初中八年級上冊數學第2章特殊三角形單元測試題
初中八年級上冊數學第2章特殊三角形單元測試題
做八年級數學單元測試題前要先審題，保持平常心，考出最高分;以下是學習啦小編為大家整理的初中八年級上冊數學第2章特殊三角形單元測試題，希望你們喜歡。
初中八年級上冊數學第2章特殊三角形單元試題
一、選擇題
1.正三角形△ABC的邊長為3，依次在邊AB、BC、CA上取點A1、B1、C1，使AA1=BB1=CC1=1，則△A1B1C1的面積是( )
A. B. C. D.
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10.若以點C為圓心，CB為半徑的圓恰好經過AB的中點D，則AC=( )
A.5 B. C. D.6
3.將一副直角三角尺如圖放置，若∠AOD=20°，則∠BOC的大小為( )
A.140° B.160° C.170° D.150°
4.如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，邊AB的垂直平分線DE交AB于點E，交BC于點D，CD=3，則BC的長為( )
A.6 B.6 C.9 D.3
5.如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，DE垂直平分斜邊AC，交AB于D，E是垂足，連接CD.若BD=1，則AC的長是( )
A.2 B.2 C.4 D.4
6.如圖，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分線交AB于點E，垂足為D，CE平分∠ACB.若BE=2，則AE的長為( )
A. B.1 C. D.2
7.如圖，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中點M與點C被湖隔開.若測得AM的長為1.2km，則M，C兩點間的距離為( )
A.0.5km B.0.6km C.0.9km D.1.2km
8.如圖，一個矩形紙片，剪去部分后得到一個三角形，則圖中∠1+∠2的度數是( )
A.30° B.60° C.90° D.120°
9.如圖，在△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，CD⊥AB，垂足為D，CD=1，則AB的長為( )
A.2 B. C. D.
10.在一個直角三角形中，有一個銳角等于60°，則另一個銳角的度數是( )
A.120° B.90° C.60° D.30°
11.將四根長度相等的細木條首尾相接，用釘子釘成四邊形ABCD，轉動這個四邊形，使它形狀改變，當∠B=90°時，如圖1，測得AC=2，當∠B=60°時，如圖2，AC=( )
A. B.2 C. D.2
12.將一個有45°角的三角板的直角頂點放在一張寬為3cm的紙帶邊沿上.另一個頂點在紙帶的另一邊沿上，測得三角板的一邊與紙帶的一邊所在的直線成30°角，如圖，則三角板的最大邊的長為( )
A.3cm B.6cm C. cm D. cm
13.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D.如果∠A=30°，AE=6cm，那么CE等于( )
A. cm B.2cm C.3cm D.4cm
14.如圖，已知∠AOB=60°，點P在邊OA上，OP=12，點M，N在邊OB上，PM=PN，若MN=2，則OM=( )
A.3 B.4 C.5 D.6
15.如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB交BC于點D，E為AB上一點，連接DE，則下列說法錯誤的是( )
A.∠CAD=30° B.AD=BD C.BD=2CD D.CD=ED
二、填空題
16.由于木質衣架沒有柔性，在掛置衣服的時候不太方便操作.小敏設計了一種衣架，在使用時能輕易收攏，然后套進衣服后松開即可.如圖1，衣架桿OA=OB=18cm，若衣架收攏時，∠AOB=60°，如圖2，則此時A，B兩點之間的距離是 cm.
17.在△ABC中，∠B=30°，AB=12，AC=6，則BC= .
18.如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB，交BC于點D，若CD=1，則BD= .
19.如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，對角線AC與BD相交于點O，點E在DC邊的延長線上.若∠CAE=15°，則AE= .
20.在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，若∠AOB=60°，AC=10，則AB= .
初中八年級上冊數學第2章特殊三角形單元測試題參考答案
一、選擇題(共15小題)
1.正三角形△ABC的邊長為3，依次在邊AB、BC、CA上取點A1、B1、C1，使AA1=BB1=CC1=1，則△A1B1C1的面積是( )
A. B. C. D.
【考點】等邊三角形的判定與性質.
【專題】壓軸題.
