高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試卷(文科含解析)
高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試卷(文科含解析)
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高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試卷(文科含解析)
數(shù)學(xué)試卷(文科)
一、選擇題:本大題共12小題,每題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
1.對于常數(shù)m、n,“mn>0”是“方程mx2+ny2=1的曲線是橢圓”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
2.命題“所有能被2整除的數(shù)都是偶數(shù)”的否定是( )
A.所有不能被2整除的整數(shù)都是偶數(shù)
B.所有能被2整除的整數(shù)都不是偶數(shù)
C.存在一個不能被2整除的整數(shù)是偶數(shù)
D.存在一個能被2整除的整數(shù)不是偶數(shù)
3.已知橢圓 上的點P到橢圓一個焦點的距離為7,則P到另一焦點的距離為( )
A.2 B.3 C.5 D.7
4.在一次跳傘訓(xùn)練中,甲、乙兩位學(xué)員各跳一次,設(shè)命題p是“甲降落在指定范圍”,q是“乙降落在指定范圍”,則命題“至少有一位學(xué)員沒有降落在指定范圍”可表示為( )
A.(¬p)∨(¬q) B.p∨(¬q) C.(¬p)∧(¬q) D.p∨q
5.若雙曲線 的離心率為 ,則其漸近線的斜率為( )
A.±2 B. C. D.
6.曲線 在點M( ,0)處的切線的斜率為( )
A. B. C. D.
7.若橢圓 (a>b>0)的焦點與雙曲線 的焦點恰好是一個正方形的四個頂點,則拋物線ay=bx2的焦點坐標為( )
A.( ,0) B.( ,0) C.(0, ) D.(0, )
8.設(shè)z1,z2是復(fù)數(shù),則下列命題中的假命題是( )
A.若|z1|=|z2|,則
B.若 ,則
C.若|z1|=|z2|,則
D.若|z1﹣z2|=0,則
9.已知命題“若函數(shù)f(x)=ex﹣mx在(0,+∞)上是增函數(shù),則m≤1”,則下列結(jié)論正確的是( )
A.否命題“若函數(shù)f(x)=ex﹣mx在(0,+∞)上是減函數(shù),則m>1”是真命題
B.逆命題“若m≤1,則函數(shù)f(x)=ex﹣mx在(0,+∞)上是增函數(shù)”是假命題
C.逆否命題“若m>1,則函數(shù)f(x)=ex﹣mx在(0,+∞)上是減函數(shù)”是真命題
D.逆否命題“若m>1,則函數(shù)f(x)=ex﹣mx在(0,+∞)上不是增函數(shù)”是真命題
10.錢大姐常說“便宜沒好貨”,她這句話的意思是:“不便宜”是“好貨”的( )
A.充分條件 B.必要條件
C.充分必要條件 D.既非充分又非必要條件
11.設(shè)a>0,f(x)=ax2+bx+c,曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0))處切線的傾斜角的取值范圍為,則P到曲線y=f(x)對稱軸距離的取值范圍為( )
A. B. C. D.
12.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c有兩個極值點x1,x2,若f(x1)=x1
A.3 B.4 C.5 D.6
二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分.
13.設(shè)復(fù)數(shù) ,那么z• 等于 .
14.f(x)=x3﹣3x2+2在區(qū)間上的最大值是 .
15.函數(shù)f(x)=lnx﹣f′(1)x2+5x﹣4,則f(1)= .
16.過拋物線x2=2py(p>0)的焦點F作傾斜角為45°的直線,與拋物線分別交于A、B兩點(A在y軸左側(cè)),則 = .
三、解答題:本大題共6小題,共70分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17.已知z是復(fù)數(shù),z+2i和 均為實數(shù)(i為虛數(shù)單位).
(Ⅰ)求復(fù)數(shù)z;
(Ⅱ)求 的模.
18.已知集合A={x|(ax﹣1)(ax+2)≤0},集合B={x|﹣2≤x≤4}.若x∈B是x∈A的充分不必要條件,求實數(shù)a的取值范圍.
19.設(shè)橢圓的方程為 ,點O為坐標原點,點A,B分別為橢圓的右頂點和上頂點,點M在線段AB上且滿足|BM|=2|MA|,直線OM的斜率為 .
