八年級上冊數(shù)學(xué)第2章軸對稱圖形單元試卷
做八年級數(shù)學(xué)單元試卷題要認(rèn)真，檢查要仔細(xì)!下面是學(xué)習(xí)啦小編為大家精心推薦的八年級上冊數(shù)學(xué)第2章軸對稱圖形單元試卷，希望能夠?qū)δ兴鶐椭?/p>
八年級上冊數(shù)學(xué)第2章軸對稱圖形單元試題
一、細(xì)心選一選
1.下列圖形是軸對稱圖形的是( )
A. B. C. D.
2.如圖，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F為垂足，則下列四個結(jié)論：(1)∠DEF=∠DFE;(2)AE=AF;(3)AD平分∠EDF;(4)EF垂直平分AD.其中正確的有( )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
3.有一個等腰三角形的周長為13，其中一邊長為3，則這個等腰三角形的底邊長為( )
A.7 B.3 C.7或3 D.5
4.△ABC中，AB=AC，∠ABC=36°，D、E是BC上的點(diǎn)，∠BAD=∠DAE=∠EAC，則圖中等腰三角形的個數(shù)是( )
A.2個 B.3個 C.4個 D.6個
5.如圖，已知∠AOB=40°，OM平分∠AOB，MA⊥OA，MB⊥OB，垂足分別為A、B兩點(diǎn)，則∠MAB等于( )
A.50° B.40° C.30° D.20°
6.下列語句中正確的有( )句
①關(guān)于一條直線對稱的兩個圖形一定能重合;
?、趦蓚€能重合的圖形一定關(guān)于某條直線對稱;
?、垡粋€軸對稱圖形不一定只有一條對稱軸;
④兩個軸對稱圖形的對應(yīng)點(diǎn)一定在對稱軸的兩側(cè).
A.1 B.2 C.3 D.4
7.如圖所示，是一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，涼亭的位置應(yīng)選在( )
A.△ABC 的三條中線的交點(diǎn)
B.△ABC 三邊的中垂線的交點(diǎn)
C.△ABC 三條角平分線的交點(diǎn)
D.△ABC 三條高所在直線的交點(diǎn)
8.如圖，在等邊△ABC中，AC=9，點(diǎn)O在AC上，且AO=3，P是AB上一動點(diǎn)，連接OP，將線段OP繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段OD，若使點(diǎn)D恰好落在BC上，則線段AP的長是( )
A.4 B.5 C.6 D.8
二、耐心填一填
9.請寫出4個是軸對稱圖形的漢字： .
10.若等腰三角形的一個外角為130°，則它的底角為 度.
11.小明從鏡子中看到對面電子鐘如圖所示，這時的時刻應(yīng)是 .
12.在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=CD=8cm，∠C=60°，則梯形ABCD的周長為 .
13.已知，在△ABC中，AB=AC=32cm，DE垂直平分AB交AC于E.
(1)∠A=50°，則∠EBC= °;
(2)若BC=21cm，則△BCE的周長是 .
14.如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=8cm，BD=5cm，那么點(diǎn)D到線段AB的距離是 cm.
15.如圖，由Rt△CDE≌Rt△ACF，可得∠DCE+∠ACF=90°，從而∠ACB=90°.設(shè)小方格的邊長為1，取AB的中點(diǎn)M，連接CM.則CM= ，理由是： .
16.如圖所示，已知O是∠APB內(nèi)的一點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別是O點(diǎn)關(guān)于PA，PB的對稱點(diǎn)，MN與PA，PB分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，已知MN=5cm，則△OEF的周長 cm.
17.一個等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為45°，三角形頂角度數(shù) .
18.如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn).已知A、B是兩格點(diǎn)，如果C也是圖中的格點(diǎn)，且使得△ABC為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)C有 個.
三、動手作一作：
19.現(xiàn)有9個相同的小正三角形拼成的大正三角形，將其部分涂黑.如圖(1)，(2)所示.
觀察圖(1)，圖(2)中涂黑部分構(gòu)成的圖案.它們具有如下特征：①都是軸對稱圖形;②涂黑部分都是三個小正三角形.
