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      什么是三角函數(shù)

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      什么是三角函數(shù)

        三角函數(shù)是以角度(數(shù)學(xué)上最常用弧度制,下同)為自變量,角度對(duì)應(yīng)任意角終邊與單位圓交點(diǎn)坐標(biāo)或其比值為因變量的函數(shù)。下面學(xué)習(xí)啦小編就給大家介紹三角函數(shù)的相關(guān)信息。

        三角函數(shù)的定義

        直角三角形三角函數(shù)定義

        在直角三角形中,當(dāng)平面上的三點(diǎn)A、B、C的連線,AB、AC、BC,構(gòu)成一個(gè) 直角三角形,其中∠ACB為 直角。對(duì)∠BAC而言, 對(duì)邊(opposite)a=BC、 斜邊(hypotenuse)c=AB、鄰邊(adjacent)b=AC,則存在以下關(guān)系:

      基本函數(shù)

      英文

      縮寫(xiě)

      表達(dá)式

      語(yǔ)言描述

      正弦函數(shù)

      sine

      sin

      a/c

      A的對(duì)邊比斜邊

      余弦函數(shù)

      cosine

      cos

      b/c

      A的鄰邊比斜邊

      正切函數(shù)

      tangent

      tan

      a/b

      A的對(duì)邊比鄰邊

      余切函數(shù)

      cotangent

      cot

      b/a

      A的鄰邊比對(duì)邊

      正割函數(shù)

      secant

      sec

      c/b

      A的斜邊比鄰邊

      余割函數(shù)

      cosecant

      csc

      c/a

      A的斜邊比對(duì)邊

        注:正切函數(shù)、余切函數(shù)曾被寫(xiě)作 、 現(xiàn)已不用這種寫(xiě)法

        變化規(guī)律

        正弦值在

      什么是三角函數(shù)

        隨角度增大(減小)而增大(減小),在

      什么是三角函數(shù)

        隨角度增大(減小)而減小(增大); 余弦值在

      什么是三角函數(shù)

        隨角度增大(減小)而增大(減小),在

      什么是三角函數(shù)

        隨角度增大(減小)而減小(增大); 正切值在

      什么是三角函數(shù)

        隨角度增大(減小)而增大(減小); 余切值在

      什么是三角函數(shù)

        隨角度增大(減小)而減小(增大); 正割值在

      什么是三角函數(shù)

        隨著角度的增大(或減小)而增大(或減小); 余割值在

      什么是三角函數(shù)

        隨著角度的增大(或減小)而減小(或增大)。

        注:以上其他情況可類推,參考第五項(xiàng):幾何性質(zhì)。

        除了上述六個(gè)常見(jiàn)的函數(shù),還有一些不常見(jiàn)的三角函數(shù):

      什么是三角函數(shù)

        任意角三角函數(shù)定義:

        在 平面直角坐標(biāo)系xOy中設(shè)∠β的始邊為x軸的正半軸,設(shè)點(diǎn)P(x,y)為∠β的終邊上不與原點(diǎn)O重合的任意一點(diǎn),設(shè)r=OP,令∠β=∠α,則:

      什么是三角函數(shù)

        單位圓定義

        六個(gè)三角函數(shù)也可以依據(jù) 半徑為1中心為原點(diǎn)的 單位圓來(lái)定義。單位圓定義在實(shí)際計(jì)算上沒(méi)有大的價(jià)值;實(shí)際上對(duì)多數(shù)角它都依賴于 直角三角形。但是 單位圓定義的確允許三角函數(shù)對(duì)所有 正數(shù)和 負(fù)數(shù)輻角都有定義,而不只是對(duì)于在 和 弧度之間的角。它也提供了一個(gè)圖像,把所有重要的三角函數(shù)都 包含了。根據(jù) 勾股定理, 單位圓的 方程是:對(duì)于圓上的任意點(diǎn) 。

        圖像中給出了用 弧度度量的一些常見(jiàn)的角:逆時(shí)針?lè)较虻亩攘渴?正角,而順時(shí)針的度量是 負(fù)角。設(shè)一個(gè)過(guò) 原點(diǎn)的線,同 軸正半部分得到一個(gè)角 ,并與單位圓相交。這個(gè)交點(diǎn)的 和 坐標(biāo)分別等于 和 。圖像中的三角形確保了這個(gè)公式;半徑等于斜邊且長(zhǎng)度為1,所以有 和 。單位圓可以被視為是通過(guò)改變鄰邊和對(duì)邊的長(zhǎng)度,但保持斜邊等于 1的一種查看無(wú)限個(gè)三角形的方式。

