高二數(shù)學(xué)解析幾何解題技巧
高二數(shù)學(xué)解析幾何解題技巧
數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維培養(yǎng)就是以強(qiáng)烈的創(chuàng)新意識進(jìn)行熏陶感染,鼓勵(lì)將個(gè)人儲備的知識信息進(jìn)行重新組合,從而形成一些具有較高價(jià)值的新發(fā)現(xiàn)、新設(shè)想下面是學(xué)習(xí)啦小編給大家?guī)淼母叨?shù)學(xué)解析幾何解題技巧,希望對你有幫助。
高二數(shù)學(xué)解析幾何解題技巧:“數(shù)”“形”結(jié)合
(一)方法釋義
首先,關(guān)于解析幾何的釋義,其泛指幾何學(xué)上一個(gè)小分支,主要用代數(shù)方法研究集合對象之間的關(guān)系和性質(zhì),因此也稱作“坐標(biāo)幾何”。其包括平面解析幾何和立體解析幾何兩部分,其中,平面解析幾何是二維空間上的解析幾何;立體解析幾何是三維空間上的解析幾何,而立體解析幾何則比平面解析幾何更加復(fù)雜、抽象。
其次,關(guān)于數(shù)形結(jié)合的釋義,即是把題目所給條件中的“數(shù)”與“形”一一對應(yīng),用簡單的、直觀的幾何圖形以及條件之間的位置關(guān)系把復(fù)雜的、抽象的數(shù)學(xué)語言以及條件之間的數(shù)量關(guān)系結(jié)合起來,通過形象思維與抽象思維之間的結(jié)合,以形助數(shù),或以數(shù)解形,從而使復(fù)雜的問題簡單化,抽象的問題具體化,以起到優(yōu)化解題途徑的目的。
(二)解題思路
在遇到解析幾何時(shí),能清楚條件與問題之間的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系,將“數(shù)”與“形”一一對應(yīng),便能夠快速找到解題突破點(diǎn)。事實(shí)上,當(dāng)熟練掌握到數(shù)形結(jié)合方法,能夠舉一反三時(shí),遇到的所有題目都將是同一題目了。因此,掌握數(shù)形結(jié)合思,就必須厘清下列關(guān)系:第一點(diǎn),復(fù)數(shù)、三角函數(shù)等以幾何條件和幾何元素為背景建立的概念;第二點(diǎn),題目所給的等式或代數(shù)方程式的結(jié)構(gòu)中所含明顯的幾何意義;第三點(diǎn),函數(shù)與圖象的對應(yīng)關(guān)系;第四點(diǎn)曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系;第五點(diǎn),實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系。
高二數(shù)學(xué)解析幾何題的實(shí)例分析
(一)解析幾何中圓類問題
實(shí)踐證明,數(shù)形結(jié)合對速解圓類問題的幫助很大,因?yàn)樵谝话憬忸}過程中,解析幾何圓類問題主要圍繞求圓與圓之間的位置關(guān)系、圓與直線的位置關(guān)系、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程等幾方面展開。比如在判斷圓與直線的位置關(guān)系時(shí),通過建立直角坐標(biāo)系,便可以直觀地觀察到直線在圓外,但是答題需要寫出確切的答題步驟才能得分。這時(shí)就需要有“數(shù)”“形”結(jié)合解題思想的輔導(dǎo)——以數(shù)解形:通過計(jì)算圓心到直線的距離,距離比圓的半徑大即表明直線在圓外。這是最基本的用“數(shù)”“形”結(jié)合方式解答圓類問題。為更為詳盡的說明,下文將針對對“數(shù)”“形”結(jié)合法速解解析幾何圓類問題作出例題說明:
例題1:已知曲線y=1+√(4-x2)與直線y=k(x-2)+4交于兩個(gè)不同的點(diǎn),求實(shí)數(shù)k的取值范圍。
解析:將曲線y=1+√(4-x2)變形,得x2+(y-1)2=4(1≤y≤3),可知曲線是以點(diǎn)A(0,1)為圓心,2為半徑的圓,但是值域y要大于1,因此是上半圓;
直線y=k(x-2)+4過定點(diǎn)B(2,4);當(dāng)直線繞點(diǎn)B按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至直線與圓相切,當(dāng)直線與圓的一個(gè)交點(diǎn)在弧線MT之間都滿足題目要求,符合題意;
而交點(diǎn)M在直線y=1上,因此可算出M點(diǎn)的坐標(biāo),即M(-2,1);
直線BM可用點(diǎn)斜式法計(jì)算出來,例題1kMB=3/4,即點(diǎn)M到點(diǎn)A之間的距離等于半徑;
列等式∣1+2k-4∣/√(1+k2),可解得kBT=5/12。因此,k∈(5/12,3/4]。
(二)解析幾何不等式問題
運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法解決解析幾何中的不等式問題主要是將原不等式化解,通常能化解為某個(gè)曲線方程,然后將曲線方程在數(shù)軸上表示,注意計(jì)算過程中值域與定義域,然后幾個(gè)圖形的交集就是該不等式的解集。