請?jiān)趫D(3)，圖(4)內(nèi)分別設(shè)計(jì)一個新圖案，使圖案具有上述兩個特征.
20.如圖：已知∠AOB和C、D兩點(diǎn)，求作一點(diǎn)P，使PC=PD，且P到∠AOB兩邊的距離相等.
四.精心解一解
21.如圖，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC.求證：∠DBC=∠DCB.
22.如圖梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=CD，BD⊥CD，求∠C的度數(shù).
23.如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中點(diǎn)，連接DE并延長交CB的延長線于點(diǎn)F，點(diǎn)G在邊BC上，且∠GDF=∠ADF.
(1)求證：△ADE≌△BFE;
(2)連接EG，判斷EG與DF的位置關(guān)系并說明理由.
24.如圖①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分線交于O點(diǎn)，過O點(diǎn)作EF∥BC交AB、AC于E、F.試回答：
(1)圖中等腰三角形是 .猜想：EF與BE、CF之間的關(guān)系是 .理由：
(2)如圖②，若AB≠AC，圖中等腰三角形是 .在第(1)問中EF與BE、CF間的關(guān)系還存在嗎?
(3)如圖③，若△ABC中∠B的平分線BO與三角形外角平分線CO交于O，過O點(diǎn)作OE∥BC交AB于E，交AC于F.這時圖中還有等腰三角形嗎?EF與BE、CF關(guān)系又如何?說明你的理由.
八年級上冊數(shù)學(xué)第2章軸對稱圖形單元試卷參考答案
一、細(xì)心選一選
1.下列圖形是軸對稱圖形的是( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】軸對稱圖形.
【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念求解.
如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸.
【解答】解：A、是軸對稱圖形，符合題意;
B、不是軸對稱圖形，不符合題意;
C、不是軸對稱圖形，不符合題意;
D、不是軸對稱圖形，不符合題意.
故選A.
【點(diǎn)評】掌握軸對稱圖形的概念.軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合.
2.如圖，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F為垂足，則下列四個結(jié)論：(1)∠DEF=∠DFE;(2)AE=AF;(3)AD平分∠EDF;(4)EF垂直平分AD.其中正確的有( )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
【考點(diǎn)】等腰三角形的判定與性質(zhì);線段垂直平分線的性質(zhì).
【專題】幾何圖形問題;綜合題.
【分析】利用等腰三角形的概念、性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)做題.
【解答】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC
∴△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，BD=CD，∠BED=∠DFC=90°
∴DE=DF
∴AD垂直平分EF
∴(4)錯誤;
又∵AD所在直線是△ABC的對稱軸，
∴(1)∠DEF=∠DFE;(2)AE=AF;(3)AD平分∠EDF.
故選C.
【點(diǎn)評】有兩邊相等的三角形是等腰三角形;等腰三角形的兩個底角相等;(簡寫成“等邊對等角”)
等腰三角形的頂角的平分線，底邊上的中線，底邊上的高的重合(簡寫成“三線合一”).
3.有一個等腰三角形的周長為13，其中一邊長為3，則這個等腰三角形的底邊長為( )
A.7 B.3 C.7或3 D.5
【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì);三角形三邊關(guān)系.
【專題】分類討論.
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可分2種情況對本題討論解答：①當(dāng)腰長為3時，②當(dāng)?shù)诪?時;結(jié)合題意，把不符合題意的去掉即可.
【解答】解：設(shè)等腰三角形的腰長為l，底長為a，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得，S=2l+a;
①、當(dāng)l=3時，可得，a=7;則3+3<7，即2l
?、?、當(dāng)a=3時，可得，l=5;則3+3>5，符合題意;
所以這個等腰三角形的底邊長為3.
故選B.
【點(diǎn)評】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形三邊性質(zhì)定理，涉及分類討論的思想方法.求三角形的周長，不能盲目地將三邊長相加起來，而應(yīng)養(yǎng)成檢驗(yàn)三邊長能否組成三角形的好習(xí)慣，把不符合題意的舍去.
4.△ABC中，AB=AC，∠ABC=36°，D、E是BC上的點(diǎn)，∠BAD=∠DAE=∠EAC，則圖中等腰三角形的個數(shù)是( )
A.2個 B.3個 C.4個 D.6個
【考點(diǎn)】等腰三角形的判定.
