折疊問題中的背景圖形通常有，三角形、正方形、矩形、梯形等 ，解決這類問題的關(guān)鍵是一定要靈活運用軸對稱和背景圖形的性質(zhì)。

　　軸對稱性質(zhì)：

　　折線是對稱軸、折線兩邊圖形全等、對應(yīng)點連線垂直對稱軸、對應(yīng)邊平行或交點在對稱軸上。

　　典型例題：

　　例題1、如圖，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AB=10，AC=8，E、F 分別為 AB、BC 上的點，沿線段 EF 將 ∠B 折疊，使點 B 恰好落在 AC 上的點 D 處，試問當 △ADE 恰好為直角三角形時，此時 BE 的長度為多少?

　　解題思路：

　　△ADE 為直角三角形分兩種情況：①∠ADE = 90°，②∠AED = 90°，此題需要分類討論，結(jié)合三角形的相似、折疊的性質(zhì)，來求折疊中線段的長度，關(guān)鍵是能畫出折疊后的圖形。

　　解答過程：

　　當 ∠ADE = 90°時，如下圖所示：

　　證明：

　　先來證明四邊形 DEBF 為棱形：

　　∵ 在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠ADE = 90° ，

　　∴ DE∥BC ，

　　∴ ∠DEF = ∠EFB ，

　　又∵ 沿線段 EF 將 ∠B 折疊 ，

　　∴ DE = BE ,DF = BF ，∠DFE = ∠BFE ，

　　∴ ∠DEF = ∠DFE ，DE = DF = BF ，

　　∴ 四邊形 DEBF 為棱形 。

　　(一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，鄰邊相等的平行四邊形是棱形)。

　　再來證明 Rt△ADE ∽ Rt△ACB (相似三角形判斷圖形中的“A”字型)

　　∵ 在三角形 ACB 中 ，DE∥BC ，

　　∴ Rt△ADE ∽ Rt△ACB ，

　　設(shè) 棱形 DEBF 的邊長為 x , 則有 DE = x , AE = 10 - x ,

　　在 Rt△ACB 中，AB = 10 , AC = 8 ,

　　由勾股定理得：BC = 6 。

　　∴ DE : BC = AE : AB , 即 x : 6 = (10-x) : 10 ,

　　解得 x = 15/4 ,

　　∴ BE = 15/4 ;

　　當 ∠AED = 90° 時，如下圖所示：

　　易證 Rt△AED ∽ Rt△ACB ，由折疊的性質(zhì)可得 DE = BE ，

　　設(shè) DE = BE = x ，則 AE = 10 - x ，

　　由相似三角形的性質(zhì)可得：

　　DE : BC = AE : AC , 即 x : 6 = ( 10 -x ) : 8 ,

　　解得 x = 30/7，

　　∴ BE = 30/7 。

　　例題2、如圖1，將一張矩形紙片 ABCD 沿著對角線 BD 向上折疊，頂點 C 落到點 E 處，BE 交 AD 于點 F .

　　(1) 求證：△BDF 是等腰三角形;

　　(2) 如圖 2 ，過點 D 作 DG∥BE ，交 BC 于點 G ，連接 FG 交 BD 于點 O 。

　?、?判斷四邊形 BFDG 的形狀，并說明理由;

　　② 若 AB = 6 , AD = 8 ， 求 FG 的長 。

　　解題思路：

　　(1)根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等及折疊特性判斷;

　　(2)① 根據(jù)已知矩形性質(zhì)及第一問證得鄰邊相等判斷;

　　② 根據(jù)折疊特性設(shè)未知邊，構(gòu)造勾股定理列方程求解。

　　參考答案：