        對(duì)于大于 或小于等于 的角度,可直接繼續(xù)繞單位圓旋轉(zhuǎn)。在這種方式下,正弦和余弦變成了周期為 的 周期函數(shù):對(duì)于任何角度 和任何 整數(shù) 。

        周期函數(shù)的 最小正周期叫做這個(gè)函數(shù)的“ 基本周期”。正弦、余弦、正割或余割的基本周期是全圓,也就是 2π弧度或 360°;正切或余切的基本周期是半圓,也就是 π 弧度或 180°。上面只有正弦和余弦是直接使用單位圓定義的,其他四個(gè)三角函數(shù)的定義如圖所示。

        在 正切函數(shù)的圖像中,在角 π 附近變化緩慢,而在接近角 ( + 1/2)π 的時(shí)候變化迅速。正切函數(shù)的圖像在 θ = ( + 1/2)π 有垂直漸近線。這是因?yàn)樵?θ 從左側(cè)接進(jìn) ( + 1/2)π 的時(shí)候函數(shù)接近 正無(wú)窮,而從右側(cè)接近 ( + 1/2)π 的時(shí)候函數(shù)接近負(fù)無(wú)窮。

        另一方面,所有基本三角函數(shù)都可依據(jù)中心為 的單位圓來(lái)定義,類似于歷史上使用的幾何定義。特別 是,對(duì)于這個(gè)圓的 弦 ,這里的 θ 是對(duì)向角的一半,sin 是 (半弦),這是印度的 阿耶波多介入的定義。cos 是水平距離 ,versin =1-cos 是 。tan 是通過(guò) 的 切線的 線段 的長(zhǎng)度,所以這個(gè)函數(shù)才叫 正切。cot 是另一個(gè)切線段 。 sec = 和 csc = 是割線(與圓相交于兩點(diǎn))的線段,所以可以看作 沿著 A 的切線分別向水平和垂直軸的投影。 是 exsec = sec -1(正割在圓外的部分)。通過(guò)這些構(gòu)造,容易看出 正割和正切函數(shù)在 θ 接近 π/2的時(shí)候發(fā)散,而余割和余切在 θ 接近零的時(shí)候發(fā)散。

        依據(jù)單位圓定義,我們可以做三個(gè) 有向線段( 向量)來(lái)表示正弦、余弦、正切的值。如圖所示,圓O是一個(gè)單位圓,P是 的 終邊與單位圓上的交點(diǎn),M點(diǎn)是 在 軸的投影, (1,0)是圓O與x軸 正半軸的交點(diǎn),過(guò)A點(diǎn)做過(guò)圓O的 切線。

        那么向量 MP對(duì)應(yīng)的就是 的 正弦值,向量 OM對(duì)應(yīng)的就是余弦值。OP的 延長(zhǎng)線(或 反向延長(zhǎng)線)與 的切線的交點(diǎn)為T,則向量A T對(duì)應(yīng)的就是 正切值。向量的起止點(diǎn) 不能顛倒,因?yàn)槠浞较蚴怯幸饬x的。

        借助線三角函數(shù)線,我們可以觀察到 第二象限角α的正弦值為正, 余弦值為負(fù), 正切值為負(fù)。

        級(jí)數(shù)定義

      什么是三角函數(shù)

        只使用幾何和 極限的性質(zhì),可以證明正弦的 導(dǎo)數(shù)是余弦,余弦的導(dǎo)數(shù)是負(fù)的正弦。(在 微積分中,所有角度都以 弧度來(lái)度量)。我們可以接著使用 泰勒級(jí)數(shù)的理論來(lái)證明下列 恒等式對(duì)于所有 實(shí)數(shù) 都成立:

        這些恒等式經(jīng)常被用做正弦和余弦函數(shù)的定義。它們經(jīng)常被用做三角函數(shù)的嚴(yán)格處理和應(yīng)用的起點(diǎn)(比如,在傅里葉級(jí)數(shù)中),因?yàn)?無(wú)窮級(jí)數(shù)的理論可從 實(shí)數(shù)系的基礎(chǔ)上發(fā)展而來(lái),不需要任何幾何方面的考慮。這樣,這些函數(shù)的可微性和 連續(xù)性便可以單獨(dú)從級(jí)數(shù)定義來(lái)確立。

        其他級(jí)數(shù)可見(jiàn)于:

      什么是三角函數(shù)

        注:Un是n次上/下數(shù), Bn是n次伯努利數(shù),∣x∣<π/2。

        三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式

        公式內(nèi)容

        