【分析】由已知條件，根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180°、角的平分線的性質(zhì)求得各個角的度數(shù)，然后利用等腰三角形的判定進(jìn)行找尋，注意做到由易到難，不重不漏.
【解答】解：AB=AC，∠ABC=36°，
∴∠BAC=108，
∴∠BAD=∠DAE=∠EAC=36°.
∴等腰三角形△ABC，△ABD，△ADE，△ACE，△ACD，△ABE，共有6個.
故選D.
【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定、角的平分線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理;由已知條件利用相關(guān)的性質(zhì)求得各個角的度數(shù)是正確解答本題的關(guān)鍵.
5.如圖，已知∠AOB=40°，OM平分∠AOB，MA⊥OA，MB⊥OB，垂足分別為A、B兩點(diǎn)，則∠MAB等于( )
A.50° B.40° C.30° D.20°
【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì);三角形內(nèi)角和定理.
【分析】由角平分線的性質(zhì)可得MA=MB，再求解出∠MAB的大小，在△ABM中，則可求解∠MAB的值.
【解答】解：∵∠AOB=40°，且OM為其平分線，∴∠AOM=∠BOM=20°，
又MA⊥OA，MB⊥OB，∴MA=MB，∠AMO=∠BMO=70°，
∴∠AMB=140°，
∴∠MAB= (180°﹣∠AMB)= ×(180°﹣140°)=20°，故選D.
【點(diǎn)評】本題考查了角平分線的性質(zhì);熟練掌握角平分線的性質(zhì)，能夠求解一些簡單的計(jì)算問題.
6.下列語句中正確的有( )句
?、訇P(guān)于一條直線對稱的兩個圖形一定能重合;
?、趦蓚€能重合的圖形一定關(guān)于某條直線對稱;
?、垡粋€軸對稱圖形不一定只有一條對稱軸;
?、軆蓚€軸對稱圖形的對應(yīng)點(diǎn)一定在對稱軸的兩側(cè).
A.1 B.2 C.3 D.4
【考點(diǎn)】軸對稱的性質(zhì).
【分析】認(rèn)真閱讀4個小問題提供的已知條件，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，對題中條件進(jìn)行一一分析，得到正確選項(xiàng).
【解答】解：①關(guān)于一條直線對稱的兩個圖形一定能重合，正確;
?、趦蓚€能重合的圖形全等，但不一定關(guān)于某條直線對稱，錯誤;
?、垡粋€軸對稱圖形不一定只有一條對稱軸，正確;
?、軆蓚€軸對稱圖形的對應(yīng)點(diǎn)不一定在對稱軸的兩側(cè)，還可以在對稱軸上，錯誤.
故選B.
【點(diǎn)評】本題考查軸對稱的性質(zhì)，對應(yīng)點(diǎn)的連線與對稱軸的位置關(guān)系是互相垂直，對應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對稱軸垂直平分，找著每個問題的正誤的具體原因是正確解答本題的關(guān)鍵.
7.如圖所示，是一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，涼亭的位置應(yīng)選在( )
A.△ABC 的三條中線的交點(diǎn)
B.△ABC 三邊的中垂線的交點(diǎn)
C.△ABC 三條角平分線的交點(diǎn)
D.△ABC 三條高所在直線的交點(diǎn)
【考點(diǎn)】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心.
【分析】由于涼亭到草坪三條邊的距離相等，所以根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到邊的距離相等，可知是△ABC三條角平分線的交點(diǎn).由此即可確定涼亭位置.
【解答】解：∵涼亭到草坪三條邊的距離相等，
∴涼亭選擇△ABC三條角平分線的交點(diǎn).
故選C.
【點(diǎn)評】此題主要考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)在實(shí)際生活中的應(yīng)用.主要利用了到線段的兩個端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上.
8.如圖，在等邊△ABC中，AC=9，點(diǎn)O在AC上，且AO=3，P是AB上一動點(diǎn)，連接OP，將線段OP繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段OD，若使點(diǎn)D恰好落在BC上，則線段AP的長是( )
A.4 B.5 C.6 D.8
【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì);等邊三角形的判定與性質(zhì).
