等邊梯形判定方法
要判定某個梯形是不是等邊的,我們需要了解等邊梯形的判定方法。下面是學習啦小編給大家整理的等邊梯形判定方法,供大家參閱!
等邊梯形判定方法
1.一組對邊平行,另一組對邊不平行的四邊形是梯形(一組對邊平行且不相等的四邊形是梯形)
2.兩腰相等的梯形是等腰梯形
3.同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形
4.有一個內(nèi)角是直角的梯形是直角梯形
5.對角線相等的梯形是等腰梯形.
6.梯形的中位線等于上底加下底和的一半,且平行于上底和下底。
等邊梯形定義
是指一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形。平行的兩邊叫做梯形的底邊,其中長邊叫下底,短邊叫上底;也可以單純的認為上面的一條叫上底,下面一條叫下底。不平行的兩邊叫腰;夾在兩底之間的垂線段叫梯形的高。一腰垂直于底的梯形叫直角梯形,兩腰相等的梯形叫等腰梯形。
等邊梯形注意事項
梯形的底角可以指梯形中任意一個角。所以說“底角相等的梯形是等腰梯形”是不對的。
等邊梯形輔助線
1.作高(無數(shù)條,根據(jù)實際題目確定)
2.平移一腰 3.平移對角線 4.延長兩腰交于一點 5.取一腰中點,另一腰兩端點連接并延長。 6. 取兩底中點,過一底中點做兩腰的平行線。
等邊梯形周長面積公式
面積
梯形的面積公式:(上底+下底)×高÷2 用字母表示:S=(a+b)×h÷2 變形1:h=2s÷(a+b) 變形2:a=2s÷h-b 變形3:b=2s÷h-a 另一計算公式: 中位線×高用字母表示:l·h對角線互相垂直的梯形:對角線×對角線÷2
周長
梯形的周長公式:上底+下底+腰+腰 用字母表示:a+b+c+d 等腰梯形的周長公式:上底+下底+2腰 用字母表示:a+b+2c
等邊梯形性質(zhì)
1.等腰梯形的兩條腰相等。 2.等腰梯形在同一底上的兩個底角相等。 3.等腰梯形的兩條對角線相等。 4.等腰梯形是軸對稱圖形,對稱軸是上下底中點的連線所在直線。 5.等腰梯形(這個非等腰梯形同理)的中位線(兩腰中點相連的線叫做中位線)等于上下底和的二分之一。 6.直角梯形有兩個角是直角。 7.對角線互相垂直的梯形面積可用兩條對角線積的一半計算。 8.對角線互相垂直平分的梯形是等腰梯形 注意:在有些情況下,梯形的上下底以長短區(qū)分,而不是按位置確定的,把較短的底叫做上底,較長的底叫做下底。
等邊梯形例題解析
例1、如圖,△ABC中,AB=AC,BD、CE分別為∠ABC、∠ACB的平分線.求證:四邊形EBCD是等腰梯形。 分析:欲證四邊形EBCD是等腰梯形,解題思路是證ED//BC,BE=CD,由已知條件易證△BCD≌△CBE得到EB=DC,從而AE=AD,運用等腰三角形的性質(zhì)可證ED//BC。 證明:∵AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB, ∴∠DBC=∠ECB=1/2∠ABC,
∴△EBC≌△DCB(ASA), ∴BE=CD, ∴AB-BE=AC-CD,即AE=AD. ∴∠ABC=∠AED,∴ED//BC, 又∵EB與DC交于點A,即EB與DC不平行, ∴四邊形EBCD是梯形,又BE=DC, ∴四邊形EBCD是等腰梯形. 點評:本題的解題關鍵是證明ED//BC,EB=DC,易錯點是忽視證明EB與DC不平行. 例2、如圖,已知四邊形ABCD中,AB=DC,AC=DB,求證:四邊形ABCD是等腰梯形。 證明:過點A作AE∥DC交BC邊于點E. ∵AB=CD,AC=DB,BC=CB,
∴△ABC≌△DCB,∴∠ABC=∠DCB 又AE∥DC,∴∠AEB=∠DCB ∴∠ABC=∠AEB ,∴AB=AE,∴. ∴四邊形AECD是平行四邊形. ∴AD∥BC. 又AB=DC,且AD≠BC, ∴四邊形ABCD為等腰梯形. 點評: 判定一個任意四邊形為等腰梯形,如果不能直接運用等腰梯形的判定定理,一般的方法是通過作輔助線,將此四邊形分解為熟悉的多邊形,此例就是通過作平行線,將四邊形分解成為一個平行四邊形和一個等腰三角形. 例3、如圖,P為等腰梯形ABCD的下底BC上一點,PM⊥AB,PN⊥CD,M,N為垂足,BE⊥CD,E為垂足.求證:BE=PM+PN. 證明:過P點作PH⊥BE于點H. ∵BE⊥CD,PN⊥CD, ∴四邊形PHEN是矩形.