(Ⅰ)求橢圓的離心率;
(Ⅱ)設(shè)點C為橢圓的下頂點,N為線段AC的中點,證明:MN⊥AB.
20.設(shè)函數(shù) ,其中a為實數(shù).
(1)已知函數(shù)f(x)在x=1處取得極值,求a的值;
(2)已知不等式f′(x)>x2﹣x﹣a+1對任意a∈(0,+∞)都成立,求實數(shù)x的取值范圍.
21.已知橢圓C1: 的離心率為 ,且橢圓上點到橢圓C1左焦點距離的最小值為 ﹣1.
(1)求C1的方程;
(2)設(shè)直線l同時與橢圓C1和拋物線C2:y2=4x相切,求直線l的方程.
22.已知函數(shù)f(x)=lnx﹣a(x﹣1)2﹣(x﹣1)(其中常數(shù)a∈R).
(Ⅰ)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)當x∈(0,1)時,f(x)<0,求實數(shù)a的取值范圍.
高二(上)期末數(shù)學(xué)試卷(文科)參考答案與試題解析
一、選擇題:本大題共12小題,每題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
1.對于常數(shù)m、n,“mn>0”是“方程mx2+ny2=1的曲線是橢圓”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷.
【分析】先根據(jù)mn>0看能否得出方程mx2+ny2=1的曲線是橢圓;這里可以利用舉出特值的方法來驗證,再看方程mx2+ny2=1的曲線是橢圓,根據(jù)橢圓的方程的定義,可以得出mn>0,即可得到結(jié)論.
【解答】解:當mn>0時,方程mx2+ny2=1的曲線不一定是橢圓,
例如:當m=n=1時,方程mx2+ny2=1的曲線不是橢圓而是圓;或者是m,n都是負數(shù),曲線表示的也不是橢圓;
故前者不是后者的充分條件;
當方程mx2+ny2=1的曲線是橢圓時,應(yīng)有m,n都大于0,且兩個量不相等,得到mn>0;
由上可得:“mn>0”是“方程mx2+ny2=1的曲線是橢圓”的必要不充分條件.
故選B.
2.命題“所有能被2整除的數(shù)都是偶數(shù)”的否定是( )
A.所有不能被2整除的整數(shù)都是偶數(shù)
B.所有能被2整除的整數(shù)都不是偶數(shù)
C.存在一個不能被2整除的整數(shù)是偶數(shù)
D.存在一個能被2整除的整數(shù)不是偶數(shù)
【考點】命題的否定.
【分析】根據(jù)已知我們可得命題“所有能被2整除的數(shù)都是偶數(shù)”的否定應(yīng)該是一個特稱命題,根據(jù)全稱命題的否定方法,我們易得到結(jié)論.
【解答】解:命題“所有能被2整除的數(shù)都是偶數(shù)”是一個全稱命題
其否定一定是一個特稱命題,故排除A,B
結(jié)合全稱命題的否定方法,我們易得
命題“所有能被2整除的數(shù)都是偶數(shù)”的否定應(yīng)為
“存在一個能被2整除的整數(shù)不是偶數(shù)”
故選:D
3.已知橢圓 上的點P到橢圓一個焦點的距離為7,則P到另一焦點的距離為( )
A.2 B.3 C.5 D.7
【考點】橢圓的簡單性質(zhì).
【分析】由橢圓方程找出a的值,根據(jù)橢圓的定義可知橢圓上的點到兩焦點的距離之和為常數(shù)2a,把a的值代入即可求出常數(shù)的值得到P到兩焦點的距離之和,由P到一個焦點的距離為7,求出P到另一焦點的距離即可.
【解答】解:由橢圓 ,得a=5,
則2a=10,且點P到橢圓一焦點的距離為7,
由定義得點P到另一焦點的距離為2a﹣3=10﹣7=3.
故選B
4.在一次跳傘訓(xùn)練中,甲、乙兩位學(xué)員各跳一次,設(shè)命題p是“甲降落在指定范圍”,q是“乙降落在指定范圍”,則命題“至少有一位學(xué)員沒有降落在指定范圍”可表示為( )
A.(¬p)∨(¬q) B.p∨(¬q) C.(¬p)∧(¬q) D.p∨q
【考點】四種命題間的逆否關(guān)系.