【專題】壓軸題.
【分析】根據(jù)∠COP=∠A+∠APO=∠POD+∠COD，可得∠APO=∠COD，進(jìn)而可以證明△APO≌△COD，進(jìn)而可以證明AP=CO，即可解題.
【解答】解：∵∠COP=∠A+∠APO=∠POD+∠COD，∠A=∠POD=60°，
∴∠APO=∠COD.
在△APO和△COD中，
，
∴△APO≌△COD(AAS)，
∴AP=CO，
∵CO=AC﹣AO=6，
∴AP=6.
故選C.
【點(diǎn)評】本題考查了等邊三角形各內(nèi)角為60°的性質(zhì)，全等三角形的證明和全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△APO≌△COD是解題的關(guān)鍵.
二、耐心填一填
9.請寫出4個是軸對稱圖形的漢字： 如中、日、土、甲等 .
【考點(diǎn)】軸對稱圖形.
【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念，以及漢字的特征求解.如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形.這條直線叫做對稱軸.
【解答】解：答案不唯一，如中、日、土、甲等.
【點(diǎn)評】解答此題的關(guān)鍵是掌握軸對稱圖形的概念，以及漢字的特征.軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合.
10.若等腰三角形的一個外角為130°，則它的底角為 65°或50° 度.
【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì);三角形內(nèi)角和定理.
【專題】計(jì)算題;分類討論.
【分析】根據(jù)已知可求得與這個外角相鄰的內(nèi)角，因?yàn)闆]有指明這個內(nèi)角是頂角還是底角，所以分兩情況進(jìn)行分析，從而不難求得其底角的度數(shù).
【解答】解：∵等腰三角形的一個外角為130°，
∴與這個外角相鄰的角的度數(shù)為50°，
∴當(dāng)50°角是頂角時，其底角為65°;
當(dāng)50°角是底角時，底角為50°;
故答案為：65°或50°.
【點(diǎn)評】此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理的綜合運(yùn)用.
11.小明從鏡子中看到對面電子鐘如圖所示，這時的時刻應(yīng)是 10：51 .
【考點(diǎn)】鏡面對稱.
【專題】幾何圖形問題.
【分析】關(guān)于鏡子的像，實(shí)際數(shù)字與原來的數(shù)字關(guān)于豎直的線對稱，根據(jù)相應(yīng)數(shù)字的對稱性可得實(shí)際時間.
【解答】解：∵是從鏡子中看，
∴對稱軸為豎直方向的直線，
∵2的對稱數(shù)字是5，鏡子中數(shù)字的順序與實(shí)際數(shù)字順序相反，
∴這時的時刻應(yīng)是10：51.
故答案為：10：51.
【點(diǎn)評】考查鏡面對稱，得到相應(yīng)的對稱軸是解決本題的關(guān)鍵;若是豎直方向的對稱軸，數(shù)的順序正好相反，注意2的對稱數(shù)字為5.
12.在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=CD=8cm，∠C=60°，則梯形ABCD的周長為 40cm .
【考點(diǎn)】等腰梯形的性質(zhì).
【專題】探究型.
【分析】作DE∥AB交BC與點(diǎn)E.則四邊形ABED是平行四邊形，△DEC是等邊三角形，即可求得CD，BE的長度，從而求解.
【解答】解：作DE∥AB交BC與點(diǎn)E.
∵AD∥BC，DE∥AB，
∴四邊形ABED是平行四邊形，
∴AB=AD=CD=DE=BE=8cm，
∵∠C=60°，
∴△DEC是等邊三角形.
∴EC=DC=AB=8cm.
∴梯形ABCD的周長=AD+AB+BC+CD=AB+AD+BE+EC+CD=8×5=40cm.
故答案為：40cm.
【點(diǎn)評】本題考查等腰梯形的性質(zhì)，正確作出輔助線，把等腰梯形轉(zhuǎn)化成平行四邊形與等邊三角形是解答此題的關(guān)鍵.
13.已知，在△ABC中，AB=AC=32cm，DE垂直平分AB交AC于E.
(1)∠A=50°，則∠EBC= 15 °;
(2)若BC=21cm，則△BCE的周長是 53cm .
