倍與倍數(shù)的區(qū)別
倍與倍數(shù)的區(qū)別
“倍”與“倍數(shù)”雖然只有一字之差，卻是兩個(gè)不同的數(shù)學(xué)概念，只有真正明確它們各自的內(nèi)涵和使用范圍，才不會(huì)在理解和應(yīng)用上造成混淆。兩者的區(qū)別是什么呢?下面就跟著學(xué)習(xí)啦小編一起來(lái)看看吧。
“倍”與“倍數(shù)”有什么區(qū)別
“倍”指的是數(shù)量之間的關(guān)系，它建立在乘法概念的基礎(chǔ)上，在實(shí)際教學(xué)中，是從“個(gè)”和“份”逐步抽象出來(lái)的數(shù)學(xué)概念。
例如：白布8米，花布的長(zhǎng)度有4個(gè)8米;或者說(shuō)把白布8米看作1份，花布的長(zhǎng)度是4份。這里所說(shuō)的“個(gè)”與“份”，換成數(shù)學(xué)語(yǔ)言就是花布的長(zhǎng)度是8米的4“倍”，花布的米數(shù)是8×4=32(米)。由此可見(jiàn)，“倍”的出現(xiàn)是從生活中的“個(gè)”與“份”逐步抽象出來(lái)的，是建立在乘法概念的基礎(chǔ)上的。
“倍數(shù)”指的是數(shù)與數(shù)之間的聯(lián)系，它建立在“數(shù)的整除性”這個(gè)大概念的基礎(chǔ)上，是在明確“整除”的前提下，與“約數(shù)”同時(shí)建立的。
例如：28是7的倍數(shù)，因?yàn)?8能被7整除。28÷7=4，28是7的4倍，如果用乘法表示這三個(gè)數(shù)的數(shù)量關(guān)系，則7×4=28，7的4倍是28。由此可見(jiàn)，前者的“倍數(shù)”是嚴(yán)格限制在“整除”的范圍內(nèi)，而后者的“倍”只體現(xiàn)在乘法的概念當(dāng)中，這是兩者的明確區(qū)別。
在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，“倍數(shù)”的運(yùn)用還有另一種情況，即在比例教學(xué)時(shí)，當(dāng)闡述正、反比例關(guān)系所提到的“擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)”，這里所提到的“倍數(shù)”，是一般除法中的概念，而不是“整除”范圍內(nèi)的概念。比例中所出現(xiàn)的倍數(shù)，所表示的是兩個(gè)最相比而得到的數(shù)，這個(gè)數(shù)不一定是整數(shù)，也可能是小數(shù)。在研究“數(shù)的整除性”中的倍數(shù)，是不允許出現(xiàn)小數(shù)的。
“倍”和“倍數(shù)”的區(qū)別
“倍”指的是數(shù)量關(guān)系，它建立在乘法概念的基礎(chǔ)上，例如：公雞有10只，母雞有3個(gè)10只，我們就說(shuō)，母雞的只數(shù)是公雞的3倍，也可以說(shuō)，10的3倍，就是3個(gè)10，即10×3。
“倍數(shù)”指的是數(shù)與數(shù)之間的聯(lián)系，它建立在整除概念的基礎(chǔ)上，例如，30能被6整除，30是6的倍數(shù)。但30是6的5倍，因?yàn)?×5=30，“6×5”表示6的5倍。
在闡述正、反比例關(guān)系時(shí)，提到“擴(kuò)大”或“縮小”相同的“倍數(shù)”，這里的“倍數(shù)”與前面提到的“倍數(shù)”的含義是不同的，前面提到的倍數(shù)是指整除中一個(gè)概念，指的是被除數(shù)，它只能是一個(gè)整數(shù)，后面提到的倍數(shù)，是一般除法中的一個(gè)概念，指的是商數(shù)，它表示兩個(gè)量相比而得到的數(shù)。
隨著我們今后學(xué)習(xí)知識(shí)量的增加，倍數(shù)的范圍會(huì)不斷的擴(kuò)大的。倍數(shù)既可以是一個(gè)整數(shù)，同時(shí)還可以是分?jǐn)?shù)或者是小數(shù)，甚至可以用百分?jǐn)?shù)來(lái)表示兩個(gè)數(shù)量之間的倍數(shù)關(guān)系。
“數(shù)的整除性”有哪些性質(zhì)
“數(shù)的整除性”的性質(zhì)很多，涉及到小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的有以下幾個(gè)：
(1)如果兩個(gè)整數(shù)a、b都能被c整除，那么a與b的和也能被c整除。
例如：42÷7=6 56÷7=8
(42+56)÷7=14
42能被7整除，56也能被7整除，那么42與56的和(98)也能被7整除。
反之，如果整數(shù)a、b中，有一個(gè)數(shù)能被c整除，而其中一個(gè)數(shù)不能被c整除，那么a與b的和就一定不能被c整除。
例如：36÷9=4 83÷9=9……2
(36+83)÷9=13……2
36能被9整除，83不能被9整除，那么36與83的和(119)不能被9整除。
(2)如果兩個(gè)整數(shù)a、b都能被c整除，那么a與b的差也能被C整除。
例如：88÷11=8， 66÷11=6
(88-66)÷11=2
88能被11整除，66也能被11整除，那么88與66的差(22)也能被11整除。
反之，如果整數(shù)a、b中，有一個(gè)數(shù)能被c整除，另一個(gè)數(shù)不能被c整除，那么a與b的差就一定不能被c整除。
例如：91÷13=7 30÷13=2……4
(91-30)÷13=4……9
91能被13整除，30不能被13整除，那么91與30的差(61)不能被13整除。
(3)如果兩個(gè)整數(shù)a、b都不能被c整除。那么a與b的和(或差)能或不能被c整除。這是一個(gè)不肯定的結(jié)論。
例如：65÷7=9……2 33÷7=4……5
(65+33)÷7=14
(65-33)÷7=4……4
65不能被7整除，33也不能被7整除，由于兩個(gè)余數(shù)的和(2+5=7)，正好等于除數(shù)，因此，65與33的和(98)能被7整除;而65與33的差則不能被7整除。
又如：85÷11=7……8 38÷11=3……5
(85+38)÷11=11……2
(85-38)÷11=4……3
85不能被11整除，38也不能被11整除，此例中85與38的和(123)或差(47)都不能被11整除。
(4)如果整數(shù)a能被自然數(shù)c整除，那么a的倍數(shù)(整數(shù)倍)也能被c整除。
例如：39÷13=3
(39×4)÷13=12
39能被13整除，39的4倍(156)也能被13整除。
(5)如果a、b、c這三個(gè)數(shù)中，a能被b整除，b又能被c整除，那么a一定能被c整除(這是整除的傳遞性)。
例如：有84、21、7三個(gè)數(shù)
84÷24=4 21÷7=3
84÷7=12
84能被21整除，21又能被7整除，那么84就一定能被7整除。
反之，如果a、b、c這三個(gè)數(shù)中，a與b或b與c之間只要出現(xiàn)一個(gè)不能整除的情況，a就一定不能被c整除。
例如：有121、11、5三個(gè)數(shù)
121÷11=11 11÷5=2……1
121÷5=24……1
121能被11整除，但11不能被5整除，那么121就一定不能被5整除。
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