【分析】依題意畫出圖形，過點A1作A1D∥BC，交AC于點D，構造出邊長為1的小正三角形△AA1D;由AC1=2，AD=1，得點D為AC1中點，因此可求出S△AA1C1=2S△AA1D= ;同理求出S△CC1B1=S△BB1A1= ;最后由S△A1B1C1=S△ABC﹣S△AA1C1﹣S△CC1B1﹣S△BB1A1求得結果.
【解答】解：依題意畫出圖形，如下圖所示：
過點A1作A1D∥BC，交AC于點D，易知△AA1D是邊長為1的等邊三角形.
又AC1=AC﹣CC1=3﹣1=2，AD=1，
∴點D為AC1的中點，
∴S△AA1C1=2S△AA1D=2× ×12= ;
同理可求得S△CC1B1=S△BB1A1= ，
∴S△A1B1C1=S△ABC﹣S△AA1C1﹣S△CC1B1﹣S△BB1A1= ×32﹣3× = .
故選B.
【點評】本題考查等邊三角形的判定與性質，難度不大.本題入口較寬，解題方法多種多樣，同學們可以嘗試不同的解題方法.
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10.若以點C為圓心，CB為半徑的圓恰好經過AB的中點D，則AC=( )
A.5 B. C. D.6
【考點】等邊三角形的判定與性質;含30度角的直角三角形;勾股定理.
【專題】計算題;壓軸題.
【分析】連結CD，直角三角形斜邊上的中線性質得到CD=DA=DB，利用半徑相等得到CD=CB=DB，可判斷△CDB為等邊三角形，則∠B=60°，所以∠A=30°，然后根據含30度的直角三角形三邊的關系先計算出BC，再計算AC.
【解答】解：連結CD，如圖，
∵∠C=90°，D為AB的中點，
∴CD=DA=DB，
而CD=CB，
∴CD=CB=DB，
∴△CDB為等邊三角形，
∴∠B=60°，
∴∠A=30°，
∴BC= AB= ×10=5，
∴AC= BC=5 .
故選C.
【點評】本題考查了等邊三角形的判定與性質：三邊都相等的三角形為等邊三角形;等邊三角形的三個內角都等于60°.也考查了直角三角形斜邊上的中線性質以及含30度的直角三角形三邊的關系.
3.將一副直角三角尺如圖放置，若∠AOD=20°，則∠BOC的大小為( )
A.140° B.160° C.170° D.150°
【考點】直角三角形的性質.
【分析】利用直角三角形的性質以及互余的關系，進而得出∠COA的度數，即可得出答案.
【解答】解：∵將一副直角三角尺如圖放置，∠AOD=20°，
∴∠COA=90°﹣20°=70°，
∴∠BOC=90°+70°=160°.
故選：B.
【點評】此題主要考查了直角三角形的性質，得出∠COA的度數是解題關鍵.
4.如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，邊AB的垂直平分線DE交AB于點E，交BC于點D，CD=3，則BC的長為( )
A.6 B.6 C.9 D.3
【考點】含30度角的直角三角形;線段垂直平分線的性質.
【分析】根據線段垂直平分線上的點到線段兩端距離相等可得AD=BD，可得∠DAE=30°，易得∠ADC=60°，∠CAD=30°，則AD為∠BAC的角平分線，由角平分線的性質得DE=CD=3，再根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得BD=2DE，得結果.
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分線，
∴AD=BD，
∴∠DAE=∠B=30°，
∴∠ADC=60°，
∴∠CAD=30°，
∴AD為∠BAC的角平分線，
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=CD=3，
∵∠B=30°，
∴BD=2DE=6，
∴BC=9，
故選C.
【點評】本題主要考查了垂直平分線的性質，角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質，熟記各性質是解題的關鍵.
5.如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，DE垂直平分斜邊AC，交AB于D，E是垂足，連接CD.若BD=1，則AC的長是( )
A.2 B.2 C.4 D.4
【考點】含30度角的直角三角形;線段垂直平分線的性質;勾股定理.
【分析】求出∠ACB，根據線段垂直平分線的性質求出AD=CD，推出∠ACD=∠A=30°，求出∠DCB，即可求出BD、BC，根據含30°角的直角三角形性質求出AC即可.