【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì);等腰三角形的性質(zhì).
【分析】(1)由DE垂直平分AB交AC于E，可得AE=BE，然后由等腰三角形的性質(zhì)，可求得∠ABE的度數(shù)，又由AB=AC，∠ABC的度數(shù)，繼而求得答案;
(2)由AB=AC=32cm，BC=21cm，△BCE的周長=AC+BC，即可求得答案.
【解答】解：(1)∵DE垂直平分AB交AC于E，
∴AE=BE，
∵∠A=50°，
∴∠ABE=∠A=50°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C= =65°，
∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=65°﹣50°=15°;
(2)∵AB=AC=32cm，BC=21cm，
∴△BCE的周長是：BC+BE+EC=BC+_AE+EC=BC+AC=21+32=53(cm).
故答案為：(1)15，(2)53cm.
【點(diǎn)評】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì).此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
14.如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=8cm，BD=5cm，那么點(diǎn)D到線段AB的距離是 3 cm.
【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì).
【分析】求D點(diǎn)到線段AB的距離，由于D在∠BAC的平分線上，只要求出D到AC的距離CD即可，由已知可用BC減去BD可得答案.
【解答】解：CD=BC﹣BD，
=8cm﹣5cm=3cm，
∵∠C=90°，
∴D到AC的距離為CD=3cm，
∵AD平分∠CAB，
∴D點(diǎn)到線段AB的距離為3cm.
故答案為：3.
【點(diǎn)評】本題考查了角平分線的性質(zhì);知道并利用CD是D點(diǎn)到線段AB的距離是正確解答本題的關(guān)鍵.
15.如圖，由Rt△CDE≌Rt△ACF，可得∠DCE+∠ACF=90°，從而∠ACB=90°.設(shè)小方格的邊長為1，取AB的中點(diǎn)M，連接CM.則CM= 5 ，理由是： 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半 .
【考點(diǎn)】直角三角形斜邊上的中線.
【專題】網(wǎng)格型.
【分析】先根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)求出AB的長，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答.
【解答】解：由圖可知，AB=10，
∵∠ACB=90°，M是AB的中點(diǎn)，
∴CM= AB= ×10=5(直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半).
故答案為：5，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.
【點(diǎn)評】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，讀懂題目信息并熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
16.如圖所示，已知O是∠APB內(nèi)的一點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別是O點(diǎn)關(guān)于PA，PB的對稱點(diǎn)，MN與PA，PB分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，已知MN=5cm，則△OEF的周長 5 cm.
【考點(diǎn)】軸對稱的性質(zhì).
【分析】由O是∠APB內(nèi)的一點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別是O點(diǎn)關(guān)于PA，PB的對稱點(diǎn)，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，可得OE=ME，OF=NF，繼而可得△OEF的周長=MN，則可求得答案.
【解答】解：∵O是∠APB內(nèi)的一點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別是O點(diǎn)關(guān)于PA，PB的對稱點(diǎn)，
∴OE=ME，OF=NF，
∵M(jìn)N=5cm，
∴△OEF的周長為：OE+EF+OF=ME+EF+NF=MN=5(cm).
故答案為：5.
【點(diǎn)評】此題考查了軸對稱的性質(zhì).此題比較簡單，注意掌握轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.
17.一個等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為45°，三角形頂角度數(shù) 45°或135° .
【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì).
【分析】首先根據(jù)題意畫出圖形，一種情況等腰三角形為銳角三角形，即可推出頂角的度數(shù)為45°.另一種情況等腰三角形為鈍角三角形，由題意，即可推出頂角的度數(shù)為135°.
【解答】解：①如圖，等腰三角形為銳角三角形，
∵BD⊥AC，∠ABD=45°，
∴∠A=45°，
即頂角的度數(shù)為45°.
?、谌鐖D，等腰三角形為鈍角三角形，
∵BD⊥AC，∠DBA=45°，
∴∠BAD=45°，
∴∠BAC=135°.
故答案為45°或135°.
【點(diǎn)評】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì).此題難度適中，解題的關(guān)鍵在于正確的畫出圖形，結(jié)合圖形，利用數(shù)形結(jié)合思想求解.