【分析】由命題P和命題q寫出對應(yīng)的¬p和¬q,則命題“至少有一位學(xué)員沒有降落在指定范圍”即可得到表示.
【解答】解:命題p是“甲降落在指定范圍”,則¬p是“甲沒降落在指定范圍”,
q是“乙降落在指定范圍”,則¬q是“乙沒降落在指定范圍”,
命題“至少有一位學(xué)員沒有降落在指定范圍”包括
“甲降落在指定范圍,乙沒降落在指定范圍”
或“甲沒降落在指定范圍,乙降落在指定范圍”
或“甲沒降落在指定范圍,乙沒降落在指定范圍”三種情況.
所以命題“至少有一位學(xué)員沒有降落在指定范圍”可表示為(¬p)V(¬q).
故選A.
5.若雙曲線 的離心率為 ,則其漸近線的斜率為( )
A.±2 B. C. D.
【考點】雙曲線的簡單性質(zhì).
【分析】由雙曲線 的離心率為 ,可得 ,解得 即可.
【解答】解:∵雙曲線 的離心率為 ,∴ ,解得 .
∴其漸近線的斜率為 .
故選:B.
6.曲線 在點M( ,0)處的切線的斜率為( )
A. B. C. D.
【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程.
【分析】先求出導(dǎo)函數(shù),然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)f(x)在x= 處的導(dǎo)數(shù),從而求出切線的斜率.
【解答】解:∵
∴y'=
=
y'|x= = |x= =
故選B.
7.若橢圓 (a>b>0)的焦點與雙曲線 的焦點恰好是一個正方形的四個頂點,則拋物線ay=bx2的焦點坐標為( )
A.( ,0) B.( ,0) C.(0, ) D.(0, )
【考點】雙曲線的簡單性質(zhì);橢圓的簡單性質(zhì);拋物線的簡單性質(zhì).
【分析】根據(jù)橢圓 (a>b>0)的焦點與雙曲線 的焦點恰好是一個正方形的四個頂點,得到a,b的關(guān)系式;再將拋物線ay=bx2的方程化為標準方程后,根據(jù)拋物線的性質(zhì),即可得到其焦點坐標.
【解答】解:∵橢圓 (a>b>0)的焦點與雙曲線 的焦點恰好是一個正方形的四個頂點
∴2a2﹣2b2=a2+b2,即a2=3b2, = .
拋物線ay=bx2的方程可化為:x2= y,即x2= y,
其焦點坐標為:(0, ).
故選D.
8.設(shè)z1,z2是復(fù)數(shù),則下列命題中的假命題是( )
A.若|z1|=|z2|,則
B.若 ,則
C.若|z1|=|z2|,則
D.若|z1﹣z2|=0,則
【考點】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算;命題的真假判斷與應(yīng)用.
【分析】利用特例判斷A的正誤;復(fù)數(shù)的基本運算判斷B的正誤;復(fù)數(shù)的運算法則判斷C的正誤;利用復(fù)數(shù)的模的運算法則判斷D的正誤.
【解答】解:若|z1|=|z2|,例如|1|=|i|,顯然 不正確,A錯誤.
B,C,D滿足復(fù)數(shù)的運算法則,
故選:A.
9.已知命題“若函數(shù)f(x)=ex﹣mx在(0,+∞)上是增函數(shù),則m≤1”,則下列結(jié)論正確的是( )
A.否命題“若函數(shù)f(x)=ex﹣mx在(0,+∞)上是減函數(shù),則m>1”是真命題
B.逆命題“若m≤1,則函數(shù)f(x)=ex﹣mx在(0,+∞)上是增函數(shù)”是假命題
C.逆否命題“若m>1,則函數(shù)f(x)=ex﹣mx在(0,+∞)上是減函數(shù)”是真命題
D.逆否命題“若m>1,則函數(shù)f(x)=ex﹣mx在(0,+∞)上不是增函數(shù)”是真命題
【考點】四種命題間的逆否關(guān)系.
【分析】先利用導(dǎo)數(shù)知識,確定原命題為真命題,從而逆否命題為真命題,即可得到結(jié)論.