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，
∴∠ACB=60°，
∵DE垂直平分斜邊AC，
∴AD=CD，
∴∠ACD=∠A=30°，
∴∠DCB=60°﹣30°=30°，
在Rt△DBC中，∠B=90°，∠DCB=30°，BD=1，
∴CD=2BD=2，
由勾股定理得：BC= = ，
在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，BC= ，
∴AC=2BC=2 ，
故選A.
【點評】本題考查了三角形內角和定理，等腰三角形的性質，勾股定理，含30度角的直角三角形性質的應用，解此題的關鍵是求出BC的長，注意：在直角三角形中，如果有一個角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.
6.如圖，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分線交AB于點E，垂足為D，CE平分∠ACB.若BE=2，則AE的長為( )
A. B.1 C. D.2
【考點】含30度角的直角三角形;角平分線的性質;線段垂直平分線的性質.
【分析】先根據線段垂直平分線的性質得出BE=CE=2，故可得出∠B=∠DCE=30°，再由角平分線定義得出∠ACB=2∠DCE=60°，∠ACE=∠DCE=30°，利用三角形內角和定理求出∠A=180°﹣∠B﹣∠ACB=90°，然后在Rt△CAE中根據30°角所對的直角邊等于斜邊的一半得出AE= CE=1.
【解答】解：∵在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分線交AB于E，BE=2，
∴BE=CE=2，
∴∠B=∠DCE=30°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACB=2∠DCE=60°，∠ACE=∠DCE=30°，
∴∠A=180°﹣∠B﹣∠ACB=90°.
在Rt△CAE中，∵∠A=90°，∠ACE=30°，CE=2，
∴AE= CE=1.
故選B.
【點評】本題考查的是含30度角的直角三角形的性質，線段垂直平分線的性質，等腰三角形的性質，角平分線定義，三角形內角和定理，求出∠A=90°是解答此題的關鍵.
7.如圖，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中點M與點C被湖隔開.若測得AM的長為1.2km，則M，C兩點間的距離為( )
A.0.5km B.0.6km C.0.9km D.1.2km
【考點】直角三角形斜邊上的中線.
【專題】應用題.
【分析】根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得MC=AM=1.2km.
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，M為AB的中點，
∴MC= AB=AM=1.2km.
故選D.
【點評】本題考查了直角三角形斜邊上的中線的性質：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半.理解題意，將實際問題轉化為數學問題是解題的關鍵.
8.如圖，一個矩形紙片，剪去部分后得到一個三角形，則圖中∠1+∠2的度數是( )
A.30° B.60° C.90° D.120°
【考點】直角三角形的性質.
【專題】常規(guī)題型.
【分析】根據直角三角形兩銳角互余解答.
【解答】解：由題意得，剩下的三角形是直角三角形，
所以，∠1+∠2=90°.
故選：C.
【點評】本題考查了直角三角形兩銳角互余的性質，熟記性質是解題的關鍵.
9.如圖，在△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，CD⊥AB，垂足為D，CD=1，則AB的長為( )
A.2 B. C. D.
【考點】含30度角的直角三角形;勾股定理;等腰直角三角形.
【分析】在Rt△ACD中求出AD，在Rt△CDB中求出BD，繼而可得出AB.
【解答】解：在Rt△ACD中，∠A=45°，CD=1，
則AD=CD=1，
在Rt△CDB中，∠B=30°，CD=1，
則BD= ，
故AB=AD+BD= +1.
故選D.
【點評】本題考查了等腰直角三角形及含30°角的直角三角形的性質，要求我們熟練掌握這兩種特殊直角三角形的性質.
10.(2014•海南)在一個直角三角形中，有一個銳角等于60°，則另一個銳角的度數是( )
A.120° B.90° C.60° D.30°
【考點】直角三角形的性質.
【分析】根據直角三角形兩銳角互余列式計算即可得解.
【解答】解：∵直角三角形中，一個銳角等于60°，
∴另一個銳角的度數=90°﹣60°=30°.
故選：D.