18.如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn).已知A、B是兩格點(diǎn)，如果C也是圖中的格點(diǎn)，且使得△ABC為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)C有 8 個.
【考點(diǎn)】等腰三角形的判定;勾股定理.
【專題】網(wǎng)格型.
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，分兩種情況討論：①AB為等腰△ABC底邊;②AB為等腰△ABC其中的一條腰.
【解答】解：如圖：分情況討論.
?、貯B為等腰△ABC底邊時，符合條件的C點(diǎn)有4個;
②AB為等腰△ABC其中的一條腰時，符合條件的C點(diǎn)有4個.
故答案為：8.
【點(diǎn)評】此題主要考查了等腰三角形的判定，解答本題關(guān)鍵是根據(jù)題意，畫出符合實(shí)際條件的圖形，再利用數(shù)學(xué)知識來求解，數(shù)形結(jié)合的思想是數(shù)學(xué)解題中很重要的解題思想.
三、動手作一作：
19.現(xiàn)有9個相同的小正三角形拼成的大正三角形，將其部分涂黑.如圖(1)，(2)所示.
觀察圖(1)，圖(2)中涂黑部分構(gòu)成的圖案.它們具有如下特征：①都是軸對稱圖形;②涂黑部分都是三個小正三角形.
請?jiān)趫D(3)，圖(4)內(nèi)分別設(shè)計(jì)一個新圖案，使圖案具有上述兩個特征.
【考點(diǎn)】利用軸對稱設(shè)計(jì)圖案.
【專題】壓軸題;開放型.
【分析】因?yàn)檎切问禽S對稱圖形，其對稱軸是從頂點(diǎn)向底邊所作垂線，故只要所涂得小正三角形關(guān)于大正三角形的中垂線對稱即可.
【解答】解：如圖 .
【點(diǎn)評】解答此題要明確：如果一個圖形沿著一條直線對折，直線兩側(cè)的圖形能夠完全重合，這個圖形就是軸對稱圖形;對稱軸：折痕所在的這條直線叫做對稱軸.
20.如圖：已知∠AOB和C、D兩點(diǎn)，求作一點(diǎn)P，使PC=PD，且P到∠AOB兩邊的距離相等.
【考點(diǎn)】作圖—基本作圖.
【專題】作圖題.
【分析】(1)作出∠AOB的平分線，(2)作出CD的中垂線，(3)找到交點(diǎn)P即為所求.
【解答】解：
作CD的中垂線和∠AOB的平分線，兩線的交點(diǎn)即為所作的點(diǎn)P.
【點(diǎn)評】解答此題要明確兩點(diǎn)：(1)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等;(2)中垂線上的點(diǎn)到兩個端點(diǎn)的距離相等.
四.精心解一解
21.如圖，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC.求證：∠DBC=∠DCB.
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì).
【專題】證明題;壓軸題.
【分析】利用SAS證得△ACD≌△ABD，從而證得BD=CD，利用等邊對等角證得結(jié)論即可.
【解答】證明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD.
∴在△ACD和△ABD中
，
∴△ACD≌△ABD，
∴BD=CD，
∴∠DBC=∠DCB.
【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，特別是在應(yīng)用SAS進(jìn)行判定三角形全等時，主要A為兩邊的夾角.
22.如圖梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=CD，BD⊥CD，求∠C的度數(shù).
【考點(diǎn)】等腰梯形的性質(zhì).
【分析】由AB=AD=CD，可知∠ABD=∠ADB，又AD∥BC，可推得BD為∠B的平分線，而由題可知梯形ABCD為等腰梯形，則∠B=∠C，那么在RT△BDC中， ∠C+∠C=90°，可求得∠C=60°.
【解答】解：∵AB=AD=CD
∴∠ABD=∠ADB
∵AD∥BC
∴∠ADB=∠DBC
∴∠ABD=∠DBC
∴BD為∠B的平分線
∵AD∥BC，AB=AD=CD
∴梯形ABCD為等腰梯形
∴∠B=∠C
∵BD⊥CD
∴ ∠C+∠C=90°
∴∠C=60°
【點(diǎn)評】先根據(jù)已知條件可知四邊形為等腰梯形，然后根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)和已知條件求解.
