：A.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相等;關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，橫坐標(biāo)相等.
6.下列運(yùn)算正確的是( )
A.a4•a2=a8 B.a8÷a2=a4 C.(a3)2=a5 D.(2ab2)2=4a2b4
【考點(diǎn)】同底數(shù)冪的除法;同底數(shù)冪的乘法;冪的乘方與積的乘方.
【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法底數(shù)不變指數(shù)相加，同底數(shù)冪的除法底數(shù)不變指數(shù)相減，冪的乘方底數(shù)不變指數(shù)相乘，根據(jù)積的乘方等于乘方的積，可得答案.
【解答】解：A、同底數(shù)冪的乘法底數(shù)不變指數(shù)相加，故A錯(cuò)誤;
B、同底數(shù)冪的除法底數(shù)不變指數(shù)相減，故B錯(cuò)誤;
C、冪的乘方底數(shù)不變指數(shù)相乘，故C錯(cuò)誤;
D、積的乘方等于乘方的積，故D正確;
故選：D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了同底數(shù)冪的除法，熟記法則并根據(jù)法則計(jì)算是解題關(guān)鍵.
7.用科學(xué)記數(shù)法表示0.000 010 8，結(jié)果是( )
A.1.08×10﹣5 B.1.8×10﹣6 C.1.08×10﹣4 D.1.8×10﹣5
【考點(diǎn)】科學(xué)記數(shù)法—表示較小的數(shù).
【分析】絕對(duì)值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為a×10﹣n，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定.
【解答】解：0.000 010 8=1.08×10﹣5，
故選：A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a×10﹣n，其中1≤|a|<10，n為由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定.
8.下列式子不正確的是( )
A. B.(﹣2)﹣2=4 C. =8 D.(﹣2)0=1
【考點(diǎn)】負(fù)整數(shù)指數(shù)冪;零指數(shù)冪.
【分析】根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪與正整數(shù)指數(shù)冪互為倒數(shù)，非零的零次冪等于1，可得答案.
【解答】解：A、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪與正整數(shù)指數(shù)冪互為倒數(shù)，故A正確;
B、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪與正整數(shù)指數(shù)冪互為倒數(shù)，故B錯(cuò)誤;
C、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪與正整數(shù)指數(shù)冪互為倒數(shù)，故C正確;
D、非零的零次冪等于1，故D正確;
故選：B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪與正整數(shù)指數(shù)冪互為倒數(shù)，非零的零次冪等于1.
9.如圖，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′=30°，則∠ACA′的度數(shù)為( )
A.20° B.30° C.35° D.40°
【考點(diǎn)】全等三角形的性質(zhì).
【專題】計(jì)算題.
【分析】本題根據(jù)全等三角形的性質(zhì)并找清全等三角形的對(duì)應(yīng)角即可.
【解答】解：∵△ACB≌△A′CB′，
∴∠ACB=∠A′CB′，
即∠ACA′+∠A′CB=∠B′CB+∠A′CB，
∴∠ACA′=∠B′CB，
又∠B′CB=30°
∴∠ACA′=30°.
故選：B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定及全等三角形性質(zhì)的應(yīng)用，利用全等三角形的性質(zhì)求解.
10.如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，BE⊥AC，則下列結(jié)論不正確的是( )
A.BD=DC B.CE=AE C.∠BAD=∠CAD D.∠CBE=∠DAC
【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì).
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BD=CD，∠BAD=∠CAD，故①③正確;根據(jù)垂直的定義得到∠ADC=∠BEC=90°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠CBE=∠DAC，故④正確;由AB≠BC，AD⊥BC，得到CE≠AE.故③錯(cuò)誤.
【解答】解：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，∠BAD=∠CAD，故①③正確;
∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠CBE=90°﹣∠C，∠DAC=90°﹣∠C，
∴∠CBE=∠DAC，故④正確;
∵AB≠BC，AD⊥BC，
∴CE≠AE，
故選B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟記等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
二、填空題(本大題共6小題，每小題4分，共24分)請(qǐng)將下列各題的正確答案寫在答題卷相應(yīng)的位置上.
11.計(jì)算：2x2•3xy=6x3y.
【考點(diǎn)】單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式;同底數(shù)冪的乘法.
【分析】根據(jù)單項(xiàng)式與單項(xiàng)式的乘法運(yùn)算，系數(shù)與系數(shù)相乘作為系數(shù)，相同的字母相乘，同底數(shù)的冪相乘，底數(shù)不變指數(shù)相加，計(jì)算即可.
【解答】解：2x2•3xy=2×3x2•x•y=6x3y.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式的法則，是基礎(chǔ)題.
12.計(jì)算：(x﹣2)2=x2﹣4x+4.
【考點(diǎn)】完全平方公式.
【專題】常規(guī)題型.
【分析】利用完全平方公式展開即可.完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2.
【解答】解：(x﹣2)2=x2﹣2×2x+22=x2﹣4x+4.
故答案為：x2﹣4x+4.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了完全平方公式，熟記公式是解題的關(guān)鍵.