【點評】本題考查了直角三角形兩銳角互余的性質，熟記性質是解題的關鍵.
11.將四根長度相等的細木條首尾相接，用釘子釘成四邊形ABCD，轉動這個四邊形，使它形狀改變，當∠B=90°時，如圖1，測得AC=2，當∠B=60°時，如圖2，AC=( )
A. B.2 C. D.2
【考點】等邊三角形的判定與性質;勾股定理的應用;正方形的性質.
【分析】圖1中根據勾股定理即可求得正方形的邊長，圖2根據有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形即可求得.
【解答】解：如圖1，
∵AB=BC=CD=DA，∠B=90°，
∴四邊形ABCD是正方形，
連接AC，則AB2+BC2=AC2，
∴AB=BC= = = ，
如圖2，∠B=60°，連接AC，
∴△ABC為等邊三角形，
∴AC=AB=BC= .
【點評】本題考查了正方形的性質，勾股定理以及等邊三角形的判定和性質，利用勾股定理得出正方形的邊長是關鍵.
12.將一個有45°角的三角板的直角頂點放在一張寬為3cm的紙帶邊沿上.另一個頂點在紙帶的另一邊沿上，測得三角板的一邊與紙帶的一邊所在的直線成30°角，如圖，則三角板的最大邊的長為( )
A.3cm B.6cm C. cm D. cm
【考點】含30度角的直角三角形;等腰直角三角形.
【分析】過另一個頂點C作垂線CD如圖，可得直角三角形，根據直角三角形中30°角所對的邊等于斜邊的一半，可求出有45°角的三角板的直角邊，再由等腰直角三角形求出最大邊.
【解答】解：過點C作CD⊥AD，∴CD=3，
在直角三角形ADC中，
∵∠CAD=30°，
∴AC=2CD=2×3=6，
又∵三角板是有45°角的三角板，
∴AB=AC=6，
∴BC2=AB2+AC2=62+62=72，
∴BC=6 ，
故選：D.
【點評】此題考查的知識點是含30°角的直角三角形及等腰直角三角形問題，關鍵是先求得直角邊，再由勾股定理求出最大邊.
13.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D.如果∠A=30°，AE=6cm，那么CE等于( )
A. cm B.2cm C.3cm D.4cm
【考點】含30度角的直角三角形.
【專題】常規(guī)題型.
【分析】根據在直角三角形中，30度所對的直角邊等于斜邊的一半得出AE=2ED，求出ED，再根據角平分線到兩邊的距離相等得出ED=CE，即可得出CE的值.
【解答】解：∵ED⊥AB，∠A=30°，
∴AE=2ED，
∵AE=6cm，
∴ED=3cm，
∵∠ACB=90°，BE平分∠ABC，
∴ED=CE，
∴CE=3cm;
故選：C.
【點評】此題考查了含30°角的直角三角形，用到的知識點是在直角三角形中，30度所對的直角邊等于斜邊的一半和角平分線的基本性質，關鍵是求出ED=CE.
14.如圖，已知∠AOB=60°，點P在邊OA上，OP=12，點M，N在邊OB上，PM=PN，若MN=2，則OM=( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【考點】含30度角的直角三角形;等腰三角形的性質.
【專題】計算題.
【分析】過P作PD⊥OB，交OB于點D，在直角三角形POD中，利用銳角三角函數定義求出OD的長，再由PM=PN，利用三線合一得到D為MN中點，根據MN求出MD的長，由OD﹣MD即可求出OM的長.
【解答】解：過P作PD⊥OB，交OB于點D，
在Rt△OPD中，cos60°= = ，OP=12，
∴OD=6，
∵PM=PN，PD⊥MN，MN=2，
∴MD=ND= MN=1，
∴OM=OD﹣MD=6﹣1=5.
故選：C.
【點評】此題考查了含30度直角三角形的性質，等腰三角形的性質，熟練掌握直角三角形的性質是解本題的關鍵.
15.如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB交BC于點D，E為AB上一點，連接DE，則下列說法錯誤的是( )
A.∠CAD=30° B.AD=BD C.BD=2CD D.CD=ED
【考點】含30度角的直角三角形;角平分線的性質;等腰三角形的判定與性質.