23.如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中點(diǎn)，連接DE并延長交CB的延長線于點(diǎn)F，點(diǎn)G在邊BC上，且∠GDF=∠ADF.
(1)求證：△ADE≌△BFE;
(2)連接EG，判斷EG與DF的位置關(guān)系并說明理由.
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì).
【專題】證明題.
【分析】(1)由AD與BC平行，利用兩直線平行內(nèi)錯角相等，得到一對角相等，再由一對對頂角相等及E為AB中點(diǎn)得到一對邊相等，利用AAS即可得出△ADE≌△BFE;
(2)∠GDF=∠ADE，以及(1)得出的∠ADE=∠BFE，等量代換得到∠GDF=∠BFE，利用等角對等邊得到GF=GD，即三角形GDF為等腰三角形，再由(1)得到DE=FE，即GE為底邊上的中線，利用三線合一即可得到GE與DF垂直.
【解答】(1)證明：∵AD∥BC，∴∠ADE=∠BFE，
∵E為AB的中點(diǎn)，∴AE=BE，
在△ADE和△BFE中，
，
∴△ADE≌△BFE(AAS);
(2)解：EG與DF的位置關(guān)系是EG垂直平分DF，
理由為：連接EG，
∵∠GDF=∠ADE，∠ADE=∠BFE，
∴∠GDF=∠BFE，
由(1)△ADE≌△BFE得：DE=FE，即GE為DF上的中線，
∴GE垂直平分DF.
【點(diǎn)評】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，以及等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.
24.如圖①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分線交于O點(diǎn)，過O點(diǎn)作EF∥BC交AB、AC于E、F.試回答：
(1)圖中等腰三角形是 △AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC .猜想：EF與BE、CF之間的關(guān)系是 EF=BE+CF .理由：
(2)如圖②，若AB≠AC，圖中等腰三角形是 △EOB、△FOC .在第(1)問中EF與BE、CF間的關(guān)系還存在嗎?
(3)如圖③，若△ABC中∠B的平分線BO與三角形外角平分線CO交于O，過O點(diǎn)作OE∥BC交AB于E，交AC于F.這時圖中還有等腰三角形嗎?EF與BE、CF關(guān)系又如何?說明你的理由.
【考點(diǎn)】等腰三角形的判定.
【專題】探究型.
【分析】(1)由AB=AC，可得∠ABC=∠ACB;又已知OB、OC分別平分∠ABC、∠ACB;故∠EBO=∠OBC=∠FCO=∠OCB;根據(jù)EF∥BC，可得：∠OEB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠FCO=∠BCO;由此可得出的等腰三角形有：△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC;
已知了△EOB和△FOC是等腰三角形，則EO=BE，OF=FC，則EF=BE+FC.
(2)由(1)的證明過程可知：在證△OEB、△OFC是等腰三角形的過程中，與AB=AC的條件沒有關(guān)系，故這兩個等腰三角形還成立.所以(1)中得出的EF=BE+FC的結(jié)論仍成立.
(3)思路與(2)相同，只不過結(jié)果變成了EF=BE﹣FC.
【解答】解：(1)圖中是等腰三角形的有：△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC;
EF、BE、FC的關(guān)系是EF=BE+FC.理由如下：
∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB，
∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB;
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠OCB=∠FCO;
即EO=EB，F(xiàn)O=FC;
∴EF=EO+OF=BE+CF.
(2)當(dāng)AB≠AC時，△EOB、△FOC仍為等腰三角形，(1)的結(jié)論仍然成立.(證明過程同(1))
(3)△EOB和△FOC仍是等腰三角形，EF=BE﹣FC.理由如下：
同(1)可證得△EOB是等腰三角形;
∵EO∥BC，
∴∠FOC=∠OCG;
∵OC平分∠ACG，
∴∠ACO=∠FOC=∠OCG，
∴FO=FC，故△FOC是等腰三角形;
∴EF=EO﹣FO=BE﹣FC.
【點(diǎn)評】此題主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線、角平分線的性質(zhì)等知識.進(jìn)行線段的等量代換是正確解答本題的關(guān)鍵.
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