【解答】解:∵f(x)=ex﹣mx,∴f′(x)=ex﹣m
∵函數(shù)f(x)=ex﹣mx在(0,+∞)上是增函數(shù)
∴ex﹣m≥0在(0,+∞)上恒成立
∴m≤ex在(0,+∞)上恒成立
∴m≤1
∴命題“若函數(shù)f(x)=ex﹣mx在(0,+∞)上是增函數(shù),則m≤1”,是真命題,
∴逆否命題“若m>1,則函數(shù)f(x)=ex﹣mx在(0,+∞)上不是增函數(shù)”是真命題
∵m≤1時,f′(x)=ex﹣m≥0在(0,+∞)上不恒成立,即函數(shù)f(x)=ex﹣mx在(0,+∞)上不一定是增函數(shù),∴逆命題“若m≤1,則函數(shù)f(x)=ex﹣mx在(0,+∞)上是增函數(shù)”是真命題,即B不正確
故選D.
10.錢大姐常說“便宜沒好貨”,她這句話的意思是:“不便宜”是“好貨”的( )
A.充分條件 B.必要條件
C.充分必要條件 D.既非充分又非必要條件
【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷.
【分析】因為“好貨不便宜”是“便宜沒好貨”的逆否命題,根據(jù)互為逆否命題的真假一致得到:“好貨不便宜”是真命題.再據(jù)命題的真假與條件的關(guān)系判定出“不便宜”是“好貨”的必要條件.
【解答】解:“好貨不便宜”是“便宜沒好貨”的逆否命題,
根據(jù)互為逆否命題的真假一致得到:“好貨不便宜”是真命題.
所以“好貨”⇒“不便宜”,
所以“不便宜”是“好貨”的必要條件,
故選B
11.設(shè)a>0,f(x)=ax2+bx+c,曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0))處切線的傾斜角的取值范圍為,則P到曲線y=f(x)對稱軸距離的取值范圍為( )
A. B. C. D.
【考點】直線的圖象特征與傾斜角、斜率的關(guān)系.
【分析】先由導(dǎo)數(shù)的幾何意義,得到x0的范圍,再求出其到對稱軸的范圍.
【解答】解:∵過P(x0,f(x0))的切線的傾斜角的取值范圍是,
∴f′(x0)=2ax0+b∈,
∴P到曲線y=f(x)對稱軸x=﹣ 的距離d=x0﹣(﹣ )=x0+
∴x0∈[ , ].∴d=x0+ ∈.
故選:B.
12.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c有兩個極值點x1,x2,若f(x1)=x1
A.3 B.4 C.5 D.6
【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值;根的存在性及根的個數(shù)判斷.
【分析】由函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c有兩個極值點x1,x2,可得f′(x)=3x2+2ax+b=0有兩個不相等的實數(shù)根,必有△=4a2﹣12b>0.而方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的△1=△>0,可知此方程有兩解且f(x)=x1或x2.再分別討論利用平移變換即可解出方程f(x)=x1或f(x)=x2解得個數(shù).
【解答】解:∵函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c有兩個極值點x1,x2,
∴f′(x)=3x2+2ax+b=0有兩個不相等的實數(shù)根,
∴△=4a2﹣12b>0.解得 = .
∵x1
∴ , .
而方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的△1=△>0,
∴此方程有兩解且f(x)=x1或x2.
不妨取0
?、侔褃=f(x)向下平移x1個單位即可得到y(tǒng)=f(x)﹣x1的圖象,
∵f(x1)=x1,可知方程f(x)=x1有兩解.
?、诎褃=f(x)向下平移x2個單位即可得到y(tǒng)=f(x)﹣x2的圖象,∵f(x1)=x1,∴f(x1)﹣x2<0,可知方程f(x)=x2只有一解.
綜上①②可知:方程f(x)=x1或f(x)=x2.只有3個實數(shù)解.即關(guān)于x的方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的只有3不同實根.
故選:A.
二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分.
13.設(shè)復(fù)數(shù) ,那么z• 等于 1 .
【考點】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算.
【分析】直接利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的混合運算化簡求解即可.
【解答】解:復(fù)數(shù) ,那么z• = = =1.
故答案為:1.
14.f(x)=x3﹣3x2+2在區(qū)間上的最大值是 2 .
【考點】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值.