13.因式分解：8x2﹣2=2(2x+1)(2x﹣1).
【考點(diǎn)】提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用.
【專題】計(jì)算題;因式分解.
【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可.
【解答】解：原式=2(4x2﹣1)=2(2x+1)(2x﹣1)，
故答案為：2(2x+1)(2x﹣1)
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵.
14.方程 的解為x=4.
【考點(diǎn)】分式方程的解.
【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解.
【解答】解：去分母得：x=2(x﹣2)，
去括號(hào)得：x=2x﹣4
移項(xiàng)合并得：﹣x=﹣4，
解得：x=4，
經(jīng)檢驗(yàn)x=4是分式方程的解.
故答案為：x=4.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解.解分式方程一定注意要驗(yàn)根.
15.一個(gè)六邊形的內(nèi)角和是720°.
【考點(diǎn)】多邊形內(nèi)角與外角.
【分析】根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式進(jìn)行計(jì)算即可.
【解答】解：由內(nèi)角和公式可得：(6﹣2)×180°=720°.
故答案為：720°.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了多邊形內(nèi)角和公式，關(guān)鍵是熟練掌握計(jì)算公式：(n﹣2).180°(n≥3)且n為整數(shù)).
16.Rt△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AC于E，若BC=8，DE=3，則CD的長度是5.
【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì).
【分析】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得DE=BD，從而得解.
【解答】解：∵∠ACB=90°，DE⊥AB于E，AD平分∠BAC交BC于D，
∴DE=BD，
∵DE=3，
∴BD=3，
又∵BC=8，
∴CD=BC﹣DE=8﹣3=5.
故答案是：5.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，比較簡單，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
三、解答題(一)(本大題共3小題，每小題6分，共18分)
17.計(jì)算：
(1)(﹣2xy2)2•(xy)3;
(2)(x﹣y)(x2+xy+y2).
【考點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算.
【分析】(1)直接利用積的乘方運(yùn)算法則化簡，進(jìn)而利用單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式運(yùn)算法則求出答案;
(2)直接利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式運(yùn)算法則化簡求出答案.
【解答】解：(1)(﹣2xy2)2•(xy)3
=4x2y4•x3y3
=4x5y7;
(2)(x﹣y)(x2+xy+y2)
=x3+x2y+xy2﹣x2y﹣xy2﹣y3
=x3﹣y3.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了整式的混合運(yùn)算，正確掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.
18.計(jì)算： .
【考點(diǎn)】分式的乘除法.
【專題】計(jì)算題;分式.
【分析】原式利用除法法則變形，約分即可得到結(jié)果.
【解答】解：原式= • = .
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了分式的乘除法，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.
19.已知∠ABC.
(1)用尺規(guī)作圖：作∠DEF，使∠DEF=∠ABC(不寫作法，保留作圖痕跡);
(2)在上述作圖過程中，得到哪些相等的線段?
【考點(diǎn)】作圖—基本作圖.
【分析】(1)首先作射線DH;再以B為圓心，任意長為半徑作弧交AB、BC于點(diǎn)A′、C′，以D為圓心，以BA′為半徑作弧，交DH于點(diǎn)E，再以E為圓心，以A′C′為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)F，進(jìn)而得出答案.
(2)由題意可知△BA′C′≌△DFE，從而可確定出相等的邊.
【解答】解：(1)如圖所示：
(2)BA′=DF，BC′=DE，A′C′=EF.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是基本作圖，正確作出一角等于已知角，掌握五種基本作圖是解題的關(guān)鍵.
四、解答題(四)(本大題共3小題，每小題7分，共21分)
20.先化簡，后求值：(x+3y)2+(x+3y)(x﹣3y)﹣6y(x﹣1)，其中x=2， .
【考點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算—化簡求值.
【分析】根據(jù)完全平方公式，平方差公式，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式分別求出每一部分的值，再合并同類項(xiàng)即可.
【解答】解：原式=x2+6xy+9y2+x2﹣9y2﹣6xy+6y
=2x2+6y，
當(dāng)x=2， 時(shí)，
原式= .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的混合運(yùn)算和求值的應(yīng)用，能正確根據(jù)整式的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡是解此題的關(guān)鍵.
21.如圖，已知點(diǎn)C，E在線段BF上，AC=DE，BE=CF，∠ACB=∠DEF.求證：AB=DF.
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì).
【專題】證明題.
【分析】根據(jù)已知條件得到BC=EF，推出△ABC≌△DFE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.
【解答】證明：∵BE=CF，
∴BC=EF，
在△ABC和△DFE中，
∵ ，
∴△ABC≌△DFE(BAS)，
∴AB=DF.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，線段的和差，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
22.我市某一城市綠化工程，若由甲隊(duì)單獨(dú)完成需要60天.現(xiàn)由甲隊(duì)先做20天，剩下的工程由甲，乙兩隊(duì)合作24天可完成，求乙隊(duì)單獨(dú)完成該工程需要多少天.
【考點(diǎn)】分式方程的應(yīng)用.