      三角函數(shù)十組誘導(dǎo)公式
      公式一

        

      公式二

      sin(2kπ+α)=sin α

      cos(2kπ+α)=cos α

      tan(2kπ+α)=tan α

      cot(2kπ+α)=cot α

      sec(2kπ+α)=sec α

      csc(2kπ+α)=csc α

      sin(π+α)=-sin α

      cos(π+α)=-cos α

      tan(π+α)=tan α

      cot(π+α)=cot α

      sec(π+α)=-sec α

      csc(π+α)=-csc α

      公式三公式四

      sin(-α)=-sin α

      cos(-α)=cos α

      tan(-α)=-tan α

      cot(-α)=-cot α

      sec(-α)=sec α

      csc(-α)=-csc α

      sin(π-α)=sin α

      cos(π-α)=-cos α

      tan(π-α)=-tan α

      cot(π-α)=-cot α

      sec(π-α)=-sec α

      csc(π-α)=csc α

      公式五公式六

        

      sin(α-π)=-sin α

      cos(α-π)=-cos α

      tan(α-π)=tan α

      cot(α-π)=cot α

      sec(α-π)=-sec α

      csc(α-π)=-csc α

      sin(2π-α)=-sin α

      cos(2π-α)=cos α

      tan(2π-α)=-tan α

      cot(2π-α)=-cot α

      sec(2π-α)=sec α

      csc(2π-α)=-csc α

      公式七公式八

      sin(π/2+α)=cosα

      cos(π/2+α)=−sinα

      tan(π/2+α)=-cotα

      cot(π/2+α)=-tanα

      sec(π/2+α)=-cscα

      csc(π/2+α)=secα

      sin(π/2-α)=cosα

      cos(π/2-α)=sinα

      tan(π/2-α)=cotα

      cot(π/2-α)=tanα

      sec(π/2-α)=cscα

      csc(π/2-α)=secα

      公式九公式十

      sin(3π/2+α)=-cosα

      cos(3π/2+α)=sinα

      tan(3π/2+α)=-cotα

      cot(3π/2+α)=-tanα

      sec(3π/2+α)=cscα

      csc(3π/2+α)=-secα

      sin(3π/2-α)=-cosα

      cos(3π/2-α)=-sinα

      tan(3π/2-α)=cotα

      cot(3π/2-α)=tanα

      sec(3π/2-α)=-cscα

      csc(3π/2-α)=-secα

        推導(dǎo)方法

        定名法則

        90°的奇數(shù)倍+α的三角函數(shù),其絕對(duì)值與α三角函數(shù)的絕對(duì)值互為 余函數(shù)。90°的 偶數(shù)倍+α的三角函數(shù)與α的三角函數(shù)絕對(duì)值相同。也就是“奇余偶同,奇變偶不變”。

        定號(hào)法則

        將α 看做銳角(注意是“看做”),按所得的角的象限,取三角函數(shù)的符號(hào)。也就是“象限定號(hào),符號(hào)看象限”(或?yàn)?ldquo; 奇變偶不變,符號(hào)看象限”)。

        在Kπ/2中如果K為偶數(shù)時(shí)函數(shù)名不變,若為奇數(shù)時(shí)函數(shù)名變?yōu)橄喾吹暮瘮?shù)名。 正負(fù)號(hào)看原函數(shù)中α所在 象限的正負(fù)號(hào)。關(guān)于 正負(fù)號(hào)有個(gè)口訣;一全正,二正弦,三兩切,四余弦,即第一象限全部為正,第二象限角,正弦為正,第三象限,正切和余切為正,第四象限,余弦為正?;蚝?jiǎn)寫(xiě)為“ASTC”,即“all”“sin”“tan+cot”“cos”依次為正。還可簡(jiǎn)記為:sin上cos右tan/cot對(duì)角,即sin的正值都在x軸上方,cos的正值都在y軸右方,tan/cot 的正值斜著。

        比如:90°+α。定名:90°是90°的 奇數(shù)倍,所以應(yīng)取余函數(shù);定號(hào):將α看做銳角,那么90°+α是第二象限角,第二象限角的正弦為正,余弦為負(fù)。所以sin(90°+α)=cosα , cos(90°+α)=-sinα 這個(gè)非常神奇,屢試不爽~

        還有一個(gè)口訣“ 縱變橫不變,符號(hào)看象限”,例如:sin(90°+α),90°的終邊在縱軸上,所以函數(shù)名變?yōu)橄喾吹暮瘮?shù)名,即cos,所以sin(90°+α)=cosα。

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