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),令導(dǎo)函數(shù)為0,求出根,判斷根是否在定義域內(nèi),判斷根左右兩邊的導(dǎo)函數(shù)符號,求出最值.
【解答】解:f′(x)=3x2﹣6x=3x(x﹣2)
令f′(x)=0得x=0或x=2(舍)
當﹣1
所以當x=0時,函數(shù)取得極大值即最大值
所以f(x)的最大值為2
故答案為2
15.函數(shù)f(x)=lnx﹣f′(1)x2+5x﹣4,則f(1)= ﹣1 .
【考點】導(dǎo)數(shù)的運算.
【分析】先求出f′(1)的值,代入解析式計算即可.
【解答】解:∵f(x)=lnx﹣f′(1)x2+5x﹣4,
∴f′(x)= ﹣2f′(1)x+5,
∴f′(1)=6﹣2f′(1),解得f′(1)=2.
∴f(x)=lnx﹣2x2+5x﹣4,∴f(1)=﹣1.
故答案為:﹣1.
16.過拋物線x2=2py(p>0)的焦點F作傾斜角為45°的直線,與拋物線分別交于A、B兩點(A在y軸左側(cè)),則 = .
【考點】拋物線的簡單性質(zhì).
【分析】點斜式設(shè)出直線l的方程,代入拋物線方程,求出A,B兩點的縱坐標,利用拋物線的定義得出 = ,即可得出結(jié)論.
【解答】解:設(shè)直線l的方程為:x=y﹣ ,A(x1,y1),B(x2,y2),
由x=y﹣ ,代入x2=2py,可得y2﹣3py+ p2=0,
∴y1= p,y2= p,
從而, = = .
故答案為: .
三、解答題:本大題共6小題,共70分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17.已知z是復(fù)數(shù),z+2i和 均為實數(shù)(i為虛數(shù)單位).
(Ⅰ)求復(fù)數(shù)z;
(Ⅱ)求 的模.
【考點】復(fù)數(shù)求模;復(fù)數(shù)的基本概念.
【分析】(Ⅰ)設(shè)z=a+bi,分別代入z+2i和 ,化簡后由虛部為0求得b,a的值,則復(fù)數(shù)z可求;
(Ⅱ)把z代入 ,利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡,代入模的公式得答案.
【解答】解:(Ⅰ)設(shè)z=a+bi,∴z+2i=a+(b+2)i,
由a+(b+2)i為實數(shù),可得b=﹣2,
又∵ 為實數(shù),∴a=4,
則z=4﹣2i;
(Ⅱ) ,
∴ 的模為 .
18.已知集合A={x|(ax﹣1)(ax+2)≤0},集合B={x|﹣2≤x≤4}.若x∈B是x∈A的充分不必要條件,求實數(shù)a的取值范圍.
【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷.
【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義,轉(zhuǎn)化為集合的關(guān)系進行求解.
【解答】解:(1)a>0時, ,若x∈B是x∈A的充分不必要條件,
所以 , ,檢驗 符合題意;┅┅┅┅┅┅┅
(2)a=0時,A=R,符合題意;┅┅┅┅┅┅┅
(3)a<0時, ,若x∈B是x∈A的充分不必要條件,
所以 , ,檢驗 不符合題意.
綜上 .┅┅┅┅┅┅┅
19.設(shè)橢圓的方程為 ,點O為坐標原點,點A,B分別為橢圓的右頂點和上頂點,點M在線段AB上且滿足|BM|=2|MA|,直線OM的斜率為 .
(Ⅰ)求橢圓的離心率;
(Ⅱ)設(shè)點C為橢圓的下頂點,N為線段AC的中點,證明:MN⊥AB.
【考點】橢圓的簡單性質(zhì).
【分析】(1)通過題意,利用 =2 ,可得點M坐標,利用直線OM的斜率為 ,計算即得結(jié)論;
(2)通過中點坐標公式解得點N坐標,利用 ×( )=﹣1,即得結(jié)論.