【分析】設(shè)乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要x天，由于工作量=工作時(shí)間×工作效率，完成工作的工作量就是1，據(jù)此可列方程求解.
【解答】解：設(shè)乙隊(duì)單獨(dú)完成該工程需要x天，
則 ，
解得x=90，
經(jīng)檢驗(yàn)，x=90是方程的解.
答：乙隊(duì)單獨(dú)完成該工程需要90天.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查理解題意的能力，關(guān)鍵是知道工作量=工作時(shí)間×工作效率，以工作量做為等量關(guān)系可列方程求解.
五、解答題(三)(本大題共3小題，每小題9分，共27分)
23.(1)先化簡，后求值： ，其中x=3;
(2)已知 ，求 的值.
【考點(diǎn)】分式的化簡求值.
【專題】計(jì)算題;分式.
【分析】(1)原式括號(hào)中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的加法法則計(jì)算，同時(shí)利用除法法則變形，約分得到最簡結(jié)果，把x的值代入計(jì)算即可求出值;
(2)已知等式左邊通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算，整理得到x﹣y=﹣3xy，原式變形后代入計(jì)算即可求出值.
【解答】解：(1)原式= • = ，
當(dāng)x=3時(shí)，原式= ;
(2)∵ ﹣ = =3，
∴x﹣y=﹣3xy，
∴原式= = = .
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了分式的化簡求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.
24.如圖，在△ABC中，BE⊥AC，CF⊥AB，BE與CF相交于點(diǎn)D，且BD=AC，點(diǎn)G在CF的延長線上，且CG=AB.
(1)證明：△ABD≌△GCA;
(2)判斷△ADG是怎樣的三角形;
(3)證明：GF=FD.
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);等腰直角三角形.
【分析】(1)根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠ABD=∠GCA，根據(jù)全等三角形的判定定理即可得到結(jié)論;
(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AD=AG，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠BAD+∠GAF=90°，即可得到結(jié)論;
(3)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.
【解答】(1)證明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠ABD=90°﹣∠BAC，∠GCA=90°﹣∠BAC，
∴∠ABD=∠GCA，
在△ABD和△GCA中，
，
∴△ABD≌△GCA;
(2)∵△ABD≌△GCA，
∴AD=AG，
又∵∠BAD=∠G，∠G+∠GAF=90°，
∴∠BAD+∠GAF=90°，
∴∠DAG=90°，
∴△ADG是等腰直角三角形;
(3)∵AF⊥DG，AD=AG，
∴GF=FD.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
25.如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，AC=2a，點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是AC的任意一點(diǎn)，點(diǎn)D在BC邊上，且滿足PB=PD，作DE⊥AC于點(diǎn)E，設(shè)DE=x.
(1)證明：PE=OB;
(2)若△PDC的面積為y，用a，x表示y，并求當(dāng)x=2時(shí)，y的值;
(3)記m=AP•PC+x2，證明：不論點(diǎn)P在什么位置，m的值不變.
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);等腰直角三角形.
【專題】動(dòng)點(diǎn)型.
【分析】(1)根據(jù)在等腰直角三角形ABC中，O是斜邊AC的中點(diǎn)得到BO⊥AC，再根據(jù)DE⊥AC得到∠POB=∠DEP=90°，從而證明△POB≌△DEP，進(jìn)而證得結(jié)論P(yáng)E=BO;解時(shí)注意分P在AO上和P在OC上兩種情況討論;
(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DE=OP=x，PE=OB=a，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論;
(3)根據(jù)AP•PC=(a﹣x)(a+x)=a2﹣x2，代入m=AP•PC+x2=a2，即可得到結(jié)論.
【解答】解：(1)P在AO上，如圖1：
∵在等腰直角三角形ABC中，O是斜邊AC的中點(diǎn)，
∴BO⊥AC，
∵DE⊥AC，
∴∠POB=∠DEP=90°，
∵PB=PD，
∴∠PBD=∠PDB，
∵∠OBC=∠C=45°，
∴∠OBP+∠OBC=∠PDB=∠CPD+∠PCD，
∵∠PBD=∠PDB，
∴∠PB0=∠DPE，
在△POB與△DEP中， ，
∴△POB≌△DEP(AAS)，
∴PE=BO;
P在OC上，如圖2，
∵在等腰直角三角形ABC中，O是斜邊AC的中點(diǎn)，
∴BO⊥AC，
∵DE⊥AC，
∴∠POB=∠DEP=90°，
∵PB=PD，
∴∠PBD=∠PDB，
∵∠C=∠DCE=∠CDE=45°，
∴∠PB0=∠DPE，
在△POB與△DEP中， ，
∴△POB≌△DEP(AAS)，
∴PE=BO;
(2)∵△OBP≌△EPD，
∴DE=OP=x，PE=OB=a，
∴ ;
(3)∵AP•PC=(a﹣x)(a+x)=a2﹣x2，
∴m=AP•PC+x2=a2，
即不論點(diǎn)P在什么位置，m的值都是a2.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，是一道難度較大、綜合性較強(qiáng)的綜合題，解題時(shí)一定要仔細(xì)審題.
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