什么是良序集良序集的性質(zhì)
什么是良序集良序集的性質(zhì)
設(shè)集合(S,≤)為一全序集，≤是其偏序關(guān)系，若對(duì)任意的S的非空子集，在其序下都有最小元素，則稱(chēng)≤為良序關(guān)系，(S,≤)為良序集。以下是由學(xué)習(xí)啦小編整理關(guān)于什么是良序集的內(nèi)容，希望大家喜歡!
良序集的的例子及反例
1、自然數(shù)集在通常序下是良序集。
2、整數(shù)集在通常序下不是良序集，例如該集合本身就沒(méi)有一個(gè)最小元素。
3、整數(shù)的下列關(guān)系R是良序的：x R y，當(dāng)且僅當(dāng)下列條件之一成立：
x=0;
x是正數(shù)，而y是負(fù)數(shù);
x和y都是正數(shù)，而x≤y;
x和y都是負(fù)數(shù)，而y≤x。
這個(gè)序關(guān)系可以表示為：
0 1 2 3 4 …… -1 -2 -3 -4 -5 ……
4、實(shí)數(shù)集在通常序下不是良序集。
良序集的性質(zhì)
在良序集合中，除了整體上最大的那個(gè)(如果存在的話(huà))，所有的元素都有一個(gè)唯一的后繼元：比它大的元素組成的集合中，最小的元素。但是，除整體最小元之外的所有元素不一定都有前驅(qū)元。例如，“良序的例子和反例”一節(jié)第三個(gè)例子中的良序集中，-1并不是最小元，但仍然沒(méi)有前驅(qū)元。
任何良序集合，都序同構(gòu)于一個(gè)唯一的序數(shù)，稱(chēng)為這個(gè)集合的序型。該集合中的每個(gè)元素都對(duì)應(yīng)著一個(gè)比其序型小的序數(shù)。
良序集的等價(jià)條件
對(duì)全序集(S,≤)，下列命題是等價(jià)的：
(1)(S,≤)是良序集，即其所有非空子集合都有最小元素。
(2)超限歸納法在整個(gè)全序集(S,≤)上成立。
(3)(S,≤)上的所有嚴(yán)格遞減序列必定在有限多步驟內(nèi)終止(假定依賴(lài)選擇公理)。
證明：使用循環(huán)證明法。
(1)→(2)：反設(shè)超限歸納法在(S,≤)上不成立，則存在一個(gè)性質(zhì)φ，使得對(duì)S中任意元素x，只要φ對(duì)S中小于x的任何元素都成立，那么φ對(duì)x也成立，然而φ并非對(duì)S中所有元素都成立，即S中所有不滿(mǎn)足φ的元素組成的集合A是非空集，則A在序關(guān)系≤下不可能有最小元素，否則該最小元素應(yīng)滿(mǎn)足φ，矛盾。
(2)→(3)：對(duì)序列的首項(xiàng)使用超限歸納法，則結(jié)論是顯然的。
(3)→(1)(依賴(lài)選擇公理)：對(duì)S的任一非空子集A，用選擇公理每次從A中選出一個(gè)元素，使得從第二次開(kāi)始每次選出的元素都比前一次的小，則選出的所有元素構(gòu)成一嚴(yán)格遞減序列，該序列必定在有限步內(nèi)終止，但序列終止的唯一可能是選出了一個(gè)元素x使得A中沒(méi)有比x小的元素，從而x是A中的最小元素。
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4.康托爾與集合論