【解答】(Ⅰ)解:設(shè)M(x,y),已知A(a,0),B(0,b),由|BM|=2|MA|,
所以 =2 ,即(x﹣0,y﹣b)=2(a﹣x,0﹣y),
解得x= a,y= b,即可得 ,┅┅┅┅┅┅┅
所以 ,所以橢圓離心率 ;┅┅┅┅┅┅┅
(Ⅱ)證明:因為C(0,﹣b),所以N ,MN斜率為 ,┅┅┅┅┅┅┅
又AB斜率為 ,所以 ×( )=﹣1,所以MN⊥AB.┅┅┅┅┅┅┅
20.設(shè)函數(shù) ,其中a為實數(shù).
(1)已知函數(shù)f(x)在x=1處取得極值,求a的值;
(2)已知不等式f′(x)>x2﹣x﹣a+1對任意a∈(0,+∞)都成立,求實數(shù)x的取值范圍.
【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值.
【分析】(1)求出f′(x),因為函數(shù)在x=1時取極值,得到f′(1)=0,代入求出a值即可;
(2)把f(x)的解析式代入到不等式中,化簡得到 ,因為a>0,不等式恒成立即要 ,求出x的解集即可.
【解答】解:(1)f′(x)=ax2﹣3x+(a+1)
由于函數(shù)f(x)在x=1時取得極值,
所以f′(1)=0
即a﹣3+a+1=0,∴a=1
(2)由題設(shè)知:ax2﹣3x+(a+1)>x2﹣x﹣a+1
對任意a∈(0,+∞)都成立
即a(x2+2)﹣x2﹣2x>0
對任意a∈(0,+∞)都成立
于是 對任意a∈(0,+∞)都成立,
即 ∴﹣2≤x≤0
于是x的取值范圍是{x|﹣2≤x≤0}.
21.已知橢圓C1: 的離心率為 ,且橢圓上點到橢圓C1左焦點距離的最小值為 ﹣1.
(1)求C1的方程;
(2)設(shè)直線l同時與橢圓C1和拋物線C2:y2=4x相切,求直線l的方程.
【考點】橢圓的簡單性質(zhì).
【分析】(1)運用橢圓的離心率和最小距離a﹣c,解方程可得a= ,c=1,再由a,b,c的關(guān)系,可得b,進而得到橢圓方程;
(2)設(shè)出直線y=kx+m,聯(lián)立橢圓和拋物線方程,運用判別式為0,解方程可得k,m,進而得到所求直線的方程.
【解答】解:(1)由題意可得e= = ,
由橢圓的性質(zhì)可得,a﹣c= ﹣1,
解方程可得a= ,c=1,
則b= =1,
即有橢圓的方程為 +y2=1;
(2)直線l的斜率顯然存在,可設(shè)直線l:y=kx+m,
由 ,可得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣2=0,
由直線和橢圓相切,可得△=16k2m2﹣4(1+2k2)(2m2﹣2)=0,
即為m2=1+2k2,①
由 ,可得k2x2+(2km﹣4)x+m2=0,
由直線和拋物線相切,可得△=(2km﹣4)2﹣4k2m2=0,
即為km=1,②
由①②可得 或 ,
即有直線l的方程為y= x+ 或y=﹣ x﹣ .
22.已知函數(shù)f(x)=lnx﹣a(x﹣1)2﹣(x﹣1)(其中常數(shù)a∈R).
(Ⅰ)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)當x∈(0,1)時,f(x)<0,求實數(shù)a的取值范圍.
【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值.
【分析】(Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過討論a的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;
(Ⅱ)根據(jù)(Ⅰ)通過討論a的范圍,確定出滿足條件的a的范圍即可.
【解答】解:(Ⅰ)f(x)=lnx﹣a(x﹣1)2﹣(x﹣1),(x>0),
f′(x)=﹣ ,
?、賏<﹣ 時,0<﹣ <1,
令f′(x)<0,解得:x>1或0
∴f(x)在 遞減,在 遞增;
②﹣ ﹣ 或0
∴f(x)在 遞減,在 遞增;
?、?,f′(x)=﹣ ≤0,f(x)在(0,1),(1+∞)遞減;
?、躠≥0時,2ax+1>0,令f′(x)>0,解得:0
∴f(x)在(0,1)遞增,在(1,+∞)遞減;
(Ⅱ)函數(shù)恒過(1,0),由(Ⅰ)得:a≥﹣ 時,符合題意,
a<﹣ 時,
f(x)在(0,﹣ )遞減,在 遞增,不合題意,
故a≥﹣ .
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