【專題】幾何圖形問題.
【分析】根據三角形內角和定理求出∠CAB，求出∠CAD=∠BAD=∠B，推出AD=BD，AD=2CD即可.
【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠BAD=30°，
∴∠CAD=∠BAD=∠B，
∴AD=BD，AD=2CD，
∴BD=2CD，
根據已知不能推出CD=DE，
即只有D錯誤，選項A、B、C的答案都正確;
故選：D.
【點評】本題考查了三角形的內角和定理，等腰三角形的判定，含30度角的直角三角形的性質的應用，注意：在直角三角形中，如果有一個角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.
二、填空題
16.由于木質衣架沒有柔性，在掛置衣服的時候不太方便操作.小敏設計了一種衣架，在使用時能輕易收攏，然后套進衣服后松開即可.如圖1，衣架桿OA=OB=18cm，若衣架收攏時，∠AOB=60°，如圖2，則此時A，B兩點之間的距離是 18 cm.
【考點】等邊三角形的判定與性質.
【專題】應用題.
【分析】根據有一個角是60°的等腰三角形的等邊三角形進行解答即可.
【解答】解：∵OA=OB，∠AOB=60°，
∴△AOB是等邊三角形，
∴AB=OA=OB=18cm，
故答案為：18
【點評】此題考查等邊三角形問題，關鍵是根據有一個角是60°的等腰三角形的等邊三角形進行分析.
17.在△ABC中，∠B=30°，AB=12，AC=6，則BC= 6 .
【考點】含30度角的直角三角形;勾股定理.
【分析】由∠B=30°，AB=12，AC=6，利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半易得△ABC是直角三角形，利用勾股定理求出BC的長.
【解答】解：∵∠B=30°，AB=12，AC=6，
∴△ABC是直角三角形，
∴BC= = =6 ，
故答案為：6 .°
【點評】此題考查了含30°直角三角形的性質，以及勾股定理，熟練掌握性質及定理是解本題的關鍵.
18.如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB，交BC于點D，若CD=1，則BD= 2 .
【考點】含30度角的直角三角形;角平分線的性質.
【分析】根據角平分線性質求出∠BAD的度數，根據含30度角的直角三角形性質求出AD即可得BD.
【解答】解：∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°，
AD平分∠CAB，
∴∠BAD=30°，
∴BD=AD=2CD=2，
故答案為2.
【點評】本題考查了對含30度角的直角三角形的性質和角平分線性質的應用，求出AD的長是解此題的關鍵.
19.如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，對角線AC與BD相交于點O，點E在DC邊的延長線上.若∠CAE=15°，則AE= 8 .
【考點】含30度角的直角三角形;正方形的性質.
【分析】先由正方形的性質可得∠BAC=45°，AB∥DC，∠ADC=90°，由∠CAE=15°，根據平行線的性質及角的和差得出∠E=∠BAE=∠BAC﹣∠CAE=30°.然后在Rt△ADE中，根據30°角所對的直角邊等于斜邊的一半即可得到AE=2AD=8.
【解答】解：∵正方形ABCD的邊長為4，對角線AC與BD相交于點O，
∴∠BAC=45°，AB∥DC，∠ADC=90°，
∵∠CAE=15°，
∴∠E=∠BAE=∠BAC﹣∠CAE=45°﹣15°=30°.
∵在Rt△ADE中，∠ADE=90°，∠E=30°，
∴AE=2AD=8.
故答案為8.
【點評】本題考查了含30度角的直角三角形的性質：在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半.也考查了正方形的性質，平行線的性質.求出∠E=30°是解題的關鍵.
20.在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，若∠AOB=60°，AC=10，則AB= 5 .
【考點】含30度角的直角三角形;矩形的性質.
【分析】根據矩形的性質，可以得到△AOB是等邊三角形，則可以求得OA的長，進而求得AB的長.
【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴OA=OB
又∵∠AOB=60°
∴△AOB是等邊三角形.
∴AB=OA= AC=5，
故答案是：5.
【點評】本題考查了矩形的性質，正確理解△AOB是等邊三角形是關鍵.
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