∴HE=PN,EN∥PH. ∴∠BPH=∠C. ∵四邊形ABCD為等腰梯形, ∴∠ABC=∠C. ∴∠MBP=∠HPB. 又PM⊥AB,BP公共, ∴Rt△MBP≌Rt△HPB. ∴PM=BH. ∴BE=BH+HE=PM+PN. 點評:要證線段的和差問題,通常可以考慮用“截長法”或“補短法”來完成,本例采用的是“截長法”. 例4、如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,且AB=AD+BC,M為DC的中點.求證:AM⊥BM。 證明:延長AM交BC的延長線于點N.
∵M為DC中點,AD∥BC, ∴△ADM≌△NCM. ∴AD=CN,AM=MN. ∴AB=AD+BC=BN. 由等腰三角形“三線合一”知,BM⊥AM. 點評:根據(jù)證題的需要,集中梯形的兩底也是常用的添加輔助線的方法.本例也可以先延長BC至N,使BN=AB,再證A、M、N共線. 例5、如圖,梯形ABCD中,AD∥BC,對角線AC⊥BD,且AC=5cm,BD=12cm,求該梯形上下底的和. 解:過D作DE∥AC交BC的延長線于點E. ∵AD∥CE,
∴DE=AC=5cm,AD=CE. ∵AC⊥BD, ∴DE⊥BD. 在Rt△BDE中, ∴AD+BC=CE+BC=BE=13cm. 點評:過頂點作一條對角線的平行線,把兩條對角線的數(shù)量關系和位置關系集中到一個三角形中,將求梯形上下底的長轉(zhuǎn)化為求直角三角形斜邊的長 例6、如圖,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,且AC⊥BD,AF是梯形的高,梯形的面積是49cm2.求梯形的高。 解法1:如圖(甲),過A作AE∥DB交CB的延長線于點E?! 逜C⊥BD,
∴AC⊥AE. ∵AD∥EB, ∴AE=BD,EB=AD. 又∵四邊形ABCD是等腰梯形, ∴AC=BD. ∴AE=AC. ∴△AEC是等腰直角三角形. 又AF是斜邊上的高,故AF也為斜邊上的中線. ∴AF=7cm 解法2: 設梯形ABCD的兩條對角線相交于O點,過O作OH⊥BC于點H,延長HO交AD于G點(如圖(乙)). ∵AD∥BC, ∴HG⊥AD. ∵AB=DC,AC=DB,BC公共, ∴△ABC≌△DCB. ∴∠2=∠1. 又∵AC⊥BD,∴△BOC是等腰直角三角形. ∴.同理. ∴. 以下解答過程與解法1相同. 解法3:過D作DM⊥BC于點M(如圖(丙)). ∵梯形ABCD是等腰梯形, ∴AC=DB,∠ABC=∠DCB. 又∵AF=DM, ∴Rt△AFC≌Rt△DMB, ∴∠DBC=∠ACB. 又∵AC⊥BD, ∴∠DBM=∠ACF=45°. ∴△AFC和△DMB都是等腰直角三角形.AF=FC,DM=MB, ∴. 以下解答過程與解法1相同. 點評: 本題的三種解法都是利用等腰直角三角形的性質(zhì)或全等三角形的性質(zhì)來證明該梯形的高就等于該梯形的中位線的長.因此,在等腰梯形中,若兩條對角線垂直,則這個梯形的高就等于中位線的長,梯形的面積就等于高的平方. 例7、如圖所示,在梯形ABCD中,AD//BC,AB=DC,點E,F(xiàn),G分別在邊AB,BC,CD上,且AE=GF=GC. (1)求證四邊形AEFG是平行四邊形; (2)當∠FGC=2∠EFB時,求證四邊形AEFG是矩形. 分析:本題考查有關三角形、四邊形的綜合證明.涉及到等腰梯形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等.在解答過程中要注意證明格式、推理方式的規(guī)范化. 證明:(1)∵在梯形ABCD中,AB=DC, ∴∠B=∠C. ∵GF=GC,∴∠C=∠GFC, ∴∠B=∠GFC ∴AB//GF,即AE//GF. 又∵AE=GF ∴四邊形AEFG是平行四邊形.
(2)過點G作GH⊥FC,垂足為H. ∵GF=GC, ∴∠FGH=1/2∠FGC. ∵∠FGC=2∠EFB ∴∠FGH=∠EFB. ∵∠FGH+∠GFH=90° ∴∠EFB+∠GFH=90° ∴∠EFG=90° ∵四邊形AEFG是平行四邊形, ∴四邊形AEFG是矩形.
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